Algèbre et Géométrie

Université d’Aix–Marseille Année 2015–2016
L3 Feuille de TD 4
Algèbre et Géométrie
Exercice 1. Soit Eun espace vectoriel, W1et W2deux sous-espaces vectoriels de Eet qune
forme quadratique.
a. Montrer que W⊥
1∩W⊥ 2= (W1+W2)⊥.
b. Montrer que W⊥
1+W⊥ 2⊆(W1∩W2)⊥.
Exercice 2. Soit Eun espace vectoriel, W6={0}un sous-espace vectoriel de Eet qune forme
quadratique.
a. Rappeler les définitions de sous-espace isotrope, de sous-espace totalement isotrope.
Solution. Un sous-espace West isotrope s’il existe un vecteur v∈Wtel que hv, W i={0}.
Il est totallement isotrope si hu, vi= 0 pour tout uet vde W.
b. Montrer que si West isotrope alors W⊥est isotrope.
Solution. Si v∈Wtel que hv, W i={0}, alors v∈W∩W⊥, et hv, W ⊥i={0}.
c. Que peut-on dire de la réciproque ? (On pourra considérer E=R3,q(x) = x2
1−x2 2et
W= vect(e1).)
Solution. Le complement orthogonal (de tout sous-espace vectoriel) contient le noyau d’un
forme quadratique. Si ker qest non trivial, W⊥est donc isotrope même si Wne l’est pas.
Remarque. La définition de sous-espace isotrope est de fois utilisé pour un sous-espace Wqui
contient un vecteur isotrope (q(v) = hv, vi= 0). Cette définition est plus faible et on ne l’utilise
pas ici.
Exercice 3. Soit la forme quadratique sur R3,q(x, y, z) = x2+y2−z2−4xy + 6xz + 2yz.
a. Déterminer sa matrice dans la base canonique (e1, e2, e3)de R3.
Solution. La matrice de sa forme polaire est A=
1−2 3
−211
3 1 −1
·
b. Montrer que qest non dégénérée.
Solution. Le déterminant de Aest −19 6= 0.
c. Déterminer la matrice de q dans la base (v1, v2, v3)où v1= (1,2,−1),v2= (2,3,1),
v3= (1,1,1).
Solution.
t
P AP =
−14 −9−1
−9 6 7
−1 7 5
où P=
1 2 1
2 3 1
−1 1 1
·
d. Soit F= vect(v3). Quelle est la dimension de F⊥?
Solution. La dimension est 2.
e. Déterminer une base de F⊥.
Solution. Comme Av3= (2,0,3), le complément orthogonal est
F⊥={u∈R3|uAv3= 0}
={(u1, u2, u3)∈R3|2u1+ 3u3= 0}= vect({(3,0,−2),(0,1,0)}.

Exercice 4. Soit Eun R-espace vectoriel muni d’une base B= (e1, e2, e3)et soient B1et B2
deux formes bilinéaires sur Edont les matrices dans la base Bsont
M1=
1−1 0
−1−3−2
0 2 −1
,M2=
0 1 1
2
1−2−1
2
1
2−1 20
a. Donner les matrices de B1et B2dans la base C= (v1, v2, v3)de Eoù
v1=e1, v2=1
2e1+1 2e2, v3=−1 2e1−1 2e2+e3.
Solution. La matrice de passage de CàBest
P=
11
2−1 2
01
2−1 2
0 0 1
ce qui donne
t
P M1P=
100
0−1 0
0 2 −2
et t
P M2P=
01
20
1
20 0
0 0 0
·
pour les matrices de B1et B2dans la base C.
b. Déterminer les rangs de B1et B2.
Solution. Le rang de B1est 3et le rang de B2est 2.
Exercice 5. Soit ql’application de E=R2[X]dans Rdéfinie par A7→ q(A) = A(0).A(1).
a. Montrer que qest une forme quadratique et donner sa forme polaire.
Solution. La forme polaire de qest par définition
hA, Biq=1
2q(A+B)−q(A)−q(B)
=1
2A(0) + B(0)A(1) + B(1)−A(0)A(1) −B(0)B(1)
=1
2A(0)B(1) + B(0)A(1).
On vérifie que q=hA, Aiq, donc qest une forme quadratique.
b. Donner la matrice de qdans la base B= (1, X, X2).
Solution. En vu que q(a0+a1X+a2X2) = a0(a0+a1+a2)la matrice de qest
C=
1 1/2 1/2
1/2 0 0
1/2 0 0
·
c. Appliquer la méthode de Gauss à q. Quel est le noyau de q?
Solution. Le noyau de qest vect({X(X−1)}), en bijection avec le noyau de la matrice
Cdans la base B= (1, X, X2). On commençant avec cette base, on remplace Xet X2par
X−h1, Xi
h1,1i·1 = X−1 2et X2−h1, X2i h1,1i·1 = X2−1/2.

La matrice de qdans la nouvelle base (1, X −1/2, X2−1/2) est alors
1 0 0
0−1/4−1/4
0−1/4−1/4
·
Ensuite on remplace X2−1/2par
X2−1/2−hX−1/2, X2−1/2i
hX2−1/2, X2−1/2i(X−1/2) = X2−X.
La base résultante est (1, X −1/2, X2−X), dans laquelle la matrice de qest
1 0 0
0−1/4 0
0 0 0
·
d. Caractériser les plans totalement isotropes.
Solution. Les plans totalement isotropes sont {A|A(0) = 0}et {A|A(1) = 0}, les deux
plans dont leur réunion est q(A) = 0.
e. Pour A= 1 + X+X2, déterminer A⊥et (A⊥)⊥.
Solution. Si B=b0+b1X+b2X2alors 2hA, Bi= 4b0+b1+b2= 0. Par conséquent,
A⊥= vect({1−4X, X−X2}), et (A⊥)⊥= vect({A})+ker(q) = vect({1+X+X2, X−X2}).
Exercice 6. Appliquer la méthode de Gauss à la forme quadratique sur R4suivante : q(x, y, z, t) =
x(y+z+t) + y(z+t) + zt.
Exercice 7. Déterminer la signature de q(x1, x2, x3) = x2
1+x2 2+x2 3+ 2x1x2+ 2x1x3.
Solution. On complétant les carrés,
x2
1+x2 2+x2 3+ 2x1x2+ 2x1x3= (x1+x2)2+ (x1+x3)2−x2
1,
on voit que la signature et (2,1).
Exercice 8. Pour chacune des formes quadratiques suivantes sur R3, donner sa forme polaire,
sa signature et une base orthogonale.
a. Q1(x) = −x2
1+ 2x1x2−x2 2−2x2 3.
Solution. Q1(x) = −(x1−x2)2−2x2
3, donc la signature est (0,2) et le noyau vect({(1,1,0)}).
Une base orthogonale est ((1,1,0),(1,0,0),(0,0,1)), de normes (0,−1,−2).
b. Q2(x) = −4x2
1−x2 2+ 4x1x3+ 2x2x3−2x2 3.
Solution. Q2(x) = −(2x1−x3)2−(x2−x3)2, donc la signature est (0,2) et le nouyau
vect({(1,2,2)}). Une base orthogonale est ((1,2,2),(1,1,1),(2,1,0)), de normes (0,−1,−1).