1 Révisions

Les nombres complexes
1 R´evisions
1.1 Repr´esentation des nombres complexes
1.1.1 ´ Ecriture alg´ebrique
1.1.2 Parties r´eelle et imaginaire
On invente un objet not´e itel que i2=−1 et on appelle nombres complexes les objets de la forme a+bi. Leur
ensemble est not´e C. Pour tout nombre complexe z, le couple (a,b) tel que z=a+bi est unique.
as’appelle la partie r´eelle de zet se note Re(z).
bs’appelle la partie imaginaire de zet se note Im(z).
1.2 Op´erations
1.2.1 Additions, produit, quotient
Les op´erations sont d´efinies pour prolonger celles des nombres r´eels.
Ainsi, pour z=a+bi et z′=a′+b′i, on a z+z′= (a+a′) + (b+b′)iet zz′= (aa′−bb′) + (ab′+a′b)i.
On voit alors que lors zest diff´erent de 0 c’est-`a-dire lorsque (a,b)6= (0,0), on peut d´efinir 1
z=a a2+b2+b a2+b2i.
On peut alors aussi d´efinir le quotient de deux nombres complexes d`es que le d´enominateur est non nul.
1.2.2 Propri´et´es
Elles prolongent celles des op´erations analogues dans R.
L’addition est :
–associative :∀(z, z′, z′′)∈C3,(z+z′) + z′′ =z+ (z′+z′′ )
–commutative :∀(z,z′)∈C2, z +z′=z′+z.
– Elle admet un ´el´ement neutre : 0. On a donc : ∀z∈C, z + 0 = 0 + z=z.
– Tout ´el´ement admet un sym´etrique appel´e oppos´e : ∀z∈C,∃z′∈C, z +z′=z′+z= 0.On note z′=−z.
Le produit est :
–associatif :∀(z,z′,z′′ )∈C3,(zz′)z′′ =z(z′z′′)
–commutatif :∀(z,z′)∈C2, zz′=z′z.
– Il admet un ´el´ement neutre not´e 1 : ∀z∈C, z.1 = 1.z =z
– Il est distributif par rapport `a l’addition : ∀(z,z′,z′′ )∈C3, z(z′+z′′ ) = zz′+zz′′ et (z′+z′′ )z=z′z+z′′z.
– Tout ´el´ement znon nul admet un sym´etrique appel´e inverse et not´e 1
zou z−1.
1.3 Conjugaison
1.3.1 D´efinition
Pour tout nombre complexe z=a+bi avec c(a,b)∈R2, on pose z=a−bi. c’est le conjugu´e de z.
1.3.2 Propri´et´es
La conjugu´ee d’une somme est la somme des conjugu´ees : ∀(z,z′)∈C2,z+z′=z+z′.
Le conjugu´e d’un produit est le produit des conjugu´es : ∀(z,z′)∈C2,zz′=z×z′.
Le conjugu´e de l’inverse est l’inverse du conjugu´e, le conjugu´e d’un quotient est le quotient des conjugu´es.
1.3.3 Lien avec les parties r´eelle et imaginaire
On obtient facilement les relations : ∀z∈C,Re(z) = z+z
2,Im(z) = z−z 2i
1

1.4 Repr´esentation dans le plan
1.4.1 Affixe d’un point, d’un vecteur
Le plan usuel ´etant muni d’un rep`ere orthonorm´e direct (O;~ı,~), on associe `a tout point Mde coordonn´ees (x,y)
son affixe z(M) = x+iy.
`
A tout vecteur −→ ude coordonn´ees (x,y) dans la base (~ı,~), on associe son affixe z(−→ u) = x+iy.
1.4.2 Lien avec l’addition et la soustraction
Pour deux vecteurs −→ uet −→ u′d’affixe respectives zet z′, on v´erifie imm´ediatement que −→ u+−→ u′a pour affixe z+z′.
