Algèbre et Géométrie

Université d’Aix–Marseille
L3
Année 2015–2016
Feuille de TD 4
Algèbre et Géométrie
Exercice 1. Soit E un espace vectoriel, W1 et W2 deux sous-espaces vectoriels de E et q une
forme quadratique.
a. Montrer que W1⊥ ∩ W2⊥ = (W1 + W2 )⊥ .
b. Montrer que W1⊥ + W2⊥ ⊆ (W1 ∩ W2 )⊥ .
Exercice 2. Soit E un espace vectoriel, W 6= {0} un sous-espace vectoriel de E et q une forme
quadratique.
a. Rappeler les définitions de sous-espace isotrope, de sous-espace totalement isotrope.
Solution. Un sous-espace W est isotrope s’il existe un vecteur v ∈ W tel que hv, W i = {0}.
Il est totallement isotrope si hu, vi = 0 pour tout u et v de W .
b. Montrer que si W est isotrope alors W ⊥ est isotrope.
Solution. Si v ∈ W tel que hv, W i = {0}, alors v ∈ W ∩ W ⊥ , et hv, W ⊥ i = {0}.
c. Que peut-on dire de la réciproque ? (On pourra considérer E = R3 , q(x) = x21 − x22 et
W = vect(e1 ).)
Solution. Le complement orthogonal (de tout sous-espace vectoriel) contient le noyau d’un
forme quadratique. Si ker q est non trivial, W ⊥ est donc isotrope même si W ne l’est pas.
Remarque. La définition de sous-espace isotrope est de fois utilisé pour un sous-espace W qui
contient un vecteur isotrope (q(v) = hv, vi = 0). Cette définition est plus faible et on ne l’utilise
pas ici.
Exercice 3. Soit la forme quadratique sur R3 , q(x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 − 4xy + 6xz + 2yz.
a. Déterminer sa matrice dans la base canonique (e1 , e2 , e3 ) de R3 .


1 −2
3
1
1 ·
Solution. La matrice de sa forme polaire est A = −2
3
1 −1
b. Montrer que q est non dégénérée.
Solution. Le déterminant de A est −19 6= 0.
c. Déterminer la matrice de q dans la base (v1 , v2 , v3 ) où v1 = (1, 2, −1), v2 = (2, 3, 1),
v3 = (1, 1, 1).
Solution.




−14 −9 −1
1 2 1
t
P AP =  −9 6 7  où P =  2 3 1 ·
−1 7 5
−1 1 1
d. Soit F = vect(v3 ). Quelle est la dimension de F ⊥ ?
Solution. La dimension est 2.
e. Déterminer une base de F ⊥ .
Solution. Comme Av3 = (2, 0, 3), le complément orthogonal est
F ⊥ = {u ∈ R3 | uAv3 = 0}
= {(u1 , u2 , u3 ) ∈ R3 | 2u1 + 3u3 = 0} = vect({(3, 0, −2), (0, 1, 0)}.
Exercice 4. Soit E un R-espace vectoriel muni d’une base B = (e1 , e2 , e3 ) et soient B1 et B2
deux formes bilinéaires sur E dont les matrices dans la base B sont




1
1 −1
0
0
1
2
M1 =  −1 −3 −2 , M2 =  1 −2 − 12 
1
− 12
0
0
2 −1
2
a. Donner les matrices de B1 et B2 dans la base C = (v1 , v2 , v3 ) de E où
1
1
1
1
v1 = e1 , v2 = e1 + e2 , v3 = − e1 − e2 + e3 .
2
2
2
2
Solution. La matrice de passage de C à B est


