CORRIGÉ Vision 5

CORRIGÉ
9001, boul. Louis-H.-La Fontaine, Anjou (Québec) Canada H1J 2C5
Téléphone: 514-351-6010 • Télécopieur: 514-351-3534
PR VE
O RS
VI IO
SO N
IR
E
Vision 5
table des matières
VISION 5 Les fonctions trigonométriques
SAÉ 9 : La semeuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SAÉ 10 : Le plan incliné ajustable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Révision 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Section 5.1 : Le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Section 5.2 : Les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Section 5.3 : La résolution d’équations et d’inéquations trigonométriques
Section 5.4 : Les identités trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chronique du passé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le monde du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vue d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Banque de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
30
31
32
36
40
43
50
50
51
54
5
9
sAÉ
Les fonctions trigonométriques
La semeuse
Page 164
Voici un exemple de démarche pour les semences d’asperges, qui peut permettre
aux élèves de répondre à la tâche.
Semence
Asperge
Brocoli
Citrouille
Concombre
Melon
Poireau
Tomates
10
sAÉ
Diamètre du mécanisme
circulaire (cm)
Règle, où H représente la hauteur (en cm)
par rapport au sol et x, le temps (en min)
60
⬇ 19,1
π
60
⬇ 19,1
π
200
⬇ 63,66
π
25
⬇ 7,96
π
30
⬇ 9,55
π
15
⬇ 4,77
π
50
⬇ 15,92
π
H (x ) ⬇ 9,55 sin 3π
x ⫹ 7,05
5
H (x ) ⬇ 9,55 sin 3π
x ⫹ 8,95
5
H (x ) ⬇ 31,83 sin 2πx ⫹ 29,33
• Calcul du diamètre du mécanisme
circulaire.
C ⫽ πd
60
C ⫽ 60 cm, donc d ⫽ π cm
• Recherche de la règle de
la fonction sinusoïdale.
60
A ⫽ π cm ⫼ 2
30
A ⫽ π cm ⬇ 9,55 et A ⫽ |a |,
donc a ⬇ 9,55
200 cm/min ⫼ 60 cm/tour ⫽
10
tour/min
3
H (x ) ⬇ 3,98 sin π4 x ⫹ 1,48
H (x ) ⬇ 4,77 sin 3π
x ⫹ 2,27
10
H (x ) ⬇ 2,39 sin 3π
x ⫹ 1,39
20
H (x ) ⬇ 7,96 sin π2 x ⫹ 7,36
2π
2π
P ⫽ |b| donc b ⫽ 10
ᎏ
3
3π
b⫽ 5
30
h ⫽ 0 k ⫽ π cm ⫺ 2,5 cm
3π
H (x ) ⬇ 9,55 sin 5 x ⫹ 7,05
Le plan incliné ajustable
Page 165
Voici un exemple de démarche qui peut permettre aux élèves de produire la partie du manuel demandée.
Pour calculer la longueur du vérin AG, on doit calculer le cosinus de l’angle DAF. Pour calculer la longueur du vérin DG,
on doit calculer le sinus de l’angle DAF.
Puisque. Δ ACD ⬃ Δ ADG par la condition minimale de similitude AA, et que ∠ ACD ⬵ ∠ DAG, la mesure de la tige
1
d’acier AC s’obtient ainsi : m AC
苶 ⫽ sin DAG ⫽ cosec DAG
1
苶 ⫽ cos DAG ⫽ sec DAG.
La mesure de la tige d’acier AE s’obtient ainsi : m AE
苶 ⫽ 兹(m AC )2 ⫹ (m AE )2
Puisque Δ ACE est rectangle en A, la mesure de la tige d’acier CE, s’obtient ainsi : m CE
Angle
Angle DAF Angle DAF
d’inclinaison
(°)
(rad)
du plan (°)
30
80
10
70
20
60
30
50
40
40
50
30
60
20
70
10
80
π
18
π
9
π
6
2π
9
5π
18
π
3
7π
18
4π
9
Vérin AG
(m)
Vérin DG
(m)
Tige AE
(m)
Tige AC
(m)
Plan CE
(m)
0,9848
0,1736
1,0154
5,7588
5,8476
0,9397
0,3420
1,0642
2,9238
3,1114
0,8660
0,5
1,1547
2
2,3094
0,7660
0,6428
1,3054
1,5557
2,0309
0,6428
0,7660
1,5557
1,3054
2,0309
0,5
0,8660
2
1,1547
2,3094
0,3420
0,9397
2,9238
1,0642
3,1114
0,1736
0,9848
5,7588
1,0154
5,8476
Vision 5 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel SN – Vol. 2
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5
RÉVISION
Page 80
Réactivation 1
a. ⬇ 145,77 m
b. ⬇ 64,31 m
c. ⬇ 38,59 m
d. ⬇ 107,19 m
Page 81
Réactivation 2
a. 1) 30°
2) 60°
3) 60°
4) 60°
b. 1) 10 m
2) 10兹3 m
3) 10 m
4) 10 m
Page 84
Mise à jour
1. a) 1) 40 cm
2) La relation de Pythagore (m AB
苶 )2 ⫽ (m AC
苶 )2 ⫹ (m CB
苶 )2
b) 1) 40,5 cm
2) Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur issue du sommet de l’angle droit est moyenne proportionnelle
苶 )2 ⫽ m AD
苶 ⫻ m BD
苶
entre les mesures des deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse : (m CD
c) 1) ⬇ 1,98 cm
2) Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque côté de l’angle droit est moyenne proportionnelle entre la mesure
苶 )2 ⫽ m AD
苶 ⫻ m AC
苶
de sa projection sur l’hypoténuse et celle de l’hypoténuse entière : (m AB
d) 1) 12 cm
2) Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque côté de l’angle droit est moyenne proportionnelle entre la mesure
苶 )2 ⫽ m CD
苶 ⫻ m AC
苶
de sa projection sur l’hypoténuse et celle de l’hypoténuse entière : (m BC
3.
a)
b)
c)
a
9
4 苶
5
10
50
120
b) 13 ou ⬇ 9,23 cm
Mesures des segments
2. a) 24 cm
b
12
8 苶
5
7,5
c
15
20
12,5
m
5,4
4
8
n
9,6
16
4,5
Mise à jour (suite)
c) 13 ou ⬇ 3,85 cm
h
7,2
8
6
Page 85
4. Le périmètre est environ de 24,07 cm.
3136
5. 1077 cm ou environ 2,91 cm.
6. Les coûts de cette réparation sont de 233,66 $.
7. ⬇ 57,74 cm2
Mise à jour (suite)
Page 86
8. ⬇ 2,67 cm
9. ⬇ 327,02 cm2
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31
10. a)
Calcul des mesures
Énoncé de géométrie
(m AD
苶 )2 ⫹ (m DC
苶 )2 ⫽ (m AC
苶 )2
2
2
2
(m AD
苶) ⫹ 5 ⫽ 8
(m AD
苶 )2 ⫹ 25 ⫽ 64
(m AD
苶 )2 ⫽ 39
La relation de Pythagore.
b)
Calcul des mesures
(m BD
苶 )2 ⫹ (m CD
苶 )2 ⫽ (m 苶
BC)2
冢
39
m AD
苶 ⫽ 兹苶
(m AC
苶 ⫻ m AB
苶
苶 )2 ⫽ m AD
82 ⫽ 兹苶
39 ⫻ m AB
苶
64兹苶
39
⫽ m AB
苶
39
m AD
苶 ⫹ m BD
苶 ⫽ m AB
苶
64兹苶
39
39 ⫹ m BD
苶 ⫽ 39
兹苶
Dans un triangle rectangle, la
mesure de chaque côté de l’angle
droit est moyenne proportionnelle
entre la mesure de sa projection
sur l’hypoténuse et celle de
l’hypoténuse entière.
25兹苶
39 2
⫹ 52
39
625
⫹ 25
39
1600
39
40兹苶
39
39
冣
⫽ (m 苶
BC)2
Énoncé
de géométrie
La relation
de Pythagore.
⫽ (m 苶
BC)2
⫽ (m 苶
BC)2
⫽m苶
BC
La mesure d’un segment est
la somme des mesures
des segments qui le composent.
m BD
苶⫽
64兹苶
39
⫺ 兹苶
39
39
m BD
苶⫽
25兹苶
39
39
11. Note : Les élèves doivent préalablement prouver la similitude entre les triangles composant la structure.
⬇ 1,01 m
Page 87
Mise à jour (suite)
12. 12,99 cm
13. a) ⬇ 315,67 cm2
b) ⬇ 74,95 cm2
c) ⬇ 167,14 cm2
d) ⬇ 65,12 cm2
14. 23,31 cm
Page 88
Mise à jour (suite)
15. a) x ⬇ 2,54 cm
y ⬇ 6,52 cm
z ⬇ 16,78 cm
d) x = 5 cm
y ⬇ 6,67 cm
z ⬇ 5,33 cm
g) x = 1 cm
y ⬇ 8,49 cm
z ⬇ 2,83 cm
b) x ⬇ 3 cm
y ⬇ 5,2 cm
z ⬇ 2,6 cm
c) x ⬇ 6,24 cm
y ⬇ 6,41 cm
z ⬇ 10,25 cm
e) x ⬇ 9,75 cm
y ⬇ 16,31 cm
z ⬇ 8,37 cm
f ) x ⬇ 5,2 cm
y ⬇ 10,39 cm
z ⬇ 20,78 cm
h) x ⬇ 5,42 cm
y ⬇ 2,08 cm
z = 5 cm
i ) x ⬇ 8,66 cm
y ⬇ 12,25 cm
z ⬇ 7,07 cm
j ) x = 4 cm
y = 16 cm
z = 8兹苶
5 cm
Page 89
Mise à jour (suite)
16. ⬇ 3079,49 cm2
17. a) ⬇ 46,95 m
section
5.1
b) ⬇ 57,77 m
c) ⬇ 10,82 m
d) ⬇ 27,73 m
Le cercle trigonométrique
Problème
Page 90
C ⫽ 2πr, où r ⫽ 1 km
C ⫽ 2π km
32
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m ∠ AOB
1 km
⫽ 360°
2π km
180
m ∠ AOB ⫽ π °
180
180
B 1 cos π °, 1 sin π °
冢
冢 冣
冢 冣
冢 冣冣
Les coordonnées du navire au point B sont environ (0,54, 0,84).
Page 91
Activité 1
2) 2πr unités.
180 °
2)
π
a. 1) 360°
冢 冣
b. 1) 2π fois
c. La mesure de l’arc est égale à la mesure du rayon.
d. 1) 2π radians.
2) π radians.
3)
π
radian.
2
4)
nπ
radians.
180
e. 1) La longueur de l’arc est la même que celle du rayon.
2) La longueur de l’arc est le double de celle du rayon.
3) La longueur de l’arc est 4,5 fois celle du rayon.
4) La longueur de l’arc est 8,71 fois celle du rayon.
f. L ⫽ r θ
Page 92
Activité 2
a. 1) (1, 0)
2) (0, 1)
3) (–1, 0)
π
2) radian.
4
b. 1) Le triangle BOP5 est isocèle et rectangle.
4) (0, –1)
c. Soit m OB ⫽ m BP5 ⫽ x.
Les coordonnées de P5 sont donc (x, x)
Par Pythagore, on a x 2 ⫹ x 2 ⫽ 1.
Donc, 2x 2 ⫽ 1
1
x2 ⫽ 2
d. 1)
冢
冑
1
2
2
兹苶2 兹苶2
x ⫽ 兹苶
, donc les coordonnées de P5 sont 2 , 2 .
2
–兹苶
–兹苶
2 兹苶
2
2 –兹苶
2
,
2)
, 2
2
2
2
x⫽
冣
冢
冣
冢
冣
3)
冢 兹苶22 , 兹苶22 冣
–
e. 1) Il s’agit d’un triangle rectangle qui a un angle de 30°.
π
2)
radian.
6
f. 1) Dans un triangle rectangle ayant un angle de 30°,
la mesure du côté opposé à l’angle de 30° est égale
à la moitié de la mesure de l’hypoténuse.
2) y 2 ⫹
冢2冣
1
2
⫽ 12, où y représente la mesure de OB.
y 2 ⫽ 12 ⫺ 冢2冣
1
2
1
y2 ⫽ 1 ⫺ 4
3
y2 ⫽ 4
冑
3
4
3
y ⫽ 兹苶
2
y⫽
g. 1)
冢 兹苶23 , 12 冣
–
2)
冢 兹苶23 , 21冣
–
–
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3)
冢 兹苶23 , 21冣
–
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33
Page 93
Activité 2 (suite)
h. 1) Il s’agit d’un triangle rectangle qui a un angle de 30°.
π
2)
radian.
