Microsoft PowerPoint - Changement r\351f

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Clemenceau
PCSI 1 - Physique
PCSI 1 (O.Granier)
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Changements de
référentiels - référentiels
non galiléens
(mécanique du point matériel)
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PCSI 1 - Physique
- A Cinématique
Changements de référentiels
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PCSI 1 - Physique
I – Relativité du référentiel :
Le mouvement d’un mobile diffère selon le référentiel d’étude (relativité du
mouvement).
Problématique :
On connaît le mouvement d’un point matériel dans un référentiel (R).
Quelle est la nature de ce mouvement, étudié dans un référentiel (R’) en
mouvement par rapport à (R) (trajectoire, vitesse et accélération) ?
Exemple :
Quelle est l’allure du mouvement de la Lune par rapport au Soleil ?
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PCSI 1 - Physique
z’
1 - Notations utilisées :
M
z
r
r = OM
rO
ux
(R),
r
v( R )
y’
r
u' z
O’
r
uz r
uy
(R)
x
r
r ' = OM '
r
u' x
y
r r r
O, (u x , u y , u z )
x’
(R’),
r
u'y
(R’)
r r r
O’,(u ' x , u ' y , u ' z ) ,
,
r
r
r
r
r
'
=
O
'
M
=
x
'
u
'
+
y
'
u
'
+
z
'
u
'z
r
r
r
r
x
y
r = OM = xu x + yu y + zu z
r
r
r
r
r
r  dr ' 
r
r  dv ' 
r  dr  r
r  dv  v ' ( R ' ) = v ' = 
 ; a ' ( R ') = a ' = 

= v =   ; a( R ) = a =  
 dt  R '
 dt  R '
 dt  R
 dt  R
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2 - Relations entre v et v’ (composition des vitesses) :
r
r = OM = OO' + O' M
r
r  d OM
(v ) R = v =
 dt


 d OO ' 
 d O' M
 +
 =

 dt 
 dt
R 
R 
L’indice (R) signifie que la vitesse v est exprimée
référentiel (R), pour lequel les vecteurs
r r de rbase
constants, mais pas les vecteurs (u ' x , u ' y , u ' z ) ,
cours du temps. Ainsi :
r  d OM
v=
 dt


 d O' M
 mais 
 dt

R




R
par
au
r rrapport
r
(u x , u y , u z ) sont
qui varient au

 d O' M
r
 ≠ v'= 

 dt
R




 R'
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En effet, si on explicite :

 = d x ' ur ' + y ' ur ' + z ' ur '
x
y
z R

dt
R
r
r
r
du ' y
 du ' x
r
r
r
du ' z
= x& ' u ' x + y& ' u ' y + z& ' u ' z +  x'
+ y'
+ z'
dt
dt
 dt
r
r
r
du ' y
r  du ' x
du ' z 


= v '+ x'
+ y'
+ z'

dt
dt
dt






r
r
r
d
u
'

r
r
r
du ' x
du ' z
y

v ( M ) = v ' ( M ) + v (O' ) +  x'
+ y'
+ z'
dt
dt
 dt




 d O' M

 dt

 d O' M

 dt




R
 d O' M

 dt




R
Finalement :
(
(
)
)
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Interprétation :
r
r
r
d
u
'

r
r
r
du ' x
du ' z
y

v ( M ) = v ' ( M ) + v (O' ) +  x'
+ y'
+ z'
dt
dt
 dt
Vitesse de M Vitesse de M
dans (R’)
dans (R)
r
r
r
v ( M ) = v ' ( M ) + ve




