TS Conditionnement et indépendance Cours

TS Conditionnement et indépendance Cours
L’univers désigne un ensemble fini et Pune loi de probabilité sur .
I Probabilités conditionnelles
1)Définition et exemple
Définition
Aet Bdésignent deux évènements de l’univers tels que PA0
La probabilité que l’évènement Bse réalise sachant que l’évènement Aest réalisé est
notée PABet définie par :PABPAB
PA
Remarques
PAest une nouvelle probabilité définie sur l’univers ,ainsi pour tout événement Bde : 0 PAB1
Si PB0, on peut de même définir la probabilité de Asachant Bpar PBAPAB
PB
Propriété :
Si Aet Bsont deux évènements de l’univers de probabilité non nulle alors :
PABPAPABPBPBA
Exemple 1
Une société comprend 40 % de cadres dont la moitié parle anglais.
De plus 70 % de la totalité de ses employés ne parlent pas anglais.
On interroge au hasard un employé de cette entreprise.
On considère les évènements suivants :
C: " L’employé interrogé est un cadre "
A: " L’empoyé interrogé parle anglais "
1) Compléter le tableau des fréquences suivant :
A A Total
C
C
Total
2) Quelle est la probabilité que l’empoyé interrogé ne soit pas cadre et parle anglais ?
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3) Sachant que l’employé n’est pas un cadre, quelle est la probabilité qu’il parle anglais ?
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2)Arbre pondéré
On peut représenter certaines expériences aléatoires à l’aide d’un arbre pondéré.
Vocabulaire
un arbre est formé de branches qui sont représentées par des segments (ou des flèches)
un noeud est la jonction de deux ou plusieurs branches
un chemin est l’événement réalisé en suivant des branches successives, il correspond à
l’intersection de tous les évènements rencontrés sur ce chemin.
Règles de construction
Règle n°1 : Sur les branches du 1er niveau, on inscrit les probabilités des évènement correspondants.
Règle n°2 : Sur les branches des niveaux suivants, on inscrit des probabilités conditionnelles.
Règle n°3 : La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1.
Exemple 2 : Dans une entreprise, une étude statistique a montré que le pourcentage de pièces défectueuses
fabriquées est égale à 3%.
Pour éliminer les pièces défectueuses, un test de qualité est mis en place dont les résultats sont les suivants :
le test élimine 98 % des pièces défectueuses.
le test élimine 0,5 % des pièces non défectueuses.
On tire une pièce au hasard après le processus de test.
On considère les évènements :
D: " la pièce est défectueuse "
E: " la pièce est éliminée par le test "
Construire un arbre pondéré illustrant cette situation.
Règles de calculs
Règle n°1 : La probabilité d’un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche du
chemin.
Règle n°2 : La probabilité d’un évènement est la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à cet
évènements.
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3)Formule des probabilités totales
On peut généraliser le résultat observé avec des arbres pondérés.
Définition
On dit que les évènements C1,C2,...,Cnforment une partition de l’univers lorsque
Pour tout entier naturel ide 1 ; n:PCi0
Pour tous entiers naturels iet jdistincts de 1 ; n:Ciet Cjsont incompatibles
  C1C2...Cn
Théorème :formule des probabilités totales
Si les évènements C1,C2,...,Cnforment une partition de l’univers 
alors, pour tout évènement A:
PAPAC1PAC2...PACn
PAPC1PC1APC2PC2A...PCnPCnA
Exemple 2 :
1) Déterminer la probabilité que la pièce soit défectueuse et éliminée par le test.
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2) Déterminer la probabilité que la pièce soit éliminée.
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Propriété :
Si Aet Bsont deux évènements de l’univers de probabilité non nulle alors
PBA1PBA
Preuve
Aet Aforment une partition de l’univers donc, d’après la formule des probabilités totales :
PBPBAPBAPBPBAPBPBAPBor PB0on peut donc simplifier par PB
1PBAPBA
PBA1PBA
Donc PBA1PBA
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III Indépendance de deux évènements
Définition
Deux évènements Aet Bde l’univers sont indépendants
lorsque PABPAPB
Propriété :
Soient Aet Bdeux évènements de l’univers de probabilité non nulle
Aet Bindépendants équivaut à PABPB
Aet Bindépendants équivaut à PBAPA
Interprétation : Cela signifie que la réalisation d’un événement Ane modifie pas la probabilité de la
réalisation de l’événement Bet vice et versa.
Exemple 3 : On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes
On considère les événements : R:"tirer un roi" C:"tirer un coeur" F:"tirer une figure"
1)Ret Csont-ils indépendants ?
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2)Ret Fsont-ils indépendants ?
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Remarque : Deux événements peuvent être indépendants sans être incompatibles et vice-versa, ces deux notions
ne sont liées en aucune façon.
Théorème
Si les événements Aet Bsont indépendants alors les événements Aet B,Aet B,Aet Ble sont aussi.
Preuve : voir ROC n°1
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