3
i. 1) Dans un triangle rectangle avec un angle de 30°,
la mesure du côté opposé à l’angle de 30° est égale
à la moitié de la mesure de l’hypoténuse.
2) y 2 ⫹
冢2冣
1
2
⫽ 12, où y représente la mesure de BP13.
y 2 ⫽ 12 ⫺ 冢2冣
1
2
1
y2 ⫽ 1 ⫺ 4
3
y2 ⫽ 4
冑
3
4
3
y ⫽ 兹苶
2
y⫽
冢
–1 兹苶
3
j. 1) 2 , 2
冣
2)
k. 1) cos θ
冢 21, 兹苶23 冣
–
–
3)
冢 12 , 兹苶23 冣
–
2) sin θ
Page 94
Activité 3
a.
Distance
(cm)
250
Distance qui sépare l’extrémité
de l’agitateur et le garde-fou
200
150
100
50
0
10
20
30
40
50
60
Temps
(s)
b. Domaine : [0, 60] s ; codomaine : [50, 230] cm.
c. L’agitateur est à sa position initiale à 10 s, 20 s, 30 s, 40 s, 50 s, 60 s, 70 s, 80 s, 90 s, 100 s, 110 s, 120 s, 130 s, 140 s,
150 s, 160 s, 170 s, 180 s, 190 s, 200 s, 210 s, 220 s, 230 s, 240 s, 250 s, 260 s, 270 s, 280 s, 290 s, 300 s.
Page 95
Technomath
a. 1) m ∠ AOB ⫽ 1 radian à l’écran 1 et m ∠ AOB ⫽ 1 radian à l’écran 2.
2) m ∠ AOB ⬇ 57,3° à l’écran 1 et m ∠ AOB ⬇ 57,3° à l’écran 2.
b. Cette mesure est de 1 radian
c. 1) m ∠ AOB ⬇ 68,75° à l’écran 3 et m ∠ AOB ⬇ 166,16° à l’écran 4.
2) l’arc AB a une longueur de 3,192 cm à l’écran 3 et une longueur de 5,568 cm à l’écran 4
34
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d. 1)
2) L’arc intercepté a une longueur de 6,75 cm.
B
2,25 rad
O
A
3 cm
Page 99
Mise au point 5.1
π
35π
1. a) 18 rad
5π
c) 9 rad
7π
e) 36 rad
π
7π
b) 36 rad
35π
d) 18 rad
–1π
–11π
25π
f ) 18 rad
g) 18 rad ou 18 rad.
h) 18 rad ou 18 rad.
2. a) 30°
1260°
e) ⬇ 401,07° ou π .
b) 75°
f ) –36°
c) 27°
–360°
g) π
d) 540°
135°
h) ⬇ 42,97° ou π .
3. a) Dans le 3e quadrant.
e) Dans le 3e quadrant.
b) Dans le 2e quadrant.
f ) Dans le 3e quadrant.
c) Dans le 2e quadrant.
g) Dans le 3e quadrant.
d) Dans le 1er quadrant.
h) Dans le 2e quadrant.
4. a) 0
b)
g) –1
1
兹苶3
–1
h)
兹苶3
b) [–1, 2]
5. a) 6
c) 1
d) 兹3
e) Non définie.
f ) –兹3
i ) Non définie.
j ) –兹3
k) –1
l)
c) 1) 1
2) 2
3) 1
Page 100
Mise au point 5.1 (suite)
6.
A 5
,
B 1
,
C 2
,
D 6
,
E 4
,
F 3
Page 101
Mise au point 5.1 (suite)
7. a) 1) Maximum : 1
b) 1) Maximum : 1
8. a) 2π rad
π
9.
2) Minimum : –1
3) Période : 2π
–1
3) Période : 2π
2) Minimum :
3π
b) 2 rad
3π
f ) 4 rad
e) 6 rad
L
r
θ
6π
5
6
π
5
3
5
3
1,8
16
4
4
37,8
18
2,1
9
1,97
4,56
1
9
–1
兹苶3
c) π rad
3π
g) 2 rad
4π
d) 3 rad
h) ⬇ 2,69 rad
1
9
10. Non, puisque la nature de la fonction périodique fait qu’à une valeur de la variable dépendante, on peut associer plus
d’une valeur de la variable indépendante.
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35
11. a) (–a, –b)
d) (b, –a)
b) (–a, –b)
e) (b, –a)
c) (–b, a)
f ) (–b, a)
Page 102
Mise au point 5.1 (suite)
12. a) 1) Dans le 2e quadrant.
2)
b) 1) Sur l’axe des ordonnées, entre le 3e et le 4e quadrant.
2)
c) 1) Dans le 2e quadrant.
2)
d) 1) Sur l’axe des ordonnées, entre le 3e et le 4e quadrant.
2)
e) 1) Dans le 1er quadrant.
2)
f ) 1) Dans le 4e quadrant.
3
1
兹苶
13. a) ± 2
b) ± 2
2)
c) ± 1
d)
3π
3π
rad
4
3π
rad
2
2π
rad
3
3π
rad
2
π
rad
6
5π
rad
3
4
±
5
e)
± 兹苶
11
6
± 兹苶
5
3
f)
sin ᎏ
3π
1
2
14. tan 2 ⫽
3π ⫽ 0 , qui n’existe pas dans l’ensemble des nombres réels.
cos ᎏ
2
15.
A F
,
B C
,
D G
,
E H
16. a) La longueur de cette haie est environ de 33,16 m.
33,16
b) 0,3 ⬇ 110,53 cèdres, 111 cèdres ⫻ 4,50 $ ⫽ 499,50 $ L’aménagement de cette haie coûte 499,50 $.
Page 103
Mise au point 5.1 (suite)
17. a) 10
b) 1) 1
2) 1
18. a) Le rayon moyen de l’orbite de la SSI est 6718 km.
b) 1) La SSI se déplace à environ 0,0012 rad/s.
3) La SSI se déplace à environ 27 831,06 km/h.
3) 2
2) La SSI se déplace à environ 7730,85 m/s.
19. La vitesse de rotation du tambour B est de 4,8 rad/s.
Page 104
Mise au point 5.1 (suite)
20. Note : Les élèves devraient travailler
à partir de la figure suivante :
m AB ⫽ 639,163 km ⫽ m EB
m BC ⫽ 218,127 km ⫽ m BD
២
m CD ⫽ 543,056 km
A
129 km
O1
rad
B
O2
D
La sonde spatiale a donc parcouru environ 2257,64 km.
21. a) 26,25 cm
C
378 km
b) 70 cm
E
c) 105 cm
22. Le rayon minimal d’un tore est de 245,25 m.
section
5.2
Les fonctions trigonométriques
Page 105
Problème
Le 19 juillet, il est préférable pour un voilier de quitter le quai entre 6 h 30 et 11 h 30 ou entre 17 h 30 et 22 h 30,
soit lorsque la marée descend et se déplace vers le large.
36
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Page 106
Activité 1
2) π rad
a. 1) 2π rad
b. 1)
冢 兹苶23 , 21 冣
3)
冢 兹苶22 , 兹苶22 冣
3 1
兹苶
6) 冢
,
2 2冣
3) (0, 1)
2)
–
5) (–1, 0)
c. 1) f (θ) ⫽ sin θ
π
rad
2
–
7) (0, –1)
π
rad
4
–1 兹苶
3
4)
,
2 2
4)
冢
冣
8) (1, 0)
2) f (θ) ⫽ cos θ
π
2
d. Une translation horizontale de dans un sens ou dans l’autre selon la courbe qui est considérée comme la courbe initiale.
Page 107
Activité 2
a. 1) 50 000 personnes.
2) 10 000 personnes.
3) 30 000 personnes.
b. 12 ans.
Page 108
Activité 2 (suite)
c. 1) 20 000
2)
π
6
3) 3
4) 30 000
d. 1) Les deux expressions ont la même valeur, soit 20 000.
π
2) Les deux expressions ont la même valeur, soit 6 .
3) Les coordonnées (h, k ⫹ a) correspondent à un maximum de la fonction.
e. Pour la fonction f, on utilise un cosinus, tandis que pour la fonction g on utilise un sinus. Les paramètres sont identiques, à
l’exception du paramètre h.
f. Les valeurs de k sont identiques, tandis que les valeurs de h diffèrent de 3, ce qui correspond au quart de la période.
Page 109
Activité 3
a. 1) Les zéros de la fonction sinus coïncident avec des sommets de la fonction cosinus.
2) Les zéros de la fonction sinus coïncident avec ceux de la fonction tangente.
b. 1) Aux zéros.
2) Aux sommets.
c. 1) La fonction tangente n’est pas définie pour les valeurs de x qui correspondent à des zéros de la fonction cosinus.
2) La période de la fonction tangente est la moitié de celle de la fonction cosinus.
d. Plusieurs réponses possibles. Exemple :
x
0
π
4
π
2
3π
4
π
tan x
0
1
n. d.
–1
0
sin x
cos x
0
1
n. d.
–1
0
e. Les zéros.
Page 110
Technomath
a. 1) Le paramètre h.
2) Le paramètre k.
b. 1) Une des courbes a subi une translation horizontale par rapport à l’autre.
2) Une des courbes a subi une translation verticale par rapport à l’autre.
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37
c. 1) Le paramètre h de l’équation associée à Y1 de l’écran 5 vaut 2π de plus que le paramètre h de l’équation associée à Y1
de l’écran 6.
2) Les deux courbes sont identiques.
3) (h, k) ⫽ (0,5π, 1) à l’écran 6 et (h, k) ⫽ (2,5π, 1) à l’écran 5. Les deux points ont la même ordonnée, mais leur abscisse
diffère par 2π.
d. 1)
2) Par rapport à la courbe associée à Y1, la courbe associée à Y2 est translatée de π unités
4
vers la gauche et de 4 unités vers le bas.
2π
2π
–
–
冢
3) Plusieurs réponses possibles. Par exemple : y ⫽ sin x ⫹
冣
π
⫺ 3.
2
4
Page 115
Mise au point 5.2
1.
Règle
Amplitude
Période
Maximum
Minimum
f (x ) ⫽ sin 2 x ⫺ π4 ⫹ 3
1
π
4
2
b) f (x ) ⫽ 1,5 cos π (x ⫹ 3) ⫺ 5
1,5
2
–3,5
–6,5
3
4π
7
9
3
6
10
13
1
10
4π
6
–14
冢
a)
冣
f (x ) ⫽ –3 sin 3,5冢x ⫺ π6 冣 ⫹ 6
c)
f (x ) ⫽ 6 cos π5 (x ⫺ 8) ⫹ 7
f (x ) ⫽ 10 sin 0,5 x ⫹ π8 ⫺ 4
d)
冢
e)
冣
π
–π
2. a) 0
b) 4
c) 6
d) π
e) 0
f) 4
–π
π
π
g) 6
3. a)
5π
h) 2
i) 6
b)
y
y
100
80
60
40
20
5
4
3
–2π
2
–3π
–π
2
–π
0
2 –20
–40
π
2
π
3π
2
2π
x
π
2π
3π
4π
x
–60
1
–80
–1,5
–1
–0,5
c)
0
0,5
1
1,5
–100
x
d)
y
y
3
10
8
6
4
2
38
–3π
–π
4
2
–π
0
4 –2
–4
–6
–8
–10
2
1
π
4
π
2
3π
4
x
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–4π
–3π
–2π
–π
0
–1
–2
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e)
f)
y
y
10
8
6
4
2
–8
–6
–4
–2
25
20
15
10
5
–20
4
2
6
8
x
–8
–6
–4
–2
–50
–4
–10
–6
–15
–8
–20
–10
–25
2
4
6
8
x
4. a) 1) π
2) π
3) π
2) 7 et 5
3) 3 et –5
b) 1) 10 et 0
c) Plusieurs réponses possibles. Par exemple: i (x ) ⫽ –2 sin 2(x ⫺ 3) ⫺ 8
Page 116
Mise au point 5.2 (suite)
5.