Vitesse d’entraînement
(Loi de composition
des vitesses)
Point coïncident : on appelle point coïncident le point P de (R’), immobile dans
ce référentiel, qui coïncide à l’instant t avec le point matériel M.
La vitesse d’entraînement ve est la vitesse du point coïncident dans (R).
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3 - Relations entre a et a’ (composition des accélérations) :
La formule de composition des accélérations dans le cas général est
compliquée et hors programme.
Dans la suite, on se limitera à deux types de mouvements d’entraînement
du référentiel (R’) par rapport au référentiel (R) :
* Un mouvement de translation
* Un mouvement de rotation autour d’un axe fixe
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II – Référentiels en translation l’un par rapport à l’autre :
Un solide est animé d’un mouvement de translation si tous ses points
possèdent à tout instant le même vecteur vitesse :
* Exemple de la main.
* Exemple de la grande roue (translation circulaire) et du
référentiel géocentrique (transparent suivant)
Les vecteurs de base du référentiel (R’) gardent donc une direction
constante ; par conséquent :
r
r
r
r
d
u
'

du ' z 
 du ' x 

y 
 =

 = 
 =0

 dt  R  dt  R  dt  R
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Référentiel géocentrique :
*** Origine : le centre d’inertie
de la Terre
(RK)
(RG)
*** Trois axes dirigés vers
trois étoiles lointaines
« fixes »
« Etoiles fixes »
(RG) a un mouvement de translation quasi-circulaire par rapport à (RK).
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Loi de composition des vitesses :
r
r
r
v ( M ) = v ' ( M ) + v (O' )
La vitesse d’entraînement est égale à la vitesse de O’ dans (R).
C’est la vitesse de translation de (R’) par rapport à (R).
Loi de composition des accélérations :
r
r
r
a ( M ) = a ' ( M ) + a (O' )
L’accélération d’entraînement est égale à l’accélération de O’ dans (R).
C’est l’accélération de translation de (R’) par rapport à (R).
r
r
Pour une translation uniforme : a ( M ) = a ' ( M )
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III – Référentiels en rotation l’un par rapport à l’autre :
Trajectoire de M
1 – Notations :
H
(Rotation autour d’un
axe fixe, noté Oz)
z =z’
M
r
r
u z r r = OM
Trajectoire du
point coïncident
r
r
r
r
r = OM = xu x + yu y + zu z
r
r
r
= x ' u ' x + y ' u ' y + zu z
(R)
x
r
ux
y’
u'y
O
r
u 'x
r
uy
y
θ
x’
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On note :
r
r r
r
θ = (u x , u ' x ) ; ω = θ& et ω = ω u z
r
ω
est appelé vecteur vitesse angulaire de rotation du référentiel (R’)
par rapport au référentiel (R).
On peut rappeler que (voir cours de cinématique) :
r
r
r
d
u
 'x 
&

 = θ u'y = ω u'y
 dt  R
;
r
 du ' y

 dt


r
r
&
 = −θ u ' x = −ω u ' x

R
2 – Loi de composition des vecteurs vitesse :
r  d OM
v=
 dt


 = d x' ur ' + y ' ur ' + zur
x
y
z

dt
R
(
)R
r
r
du ' y
r
du ' x
= v '+ x'
+ y'
dt
dt
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r  d OM 
r
r
r
&
&
Soit : v =
= v '+( x'θ u ' y − y 'θ u ' x )
 dt 

R
Or :
r
r
r
r
r
r
r
ω ∧ OM = θ& u z ∧ ( x' u ' x + y ' u ' y + zu z ) = ( x'θ&u ' y − y 'θ&u ' x )
D’où la loi de composition des vecteurs vitesse :
r r r
r r
v = v '+ω ∧ OM = v '+ve
Remarque :
avec
r
r
ve = ω ∧ OM
r
r
r
ve = ω ∧ OM = ω ∧ HM
La vitesse d’entraînement est la vitesse d’un point immobile de (R’) et qui
a donc un simple mouvement de rotation autour de l’axe (Oz) (cercle de
centre H et de rayon HP, où P = M est le point coïncident, confondu
avec M à l’instant t).
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Remarque : (dérivation et changement de référentiel)
r r r
v = v '+ω ∧ OM
soit
 d OM

 dt




 =  d OM  + ωr ∧ OM



 R  dt  R '
On peut généraliser cette formule au cas d’un vecteur
r
A
quelconque :
r
r
 dA 
 dA 
r r
  =   +ω ∧ A
 dt 
 dt 
  R   R'
C’est cette relation qui va être utilisée pour déterminer la loi de
composition des vecteurs accélération.
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3 – Loi de composition des vecteurs accélération :
En utilisant la relation précédente :
r
r
r r
r  dv 
 dv 
a =   =   +ω ∧ v
 dt  R  dt  R '
)
(
)
(
r r r
r d r r
a=
v '+ω ∧ OM R ' + ω ∧ v '+ω ∧ OM
dt
r
r
r  d OM 
r r r r
r  dv ' 
 dω 
a =
+
∧
OM
+
ω
∧
+
ω
∧ v '+ω ∧ ω ∧ OM



 dt 
 dt  R '  dt  R '

