Université dMEl#Oued 2#%# année Master Mathématiques Institut

Université d’El-Oued 2eme année Master Mathématiques
Institut de technologie Module: Topologie générale et applications
Département de Maths et Informatiques Par : Habita Khaled. 2013-14
Série d’exercices n1
Exercice n1:(Topologie induite par une distance)
1) Soit (E; d)un espace métrique, on pose :
d=fE:8x2; 9rx>0telle que B(x; rx)g:
Montrer que ddé…nie une topologie sur E, on l’appelle la topologie induite par d:
2) Soit (E; d)un espace métrique et dla topologie induite par d:
Montrer que si k2R
+et d0=kd alors d=d0:
3) Soit (E; )un espace topologique. On dit que est métrisable s’il existe une distance d
sur Etelle que : d= : Montrer que si CardE >2alors f?; Egest non métrisable.
Exercice n2: (Topologie image reciproque)
Soit E; F deux ensembes, (F;  )un espace topologique et f:E! Fune application.
1) Montrer que
f1() = f1() : 2;
est une topologie sur E, on l’appelle la topologie image réciproque, de par f; sur F:
2) Dé…nir tous les férmés de f1()en fonction des férmés de  :
Exercice n3:(Caractérisation de la topologie discrète)
Soit (E;  )un espace topologique.
1) Montrer que : =P(E)(est la topologie discrète) () 8x2E:fxg 2  :
2) Determiner la topologie Zsur Zinduite par la topologie naturelle Rde R:
Exercice n4:(espace topologique séparé)
Soit (E;  )un espace topologique.
On pose Vf[x]l’ensemble de toutes les voisinages fermées de x2E:
1) Montrer que : est séparée () 8x2E; T
v2Vf[x]
v=fxg:
On appelle diagonale de EEl’ensemble D=f(x; x) : x2Eg:
2) Véri…er que une topologie sur EE:
3) Montrer que : est séparée () Dest fermée dans (EE;  ):
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