Si deux points Met M′ont pour affixe respectives zet z′, alors −−−→ MM′a pour affixe z′−z.
1.5 Module
1.5.1 D´efinition et expressions
On observe que, pour tout nombre complexe z=a+bi avec (a,b)∈R2, le nombre zׯzest un r´eel positif ; en
effet : zׯz= (a+bi)(a−bi) = a2−(bi)2=a2−(−b2) = a2+b2. On peut donc poser
|z|=√z¯z=pa2+b2
On voit alors imm´ediatement que : ∀z∈C,|¯z|=|z|et que |Re(z)|6|z|et |Im(z)|6|z|.
1.5.2 Propri´et´es
–∀z∈C,|z|= 0 ⇔z= 0 (´evident)
–∀(z,z′)∈C2,|zz′|=|z| × |z′|car |zz′|2= (zz′)zz′=zz ×z′z′=|z|2|z′|2.
–∀(z,z′)∈C2,|z+z′|6|z|+|z′|(In´egalit´e triangulaire). En effet :
|z+z′|2= (z+z′)(z+z′) = zz +zz′+z′z+z′z′=|z|2+ 2Re(zz′) + |z′|2d’une part et, d’autre part :
(|z|+|z′|)2=|z|2±2|z|z′|+|z′|2. Or Re(zz′)6|Re(zz′)|6|zz′|=|z| × |z′|d’o`u l’in´egalit´e annonc´ee.
–∀(z,z′)∈C2,|z′− |z|6| |z′| − |z| |.
Le montrer en exercice :
1.5.3 Interpr´etation g´eom´etrique
Si ~u a pour affixe zalors |z|=k~uk.
1. ´ Etablir |z′|6|z′−z|+|z|.
2. ´ Echanger les rˆoles de zet z′.
3. Se rappeler que la valeur absolue d’un r´eel xest le plus grand des deux nombres xet −x.
1.5.4 Distance de deux complexes
On d´efinit la distance de deux complexes zet z′par d(z,z′) = |z′−z|.
Elle v´erifie les propri´et´es suivantes :
–∀(z,z′)∈C2,d(z,z′) = 0 ⇔z=z′.
–∀(z,z′)∈C2,d(z,z′) = d(z′,z)
–∀(z,z′,z′′ )∈C3,d(z,z′′ )6d(z,z′) + d(z′,z′′ ) C’est l’in´egalit´e triangulaire pour les distances.
2 Calcul dans C
2.1 Manipulation de sommes
2.1.1 Le symboles P
´
Etant donn´ee une liste (ui)m6i6nde complexes, la somme des uise note
n
X
i=m
ui.
2

Il faut penser qu’on prend le premier terme um, on lui ajoute le suivant um+1 puis on ajoute um+2 etc jusqu’`a un.
L’indice in’est qu’un compteur ; il n’a pas de valeur d´etermin´ee et ne doit pas apparaˆıtre dans la somme finale ;
par exemple
n
X
i=1
i=n(n+ 1)
2.
On peut d´ecider d’additionner `a partir du dernier terme :
n
X
i=m
ui=
n−m
X
i=0
un−iSi l’on a deux listes (ui)m6i6net
(vi)m6i6nalors
n
X
i=m
(ui+vi) =
n
X
i=m
ui+
n
X
i=m
vi
2.1.2 T´elescopage
Lorsque les termes uise pr´esentent comme diff´erences de deux termes cons´ecutifs d’une autre suite, on peut
calculer les sommes par t´elescopage:
Supposons en effet qu’il existe une suite (vi)i∈Ntelle que, pour tout i∈N, ui=vi+1 −vi.
Pour n∈N, calculons
n
X
i=0
uien d´etaillant `a partir du dernier terme.
n
X
i=0
ui=un+un−1+un−2+···+u2+u1+u0
= (vn+1 −vn) + (vn−vn−1) + (vn−1−vn−2) + ···+ (v3−v2) + (v2−v1) + (v1−v0).