 R'
Puis :
(
Soit :
r
(
)
)
r r
r r
r r  dω

a = a '+
∧ OM + ω ∧ ω ∧ OM  + 2ω ∧ v '
 dt

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r
a
=
r
a'
r
+
(
)
r r
 dω

∧ OM + ω ∧ ω ∧ OM 

 dt

Accélération Accélération
de M dans
de M dans
(R’)
(R)
Accélération
d’entraînement de M
+
r
r
2ω ∧ v '
Accélération de
Coriolis de M
(celle du point
coïncident)
r r r r
a = a '+ ae + ac
L’accélération de Coriolis est nulle si le point M est au repos dans (R’).
Cette relation se généralise à un mouvement d’entraînement de (R’) par
rapport à (R) quelconque.
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Cas d’une rotation uniforme (ω
ω = cste) :
(
)
r r
r
ae = ω ∧ ω ∧ OM
r r r
rr r rr r
Rappel mathématique : a ∧ b ∧ c = ( a.c ) b − ( a.b ) c
r
r
r r
r
r
r
2
Par conséquent : ae = ( ω.OM ) ω − (ω.ω ) OM = ( ω.OM ) ω − ω OM
r
Soit H le projeté orthogonal de M sur l’axe (Oz) : ω.OM = ω OH
r
r
2
2
2
2
D’où : ae = (ω.OH ) ω − ω OM = ω (OH − OM ) = ω (OH + MO) = ω MH
(
Finalement :
r
ae = −ω 2 HM
)
Animation Java
Enfant sur un manège
On retrouve l’expression de l’accélération pour un mouvement circulaire
uniforme.
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- B Dynamique
Référentiels non galiléens
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I – Les « pseudo » forces d’inertie :
1 – Exemple d’une voiture accélérée :
2 – Principe fondamental dans un référentiel non galiléen :
(R) est un référentiel galiléen et (R’) un référentiel en mouvement
quelconque par rapport à (R).
Un point matériel M (m) rest soumis à des forces (« réelles ») dont la
résultante est nommée f .
On note v et a la vitesse et l’accélération de M dans (R).
On note v’ et a’ la vitesse et l’accélération de M dans (R’).
On rappelle que, dans le cas général :
r r r
v = v '+ve
r r r r
a = a '+ ae + ac
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PCSI 1 - Physique
Le PFD appliqué dans le référentiel galiléen (R) donne :
r r
ma = f
En utilisant la composition des accélérations :
On
r
r r r
r r
r
r
m(a '+ ae + ac ) = f
soit
ma ' = f + (−mae ) + (−mac )
r
r
pose :
f ie = −mae « Pseudo » force d’inertie d’entraînement
r
r
« Pseudo » force d’inertie de Coriolis
f ic = − mac
Alors :
r
r r r
ma ' = f + f ie + f ic
On peut ainsi appliquer un « pseudo » PFD dans un référentiel non
galiléen, à condition de rajouter aux forces « réelles » les « pseudo »
forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis.
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3 – Le mouvement d’entraînement est une translation :
C’est le cas par exemple d’une voiture qui accélère en ligne droite.
Alors :
r
r
ae = avoiture / route
et
r
r
ac = 0
Dans le référentiel de la voiture, le « pseudo » PFD devient :
r r
r
ma ' = f − mavoiture / route
Si la résultante des forces est nulle :
r
r
a ' = −avoiture / route
Si la voiture freine : le passager est projeté vers le pare-brise.
Si la voiture accélère : le passager est collé au siège.
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4 – Le mouvement d’entraînement est une rotation autour d’un axe fixe :
H
r
r
r r
 dω

