Notes de cours : Chapitre II : Limites 1 Limite d`une fonction en +∞ ou

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UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014
U.F.R. Économie & Gestion
Licence d’Économie Finance et Gestion
L1-S1 : MATH101 : Pratique des Fonctions numériques
Notes de cours : Chapitre II : Limites
Notations : Dans tout ce chapitre, si x0est un nombre réel, on notera Ix0un voisinage de x0(c-a-d.
un intervalle ouvert contenant x0), et I∗
x0=Ix0r{x0}. Si x0= +∞, alors Ix0désigne un intervalle
ouvert du type ]γ; +∞[et si x0=−∞,Ix0est du type ]− ∞;γ[.
1 Limite d’une fonction en +∞ou −∞
1.1 Limite infinie en l’infini
Définition 1. On dit que f(x)tend vers +∞lorsque xtend vers +∞(ou que fa pour limite +∞
en +∞) si :
1. l’on peut rendre f(x)aussi grand que l’on veut pourvu que xsoit suffisamment grand.
2. tout intervalle du type [A; +∞[contient toutes les valeurs de f(x)pour xsuffisamment grand.
3. ∀A∈R+,∃a∈R,∀x∈I(x>a⇒f(x)≥A)
On note : lim
x→+∞f(x) = +∞.
Figure 1 – courbe d’une fonction de limite +∞en +∞
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J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion

1.2 Limite finie en l’infini 2
Exemples 1. de référence : Chacune des fonctions suivantes a pour limite +∞quand xtend
vers +∞:
x7→ √x;x7→ mx +psi m > 0;x7→ xn,n∈N∗;x7→ ln x,x7→ ex;
x7→ axsi a > 1;x7→ xαsi α > 0.
Exemples 2. Donner par analogie la définition :
•d’une fonction qui a pour limite −∞ en +∞
•d’une fonction qui a pour limite −∞ en −∞
•d’une fonction qui a pour limite +∞en −∞
Illustrer chacun des cas.
1.2 Limite finie en l’infini
Définition 2. On dit que f(x)tend vers `lorsque xtend vers +∞(ou que fa pour limite `en
+∞) si :
1. l’on peut rendre f(x)aussi proche de `que l’on veut, pourvu que xsoit suffisamment grand.
2. quand tout intervalle ouvert contenant `contient toutes les valeurs de f(x)pour xsuffisamment
grand.
3. ∀ε > 0,∃A∈R,∀x∈I(x>A⇒`−ε≤f(x)≤`+ε)
On note : lim
x→+∞f(x) = `
Figure 2 – courbe d’une fonction de limite `en +∞
Exemples 3. de référence :
Chacune des fonctions suivantes a pour limite 0 quand xtend vers +∞:
x7→ 1
√x;x7→ 1
x;x7→ 1 xn,n∈N∗;x7→ xαsi α < 0;x7→ axsi 0<a<1.
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2 Limite d’une fonction en un réel x0
Soit x0un réel et fune fonction définie sur un intervalle contenant x0ou sur un intervalle de
borne x0du type ou ]x0;γ[ou ]γ;x0[.
2.1 Limite infinie en x0
Définition 3. On dit que f(x)tend vers +∞lorsque xtend vers x0(ou que fa pour limite +∞
en x0)
1. si l’on peut rendre f(x)aussi grand que l’on veut pourvu que xsoit suffisamment proche de x0.
2. quand tout intervalle du type [A; +∞[contient toutes les valeurs de f(x)pour xsuffisamment
proche de x0.
3. si ∀A∈R+,∃α∈R+,∀x∈I(|x−x0|< α ⇒f(x)> A)
On note : lim
x→x0
f(x)=+∞.
Figure 3 – courbe d’une fonction de limite +∞en x=x0
Exemple 4. Montrons, en utilisant la définition, que lim
x→0
1
x2= +∞. (ici x0= 0)
Réponse : Soit A > 0, posons α=1
√A
Soit x∈R∗tel que 0<|x|<1
√A, alors 1
|x|>√A > 0donc 1 |x|2> A (la fonction « x7→ x2»
est strictement croissante sur R+) c-a-d. 1
x2> A, car |x|2=x2.
Cette démarche étant valable pour tout A > 0, on a donc lim
x→0
1
x2= +∞.