A 2
,
B 4
,
C 3
,
D 5
,
E 1
Page 117
Mise au point 5.2 (suite)
π
冢
冣
冢
6. a) 1) f (x ) ⫽ sin 2 x ⫺ 8 ⫹ 0,5
b) 1) f (x ) ⫽ 3 sin π(x ) ⫺ 1
冢
1
2) f (x ) ⫽ cos 2 x ⫺
冣
3π
⫹ 0,5
8
2) f (x ) ⫽ 3 cos π(x ⫹ 0,5) ⫺ 1
冣
冢
c) 1) f (x ) ⫽ 6 sin π x ⫹ 4
π
d) 1) f (x ) ⫽ –0,75 sin 2 x ⫹ 0,05
2) f (x ) ⫽ 6 cos π x ⫺
1
4
冣
π
2) f (x ) ⫽ –0,75 cos (x ⫺ 1) ⫹ 0,05
2
π
2) f (x ) ⫽ 2 cos 4 x ⫹
⫺1
8
π
2) f (x ) ⫽ 7 cos (x ⫺ 4) ⫺ 7
6
冢
e) 1) f (x ) ⫽ –2 sin 4x ⫺ 1
π
f ) 1) f (x ) ⫽ 7 sin 6 (x ⫺ 1) ⫺ 7
冣
7. T (x ) ⫽ 120 sin 120πx
Page 118
Mise au point 5.2 (suite)
π
8. a) y ⫽ tan 2 x
π
c) y ⫽ –0,5 tan x ⫹ 4
9. a)
Temps
(h)
冢
b) y ⫽ 2 tan π(x ⫺ 0,5) ⫹ 0,5
冣
d) y ⫽ –2 tan x ⫺ 1
Heure de l’aube nautique
d’une région
π
b) f (x ) ⫽ –1,85 sin 6 (x ⫺ 3) ⫹ 4,5, où f (x ) représente
l’heure de l’aube nautique (en h) et x, le temps écoulé
depuis le 21 décembre (en mois).
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
12
Temps écoulé
depuis le 21 décembre
(mois)
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39
Page 119
Mise au point 5.2 (suite)
10. a) 1)
x
0
f (x )
0
g (x )
0
f (x ) ⫹ g (x )
0
π
4
兹苶2
2
–兹苶
2
2
π
3
兹苶3
2
–兹苶
3
2
0
0
π
2
1
–1
0
2π
3
兹苶3
2
–兹苶
3
2
5π
6
1
2
–1
2
π
0
0
0
0
0
5π
4
–兹苶
2
2
2
兹苶
2
3π
2
0
0
–1
1
11π
6
–1
2
1
2
2π
0
0
0
0
2) On remarque que g (x ) ⫽ sin (x – π) donne toujours l’opposé de f (x ) ⫽ sin x.
b) i (x ) ⫽ cos(x – π)
11. On entend la cloche sonner 12 fois par minute.
12. La variation quotidienne de l’angle d’oscillation d’un pendule de Foucault situé dans la ville de Québec est environ
de –4,58 rad.
Page 120
Mise au point 5.2 (suite)
2π
13. f (x ) ⫽ 45 sin 11 (x ), où x représente le temps (en années) et f (x ), le nombre de taches solaires observées.
14. • 10 tours/min ⫽ 0,16 tour/s
π
• Chaque seconde, la roue fait 0,16 tour ⇒ 60º ⇒ 3 rad.
Soit h, la hauteur (en m) de la pale brisée par rapport à la surface de l’eau et t, le temps (en s).
• À t ⫽ 3, h ⫽ 0 m.
• À t ⫽ 0, h ⫽ 2,2 m.
• À t ⫽ 1, h ⫽ 3,3 m.
• À t ⫽ 4, h ⫽ –1,1 m.
• À t ⫽ 2, h ⫽ 2,2 m.
• À t ⫽ 5, h ⫽ 0 m.
a)
Hauteur de la pale brisée d’une roue à aubes
Hauteur
(m)
3
2
1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
–1
20
22
24
26
28
30 Temps
(s)
π
b) h (t ) ⫽ 2,2 sin 3 (t ⫹ 0,5) ⫹ 1,1
section
5.3
La résolution d’équations et d’inéquations trigonométriques
Page 121
Problème
Le flash s’allume à 1 s, 4 s, 7 s, 10 s, 13 s, 16 s, 19 s, 22 s, 25 s, 28 s, 31 s, 34 s, 37 s, 40 s, 43 s, 46 s, 49 s, 52 s, 55 s, et 58 s.
Page 122
Activité 1
a. 1) 3 °C
2) –1 °C
b. À 6 h, à 18 h, à 30 h et à 42 h.
c. La résolution de cette équation permet de déterminer à quels moments la température est de 2 °C.
40
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π
5π
d. 6 rad ou 6 rad.
e. 1) Pour passer :
• de l’étape 1 à l’étape 2 , on soustrait 1 des deux côtés de l’égalité et on divise ensuite par 2 ;
• de l’étape 2 à l’étape 3 , on applique arc sin des deux côtés de l’égalité pour enlever le sinus à gauche ;
5π
1
π
• de l’étape 3 à l’étape 4 , on détermine les valeurs de θ pour lesquelles sin θ ⫽ 2 , soit 6 et 6 ;
• de l’étape 4 à l’étape 5 , on multiplie par 12 et on divise par π des deux côtés de l’égalité ;
• de l’étape 5 à l’étape 6 , on additionne 6 des deux côtés de l’égalité.
2) Ces valeurs représentent les moments dans une période où la température atteint 2 °C.
f. 1) 24 h
2) Ces deux expressions permettent de déterminer les moments de la deuxième journée où il fait 2 °C.
π
2) Durant les intervalles [0, 8] et [16, 32] et [40, 48].
g. 1) 2 sin 12(x ⫺ 6) ⫹ 1 ⱕ 2
Page 126
Mise au point 5.3
冦 8π3 , 5π2 , 5π3 , 3π2 ,
25 5 15 35
c) 冦 4 , 4 , 4 , 4 冧
1. a)
–
–
–
–
–
–2π
3
–π
π π 4π 3π 7π 5π
, 2 , 3, 2, 3 , 2 , 3 , 2
冧
b) {0 ; 1,5 ; 2 ; 3,5 ; 4}
–
冦 π 5π 7π 11π 冧
2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44
f ) 冦9, 9, 9, 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 冧
13
11
b) 冦x 僆 ⺢ | x ⫽ 3 ⫹ 4n v x ⫽ 3 ⫹ 4n, n 僆 ⺪冧
28π
20π
d) 冦x 僆 ⺢ | x ⫽ 3 ⫹ 16n π v x ⫽ 3 ⫹ 16n π, n 僆 ⺪冧
7π
f ) 冦x 僆 ⺢ | x ⫽ 12 ⫹ n π, n 僆 ⺪冧
d) 3 , 3 , 3 , 3
e) Il n’y a aucune solution.
2. a) {x 僆 ⺢ | x ⫽ 5π ⫹ 16n π v x ⫽ 9π ⫹ 16n π, n 僆 ⺪}
1
冦
冧
61π
89π
e) 冦x 僆 ⺢ | x ⫽ 84 ⫹ n π v x ⫽ 84 ⫹ n π, n 僆 ⺪冧
–
c) x 僆 ⺢ | x ⫽ 3 ⫹ 4n, n 僆 ⺪
3. a) La fonction est :
–17π
–13π –5π
–π 7π
23π
11π 19π
• positive sur –2π, 12 艛 12 , 12 艛 12 , 12 艛 12 , 12 艛 12 , 2π ;
冤
冥 冤
冥 冤
冥 冤
冥 冤
17π 13π
5π π
7π 11π
19π 23π
• négative sur 冤 12 , 12 冥 艛 冤 12 , 12 冥 艛 冤 12 , 12 冥 艛 冤 12 , 12 冥.
–
–
–
冥
–
b) La fonction est :
–π π
11π 13π
• positive sur 6 , 6 艛 6 , 6 ;
冤 冥 冤
冥
13π
π
π
11π
• négative sur 冤–π, 6 冥 艛 冤 6 , 6 冥 艛 冤 6 , 3π冥.
–
c) La fonction est :
–5π
• positive sur –3π, 2 艛
33π
3π
15π π
π π
3π 3π
21π 5π
, 2 冤 艛 冤 12 , 2 冤 艛 冤 4 , 2 冤 艛 冤 4 , 2 冤 艛 冤 12 , 2 冤 艛 冤 12 , 3π冥 ;
冤
冤 冤 27π
12
5π 27π
3π 15π
π π
π 3π
3π 21π
5π 33π
• négative sur 冥 2 , 12 冥 艛 冥 2 , 12 冥 艛 冥 2 , 4 冥 艛 冥 2 , 4 冥 艛 冥 2 , 12 冥 艛 冥 2 , 12 冥.
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
d) La fonction est strictement négative.
e) La fonction est strictement négative.
f ) La fonction est :
15
3
7
11
• positive sur 4 , 1 艛 4 , 2 艛 4 , 3 艛 4 , 4 ;
冤 冤 冤 冤 冤 冤 冤 冤
3
7
11
15
• négative sur 冥0, 4 冥 艛 冥1, 4 冥 艛 冥2, 4 冥 艛 冥3, 4 冥.
π
2π
冦
冧
π
2π
c) 冦x 僆 ⺢ | x ⫽ 3 ⫹ n π v x ⫽ 3 ⫹ n π, n 僆 ⺪冧
π
2π
e) 冦x 僆 ⺢ | x ⫽ 3 ⫹ n π v x ⫽ 3 ⫹ n π, n 僆 ⺪冧
4. a) x 僆 ⺢ | x ⫽ 3 ⫹ n π v x ⫽ 3 ⫹ n π, n 僆 ⺪
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π
冦
冧
nπ
π
d) 冦x 僆 ⺢ | x ⫽ 4 ⫹ 2 , n 僆 ⺪冧
5π
π
f ) 冦x 僆 ⺢ | x ⫽ 6 ⫹ n π v x ⫽ 6 ⫹ n π, n 僆 ⺪冧
b) x 僆 ⺢ | x ⫽ 2 ⫹ n π, n 僆 ⺪
Vision 5 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel SN – Vol. 2
41
Page 127
Mise au point 5.3 (suite)
冦7
–
–3
1 5
冦π
冧
5. a) 2 , 2 , 2 , 2
c) {–1,75, –1,25, –0,75, –0,25, 0,25, 0,75, 1,25, 1,75}
e)
π 7π
,– ,
冦– 5π
12 12 12 冧
π
f)
5π
b) 0, π et 2π.
6. a) 4 et 4 .
5π 7π 11π
π
冦 5π8 ,
–
–π
8
3π 7π
, 8, 8
3π
c) 0, 2 , π, 2 et 2π.
冤 冥
冥 冤
冤 冥
冤 冥
冤 冥
冥 冤
冥
冤
冤 冥
冧
d) 0, π et 2π.
π
3π
4π
5π
π
3π
f ) 2 et 2 .
g) 3 et 3 .
h) 2 et 2 .
–17π
–13π –5π
–π 7π
23π
11π 19π
7. a) –π, 24 艛 24 , 24 艛 24 , 24 艛 24 , 24 艛 24 , π
–27π –19π
–11π –3π
5π 13π
b) 16 , 16 艛 16 , 16 艛 16 , 16
3π 5π
11π 13π
c) 8 , 8 艛 8 , 8
冤
冤
冥
冧
b) 6 , 6 , 6 , 6
d) 0,916 et 1,583.
e) 0, π et 2π.
4π
π
i ) 3 et 3 .
冥
d) [0, 4]
冤–3π, 8π3 冤 艛 冥 7π3 , 2π3 冤 艛 冥 3π , 4π3 冤 艛 冥5π3 , 3π冥
π
π
f ) 冥 2 , 0冤 艛 冥 2 , π冤
–
e)
–
–
–
–
Page 128
Mise au point 5.3 (suite)
冥 π π冤 冥 π π 冤 冥π π冤
π π
13π 4π
25π 7π
c) … 艛 冥12, 3 冤 艛 冥 12 , 3 冤 艛 冥 12 , 3 冤 艛 …
3π 7π
π π
7π 3π
e) … 艛 冥 4 , 12 冤 艛 冥 12 , 12 冤 艛 冥 12 , 4 冤 艛 …
–
–
–
8. a) … 艛 3 , 6 艛 12 , 12 艛 6 , 3 艛 …
–
–
–
b) … 艛
冤 2π3 , 3π 冥 艛 冤0, π3 冥 艛 冤 2π3 , π冥 艛 …
–
–
d) x ⫽ 2 ⫹ 4n, où n 僆 ⺪.
f) … 艛
冥 2π3 , 2π 冤 艛 冥 π3 , π2 冤 艛 冥 4π3 , 3π2 冤 艛 …
–
–
9. Le parachute se déploie au bout de 15 s.
10. Les pieds de Léonie touchent le fond pendant 200 s.
11. a) … 艛
冥 7π4 ,
–
–3π
4
艛…
冤 艛 冥 π4 , 5π4 冤 艛 冥9π4 , 13π
4 冤
冥 π冤 冥
3π
冤 冥
5π
冤
b) … 艛 0, 2 艛 π, 2 艛 2π, 2 艛 …
12. Pendant les 10 premières secondes, le chas de l’aiguille traverse le tissu 100 fois.
Page 129
Mise au point 5.3 (suite)
13. a) Cette personne saute 400 fois au cours de cet entraînement.
b) Chaque saut dure 0,125 s, donc les pieds de cette personne ne touchent pas le sol pendant 50 s.