f ie = −m 
∧ OM + ω ∧ ω ∧ OM 
 dt

M
r
ux
(R)
x
r
r r
f ic = − 2mω ∧ v '
r
r = OM
r
uz
O
r
u 'x
)
(
z =z’
r
u'y
y’
r
uy
y
Pour un mouvement de rotation
uniforme :
r
f ie = + mω 2 HM
θ
x’
Animation
Java
C’est la force centrifuge !
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II – Exemples d’applications :
1 – Ascenseur et poids apparent (ex n°4) :
z
r
r
g = −g u y
rAscenseur
R
O
r r r
r
r
ma ' = 0 = R + mg + (− mae )
Soit, en introduisant la notion de « poids
apparent », Papp :
r
r
ae = ae u y
r
uy
L’équilibre « relatif », dans le référentiel
de l’ascenseur s’écrit :
r
mg
Pèse personne
r
Papp
r
r
Papp = − R
r r
r
= m( g − a e ) = − m( g + a e ) u y
Remarque : g est en valeur absolue (g > 0) alors
que ae est en valeur algébrique (> ou < 0).
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II – Exemples d’applications :
2 – Ressort sur un plateau de manège tournant :
Notations :
z
La vitesse de rotation est constante.
r
A t = 0, la longueur du ressort est l .
ω
0
y’
O
x
r
TM
r
mg
r
R
r
f ie
y
Le point M se déplace sans frottement
sur l’axe (Ox’). A t = 0, (Ox’) était
confondu avec (Ox) et M était immobile
par rapport au manège, avec x’ = L.
Etudier, selon les valeurs de ω et k
(constante du ressort) la nature du
mouvement du point M.
x’
(R) : réf terrestre galiléen ; (R’) : réf lié au plateau (non galiléen)
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z
r
ω
y’
O
x
r
rTM
f ic r
mg
r
R
r
f ie
x’
m&x&' = −k ( x'−l 0 ) + mω 2 x'
0 = −2mω x& '+ R' y
y
r
r r
r r r
ma ' = R + mg + T + f ie + f ic
r
r
r
r
a ' = &x&' u ' x ; v ' = x& ' u ' x
r
r
T = −k ( x'−l 0 ) u ' x
r
r
mg = −mg u z
r
2 r
f ie = mω x' u ' x
r
r r
r
f ic = −2mω ∧ v ' = −2mωx& ' u ' y
r
r
r
R = R' y u ' y + Rz u z
( Pas de frottement : R' x = 0)
0 = −mg + Rz
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Equation du mouvement :
m&x&'+(k − mω 2 ) x' = kl 0
On pose :
ω0 =
Alors :
k
m
(Pulsation propre du
système masse-ressort)
&x&'+(ω02 − ω 2 ) x' = ω02 l 0
2
ω02
ω
0
 ω2 −ω2 t +
l
)
cos
l0
Si ω0 > ω : x' = ( L − 2


0
2 0
2
2

 ω0 − ω
ω0 − ω
2
ω02
ω
 ω2 −ω2 t +
0
l
)
l0
Si ω0 < ω : x' = ( L − 2
ch


0
2 0
2
2

 ω − ω0
ω − ω0
Réaction du plateau :
R' y = 2mω x& ' ≠ 0 !
;
Rz = mg
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PCSI 1 - Physique
II – Exemples d’applications :
3 – Tige tournant à vitesse angulaire constante (ex n°5) :
H
r
R
r
f ic
r
ω
z
r
uz
O
Tige
La tige est dans le plan (Ox’z).
Dans le référentiel (R’) lié à la
tige :
r
r f ie
M
α
r
ur
mg
r
r
r
m&r& u r = − mg u z + R
y’
y
(R)
On projette sur l’axe de la tige :
m&r& = − mg cos α + ( m ω 2 sin 2 α ) r
θ = ωt
x
r
r
&
+ m ω HM − 2 m ω ∧ ( r u r )
2
(R’)
x’
&r& − (ω sin α ) 2 r = − g cos α
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PCSI 1 - Physique
La solution générale de cette équation différentielle est de la forme :
r = Ae (ω sin α ) t + Be −(ω sin α ) t +
g cos α
(ω sin α ) 2
Compte tenu des CI :