On voit ainsi que tous les termes s’´eliminent sauf vn+1 et v0. On a donc
n
X
i=0
ui=vn+1 −v0.
C’est ce qu’on appelle le t´elescopage.
Pour le d´emontrer plus rigoureusement, on proc`ede ainsi :
n
X
i=0
ui=
n
X
i=0
(vi+1 −vi=
n
X
i=0
vi+1 −
n
X
i=0
vi=
n+1
X
i=1
vi−
n
X
i=0
vi= n
X
i=1
vi!+vn+1 −v0− n
X
i=1
vi!=vn+1 −v0
Le clou de la d´emonstration est le passage
n
X
i=0
vi+1 =
n+1
X
i=1
vi.
Dans le membre de gauche, on additionne les termes vi+1 pour ide 0 `a nautrement dit on additionne v1, v2, . . . , vn+1
ce qui donne bien le membre de droite.
2.1.3 Sommes index´ees par un rectangle
On se donne un tableau rectangulaire `a mlignes index´ees par iallant de 1 `a met ncolonnes index´ees par jallant
de 1 `a no`u met nsont deux entiers strictement positifs. Dans chaque case du tableau on met un nombre que
l’on rep`ere par le couple (i,j) form´e par son num´ero de ligne et de colonne ; on note ai,j le nombre `a l’intersection
de la i-`eme ligne et de la j-`eme colonne.
Pour additionner tous les nombres du tableau, on peut d´ecider de faire les sommes des termes de chaque ligne
puis d’additionner les r´esultats obtenus. La somme des termes de i-`eme ligne est
n
X
j=1
ai,j et la somme des sommes
est
m
X
i=1 
n
X
j=1
ai,j
.
Si l’on d´ecide de faire les sommes partielles des termes de chaque colonne puis d’additionner ces r´esultats, on
obtiendra
n
X
j=1 m
X
i=1
ai,j !. Il en r´esulte la formule d’´echange :
m
X
i=1 
n
X
j=1
ai,j
=
n
X
j=1 m
X
i=1
ai,j !
3

2.1.4 Sommes index´ees par un triangle
Examinons le cas d’une famille de nombres index´ee par un triangle c’est–`a-dire, par exemple de (ai,j )16i6n
16j6i
. Pour
chaque valeur de i, il y a, dans la ligne i, les termes ai,j pour 1 6j6n; la somme des termes de la i-`eme ligne
est donc
n
X
j=1
ai,j et la somme totale est donc
n
X
i=1 
i
X
j=1
ai,j
.
Si on d´ecide d’additionner les termes figurant dans la j-`eme colonne, il faut voir que, dans celle-ci, l’indice ivarie
entre jet n. La somme des termes de la j-`eme colonne est donc
n
X
i=j
ai,j et la somme totale :
n
X
j=1 
n
X
i=j
ai,j
d’o`u
la relation :
n
X
i=1 
i
X
j=1
ai,j
=
n
X
j=1 
n
X
i=j
ai,j 
Exercice 1
Faire le mˆeme travail sur une famille index´ee par {(i,j)∈N2, i 6n, j 6n, i +j>n}.
2.1.5 Somme index´ees par un ensemble fini quelconque
Pour tout ensemble fini I, on peut d´efinir des familles index´ees par i∈I. Un telle famille est alors not´ee (xi)i∈I
et la somme de ses termes : X
i∈I
xi.
2.2 Produit
2.2.1 Le symbole Q
Si (ui)m6i6nest une famille de complexes, le produit u1×u2× ··· × un−1×unde ces complexes se note
n
Y
i=m
ui.