1 21 − 12
P =  0 21 − 12 
0 0
1
ce qui donne



1
0
0
0 21 0
t
0  et tP M2 P =  21 0 0 ·
P M1 P =  0 −1
0 0 0
0
2 −2

pour les matrices de B1 et B2 dans la base C.
b. Déterminer les rangs de B1 et B2 .
Solution. Le rang de B1 est 3 et le rang de B2 est 2.
Exercice 5. Soit q l’application de E = R2 [X] dans R définie par A 7→ q(A) = A(0).A(1).
a. Montrer que q est une forme quadratique et donner sa forme polaire.
Solution. La forme polaire de q est par définition
− q(B)
hA, Biq = 21 q(A + B) − q(A)
= 12 A(0) + B(0) A(1) + B(1) − A(0)A(1) − B(0)B(1)
= 12 A(0)B(1) + B(0)A(1) .
On vérifie que q = hA, Aiq , donc q est une forme quadratique.
b. Donner la matrice de q dans la base B = (1, X, X 2 ).
Solution. En vu que q(a0 + a1 X + a2 X 2 ) = a0 (a0 + a1 + a2 ) la matrice de q est


1 1/2 1/2
C =  1/2 0 0 ·
1/2 0 0
c. Appliquer la méthode de Gauss à q. Quel est le noyau de q ?
Solution. Le noyau de q est vect({X(X − 1)}), en bijection avec le noyau de la matrice
C dans la base B = (1, X, X 2 ). On commençant avec cette base, on remplace X et X 2 par
1
h1, X 2 i
h1, Xi
2
· 1 = X − et X −
· 1 = X 2 − 1/2.
X−
h1, 1i
2
h1, 1i
La matrice de q dans la nouvelle base (1, X − 1/2, X 2 − 1/2) est alors


1 0
0
 0 −1/4 −1/4 ·
0 −1/4 −1/4
Ensuite on remplace X 2 − 1/2 par
X 2 − 1/2 −
hX − 1/2, X 2 − 1/2i
(X − 1/2) = X 2 − X.
2
2
hX − 1/2, X − 1/2i
La base résultante est (1, X − 1/2, X 2 − X), dans laquelle la matrice de q est


1 0 0
 0 −1/4 0 ·
0 0 0
d. Caractériser les plans totalement isotropes.
Solution. Les plans totalement isotropes sont {A | A(0) = 0} et {A | A(1) = 0}, les deux
plans dont leur réunion est q(A) = 0.
e. Pour A = 1 + X + X 2 , déterminer A⊥ et (A⊥ )⊥ .
Solution. Si B = b0 + b1 X + b2 X 2 alors 2hA, Bi = 4b0 + b1 + b2 = 0. Par conséquent,
A⊥ = vect({1−4X, X−X 2 }), et (A⊥ )⊥ = vect({A})+ker(q) = vect({1+X+X 2 , X−X 2 }).
Exercice 6. Appliquer la méthode de Gauss à la forme quadratique sur R4 suivante : q(x, y, z, t) =
x(y + z + t) + y(z + t) + zt.
Exercice 7. Déterminer la signature de q(x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23 + 2x1 x2 + 2x1 x3 .
Solution. On complétant les carrés,
x21 + x22 + x23 + 2x1 x2 + 2x1 x3 = (x1 + x2 )2 + (x1 + x3 )2 − x21 ,
on voit que la signature et (2, 1).
Exercice 8. Pour chacune des formes quadratiques suivantes sur R3 , donner sa forme polaire,
sa signature et une base orthogonale.
a. Q1 (x) = −x21 + 2x1 x2 − x22 − 2x23 .
Solution. Q1 (x) = −(x1 −x2 )2 −2x23 , donc la signature est (0, 2) et le noyau vect({(1, 1, 0)}).
Une base orthogonale est ((1, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)), de normes (0, −1, −2).
b. Q2 (x) = −4x21 − x22 + 4x1 x3 + 2x2 x3 − 2x23 .
Solution. Q2 (x) = −(2x1 − x3 )2 − (x2 − x3 )2 , donc la signature est (0, 2) et le nouyau
vect({(1, 2, 2)}). Une base orthogonale est ((1, 2, 2), (1, 1, 1), (2, 1, 0)), de normes (0, −1, −1).