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2.2 Limite finie en x04
2.2 Limite finie en x0
Définition 4. Soit `un réel : on dit que f(x)tend vers `lorsque xtend vers x0(ou que fa pour
limite len x0)
1. si l’on peut rendre f(x)aussi proche de `que l’on veut pourvu que xsoit suffisamment proche
de x0.
2. quand tout intervalle ouvert contenant `contient toutes les valeurs de f(x)pour xsuffisamment
proche de x0.
3. si ∀ε∈R+,∃α∈R+,∀x∈I(|x−x0|< α ⇒ |f(x)−`| ≤ ε)
Remarque : Une fonction peut posséder une limite en x0, même si elle n’est pas définie en x0.
Cependant, si fadmet une limite en x0ET si fest définie en x0, alors, on a nécessairement (avec
cette définition ...) lim
x→x0
f(x) = f(x0)(voir chapitre « continuité »).
Théorème 1. Si fadmet une limite en x0(réel ou infini), alors cette limite est unique.
Admis 
Théorème 2. Soir fune fonction qui est la somme, le produit, le quotient ou la composée (voir plus
loin) des fonctions de référence suivantes :
– des fonctions polynômes.
– de la fonction « valeur absolue ».
– de la fonction « racine carrée ».
– de la fonction « logarithme népérien ».
– des fonctions exponentielles de base a > 0.
– des fonctions puissances.
Si fest définie en x0∈ Df, alors fadmet une limite en x0et cette limite est f(x0):
lim
x→x0
f(x) = f(x0)
Exemples 5. 1. lim
x→3
x2−2x−1
√2x2−4x−2= 1 2. lim
x→4ln 
sx+ 5
x2−7
= 0
2.3 Limite à droite / à gauche
Exemple 6. la fonction « partie entière »
Définition 5. Soit xun réel, il existe un unique entier (relatif) ntel que n≤x<n+ 1. Cet entier
est appelé « partie entière » de x. On le note E(x).
La fonction « partie entière », notée E, définie sur R, associe à chaque réel sa partie entière.
Exemples 7. E(π)=3 et E(−4,35) = −5.
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2.3 Limite à droite / à gauche 5
Illustration :
Figure 4 – Courbe de la fonction « partie entière »
Etude de la limite en x0= 0
Peut-on avoir `= 0 ? Non car si −1<x<0, E(x) = −1donc E(x)ne peut être aussi proche que
l’on veut de 0.
Peut-on avoir `=−1? non car si 0<x<1, E(x)=0donc E(x)ne peut être aussi proche que
l’on veut de −1.
Enfin aucune autre valeur réelle ne peut être la limite de la fonction E en 0.
Par contre, si l’on distingue la limite à droite de 0(c-a-d. lorsque x > 0) de la limite à gauche de
0, on peut dire que la fonction « partie entière » a pour limite 0(respectivement −1).
Définition 6. ATTENTION ! ici, l’étude des limites se fait sur des intervalles ouverts : Soit f
une fonction définie à gauche de x0(c-a-d. il existe un intervalle ]x0−γ;x0[⊂ Dfavec γ > 0)
(respectivement à droite de x0(c-a-d. il existe un intervalle ]x0;x0+γ[⊂ Df). On dit que fa pour
limite `à gauche de x0(respectivement à droite de x0) :
1. quand tout intervalle ouvert contenant `contient toutes les valeurs de f(x)pour xsuffisamment
proche de x0et x < x0(respectivement et x>x0)
2. la restriction de fà]x0−γ;x0[(resp. ]x0;x0+γ[) admet `pour limite
3. si ∀ε∈R+,∃α∈R+,(x0−α < x < x0⇒ |f(x)−`| ≤ ε)
respectivement si ∀ε∈R+,∃α∈R+,(x0< x < x0+α⇒ |f(x)−`| ≤ ε)
On note : lim
x→x−
0
f(x) = `ou lim
x→x0
x<x0
f(x) = `(respectivement lim
x→x+
0
f(x) = `ou lim
x→x0
x>x0
f(x) = `).
Théorème 3. Soit fune fonction définie sur un voisinage épointé de x0, noté I∗
x0(c-a-d. fn’est
pas définie en x0). On a l’équivalence
lim
x→x0
f(x) = `⇐⇒ lim
x→x0
x<x0
f(x) = `= lim
x→x0
x>x0
f(x)
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