g cos α 
g cos α

r =  r0 −
ch(ω sin α t ) +
2 
2
(
sin
)
(
ω
sin
α
)
ω
α


3 cas sont à considérer :
r0 >
r0 <
r0 =
g cos α
(ω sin α )
g cos α
2
: M grimpe le long de la tige.
(ω sin α )
g cos α
2
: M tombe en 0.
(ω sin α )
2
: position d ' équilibre instable de M .
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PCSI 1 - Physique
Résolution par la conservation de l’énergie mécanique
Définition de l’énergie potentielle centrifuge : la force d’inertie centrifuge
s’écrit :
r
r
2
2
f ie = mω HM = mω ρ u ρ
Elle dérive de l’énergie potentielle centrifuge telle que (en coordonnées
cylindriques) :
r
dE p ,ie r
r
f ie = −
u ρ = mω 2 ρ u ρ
dρ
Par conséquent (à une constante près) :
1
E p,ie = − mω 2 ρ 2
2
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PCSI 1 - Physique
La force de Coriolis, perpendiculaire à la vitesse (donc au déplacement) ne
travaille pas. La masse m constitue donc, dans (R’), un système conservatif
dont l’énergie mécanique, constante, s’écrit :
Em =
1 2
1
mr& + mgr cos α − mω 2 (r sin α ) 2
2
2
Par dérivation temporelle :
dEm
= mr&&r& + mgr& cos α − m(ω sin α ) 2 rr& = 0
dt
Soit :
&r& + g cos α − (ω sin α ) 2 r = 0
&r& − (ω sin α ) 2 r = − g cos α
On retrouve l’équation différentielle obtenue en utilisant le pseudo-PFD
dans (R’).
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PCSI 1 - Physique
- C Dynamique
Caractère galiléen approché de
quelques référentiels
d’utilisation courante
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I – Le référentiel terrestre :
O : Nantes
1 – Définitions et notations :
N
H
r
Ω
y
O
Ox : dirigé vers l’Est et
tangent au parallèle du lieu.
z
x
λ
C
(E)
Oy : dirigé vers le Nord et
tangent au méridien du lieu.
Oz : dirigé selon le rayon
terrestre CO et dirigé vers
l’extérieur de la Terre.
 π π
λ : latitude du lieu, ∈ − , 
 2 2
Ω: vitesse angulaire de la
Terre autour de l’axe NS :
r
r
r
Ω = Ω(cos λ u y + sin λ u z )
Ω ≈ 7,3.10 −5 rad .s −1
S
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PCSI 1 - Physique
I – Le référentiel terrestre :
2- Le poids d’un corps :
O
H
r
g0
r
Ω
λ
C
Ω 2 HO
α
r
g
Immobilité relative d’une personne
située sur un pèse –personne en O :
r r
mM T r
2
−G
u z + mΩ HO + R = 0
2
RT
Comme dans rl’exemple
r de rl’ascenseur,
on définit : Papp = P = − R
r
mM T r
2
P = −G
u
+
m
Ω
HO
z
2
r RT r
En posant P = mg , il vient :
r
r
M r
g = −G 2T u z + Ω 2 HO = g 0 + Ω 2 HO
RT
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PCSI 1 - Physique
g est appelée accélération de la pesanteur et comprend deux termes :
* le terme gravitationnel g0 (prépondérant)
* le terme centrifuge Ω2OH (faible)
La direction du fil à plomb (la verticale du lieu, donnée par la direction du
poids mg) n’est pas confondue avec le rayon terrestre CO (écart d’un angle
α).
Quelques valeurs numériques :
g0 =
GM T
RT2
= 9,81 m.s −2 = g Pôles
(Ω 2 HO ) max = Ω 2 RT ≈ 3,4.10 −2 m.s −2 (à l ' équateur )
g 0 − g équateur
g0
≈ 3,4.10 −3 = 0,34%
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Evaluation de l’angle d’inclinaison α :
2
Ω HO
O
H
r
g0
α
r
g
r
Ω
λ
Ω 2 HO
sin α
Ω 2 HO
=
sin λ
g
sin λ 2
sin α =
Ω HO
g
sin α ≈ α ; g ≈ g 0 ; HO = RT cos λ
Ω 2 RT
sin λ 2
α≈
Ω RT cos λ =
sin 2λ
g0
2g0
C
AN :
α max ≈ 0,0017 rad = 0,1°
( Pour λ = 45°)
Quelle devrait la vitesse de rotation de la Terre pour être en état
d’apesanteur ?
Olivier GRANIER
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PCSI 1 - Physique
I – Le référentiel terrestre :
3 – Effets de la force de Coriolis :
* Déplacements parallèles au sol : un mobile se déplace selon un méridien
ou un parallèle.
