Université dMEl#Oued 2#%# année Master Mathématiques Institut

2eme année Master Mathématiques
Module: Topologie générale et applications
Par : Habita Khaled. 2013-14
Université d’El-Oued
Institut de technologie
Département de Maths et Informatiques
Série d’exercices n 1
Exercice n 1: (Topologie induite par une distance)
1) Soit (E; d) un espace métrique, on pose :
d
Montrer que
d
=f
E : 8x 2 ; 9rx > 0 telle que B(x; rx )
g:
dé…nie une topologie sur E, on l’appelle la topologie induite par d:
2) Soit (E; d) un espace métrique et d la topologie induite par d:
0
Montrer que si k 2 R+ et d = kd alors d = d0 :
3) Soit (E; ) un espace topologique. On dit que est métrisable s’il existe une distance d
sur E telle que : d = : Montrer que si CardE > 2 alors f?; Eg est non métrisable.
Exercice n 2: (Topologie image reciproque)
Soit E; F deux ensembes, (F; ) un espace topologique et f : E ! F une application.
1) Montrer que
f 1( ) = f 1( ) : 2
;
est une topologie sur E, on l’appelle la topologie image réciproque, de
2) Dé…nir tous les férmés de f 1 ( ) en fonction des férmés de :
par f; sur F:
Exercice n 3: (Caractérisation de la topologie discrète)
Soit (E; ) un espace topologique.
1) Montrer que :
= P (E) ( est la topologie discrète) () 8x 2 E : fxg 2 :
2) Determiner la topologie Z sur Z induite par la topologie naturelle R de R:
Exercice n 4: (espace topologique séparé)
Soit (E; ) un espace topologique.
On pose Vf [x] l’ensemble de toutes les voisinages fermées
de x 2 E:
T
1) Montrer que :
est séparée () 8x 2 E;
v = fxg :
v2Vf [x]
On appelle diagonale de E E l’ensemble D = f(x; x) : x 2 Eg :
2) Véri…er que
une topologie sur E E:
3) Montrer que :
est séparée () D est fermée dans (E E;
1
):