14. a) 1) ⬇ 0,2679 cm2
2) ⬇ 0,364 cm2
15. a) 1) 600 fois.
2) 1200 fois.
3) 1200 fois.
c) 1) 300 fois.
2) 300 fois.
3) 150 fois.
b) 1)
2)
3)
d) 1)
2)
3)
π
b) 1) 6 rad
À 0,0083 s, 0,0416 s, 0,1083 s, 0,1416 s, …
À 0,05 s, 0,1 s, 0,15 s, 0,2 s, …
À 0,075 s, 0,175 s, 0,275 s, 0,375 s, …
À 0,35 s, 0,75 s, 1,15 s, 1,55 s, …
À 0,016 s, 0,283 s, 0,416 s, 0,683 s, …
À 0,05 s, 0,25 s, 0,45 s, 0,65 s, …
2)
π
rad
4
Page 130
Mise au point 5.3 (suite)
16. a) 1) –5 m
b) 1) À 0,16 s, 0,5 s, 0,83 s …
3) À 0,2 s, 0,4 s, 0,5 s, 0,7 s, …
5) À 0,083 s, 0,25 s, 0,416 s, 0,583 s, …
42
2) –5 m
2) À 0 s, 0,3 s, 0,6 s, 1 s, …
4) À 0,27 s, 0,38 s, 0,61 s, 0,72 s, …
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17. Oui, Joseph a raison, car – π2 représente le quart du cercle, soit 90°. Lorsqu’on se déplace du quart du cercle, la valeur
du sinus devient celle du cosinus.
18. Au cours d’une minute, le voilier se trouve dans cette situation pendant 20 s.
Page 131
Mise au point 5.3 (suite)
19. a) 2 cm
b) 6 cm
20. a)
π
π
2
2
sin x ⫹ 4
2) y ⫽
cos x ⫺ 4
兹苶2
兹苶2
π
5π
c) 1) x 僆 ⺢ | x ⫽ 4 ⫹ 2n π v x ⫽ 4 ⫹ 2n π, n 僆 ⺪
2) Ces valeurs sont associées au maximum de la fonction f ⫹ g.
b) 1) y ⫽
y
2
f⫹g
冦
f (x ) ⫽ sin x
1
–2π
–5π
–4π
3
3
–π
–2π
–π
3
3
冦
π
3
0
2π
3
π
4π
3
5π
3
2π
x
冣
π
冢
3π
冣
冧
冧
d) 1) x 僆 ⺢ | x ⫽ 2 ⫹ 2n π v x ⫽ 2 ⫹ 2n π, n 僆 ⺪
2) Ces valeurs sont associées au maximum de la fonction f.
e) 1) {x 僆 ⺢ | x ⫽ n π, où n 僆 ⺪}
2) Ces valeurs sont associées au maximum de la fonction g.
–1
g (x ) ⫽ cos x
冢
–2
21. a) La température moyenne dans cette pièce est de 20 °C.
b) Une personne est inconfortable pendant environ 13,33 min par période de 20 min. Elle est donc inconfortable pendant
environ 960 min ou 16 h.
c) La température moyenne dans cette pièce est de 20 °C.
d) Une personne est tout le temps confortable.
section
5.4
Les identités trigonométriques
Page 132
Problème
Plusieurs réponses possibles. Exemple :
3
π
π
兹苶
La valeur exacte de tan est , soit environ 0,58. Selon la démarche proposée par cet élève, la valeur exacte de tan
6
3
12
π
3
兹苶
serait 6 , soit environ 0,29. Or, si on calcule tan 12 avec une calculatrice, on obtient environ 0,27. La stratégie proposée
par cet élève n’est donc pas bonne.
Page 133
Activité 1
a. 1) La longueur de la poutre AE correspond au cosinus.
2) La longueur de la poutre CE correspond au sinus.
b. (m AE )2 ⫹ (m CE)2 ⫽ (m AC )2, soit (m AE )2 ⫹ (m CE )2 ⫽ 1.
c. 1) •
•
•
2) •
•
•
3) •
•
•
4) •
•
•
∠ CEA ⬵ ∠ CED, car les deux angles sont des angles droits ;
∠ ACE ⬵ ∠ CDE, car les deux angles sont complémentaires à l’angle CAE ;
Δ ACE ⬃ Δ CDE, deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).
∠ ACB ⬵ ∠ ACD, car les deux angles sont des angles droits ;
∠ BAC ⬵ ∠ ADC, car les deux angles sont complémentaires à l’angle ABC ;
Δ ABC ⬃ Δ ACD, deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).
∠ ACD ⬵ ∠ AEC, car les deux angles sont des angles droits ;
∠ CAE ⬵ ∠ CAD, par la réflexivité ;
Δ ACD ⬃ Δ ACE, deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).
∠ BAD ⬵ ∠ AEC, car les deux angles sont des angles droits ;
∠ ABC ⬵ ∠ CAE, car les deux angles sont complémentaires à l’angle CAB ;
Δ ABD ⬃ Δ ACE, deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).
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43
sin θ
d. La longueur de la poutre CD correspond à cos θ , soit tan θ.
Page 134
Activité 1 (suite)
1
m BC
苶
⫽ tan θ
1
1
m AD
苶
f. 1) 1 ⫽ cos θ
1
tan θ
1
2) m AD ⫽
cos θ
2) m BC ⫽
e. 1)
3) Ce sont des inverses multiplicatifs.
3) Ce sont des inverses multiplicatifs.
g. (m AC )2 ⫹ (m CD )2 ⫽ (m AD )2
h. 1)
1
sin θ
⫽
1
m AB
苶
2) m AB ⫽
1
sin θ
3) Ce sont des inverses multiplicatifs.
i. (m BC )2 ⫹ (m AC )2 ⫽ (m AB )2
Page 135
Activité 2
π
π
π
π
冢
冣
π
π
ii ) Fausse, car cos 冢 ⫺ π冣 ⫽ 0 et cos ⫺ cos π ⫽ –1.
2
2
4兹苶
3
π
π
π
π
iii ) Fausse, car tan 冢 ⫹ 冣 est non définie et tan ⫹ tan ⫽
.
6
3
6
3
3
3
3
π
π
兹苶
兹苶
iv) Fausse, car sin 冢π ⫺ 冣 ⫽
et sin π ⫺ sin 3 ⫽ – 2 .
3
2
a. 1) i ) Fausse, car sin 4 ⫹ 3 ⬇ 0,96 et sin 4 ⫹ sin 3 ⬇ 1,57.
2) Les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente ne sont pas distributives sur l’addition ni sur la soustraction.
b.
1
2
3
4
: Les côtés CD et EF sont parallèles, car ils sont tous les deux perpendiculaires au côté AD.
∠ ACD ⬵ ∠ AFE, car si un segment coupe deux segments parallèles, alors les angles correspondants sont isométriques.
∠ AFE ⬵ ∠ BFC, car deux angles opposés par le sommet sont isométriques.
∠ ACD ⬵ ∠ BFC, par la transitivité des deux expressions précédentes.
: ∠ CAD ⬵ ∠ CBF, car les deux angles sont respectivement complémentaires aux angles AFE et BFC, tous deux
isométriques, car opposés par le sommet.
: ∠ ADC ⬵ ∠ BGC, car les deux angles sont des angles droits.
: Δ ACD ⬃ Δ BCG, car deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).
c. On peut passer :
• de l’étape 1 à l’étape
2
, car m BE ⫽ m GE ⫹ m BG et m GE ⫽ m CD ;
• de l’étape
2
à l’étape
3
, par addition de deux fractions ;
• de l’étape
3
à l’étape
4
, en multipliant les expressions
• de l’étape
4
à l’étape
5
, par la commutativité de la multiplication ;
• de l’étape
5
à l’étape
6
, puisque sin CAD ⫽
• de l’étape
6
à l’étape
7
, puisque Δ ACD ⬃ Δ BCG par la condition minimale de similitude AA,∠ CBG ⬵ ∠ CAD.
m CD
苶
m BG
苶
et
par des expressions unités ;
m AB
苶
m AB
苶
m CD
苶
m AC
苶
m BG
苶
m BC
苶
, cos BAC ⫽
, cos CBG ⫽
et sin BAC ⫽
;
m AC
苶
m AB
苶
m BC
苶
m AB
苶
Page 136
Activité 2 (suite)
d. On peut passer :
• de l’étape 1 à l’étape
2
, car m BE ⫽ m GE ⫹ m BG et m GE ⫽ m CD ;
• de l’étape
2
à l’étape
3
, par soustraction de deux fractions ;
• de l’étape
3
à l’étape
4
, en multipliant les expressions
• de l’étape
4
à l’étape
5
, par la commutativité de la multiplication ;
• de l’étape
5
à l’étape
6
, car cos CAD ⫽
• de l’étape
6
à l’étape
7
, puisque Δ ACD ⬃ Δ BCG par la condition minimale de similitude AA,∠ CBG ⬵ ∠ CAD.
44
m AD
苶
m CG
苶
et
par des expressions unités ;
m AB
苶
m AB
苶
m AD
苶
m AC
苶
m CG
苶
m BC
苶
, cos BAC ⫽
, sin CBG ⫽
et sin BAC ⫽
;
m AC
苶
m AB
苶
m BC
苶
m AB
苶
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sin (a ⫹ b)
⫽ cos a cos b ⫺ sin a sin b
sin (a ⫺ b)
cos (a ⫺ b)
sin a cos b ⫺ sin b cos a
⫽ cos a cos b ⫹ sin a sin b
sin a cos b ⫹ sin b cos a
ᎏ
ᎏᎏ
cos a cos b
cos a cos b ⫺ sin a sin b
ᎏ
ᎏᎏ
cos a cos b
sin a cos b
sin b cos a
ᎏ
ᎏ⫹ᎏ
ᎏ
cos a cos b
cos a cos b
cos a cos b
sin a sin b
ᎏ
ᎏ⫺ᎏ
ᎏ
cos a cos b
cos a cos b
sin a
sin b
ᎏ⫹ ᎏ
cos a
cos b
sin a
sin b
1 ⫺ ᎏ⫻ ᎏ
cos a
cos b
sin a cos b ⫺ sin b cos a
ᎏ
ᎏ
ᎏ
cos a cos b
cos a cos b ⫹ sin a sin b
ᎏ
ᎏᎏ
cos a cos b
sin a cos b
sin b cos a
ᎏ
ᎏ⫺ ᎏ
ᎏ
cos a cos b
cos a cos b
cos a cos b
sin a sin b
ᎏ
ᎏ⫹ ᎏ
ᎏ
cos a cos b
cos a cos b
sin a
sin b
ᎏ⫺ ᎏ
cos a
cos b
sin a
sin b
1 ⫹ ᎏ⫻ ᎏ
cos a
cos b
e. 1) tan (a ⫹ b) ⫽ cos (a ⫹ b)
2) tan (a ⫺ b) ⫽
sin a cos b ⫹ sin b cos a
⫽
⫽
⫽
⫽
⫽
⫽
tan a ⫹ tan b
tan a ⫺ tan b
⫽ 1 ⫺ tan a tan b
⫽ 1 ⫹ tan a tan b
Page 139
Mise au point 5.4
1. a) cos2 x
e) 1
7
3兹苶
2. a) 8
3. a)
159
3兹苶
40
b) sin2 x
f ) tan2 x
c) cos2 x
g) cot x
b) 3兹苶
7
c) 8
b)
2
2兹苶
4. a) 3
159
40兹苶
477
1
b) – 3
3
4
5. a) – 5
b) – 5
3
3
6. a) 5
b) – 4
40
159
3兹苶
13
c) – 13
d)
–
c) –2兹苶
2
d)
– 兹苶
5
c) – 3
5
c) – 4
3π π 5π
冦– 2 , 2 , 2 冧
8π 4π
2π 2π
4π 8π
c) 冦–3π, – 3 , – 3 , –π, – 3 , 3 , π, 3 , 3 , 3π冧
7. a)
d) 1
h) tan2 x
7
8兹苶
d) 21
e) Aucune solution.
