Corrigé du QCM2 1. Dans un espace métrique (X, d), l`adhérence de

Corrigé du QCM2
Dans un espace métrique (X, d), l'adhérence de la boule unité ouverte est
la boule unité fermée.
1.
La réponse est non. Contre-exemple. Soit X = {0, 1} muni de la distance d
induite par R, dénie en posant d(0, 1) = 1. La boule ouverte centrée en 0 et
de rayon 1, notée B(0, 1[ est le sigleton {0}. Son adhérence, c'est toujours
{0} car la topologie induite est discrète (le point {0} est à la fois ouvert et
fermé dans X ). Par contre, la boule fermée centrée en 0 et de rayon 1, notée
B(0, 1], c'est X tout entier !
2.
L'intérieur d'une partie A est voisinage de chacun de ses points :
2
2
oui
non
La réponse est oui. L'intérieur d'une partie A est par dénition un ouvert
(c'est le plus grand ouvert contenu dans A). Appliquer alors la Proposition
1.2.13 du cours.
On munit R de sa topologie usuelle et Z de la topologie
induite par celle
2 oui
de R. Alors, toute application f : Z −→ R est continue :
2 non
3.
La réponse est oui. Par dénition, la fonction f est continue ssi l'image
réciproque de tout ouvert O est un ouvert. Soit donc O un ouvert. On
considère l'ensemble f −1 (O). Comme la topologie induite par celle de R sur
Z est la topologie discrète (toute partie de Z est à la fois ouverte et fermée),
on a bien que f −1 (O) est un ouvert.
4. Soient (X, d) un espace topologique et A une partie de X . Alors
:
2 la frontière de A est contenue dans l'adhérence Ē de E := X \ A
2 la frontière de A est fermée pour la topologie induite par (X, d) sur Ē
Deux fois oui. Le premier
notée F r(A) car :
oui
vient de la dénition de la frontière de A,
F r(A) = Ā ∩ Ē ⊂ Ē
où l'on voit aussi que F r(A) peut être réalisé comme l'intersection du fermé
Ā de X et de Ē (ce qui implique que c'est fermé dans Ē ).