TS Conditionnement et indépendance Cours

TS
Conditionnement et indépendance
Cours
L’univers  désigne un ensemble fini et P une loi de probabilité sur .
I Probabilités conditionnelles
1) Définition et exemple
Définition
A et B désignent deux évènements de l’univers  tels que PA  0
La probabilité que l’évènement B se réalise sachant que l’évènement A est réalisé est
PA  B
notée P A B et définie par : P A B 
PA
Remarques
 P A est une nouvelle probabilité définie sur l’univers , ainsi pour tout événement B de  : 0  P A B  1
PA  B
 Si PB  0, on peut de même définir la probabilité de A sachant B par P B A 
PB
Propriété :
Si A et B sont deux évènements de l’univers  de probabilité non nulle alors :
PA  B  PA  P A B  PB  P B A
Exemple 1
Une société comprend 40 % de cadres dont la moitié parle anglais.
De plus 70 % de la totalité de ses employés ne parlent pas anglais.
On interroge au hasard un employé de cette entreprise.
On considère les évènements suivants :
C : " L’employé interrogé est un cadre "
A : " L’empoyé interrogé parle anglais "
1) Compléter le tableau des fréquences suivant :
A
A
Total
C
C
Total
2) Quelle est la probabilité que l’empoyé interrogé ne soit pas cadre et parle anglais ?
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3) Sachant que l’employé n’est pas un cadre, quelle est la probabilité qu’il parle anglais ?
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2) Arbre pondéré
On peut représenter certaines expériences aléatoires à l’aide d’un arbre pondéré.
Vocabulaire
 un arbre est formé de branches qui sont représentées par des segments (ou des flèches)
 un noeud est la jonction de deux ou plusieurs branches
 un chemin est l’événement réalisé en suivant des branches successives, il correspond à
l’intersection de tous les évènements rencontrés sur ce chemin.
Règles de construction
Règle n°1 : Sur les branches du 1 er niveau, on inscrit les probabilités des évènement correspondants.
Règle n°2 : Sur les branches des niveaux suivants, on inscrit des probabilités conditionnelles.
Règle n°3 : La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1.
Exemple 2 : Dans une entreprise, une étude statistique a montré que le pourcentage de pièces défectueuses
fabriquées est égale à 3 %.
Pour éliminer les pièces défectueuses, un test de qualité est mis en place dont les résultats sont les suivants :
 le test élimine 98 % des pièces défectueuses.
 le test élimine 0, 5 % des pièces non défectueuses.
On tire une pièce au hasard après le processus de test.
On considère les évènements :
D : " la pièce est défectueuse "
E : " la pièce est éliminée par le test "
Construire un arbre pondéré illustrant cette situation.
Règles de calculs
Règle n°1 : La probabilité d’un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche du
chemin.
Règle n°2 : La probabilité d’un évènement est la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à cet
évènements.
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3) Formule des probabilités totales
On peut généraliser le résultat observé avec des arbres pondérés.
Définition
On dit que les évènements C 1 , C 2 , . . . , C n forment une partition de l’univers  lorsque
 Pour tout entier naturel i de 1 ; n
: PC i   0
 Pour tous entiers naturels i et j distincts de 1 ; n
: C i et C j sont incompatibles
   C 1  C 2 . . . C n
Théorème : formule des probabilités totales
Si les évènements C 1 , C 2 , . . . , C n forment une partition de l’univers 
alors, pour tout évènement A :
PA  PA  C 1   PA  C 2  . . . PA  C n 
PA  PC 1   P C 1 A  PC 2   P C 2 A . . . PC n   P C n A
Exemple 2 :
1) Déterminer la probabilité que la pièce soit défectueuse et éliminée par le test.
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2) Déterminer la probabilité que la pièce soit éliminée.
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Propriété :
Si A et B sont deux évènements de l’univers  de probabilité non nulle alors
PB A
 1  P B A
Preuve
A et A forment une partition de l’univers  donc, d’après la formule des probabilités totales :
PB  PB  A  P B  A
 PB  P B A  PB  P B A  PB
 1  P B A  P B A
 PB A
Donc P B A
 1  P B A
 1  P B A
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or PB  0 on peut donc simplifier par PB
III Indépendance de deux évènements
Définition
Deux évènements A et B de l’univers  sont indépendants
lorsque PA  B  PA  PB
Propriété :
Soient A et B deux évènements de l’univers  de probabilité non nulle
 A et B indépendants équivaut à P A B  PB
 A et B indépendants équivaut à P B A  PA
Interprétation : Cela signifie que la réalisation d’un événement A ne modifie pas la probabilité de la
réalisation de l’événement B et vice et versa.
Exemple 3 : On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes
On considère les événements : R : "tirer un roi"
C : "tirer un coeur"
F : "tirer une figure"
1) R et C sont-ils indépendants ?
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2) R et F sont-ils indépendants ?
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Remarque : Deux événements peuvent être indépendants sans être incompatibles et vice-versa, ces deux notions
ne sont liées en aucune façon.
Théorème
Si les événements A et B sont indépendants alors les événements A et B , A et B , A et B le sont aussi.
Preuve : voir ROC n°1
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