2
4
4
d) – 3
4
d) – 3
冦– 3 , –2π, – 3 , – 3 , 0, 3 , 3 , 2π, 3 冧
17π 13π 3π 5π π π 7π 11π 5π
d) 冦– 6 , – 6 , – 2 , – 6 , – 6 , 2 , 6 , 6 , 2 冧
5π 11π 7π π π 5π 3π 13π 17π
f ) 冦– 2 , – 6 , – 6 , – 2 , 6 , 6 , 2 , 6 , 6 冧
b)
8π
4π
2π
2π 4π
8π
Page 140
Mise au point 5.4 (suite)
b) sin2 x
8. a) 1
9.
c) cosec2 x
d) sin2 x
c) 兹苶
6 ⫺ 兹苶
2
d)
e) sec x
f) 1
e) 2 ⫺ 兹苶
3
f)
cos x ⫺ cos x
⫽1
sin2 x ⫺ sin4 x
cos2 x (1 ⫺ cos2 x )
⫽1
sin2 x (1 ⫺ sin2 x )
2
2
cos x ⫻ sin x
⫽1
sin2 x ⫻ cos2 x
2
4
1⫽1
10. a)
11. a)
兹苶2 ⫹ 兹苶6
3⫺2
b) 兹苶
4
sin2 x ⫽ 1 ⫺ cot2 x sin2 x
1 ⫺ cos2 x ⫽ 1 ⫺ cot2 x sin2 x
sin2 x
1 ⫺ cos2 x sin2 x ⫽ 1 ⫺ cot2 x sin2 x
2
cos x
1 ⫺ sin2 x sin2 x ⫽ 1 ⫺ cot2 x sin2 x
1 ⫺ cot2 x sin2 x ⫽ 1 ⫺ cot2 x sin2 x
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兹苶2 ⫺ 兹苶6
4
– 兹苶
2 ⫹ 兹苶
6
4
b) sin x cot x ⫽ cos x
cos x
sin x sin x ⫽ cos x
sin x
cos x ⫽ cos x
sin x
cos x ⫽ cos x
Vision 5 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel SN – Vol. 2
45
cot x ⫺ tan x
⫽ 2 cos2 x ⫺ 1
cot x ⫹ tan x
c)
cos x
sin x
ᎏ⫺ᎏ
sin x
cos x
cos x
sin x
ᎏ⫹ᎏ
sin x
cos x
⫽ 2 cos x ⫺ 1
cos2 x ⫺ sin2 x
ᎏᎏᎏ
sin x cos x
cos2 x ⫹ sin2 x
ᎏᎏᎏ
sin x cos x
⫽ 2 cos2 x ⫺ 1
d) tan x (sin x ⫹ cot x cos x ) ⫽ sec x
sin x
cos x
sin x ⫹ sin x cos x
cos x
sin2 x
⫹ cos x
cos x
sin2 x ⫹ cos2 x
cos x
1
cos x
冢
2
sin x cos x
cos x ⫺ sin x
⫻ cos2 x ⫹ sin2 x ⫽ 2 cos2 x ⫺ 1
sin x cos x
cos2 x ⫺ sin2 x
⫽ 2 cos2 x ⫺ 1
cos2 x ⫹ sin2 x
cos2 x ⫺ sin2 x
⫽ 2 cos2 x ⫺ 1
1
2
冣 ⫽ sec x
2
cos2 x ⫺ sin2 x ⫽ 2 cos2 x ⫺ 1
cos2 x ⫺ (1 ⫺ cos2 x ) ⫽ 2 cos2 x ⫺ 1
2 cos2 x ⫺ 1 ⫽ 2 cos2 x ⫺ 1
e) (1 ⫺ sin2 x )(1 ⫹ cot2 x ) ⫽ cot2 x
cos2 x cosec2 x ⫽ cot2 x
1
cos2 x sin2 x ⫽ cot2 x
⫽ sec x
⫽ sec x
⫽ sec x
sec x ⫽ sec x
f ) sin2 x cot2 x sec x ⫽ cos x
cos2 x 1
sin2 sin2 x cos x ⫽ cos x
cos x ⫽ cos x
cos2 x
⫽ cot2 x
sin2 x
cot2 x ⫽ cot2 x
g) cos x 兹sec2 x ⫺ 1 ⫽ sin x
cos x 兹tan2 x ⫽ sin x
cos x tan x ⫽ sin x
sin x
cos x cos x ⫽ sin x
sin x ⫽ sin x
12. a) –sin x
f ) –cos x
b) cos x
g) –tan x
h)
tan2 x ⫹ cos2 x ⫺ 1 ⫽ sin2 x tan2 x
tan x ⫹ cos x ⫺ (cos2 x ⫹ sin2 x ) ⫽ sin2 x tan2 x
tan2 x ⫹ cos2 x ⫺ cos2 x ⫺ sin2 x ⫽ sin2 x tan2 x
tan2 x ⫺ sin2 x ⫽ sin2 x tan2 x
sin2 x
⫺ sin2 x ⫽ sin2 x tan2 x
cos2 x
2
2
冢
1
冣
sin2 x cos2 x ⫺ 1 ⫽ sin2 x tan2 x
sin2 x (sec2 x ⫺ 1) ⫽ sin2 x tan2 x
sin2 x tan2 x ⫽ sin2 x tan2 x
c) sin x
d) cos x
h) Aucune solution.
e) sin x
i ) –tan x
Page 141
Mise au point 5.4 (suite)
13. a)
1 ⫺ cos x
(cosec x ⫺ cot x )2 ⫽ 1 ⫹ cos x
46
⫽
⫽
⫽
⫽
⫽
sec x
tan x
⫺ cot x ⫽ 1
cos x
1 ⫺ cos x
1
ᎏ
cos x
1 ⫺ cos x
1 ⫹ cos x
1 ⫺ cos x
1 ⫹ cos x
1 ⫺ cos x
1 ⫹ cos x
1 ⫺ cos x
1 ⫹ cos x
1 ⫺ cos x
1 ⫹ cos x
cos x
cosec2 x ⫺ 2 cosec x cot x ⫹ cot2 x ⫽ 1 ⫹ cos x
1
1 cos x
cos2 x
⫺ 2 sin x sin x ⫹ sin2 x
sin2 x
1 ⫺ 2 cos x ⫹ cos2 x
sin2 x
cos2 x ⫺ 2 cos x ⫹ 1
1 ⫺ cos2 x
(1 ⫺ cos x )2
(1 ⫺ cos x )(1 ⫹ cos x )
1 ⫺ cos x
1 ⫹ cos x
b)
Vision 5 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel SN – Vol. 2
⫺
sin x
ᎏ
cos x
cos x
ᎏ
sin x
⫽1
1
1
sin x
sin x
⫻ cos x ⫺ cos x ⫻ cos x ⫽ 1
cos x
1
sin2 x
⫺
⫽1
2
cos x
cos2 x
sec2 x ⫺ tan2 x ⫽ 1
1⫽1
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c)
1 ⫹ tan2 x
⫽ tan2 x
cosec2 x
sec2 x
⫽ tan2 x
cosec2 x
1
ᎏ
cos2 x
1
ᎏ
sin2 x
d)
⫽ tan2 x
1
⫻ sin2 x ⫽ tan2 x
cos2 x
sin2 x
⫽ tan2 x
cos2 x
(2 sin x cos x ⫺ 1)(2 sin x cos x ⫹ 1)
(1 ⫹ sin x )(1 ⫺ sin x )
4 sin2 x cos2 x ⫺ 1
1 ⫺ sin2 x
4 sin2 x cos2 x ⫺ 1
cos2 x
4 sin2 x cos2 x
1
⫺ cos2 x
cos2 x
⫽ 4 sin2 x ⫺ sec2 x
⫽ 4 sin2 x ⫺ sec2 x
⫽ 4 sin2 x ⫺ sec2 x
⫽ 4 sin2 x ⫺ sec2 x
4 sin2 x ⫺ sec2 x ⫽ 4 sin2 x ⫺ sec2 x
tan2 x ⫽ tan2 x
e)
sin2 x
⫽ 1 ⫹ cos x
1 ⫺ cos x
2
1 ⫺ cos x
⫽ 1 ⫹ cos x
1 ⫺ cos x
(1 ⫹ cos x )(1 ⫺ cos x )
⫽ 1 ⫹ cos x
1 ⫺ cos x
f)
1
1
1
⫺ cos2 x sin2 x cos2 x ⫺ cos2 x cos4 x ⫽ tan2 x
cos2 x
1
⫺ sin2 x ⫺ cos2 x ⫽ tan2 x
cos2 x
1 ⫹ cos x ⫽ 1 ⫹ cos x
g)
sec2 x ⫺ (sin2 x ⫹ cos2 x ) ⫽ tan2 x
sec2 x ⫺ 1 ⫽ tan2 x
tan2 x ⫽ tan2 x
tan2 x ⫺ sin2 x ⫽ sin2 x tan2 x
2
sin x
⫺ sin2 x
cos2 x
sin2 x
sin2 x cos2 x
⫺
2
cos x
cos2 x
2
2
sin x ⫺ sin x cos2 x
cos2 x
2
sin x (1 ⫺ cos2 x )
cos2 x
sin2 x sin2 x
cos2 x
sin2 x
sin2 x cos2 x
sec2 x (1 ⫺ sin2 x cos2 x ⫺ cos4 x ) ⫽ tan2 x
sec x ⫺ sec2 x sin2 x cos2 x ⫺ sec2 x cos4 x ⫽ tan2 x
2
h)
⫽ sin2 x tan2 x
1
sec2 x ⫹ cosec2 x ⫽ cos2 x sin2 x
1
1
⫹ sin2 x
cos2 x
sin2 x
cos2 x
⫹ cos2 x sin2 x
cos2 x sin2 x
sin2 x ⫹ cos2 x
cos2 x sin2 x
1
cos2 x sin2 x
⫽ sin2 x tan2 x
⫽ sin2 x tan2 x
⫽ sin2 x tan2 x
1
⫽ cos2 x sin2 x
1
⫽ cos2 x sin2 x
1
⫽ cos2 x sin2 x
1
⫽ cos2 x sin2 x
⫽ sin2 x tan2 x
⫽ sin2 x tan2 x
sin2 x tan2 x ⫽ sin2 x tan2 x
14. Démonstration 1
• de l’étape 1 à l’étape
• de l’étape 2 à l’étape
• de l’étape 3 à l’étape
• de l’étape 4 à l’étape
• de l’étape 5 à l’étape
• de l’étape 6 à l’étape
, puisque cos2 a ⫽ 1 ⫺ sin2 a ;
3 , puisque –sin2 a ⫺ sin2 a ⫽ –2 sin2 a ;
4 , en additionnant 2 sin2 a et en soustrayant cos 2a de part et d’autre de l’équation ;
5 , en divisant les deux membres de l’équation par 2 ;
6 , en effectuant une racine carrée de part et d’autre de l’équation ;
7 , en attribuant la valeur 2b à la variable a ;
2
• de l’étape 7 à l’étape
Démonstration 2
• de l’étape 1 à l’étape
• de l’étape 2 à l’étape
• de l’étape 3 à l’étape
• de l’étape 4 à l’étape
• de l’étape 5 à l’étape
• de l’étape 6 à l’étape
8
• de l’étape
8
7
à l’étape
b
冢冣
, puisque 2 2 ⫽ b.
puisque sin2 a ⫽ 1 ⫺ cos2 a ;
3 , puisque cos2 a ⫺ 1 ⫹ cos2 a ⫽ 2 cos2 a ⫺ 1 ;
4 , en additionnant 1 aux deux membres de l’équation et en intervertissant les deux membres ;
5 , en divisant les deux membres de l’équation par 2 ;
6 , en effectuant une racine carrée de part et d’autre de l’équation ;
7 , en attribuant la valeur 2b à la variable a ;
2
b
冢冣
, puisque 2 2 ⫽ b.