2.2.2 T´elescopage multiplicatif
Lorsque chaque terme uise pr´esente comme quotient de deux termes cons´ecutifs d’une autre suite (vi)m6i6n+1
c’est-`a-dire lorsqu’il existe une suite finie (vi)m6i6n+1 ne s’annulant pas et telle que ∀i∈[[m,n]], ui=vi+1
vi
, on
peut faire du t´elescopage multiplicatif :
n
Y
i=m
ui=um×um+1 × ··· × un−2×un−1×un
=vm+1
vm×vm+2 vm+1 × ··· × vn−2 vn−1×vn−1 vn×vn+1 vn
=vn+1
vm
2.3 Les formules de Newton et de Bernoulli
2.3.1 Les coefficients du binˆome
Rappels : On pose 0! = 1 (lire factorielle z´ero) et, pour tout n>1, n! = 1 ×2×3× ··· × (n−2) ×(n−1) ×n.
Pour tout entier naturel net tout entier naturel p6n, on pose n
p=n! p!(n−p)!.
n
pse lit pparmi n. Il repr´esente le nombre de parties `a p´el´ements d’un ensemble `a n´el´ements.
Pour une raison qui viendra plus tard, les n
psont aussi appel´es : coefficients du binˆome.
Il convient de connaˆıtre les propri´et´es suivantes :
4

∀n∈N,∀p∈[[0,n]],n
p=n
n−p
∀n∈N∗,∀p∈[[1,n −1]],n−1
p−1+n−1
p=n
p(Relation de Pascal).
Il faut aussi connaˆıtre les valeurs particuli`eres : ∀n∈N,n
0=n
n= 1,n
1=n
n−1=net, plus
g´en´eralement, en observant que :
n!
(n−p)! =n(n−1) ···(n−p+ 2)(n−p+ 1)(n−p)(n−p−1) ···2×1 (n−p)(n−p−1) ···2×1=n(n−1) ···(n−p+ 2)(n−p+ 1), on
peut ´enoncer :
n
p=Produit des pentiers cons´ecutifs en descendant `a partir de n
p!
Exercice 2
Utiliser l’expression ci-dessus pour donner n
2,n
3et n
4sans utiliser de factorielles.
2.3.2 Newton
Quels que soient x, y appartenant `a C, quel que soit nappartenant `a N,
(x+y)n=
n
X
k=0 n
kxkyn−k=
n
X
k=0 n
kxn−kyk
Premi`ere d´emonstration : r´ecurrence.
Au rang 0, la propri´et´e est triviale ainsi qu’au rang 1. Soit n>2. Supposons que la propri´et´e est vraie au rang
n−1 alors
(x+y)n= (x+y)×(x+y)n−1= (x+y)×
n−1
X
k=0 n−1
kxkyn−1−k
=
n−1
X
k=0 n−1
kxk+1yn−1−k+
n−1
X
k=0 n−1
kxkyn−k=
n
X
k=1 n−1
k−1xkyn−k+
n−1
X
k=0 n−1
kxkyn−k
=xn+
n−1
X
k=1 n−1
k−1xkyn−k+
n−1
X
k=1 n−1
kxkyn−k+yn=xn+
n−1
X
k=1 n−1
k−1+n−1
kxkyn−k+yn
=n
nxny0+
n−1
X
k=1 n
kxkyn−k+n
0x0yn=
n
X
k=0 n
kxkyn−k
Exercice important : rep´erer, dans cette d´emonstration, les ´etapes o`u la commutativit´e du produit a ´et´e essen-
tielle.
Deuxi`eme d´emonstration :
On d´eveloppe (x+y)(x+y)···(x+y) en somme de 2ntermes. Du fait de la commutativit´e du produit dans C,
on obtient des termes pouvant tous s’´ecrire xkyn−k. Pour kfix´e, on obtient un terme xkyn−ken multipliant xpris
dans kdes nfacteurs par ypris dans les n−krestants. Or il y a n
kfa¸cons de choisir kfacteurs parmi n. Il y a
donc n
ktermes xkyn−kd’o`u le r´esultat.
5