La force de Coriolis est toujours dirigée vers la droite dans le sens du
mouvement (dans l’hémisphère Nord) et vers la gauche dans le sens du
mouvement (dans l’hémisphère Sud).
On le montre à partir de la définition de la force de Coriolis :
r
r r
f ic = − 2mΩ ∧ v '
Dans l’hémisphère Nord :
* La rive droite des fleuves est souvent plus érodée que la rive gauche
* Les rails de chemin de fer sont davantage usés à droite.
Olivier GRANIER
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PCSI 1 - Physique
* Enroulement des dépressions et des anticyclones :
Basse
pression
Haute
pression
Dans l’hémisphère
Nord
Animation Cabri
Olivier GRANIER
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PCSI 1 - Physique
Exercice : (deux trains qui se croisent)
Deux trains identiques, de masse m = 10 t (et assimilés à
des points matériels), animés d'un mouvement uniforme (de
vitesse égale à v = 144 km.h-1) le long d'un parallèle (situé
à la latitude λ = 45°), se croisent.
Calculer la différence des forces de réaction sur les rails
du train qui se dirige vers l'Est et de celui qui se dirige
vers l'Ouest.
Olivier GRANIER
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PCSI 1 - Physique
Chute libre verticale : un mobile se trouve à l’instant t = 0 sur l’axe (Oz) à
une hauteur h. On le lâche sans vitesse initiale (pas de frottements).
Dans l’hypothèse où le référentiel terrestre est galiléen, la chute libre est
verticale et on peut écrire :
v z = − g 0t ; z = −
1
g 0t 2 + h
2
La prise en compte de la force de Coriolis entraîne une légère déviation
vers l’Est (force dirigée selon les x > 0) :
r
r
r
r
r
r
f ie = −2mΩ ∧ v z u z = −2mΩ(cos λ u y + sin λ u z ) ∧ v z u z
r
r
r
f ie = −2mv z Ω cos λ u x = (2mg 0 Ω cos λ ) t u x
Ordre de grandeur de la déviation observée :
h = 100 m ; λ = 45° alors x = 1,5 cm
Olivier GRANIER
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PCSI 1 - Physique
II – Le référentiel géocentrique :
1 – Définitions et notations :
*** Origine : le centre d’inertie
de la Terre
S
*** Trois axes dirigés vers
trois étoiles lointaines
« fixes »
(RK)
T
(RG)
« Etoiles fixes »
(RG) a un mouvement de translation quasi-circulaire par rapport au
référentiel de Kepler (RK). La période est de 365,25 jours (année
sidérale).
(RG) n’est pas, en toute rigueur, galiléen.
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PCSI 1 - Physique
II – Le référentiel géocentrique :
2 – Accélération d’entraînement de (RG) par rapport à (RK) :
Le théorème du centre d’inertie, appliqué à la Terre, donne :
r
GM T M S
GM T M L
M T aT = −
ST −
LT
3
3
TS
TL
r
GM S
GM L
aT = −
ST
−
LT
3
3
TS
TL
aT représente l’accélération d’entraînement du référentiel (RG) dans son
mouvement de translation quasi circulaire autour de (RK).
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PCSI 1 - Physique
II – Le référentiel géocentrique :
3 – Le champ des marées :
On considère un point matériel M (m). L’étude de son mouvement est faîte
dans (RG), considéré comme non galiléen (M peut être une particule d’eau
d’un océan, par exemple).
M est soumis aux forces suivantes :
• Les forces gravitationnelles exercées par la Terre, le Soleil, la Lune
(éventuellement les autres planètes …).
• Des forces appliquées F (électriques, magnétiques, réaction, …)
• La force d’inertie d’entraînement, fie = - maT (la force de Coriolis est
nulle car (RG) est en translation par rapport à (RK)).
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Le PFD appliqué dans (RG) donne :
r
r
GmM S
GmM T
 GmM L
 r
ma ( M ) = −
TM +  −
LM −
SM  + F − maT
3
3
3
TM
ML
MS


