Université de Rennes 1 TOPOLOGIE GÉNÉRALE QCM1 (30

Université de Rennes 1 TOPOLOGIE GÉNÉRALE
QCM1 (30 minutes)
Nom : Prénom :
Pour chaque question entourer l’unique bonne réponse.
Exercice 1 : (Total 10 points, bonne réponse 2.5points, mauvaise réponse −1point)
a) Lequel de ces ensembles n’est pas un fermé de 2muni de la topologie induite par la norme
euclidienne ?
1) {(x, y)∈2|x=ey}.
2) ]0,1] × {0}∪{0} × .
3) [0,1] × {0,1}.
4) {(x, y)∈2|y < sin(x)}.
b) En notant (x, y, z)les coordonnées dans la base canonique de 3, laquelle de ces fonctions définit
une norme sur 3?
1) N(x, y, z) = |x−y+z|.
2) N(x, y, z) = |x|+py2+z2.
3) N(x, y, z) = x2+ (x−y)2+ (y−z)2.
4) N(x, y, z) = max{x, y, z}.
c) Soit τ1une topologie sur ∗
+et τ2une topologie sur [−1,1]. On pose
f:∗
+→[−1,1]
x7→ sin(1
x).
Dans quel cas fn’est pas continue ?
1) τ1est la topologie induite par la valeur absolue sur ∗
+et τ2est la topologie induite par la
valeur absolue sur [−1,1].
2) τ1est la topologie discrète sur ∗
+et τ2est la topologie induite par la valeur absolue sur
[−1,1].
3) τ1est la topologie grossière sur ∗
+et τ2est la topologie grossière sur [−1,1].
4) τ1est la topologie induite par la valeur absolue sur ∗
+et τ2est la topologie discrète sur
[−1,1].
d) Laquelle de ces fonctions ne définit pas une distance sur ?
1) d(x, y) = |x−y|1
3.
2) d(x, y)=1si x6=yet d(x, y) = 0 sinon.
3) d(x, y) = e−|x−y|.
4) d(x, y) = |x−y|
1+|x−y|.
Exercice 2 : Vrai / Faux (Total 10 points, bonne réponse 2points, mauvaise réponse −1point)
a) On munit de la topologie issue de la valeur absolue. Si Aet Bsont deux parties de munies
des topologies τAet τBinduites par , alors A∩Best fermé dans Asi et seulement si A∩B
est fermé dans B.
OUI - NON

b) Si Aest un ouvert d’un espace topologique (E, τ )alors ∀B⊂E, A ∩B⊂A∩B.
OUI - NON
c) Si (E, d)est un espace métrique et x∈Ealors l’adhérence de la boule ouverte de centre xet
de rayon 1est égale à la boule fermée de centre xet de rayon 1.
OUI - NON
d) On munit de la topologie induite par le module. Si A⊂alors ∂A =∂(Ac).
OUI - NON
e) Pour toute partie Ad’un espace topologique (E, τ ), on a ∂A =∂A.
OUI - NON
Bonus : (2bonnes réponses 1point, sinon 0point)
a) Soient (X, τx)et (Y, τy)deux espaces topologiques. On dit que les espaces topologiques (X, τx)
et (Y, τy)sont homéomorphes s’il existe une bijection hde Xsur Yqui est bicontinue (c’est
à dire continue et d’inverse continu). Alors les ensembles Xet Ysont homéomorphes si et
seulement si il existe f:X→Yet g:Y→Xcontinues et injectives.
OUI - NON
b) Si tous les points d’un espace topologique sont fermés alors il est séparé.
OUI - NON