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47
Page 142
Mise au point 5.4 (suite)
15. a) sin 3x ⫽ sin (x ⫹ 2x )
⫽ sin x cos 2x ⫹ cos x sin 2x
⫽ sin x cos (x ⫹ x ) ⫹ cos x sin (x ⫹ x )
⫽ sin x (cos x ⭈ cos x ⫺ sin x sin x ) ⫹ cos x (sin x cos x ⫹ sin x cos x)
⫽ sinx (cos2 x ⫺ sin2 x ) ⫹ 2 cos x sin x cos x
⫽ sin x (1 ⫺ sin2 x ⫺ sin2 x ) ⫹ 2 sin x cos2 x
⫽ sin x (1 ⫺ 2 sin2 x ) ⫹ 2 sin x (1 ⫺ sin2 x )
⫽ sin x ⫺ 2 sin3 x ⫹ 2 sin x ⫺ 2 sin3 x
⫽ 3 sin x ⫺ 4 sin3 x
b) sin 4x ⫽ sin 2(2x )
⫽ sin (2x ⫹ 2x )
⫽ sin 2x cos 2x ⫹ sin 2x cos 2x
⫽ 2 sin 2x cos 2x
⫽ 2 sin (x ⫹ x ) cos (x ⫹ x )
⫽ 2(sin x cos x ⫹ sin x cos x )(cos x cos x ⫺ sin x sin x )
⫽ 2(2 sin x cos x )(cos2 x ⫺ sin2 x )
⫽ 4 sin x cos x (cos2 x ⫺ sin2 x )
⫽ 4 sin x cos3 x ⫺ 4 sin3 x cos x
c) sin 6x ⫽ sin 2(3x )
⫽ sin (3x ⫹ 3x )
⫽ sin 3x cos 3x ⫹ sin 3x cos 3x
⫽ 2 sin 3x cos 3x
2⫺ 2
16. a) 兹 2 兹
e)
b)
兹 2 ⫺ 兹 2 ⫹ 兹2
2
2⫺ 2
i ) –兹 2 兹
17. a)
c)
兹 2 ⫹ 兹 2 ⫹ 兹3
2
c) –1 ⫺ 兹2
f ) 2 ⫺ 兹3
g)
2⫹ 3
j ) –兹 2 兹
k)
兹 2 ⫹ 兹 2 ⫹ 兹2
冑
2 ⫺ 兹2 ⫹ 兹3
2 ⫹ 兹 2 ⫹ 兹3
π
sin 2 ⫹ x ⫽ cos x
π
π
sin 2 cos x ⫹ sin x cos 2 ⫽ cos x
冣
1 cos x ⫹ sin x ⭈ 0 ⫽ cos x
cos x ⫽ cos x
冢
冣
3π
e)
cos 2 ⫹ x ⫽ sin x
3π
3π
cos 2 cos x ⫺ sin 2 sin x ⫽ sin x
0 cos x ⫺ –1 sin x ⫽ sin x
sin x ⫽ sin x
48
2⫺ 2
h) – 兹 2 兹
2
cos (1000π ⫺ x) ⫽ cos x
cos 1000π cos x ⫹ sin 1000π sin x ⫽ cos x
1 cos x ⫹ 0 sin x ⫽ cos x
cos x ⫽ cos x
冢
d) 兹2 ⫺ 1
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2⫹ 3
l ) –兹 2 兹
b) tan (x ⫹ 51 π) ⫽ tan x
tan x ⫹ tan 51π
⫽ tan x
1 ⫺ tan x tan π
tan x ⫹ 0
⫽ tan x
1 ⫺ tan x ⭈ 0
tan x ⫽ tan x
d)
tan (211π ⫺ x) ⫽ –tan x
tan 211π ⫺ tan x
⫽ –tan x
1 ⫹ tan 211π tan x
0 ⫺ tan x
⫽ –tan x
1⫹0
⫽ –tan x
f)
sin (x ⫺ 101π) ⫽ –sin x
sin x cos 101π ⫺ sin 101π cos x ⫽ –sin x
–1 sin x ⫺ 0 cos x ⫽ –sin x
–sin x ⫽ –sin x
–tan x
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Page 143
Mise au point 5.4 (suite)
18. a)
cot x
⫽ sec x
cosec x ⫺ sin x
cos x
ᎏ
sin x
1
ᎏ ⫺ sin x
sin x
cos x
ᎏ
sin x
1
sin2 x
ᎏ⫺ᎏ
sin x
sin x
cos x
ᎏ
sin x
1 ⫺ sin2 x
ᎏᎏ
sin x
cos x
ᎏ
sin x
cos2 x
ᎏ
sin x
cos2 x
b) 1 ⫺ cos2 x ⫹ sin2 x ⫹ cos2 x ⫽ cosec2 x
c)
cos2 x
⫹ sin2 x ⫹ cos2 x ⫽ cosec2 x
sin2 x
⫽ sec x
cot2 x ⫹ sin2 x ⫹ cos2 x ⫽ cosec2 x
cot2 x ⫹ 1 ⫽ cosec2 x
cosec2 x ⫽ cosec2 x
⫽ sec x
sin x sec x
⫽ tan2 x
cosec x 兹苶
1 ⫺ sin2 x
sin x sec x
⫽ tan2 x
cosec x 兹苶
cos2 x
sin x sec x
⫽ tan2 x
cosec x cos x
1
cos x
sin x ᎏ
1
ᎏ cos x
sin x
sin x
ᎏ
cos x
cos x
ᎏ
sin x
⫽ sec x
⫽ sec x
sec x ⫽ sec x
d) cos x tan x ⫹ cos2 x ⫽ 1
sin2 x
cos2 x cos2 x ⫹ cos2 x ⫽ 1
sin2 x ⫹ cos2 x ⫽ 1
1⫽1
2
⫽ tan2 x
sin x
sin x
⫻ cos x ⫽ tan2 x
cos x
sin2 x
⫽ tan2 x
cos2 x
cos x
sin x
⫻ cos2 x ⫽ sec x
sin x
1
⫽ sec x
cos x
2
⫽ tan2 x
tan2 x ⫽ tan2 x
e)
cos2 x tan x
⫽ sin2 x
cot x
sin x
cos x
cos x
ᎏ
sin x
cos2 x ᎏ
sin x
f ) sin2 x cot2 x ⫹ sin2 x ⫽ 1
cos2 x
sin2 x sin2 x ⫹ sin2 x ⫽ 1
cos2 x ⫹ sin2 x ⫽ 1
1⫽1
⫽ sin2 x
sin x
cos2 x cos x ⫻ cos x ⫽ sin2 x
sin2 x ⫽ sin2 x
sin x
g) sec x cosec x ⫽ cos x
h)
sin x 1
⫽ cos x
sec x sin x
1
⫽ cos x
sec x
1
1
ᎏ
cos x
(1 ⫺ cos2 x ) cot2 x ⫽ cos2 x
sin2 x cot2 x ⫽ cos2 x
cos2 x
sin2 x sin2 x ⫽ cos2 x
cos2 x ⫽ cos2 x
⫽ cos x
cos x ⫽ cos x
2π
4
19. a ⫽ 3 et b ⫽ tan–1 5 ⫽ 0,6435011088
tan a ⫺ tan b
a) tan (a ⫺ b) ⫽ 1 ⫹ tan a tan b
3
–兹苶
3 ⫺ ᎏ4
tan (a ⫺ b) ⫽
3
1 ⫹ –兹苶
3 ⭈ ᎏ4
tan (a ⫺ b) ⫽
48 ⫹ 25兹苶
3
11
c) cos (b ⫺ a) ⫽ cos b cos a ⫹ sin b sin a
1
兹苶3
cos (b ⫺ a) ⫽ 0,8 ⭈ – 2 ⫹ 0,6 ⭈ 2
3兹苶
3
2
cos (b ⫺ a) ⫽ – 5 ⫹ 10
–4 ⫹ 3兹苶
3
cos (b ⫺ a) ⫽
10
b) sin (a ⫹ b) ⫽ sin a cos b ⫹ sin b cos a
1
兹苶3
sin (a ⫹ b) ⫽ 2 ⭈ 0,8 ⫹ 0,6 ⭈ – 2
3
3
2兹苶
sin (a ⫹ b) ⫽ 5 ⫹ – 10
–3 ⫹ 4兹苶
3
sin (a ⫹ b) ⫽
10
d) tan 2a ⫽ tan (a ⫹ a )
tan a ⫹ tan a
tan 2a ⫽ 1 ⫺ tan a tan a
–兹苶
3 ⫹ –兹苶
3
tan 2a ⫽
1 ⫺ (–兹苶
3 )(–兹苶
3)
–2兹苶
3
tan 2a ⫽ –2
tan 2a ⫽ 兹苶
3
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49
20. L’altitude (en km) de la fusée correspond à la tangente de l’angle d’élévation. Il faut montrer que l’affirmation
« Lorsque la mesure de l’angle d’élévation O double, la tangente de cet angle double. » Pour montrer qu’une affirmation
est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple.
π
π
π
π
π
兹苶3
Soit un angle d’élévation de 6 rad. La tangente de 6 est tan 6 ⫽ 3 . Le double de 6 rad est 3 rad.
π
π
兹苶3
La tangente de 3 est tan 3 ⫽ 兹3 . Puisque 兹3 n’est pas le double de 3 , mais bel et bien le triple,
nous pouvons confirmer que l’affirmation est fausse.
RUBRIQUES PARTICULIÈRES
5
Page 145
Chronique du passé
1. a)
3
2 ⫺ 兹苶
2
3
b) 2
π
c)
π
冢 冣
π
cos 冢 2 ⫺ a冣 ⫽ 0 cos a ⫹ 1 sin a
π
cos 冢 2 ⫺ a冣 ⫽ sin a
2
2 ⫺ 兹苶
2
π
2. cos 2 ⫺ a ⫽ cos 2 cos a ⫹ sin 2 sin a
1
12
3. a) 2
32
b) 17
c) 37
4. cos 2x ⫽ cos2 x ⫺ sin2 x
sin2 x ⫽ cos2 x ⫺ cos 2x
sin2 x ⫽ (1 ⫺ sin2 x ) ⫺ cos 2x
2 sin2 x ⫽ 1 ⫺ cos 2x
1 ⫺ cos 2x
sin2 x ⫽
2
Page 147
Le monde du travail
1.
Indice de réfraction
du milieu 1 (n1)
Indice de réfraction
du milieu 2 (n2)
Mesure de l’angle
d’incidence (rad)
1,46
1,001
π
18
2,01
1,02
3,26
0,2561
π
12
π
14
π
18
0,1317
π
18
π
24
2,54
1
1,33
Mesure de l’angle
de réfraction (rad)
2. a) Le phénomène de réflexion totale se produit lorsque l’angle de réfraction est obtus. L’angle critique est donc l’angle
d’incidence qui engendre un angle de réfraction de π2 rad. Ainsi, lorsque l’angle critique est atteint, on sait que
π
n1 ⫻ sin θ1 ⫽ n2 ⫻ sin 2 .
π
Puisque sin 2 ⫽ 1, on arrive à la règle n1 ⫻ sin θ1 ⫽ n2.
n2
n2
En isolant sin θ1 on obtient sin θ1 ⫽ n , ce qui nous amène à dire que θ1 ⫽ arc sin n .
1
1
b) Le domaine de arc sin est limité à l’intervalle [–1, 1]. Dans le cas des problèmes de réfraction, on ne se sert que d’angles
qui ne sont pas orientés. Ainsi, leur valeur est toujours supérieure à 0. Ainsi, pour nos besoins, le domaine d’arc sin
n2
n2
devient [0, 1]. Pour que n soit compris dans cet intervalle, il faut nécessairement que 0 ⬍ n ⬍ 1.
1
1
En résolvant cette inéquation, on arrive à n2 ⬎ 0 et n2 ⬍ n1.
3. a) ⬇ 0,75 rad
50
b) ⬇ 0,68 rad
c) ⬇ 0,67 rad
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d) ⬇ 0,43 rad
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Page 148
Vue d’ensemble
π
1. a) 30° ⫽ 6 rad
3π
d) 27° ⫽ 20 rad
π
5π
f ) 270° ⫽ 2 rad
1) Domaine : ⺢
3π
e) – 8 rad ⫽ –112,5°
h) 5 rad ⫽ 288°
b) 3e quadrant.
c) 2e quadrant.
e
f ) 4 quadrant.
g) 1er quadrant.
2. a) 1er quadrant.
e) 4e quadrant.
4. a)
c) 75° ⫽ 12 rad
8π
g) –36° ⫽ – 5 rad
3. a)
b)
c)
d)
e)
f)
5π
35π
b) 18 rad ⫽ 350°
π
1) Domaine : ⺢ \ x 僆 ⺢ | x ⫽ n , n 僆 ⺪
2
1) Domaine : ⺢
冦
冧
13π
i ) –78° ⫽ – 30 rad
d) 1er quadrant.
h) 2e quadrant.