En remplaçant aT par son expression précédente :
r
GmM S
GmM T
 GmM L
 r
ma ( M ) = −
TM +  −
LM −
SM  + F
3
3
3
TM
ML
MS


GM S
 GM L

− m −
LT −
ST 
3
3
TS
 TL

r
GM S
GmM T
GM L
 GM S
 r
 GM L

ma = −
TM + m −
LM +
LT  + m −
SM +
ST  + F
3
3
3
3
3
TM
TL
TS
 ML

 MS

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PCSI 1 - Physique
r
GM S
GmM T
GM L
 GM S

 GM L

ma = −
TM
+
m
−
LM
+
LT
+
m
−
SM
+
ST




3
3
3
3
3
TM
TL
TS
 ML

 MS

r
+F
Champ
gravitationnel
terrestre au
point M
Différence des
champs
gravitationnels (dus
à la Lune) aux
points M et T
(centre de la
Terre).
Différence des
champs
gravitationnels (dus
au Soleil) aux points
M et T (centre de la
Terre).
Autres forces
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PCSI 1 - Physique
r
GM L
 GM L
 r
LM +
LT  = G L ( M ) − G L (T )
ϕL =  −
3
3
TL
 ML

r
r
GM S
 GM S
 r
ϕS =  −
SM +
ST  = GS ( M ) − GS (T )
3
3
TS
 MS

r
ϕL et ϕS sont appelés « champs des marées ».
Ce sont des termes différentiels qui, lorsqu’ils sont négligés, conduisent
à considérer le référentiel géocentrique comme étant galiléen.
Nous allons voir que ces champs permettent d’expliquer qualitativement
le phénomène des marées océaniques.
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PCSI 1 - Physique
II – Le référentiel géocentrique :
4 – Les marées océaniques :
Hypothèses (théorie statique des marées) :
• Pas de rotation propre de la Terre.
• La Terre serait, en l’absence de phénomène
des marées, recouverte uniformément d’eau au
repos dans (RG).
• On prend en compte l’effet de la Lune et du
Soleil (« champs des marées »).
Animation Cabri 1
Animation Cabri 2
On considère tout d’abord l’influence de la Lune.
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PCSI 1 - Physique
RT
Animation Cabri 1
Terre
Animation Cabri 2
A
B
r
ϕ L (B)
Lune
r
T
L
ϕ L ( A)
TL
ML
M
ϕ L ( A) = ϕ L ( B) = 2GM T 3 RT = 2 g 0 L
MT
TL
3
 RT 

 = 1,1.10 −7 g 0
 TL 
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PCSI 1 - Physique
Le champ des marées dû au Soleil vaut, aux mêmes points A et B :
MS
MS
ϕ S ( A) = ϕ S ( B) = 2GM T 3 RT = 2 g 0
MT
TS
3
 RT 

 = 5,1.10 −8 g 0
 TS 
On constate que :
ϕ L ( A)
= 2,2
ϕ S ( A)
Les contributions de la Lune et du Soleil sont du même ordre de
grandeur.
Animation Cabri 1
Animation Cabri 2
Prendre en compte de la rotation propre de la Terre et d’autres
choses plus compliquées !
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