2) Codomaine : [1, 7]
3) Période :10
2) Codomaine : ⺢
3) Période : π
2π
3) Période :
3
3) Période : 4
2) Codomaine : [–7, –3]
1) Domaine : ⺢
2) Codomaine : [17, 19]
1) Domaine : ⺢
2) Codomaine : [–6, 8]
冦
冧
n
11
1) Domaine : ⺢ \ x 僆 ⺢ | x ⫽
⫹ 3, n 僆 ⺪
6
(sin x cot x )2
⫽ 1 ⫺ sin x
1 ⫹ sin x
cos2 x
sin x
sin2 x ᎏ
2
1 ⫹ sin x
cos2 x
1 ⫹ sin x
1 ⫺ sin2 x
1 ⫹ sin x
(1 ⫺ sin x )(1 ⫹ sin x )
1 ⫹ sin x
b)
⫽ 1 ⫺ sin x
⫽ 1 ⫺ sin x
⫽ 1 ⫺ sin x
⫽ 1 ⫺ sin x
1 ⫺ sin x ⫽ 1 ⫺ sin x
c) tan x ⫹ cot x ⫽ sec x cosec x
sin x
cos x
⫹ sin x ⫽ sec x cosec x
cos x
3) Période : π
1
3) Période :
3
2) Codomaine : ⺢
d)
sin2 x ⫹ cos2 x
⫽ sec x cosec x
cos x sin x
1
⫽ sec x cosec x
cos x sin x
1
1
⫽ sec x cosec x
cos x sin x
1 ⫺ 2 sin2 x ⫽ 2 cos2 x ⫺ 1
1 ⫺ sin2 x ⫺ sin2 x ⫽ 2 cos2 x ⫺ 1
cos2 x ⫺ sin2 x ⫽ 2 cos2 x ⫺ 1
2
cos x ⫺ (1 ⫺ cos2 x ) ⫽ 2 cos2 x ⫺ 1
cos2 x ⫺ 1 ⫹ cos2 x ⫽ 2 cos2 x ⫺ 1
2 cos2 x ⫺ 1 ⫽ 2 cos2 x ⫺ 1
(tan x ⫺ cot x ) sin x cos x ⫽ sin2 x ⫺ cos2 x
sin x
cos x
⫺ sin x sin x cos x ⫽ sin2 x ⫺ cos2 x
cos x
冢
冣
sin x ⫺ cos x
冢 cos x sin x 冣 sin x cos x ⫽ sin2 x ⫺ cos2 x
2
2
sin2 x ⫺ cos2 x ⫽ sin2 x ⫺ cos2 x
sec x cosec x ⫽ sec x cosec x
e)
sin x
tan x
⫽ 1 ⫹ tan x
sin x ⫹ cos x
sin x
tan x
sec x
⫻ sec x ⫽ 1 ⫹ tan x
sin x ⫹ cos x
sin x sec x
tan x
⫽ 1 ⫹ tan x
(sin x ⫹ cos x ) sec x
1
sin x ᎏ
cos x
1
(sin x ⫹ cos x ) ᎏ
cos x
sin x
ᎏ
cos x
sin x
cos x
ᎏ⫹ᎏ
cos x
cos x
tan x
⫽ 1 ⫹ tan x
tan x
⫽ 1 ⫹ tan x
f)
cos x
cos x
⫹ 1 ⫺ sin x
1 ⫹ sin x
cos x (1 ⫹ sin x )
cos x (1 ⫺ sin x )
⫹ (1 ⫺ sin x )(1 ⫹ sin x )
(1 ⫺ sin x )(1 ⫹ sin x )
cos x ⫺ sin x cos x ⫹ cos x ⫹ sin x cos x
1 ⫺ sin2 x
cos x ⫹ cos x
cos2 x
2 cos x
cos2 x
1
2 cos x
⫽ 2 sec x
⫽ 2 sec x
⫽ 2 sec x
⫽ 2 sec x
⫽ 2 sec x
⫽ 2 sec x
2 sec x ⫽ 2 sec x
tan x
tan x
⫽ 1 ⫹ tan x
1 ⫹ tan x
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51
(1 ⫹ tan x )2 ⫹ (1 ⫺ tan x )2 ⫽ 2 sec2 x
1 ⫹ 2 tan x ⫹ tan2 x ⫹ 1 ⫺ 2 tan x ⫹ tan2 x ⫽ 2 sec2 x
1 ⫹ tan2 x ⫹ 1 ⫹ tan2 x ⫽ 2 sec2 x
sec2 x ⫹ sec2 x ⫽ 2 sec2 x
2 sec2 x ⫽ 2 sec2 x
g)
tan2 x
1 ⫹ cot2 x
⫻ cot2 x ⫽ sin2 x sec2 x
1 ⫹ tan2 x
tan2 x
cosec2 x
⫻ cot2 x ⫽ sin2 x sec2 x
sec2 x
h)
sin2 x
ᎏ
cos2 x
1
ᎏ
cos2 x
1
ᎏ
sin2 x
cos2 x
ᎏ
sin2 x
⫻
⫽ sin2 x sec2 x
sin2 x
1
sin2 x
⫻ cos2 x ⫻ sin2 x ⫻ cos2 x ⫽ sin2 x sec2 x
cos2 x
1
sin2 x cos2 x ⫽ sin2 x sec2 x
sin2 x sec2 x ⫽ sin2 x sec2 x
Page 149
Vue d’ensemble (suite)
冦
10
冧
14
5. a) x 僆 ⺢ 兩 x ⫽ 3 ⫹ 4n v x ⫽ 3 ⫹ 4n, n 僆 ⺪
c) {x 僆 ⺢ 兩 x ⫽ 6n, n 僆 ⺪}
π⫹4
e) x 僆 ⺢ 兩 x ⫽ 4 ⫹ n π, n 僆 ⺪
冦
冢
冧
π
冣
π
c) f (x ) ⫽ 2 sin 3x ⫹ 1 ou f (x ) ⫽ 2cos 3冢x ⫺ 6 冣 ⫹ 1
π
e) f (x ) ⫽ sin x ou f (x ) ⫽ cos 冢x ⫺ 2 冣
6. a) f (x ) ⫽ –sin x ou f (x ) ⫽ cos π x ⫹ 2
b) {x 僆 ⺢ 兩 x ⫽ 2 ⫹ 16n v x ⫽ 10 ⫹ 16n , n 僆 ⺪}
冦
5π
f ) 冦x 僆 ⺢ 兩 x ⫽ 16 ⫹ n π, n 僆 ⺪冧
2
2
冧
2
4
d) x 僆 ⺢ 兩 x ⫽ 9 ⫹ 3 n v x ⫽ 9 ⫹ 3 n, n 僆 ⺪
b) f (x ) ⫽ –3 cos x ou f (x ) ⫽ 3cos(x ⫹ π)
1
冢
冣
d) f (x ) ⫽ sin πx ⫺ 1 ou f (x ) ⫽ cos π x ⫺ 2 ⫺ 1
冢
π
冣
f ) f (x ) ⫽ –10 sin x ⫺ 20 ou f (x ) ⫽ 10 cos x ⫹ 2 ⫺ 20
Page 150
Vue d’ensemble (suite)
7. a) Aucune solution.
25π – 23π – 19π – 17π – 13π – 11π – 5π – π π 5π 7π 11π 13π 17π 19π 23π 25π
, 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9, 9, 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9 , 9
9
5π
c) – 4
b)
冦–
冧
d) Aucune solution.
19π π 5π 25π 29π 49π 53π
冦– 24 , – 24 , – 24 , – 24 , – 24 , – 24 , 24 , 24 , 24 , 24 , 24 , 24 冧
11π 9π 7π 5π 3π π π 3π 5π 7π 9π 11π
f ) 冦– 4 , – 4 , – 4 , – 4 , – 4 , – 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 冧
71π
e)
67π
47π
冥–
43π
23π
冤 冥
冤 冥
冤
35π – 25π
5π 15π
45π 55π
, 4 傼 4 , 4 傼 4 , 4 傼 ... b) Aucune solution.
4
7π π
π 7π
9π 15π
d) ... 傼 – 4 , – 4 傼 4 , 4 傼 4 , 4 傼 ...
c) ... 傼 ]–1, 0[ 傼 ]3, 4[ 傼 ]7, 8[ 傼 ...
π
5π π
4π
e) Aucune solution.
f ) ... 傼 3 , 0 傼 6 , 2 傼 3 , π 傼 ...
8. a) ... 傼
5
13
9. a) 13
5
b) 12
c) 12
10. a) – 2
兹苶3
b) 3
c)
兹苶3
11. a) 2
b) 3
1
π
冤
冥 冤 冥 冤
冤 冤 冤 冤 冤 冤
–
13
12
d) 5
3
2兹苶
3
d)
e) 5
– 兹苶
3
2
e) –2
兹苶2
d) 2
c) 1
冥
π
π
e) 2 ⫹ nπ, où n 僆 ⺪
f) –4
12. Le temps pris par la roue pour faire un tour complet correspond à la période de la règle h ⫽ 14 sin 15(t ⫺ 15) ⫹ 8,
2π
donc 15 s, soit environ 0,42 s.
Page 151
Vue d’ensemble (suite)
1
13. a) f (x ) ⫽ 2 tan 2 x ⫺ 2
π
d) f (x ) ⫽ – 2 tan 2 x
52
1
冢
π
冣
1
1
b) f (x ) ⫽ – 2 tan x ⫺ 2 ⫹ 2
c) f (x ) ⫽ 2 tan πx ⫹ 0,5
e) f (x ) ⫽ 4 tan 2 x
f ) f (x ) ⫽ tan 2 (x ⫹ π) ⫹ 2
π
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1
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冦 冧
π 7π 11π
d) x 僆 冦 2 , 6 , 6 冧
冦
2π 4π
14. a) x 僆 3 , 3
π π 2π 4π 3π 5π
b) x 僆 3 , 2 , 3 , 3 , 2 , 3
3π
π 5π
冧
冦 冧
π 2π 4π 5π
f) x 僆 冦3, 3 , 3 , 3 冧
c) x 僆 3 , 3
e) x ⫽ 2
Page 152
Vue d’ensemble (suite)
10
2兹苶
7
兹苶7
g) 3
15. a)
16. a) f (x ) ⱖ 0 si x
f (x ) ⱕ 0 si x
b) f (x ) ⱖ 0 si x
f (x ) ⱕ 0 si x
c) f (x ) ⱖ 0 si x
f (x ) ⱕ 0 si x
d) f (x ) ⱖ 0 si x
f (x ) ⱕ 0 si x
e) f (x ) ⱖ 0 si x
f (x ) ⱕ 0 si x
f ) f (x ) ⱖ 0 si x
f (x ) ⱕ 0 si x
3
10
10
10
2兹苶
7
7兹苶
3兹苶
c) 3
d) 20
e) 20
f) 4
3
9 ⫹ 2兹苶
7
7
10 ⫹ 3兹苶
7
70
4
4兹苶
3兹苶
6兹苶
h) 3
i) 7
j) 7
k)
l)
28
28
5
5
1 1
僆 –2, – 3 傼 – 3 , 3 傼 3 , 2 ;
5 1
1 5
僆 – 3, – 3 傼 3, 3 .
23π 7π
π 17π
僆 – 6 , – 6 傼 6, 6 ;
17π
23π
7π π
僆 –4π, – 6 傼 – 6 , 6 傼 6 , 4π .
35π
29π
13π 19π
僆 –4π, – 12 傼 – 12 , 12 傼 12 , 4π ;
29π 13π
19π 35π
僆 – 12 , – 12 傼 12 , 12 .
5π
7π
3π
π
僆 – 4 , – π 傼 – 4 , 0 傼 4 , π 傼 4 , 2π ;
5π
7π
3π
π
僆 –2π, – 4 傼 – π, – 4 傼 0, 4 傼 π, 4 .
7π
5π
π
3π
僆 –3π, – 2 傼 – π, – 2 傼 π, 2 傼 3π, 2 ;
7π
5π
π
3π
僆 [–4π, –3π[ 傼 – 2 , – π 傼 – 2 , π 傼 2 , 3π 傼 2 , 4π .
11
11
3 7
5 1
1 1
1 5
7 3
僆 – 2, – 6 傼 – 2 , – 6 傼 – 6 , – 2 傼 – 6 , 6 傼 2 , 6 傼 6 , 2 傼 6 , 2 ;
11 3
7 5
1 1
1 1
5 7
3 11
僆 – 6 , – 2 傼 – 6, – 6 傼 – 2, – 6 傼 6, 2 傼 6, 6 傼 2, 6 .
b)
冤
冤
冤
冤
冤
冤
冤
冥
冥
冥 冤 冥 冤 冥
冥 冤 冥
冥 冤 冥
冥 冤 冥 冤
冥
冥 冤
冥 冤
冥
冥 冤
冥
冤 冤 冤 冤 冤 冤
冥 冥
冥 冥 冥 冥
冥 冥
冥 冥 冥 冥
冤
冤 冤 冤 冤
冤 冤
冤 冤
冤 冤
冥 冥
冥 冥
冥 冥
冤
冥
冤
冥
冥
冤 冤 冥
冤 冤 冤 冤
冥 冥 冥 冥
冤 冤
冥
冥
Page 153
Vue d’ensemble (suite)
冦
2π
冧
4π
17. a) x 僆 ⺢ 兩 x ⫽ n π v x ⫽ 3 ⫹ 2n π v x ⫽ 3 ⫹ 2n π, n 僆 ⺪
c) {x 僆 ⺢ 兩 x ⬇ 0,6749 ⫹ 2n π v x ⬇ –0,6749 ⫹ 2n π, n 僆 ⺪}
π
nπ
冦
冧
π
2π
g) 冦x 僆 ⺢ 兩 x ⫽ 3 ⫹ n π v x ⫽ 3 ⫹ n π, n 僆 ⺪冧
e) x 僆 ⺢ 兩 x ⫽ 4 ⫹ 2 , n 僆 ⺪
π
nπ
冦
冧
冦
冧
nπ
π
f ) 冦x 僆 ⺢ 兩 x ⫽ 4 ⫹ 2 , n 僆 ⺪冧
b) x 僆 ⺢ 兩 x ⫽ 4 ⫹ 2 , n 僆 ⺪
nπ
π
d) x 僆 ⺢ 兩 x ⫽ 4 ⫹ 2 , n 僆 ⺪
h) {x 僆 ⺢ 兩 x ⬇ 1,9979 ⫹ 2n π v x ⬇ –1,9979 ⫹ 2n π, n 僆 ⺪}
冦
2π
冧
4π
i ) x 僆 ⺢ 兩 x ⫽ 3 ⫹ 2n π v x ⫽ 3 ⫹ 2n π, n 僆 ⺪
345
18. Arc de cercle : 3450 km ; Circonférence du cercle : (2π ⭈ 1520) km, donc la mesure de l’arc de cercle est 152 rad
Page 154
Vue d’ensemble (suite)
冢
1
冣
19. a) f (x ) ⫽ 3 cos π(x ⫺ 1) ⫹ 1,5 ou f (x ) = 3 sin π x ⫺ 2 ⫹ 1,5
b) 1) {1, 3, 5}
2)
冦3, 3, 3,
1 5 7 11 13 17
, ,
3 3 3
冧
20. Pendant la simulation, une explosion se produit aux moments suivants : 0,75 s, 2,75 s, 4,75 s, 6,75 s, 8,75 s, 10,75 s,
12,75 s et 14,75 s.
21. L’appareil est saturé à environ 0,52 s, 0,62 s, 0,72 s, 0,82 s et 0,92 s.
22. La longueur de la courroie est environ 43,62 cm
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53
Page 155
Vue d’ensemble (suite)
π
23. On cherche le zéro de y ⫽ cos x pour x 僆 [0,2], soit x ⫽ 2 ⬇ 1,57. La longueur A de la lame est donc environ
de 1,57 mm.
Résoudre tan x ⫽ cos x pour x 僆 [0,2].
On trouve x ⬇ 0,67.
y ⬇ tan 0,67
y ⬇ 0,79
La hauteur B est environ de 0,79 mm.
πt
24. Il s’agit de trouver les zéros de h ⫽ 250 cos 15 ⫹ 125 pour t 僆 [0, 30] s.
t ⫽ 20 s et t ⫽ 10 s. Donc 20 s ⫺ 10 s = 10 s.
L’avion prend 10 s pour remplir ses réservoirs.
Page 156
Vue d’ensemble (suite)
25. a) 1) ⬇ 194,67 m
2) ⬇ 169,64 m
v cos θ
b) La formule générale est P ⫽ g (v sin θ ⫹ 兹(v sin θ)2 ⫹ 2gy0 ).
v cos θ
En remplaçant y0 par 0, on obtient : P ⫽ g (v sin θ ⫹ 兹(v sin θ)2 ⫹ 2g ⫻ 0 )
En réduisant cette expression, on obtient :
v cos θ
(v sin θ ⫹ 兹(v sin θ)2 )
g
v cos θ
⫽ g (v sin θ ⫹ v sin θ)
v cos θ
⫽ g 2v sin θ
2v 2 sin θ cos θ
⫽
g
P⫽
Puisque 2 sin θ cos θ ⫽ sin 2θ, alors P ⫽
v 2 sin 2θ
.
g
c) À une vitesse d’environ 44,29 m/s.
d) L’angle de projection doit être environ de 0,63 rad
e) À une vitesse d’environ 98,43 m/s.
Page 157
Vue d’ensemble (suite)
π
π
26. a) 1) P ⫽ 30 cos 4 (x ⫺ 4) ⫹ 210 ou P ⫽ 30 sin 4 (x ⫺ 2) ⫹ 210, où P représente la population de chevreuils et x,
le temps écoulé depuis 2000 (en années).
π
π
2) P ⫽ 4 cos (x ⫺ 5) ⫹ 20 ou P ⫽ 4 sin (x ⫺ 3) ⫹ 20, où P représente la population de coyotes et x,
4
4
b) 1)
2)
c) 1)
2)
le temps écoulé depuis 2000 (en années).
En 2021, la population de chevreuils sera d’environ 231 bêtes.
En 2027, la population de coyotes sera de 20 bêtes.
Du 1er septembre 2010 au 30 avril 2013, du 1er septembre 2018 au 30 avril 2021 et du 1er septembre 2026
au 30 avril 2029.
Puisque 24 est le nombre maximal de coyotes, la population de coyotes est toujours inférieure ou égale à 24 bêtes.
Banque de problèmes
Page 158
1. La mesure du segment AC correspond à une fois la tangente de l’angle ABC.
π
π
Si l’angle ABC mesure 12 rad, le segment AC mesure m AC ⫽ tan 12 ⫽ 2 ⫺ 兹3, soit environ 0,2679.
π
π
兹苶3
Si la mesure de l’angle ABC double, celle-ci sera de 6 rad. Dans ce cas, le segment AC mesure m AC ⫽ tan 6 ⫽ 3 , soit
environ 0,5774.
3,
Dans ce cas particulier, lorsque la mesure de l’angle AC double, la mesure du segment AC se trouve multipliée par 1 ⫹ 兹苶
soit environ 2,73.
54
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π
2. En utilisant plutôt un cosinus pour exprimer la règle de cette fonction, on arrive à la règle f (x ) ⫽ –2 cos 2 x ⫹ 1.
L’affirmation de Nelly-Anne est fausse.
3. Plusieurs réponses possibles. Exemple :
On peut découper la partie de l’aire au-dessous de la courbe en plusieurs petits rectangles et triangles, calculer les aires et
en faire la somme.
Page 159
Banque de problèmes (suite)
4. L’affirmation C est la plus juste. L’affirmation A est fausse, parce qu’en ne limitant pas le domaine de la fonction,
sa réciproque permettrait à une valeur de la variable indépendante d’être associée à plus d’une valeur de la variable
dépendante. La même chose se produit dans le cas de l’affirmation B , si les deux asymptotes choisies ne sont pas
consécutives.
5.
Table des marées
Date
Période déconseillée
er
1 juillet De 1 h 20 à 4 h 24
De 12 h 50 à 15 h 54
2 juillet De 0 h 20 à 3 h 24
De 11 h 50 à 14 h 54
De 23 h 20 à minuit.
3 juillet De minuit à 2 h 24
De 10 h 50 à 13 h 54
De 22 h 20 à minuit.
4 juillet De minuit à 1 h 24
De 9 h 50 à 12 h 54
De 21 h 20 à minuit.
5 juillet De minuit à 0 h 24
De 8 h 50 à 11 h 54
De 20 h 20 à 23 h 24
6 juillet De 7 h 50 à 10 h 54
De 19 h 20 à 22 h 24
7 juillet
De 6 h 50 à 9 h 54
De 18 h 20 à 21 h 24
8 juillet De 5 h 48 à 9 h 03
De 17 h 33 à 20 h 48
9 juillet De 5 h 18 à 8 h 33
De 17 h 03 à 20 h 18
10 juillet De 4 h 48 à 8 h 03
De 16 h 33 à 19 h 48
11 juillet De 4 h 18 à 7 h 33
De 17 h 03 à 19 h 18
12 juillet De 3 h 48 à 7 h 03
De 15 h 33 à 18 h 48
13 juillet De 3 h 18 à 6 h 33
De 15 h 03 à 18 h 18
14 juillet De 2 h 48 à 6 h 03
De 14 h 33 à 17 h 48
Table des marées
Date
Période déconseillée
15 juillet De 2 h 14 à 5 h 30
De 13 h 44 à 17 h
16 juillet De 1 h 14 à 4 h 30
De 12 h 44 à 16 h
17 juillet De 0 h 14 à 3 h 30
De 11 h 44 à 15 h
De 23 h 14 à minuit.
18 juillet De minuit à 2 h 30
De 10 h 44 à 14 h
De 22 h 14 à minuit.
19 juillet De minuit à 1 h 30
De 9 h 44 à 13 h
De 21 h 14 à minuit.
20 juillet De minuit à 0 h 30
De 8 h 44 à 12 h
De 20 h 14 à 23 h 30
21 juillet De 7 h 44 à 11 h
De 19 h 14 à 22 h 30
22 juillet De 6 h 45 à 9 h 52
De 18 h à 21 h 07
23 juillet De 5 h 15 à 8 h 22
De 16 h 30 à 19 h 37
24 juillet De 3 h 45 à 6 h 52
De 15 h à 18 h 07
25 juillet De 2 h 15 à 5 h 22
De 13 h 30 à 16 h 37
26 juillet De 0 h 45 à 3 h 52
De 12 h à 15 h 07
De 23 h 15 à minuit.
27 juillet De minuit à 2 h 22
De 10 h 30 à 13 h 37
De 21 h 45 à minuit.
28 juillet De minuit à 0 h 52
De 9 h à 12 h 07
De 20 h 15 à 23 h 22
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55
Page 160
Banque de problèmes (suite)
1
6. Un cycle correspond à une période. 20 cycles/s signifie qu’il y a un cycle à tous les 20
s, alors que 20 000 cycles/s signifie
2π
qu’il y a un cycle à tous les 20 1000 s. Comme P ⫽ ⱍbⱍ , le paramètre b peut prendre toutes valeurs comprises entre 40π et
40 000π.
7. L’ordinateur risque de planter aux moments suivants de la mise à jour : entre environ 2,03 min et environ 3,97 min,
entre environ 8,03 min et environ 9,97 min, entre environ 14,03 min et environ 15,97 min, entre environ 20,03 min
et environ 21,97 min, entre environ 26,03 min et environ 27,97 min, entre environ 32,03 min et environ 33,97 min,
entre environ 38,03 min et environ 39,97 min, entre environ 44,03 min et environ 45,97 min, entre environ 50,03 min
et environ 51,97 min, puis entre environ 56,03 min et environ 57,97 min.
Page 161
Banque de problèmes (suite)
8. Cette personne aura de la fièvre toutes les 4 h, par périodes de 1 h 20 min, soit : de 0 h 20 min à 1 h 40 min,
de 4 h 20 min à 5 h 40 min, de 8 h 20 min à 9 h 40 min, de 12 h 20 min à 13 h 40 min, de 16 h 20 min à 17 h 40 min,
puis de 20 h 20 à 21 h 40 min.
9. Il faut prendre note que lorsque
la pression de l’appareil est
inférieure à la pression
atmosphérique ambiante,
les poumons de la personne
maintenue sous respirateur artificiel
se remplissent d’air, et qu’ils se
vident lorsque la pression de
l’appareil est plus élevée que
la pression atmosphérique
ambiante. Pour que la personne
puisse respirer, il doit y avoir
un équilibre entre le temps où
les poumons se remplissent d’air
et le temps où les poumons
expulsent l’air.
Dans chacun des graphiques ci-dessous, la pression de l’appareil est représentée par
la courbe, tandis que la pression atmosphérique ambiante est représentée par la droite.
Dans la situation représentée ci-contre,
la pression de l’appareil est toujours
inférieure à la pression atmosphérique
ambiante. Les poumons ne se vident
jamais d’air et la personne étouffe.
y
Dans la situation représentée ci-contre,
la pression de l’appareil est plus souvent
inférieure à la pression atmosphérique
ambiante. La quantité d’air inspiré par
la personne est supérieure à la quantité
d’air expulsé. Les poumons peuvent
se gonfler au point où la personne risque
d’étouffer.
Dans la situation représentée ci-contre,
la pression de l’appareil est aussi souvent
inférieure que supérieure à la pression
atmosphérique ambiante. La quantité d’air
inspiré par la personne est égale à
la quantité d’air expulsé. La personne
respire adéquatement.
y
Dans la situation représentée ci-contre,
la pression de l’appareil est plus souvent
supérieure à la pression atmosphérique
ambiante. La quantité d’air inspiré par
la personne est inférieure à la quantité
d’air expulsé. La personne risque d’étouffer.
y
x
x
y
x
Pour qu’il y ait équilibre, il faut que
la pression atmosphérique ambiante
passe par les points d’inflexion de
la fonction sinusoïdale représentée,
qui correspond, entre autre, au
point (h, k). Selon la règle
P ⫽ sin 12πx ⫹ c, k vaut c.
La pression atmosphérique
ambiante doit donc correspondre
au paramètre c.
56
Dans la situation représentée ci-contre,
la pression de l’appareil est toujours
supérieure à la pression atmosphérique
ambiante. La quantité d’air inspiré par
la personne est nulle et la personne risque
d’étouffer.
Vision 5 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel SN – Vol. 2
x
y
x
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