1 Révisions

Les nombres complexes
1
Révisions
1.1
Représentation des nombres complexes
1.1.1
Écriture algébrique
1.1.2
Parties réelle et imaginaire
On invente un objet noté i tel que i2 = −1 et on appelle nombres complexes les objets de la forme a + bi. Leur
ensemble est noté C. Pour tout nombre complexe z, le couple (a,b) tel que z = a + bi est unique.
a s’appelle la partie réelle de z et se note Re(z).
b s’appelle la partie imaginaire de z et se note Im(z).
1.2
1.2.1
Opérations
Additions, produit, quotient
Les opérations sont définies pour prolonger celles des nombres réels.
Ainsi, pour z = a + bi et z ′ = a′ + b′ i, on a z + z ′ = (a + a′ ) + (b + b′ )i et zz ′ = (aa′ − bb′ ) + (ab′ + a′ b)i.
1
a
b
On voit alors que lors z est différent de 0 c’est-à-dire lorsque (a,b) 6= (0,0), on peut définir = 2
+ 2
i.
2
z
a +b
a + b2
On peut alors aussi définir le quotient de deux nombres complexes dès que le dénominateur est non nul.
1.2.2
Propriétés
Elles prolongent celles des opérations analogues dans R.
L’addition est :
– associative : ∀(z, z ′ , z ′′ ) ∈ C3 , (z + z ′ ) + z ′′ = z + (z ′ + z ′′ )
– commutative : ∀(z,z ′ ) ∈ C2 , z + z ′ = z ′ + z.
– Elle admet un élément neutre : 0. On a donc : ∀z ∈ C, z + 0 = 0 + z = z.
– Tout élément admet un symétrique appelé opposé : ∀z ∈ C, ∃z ′ ∈ C, z + z ′ = z ′ + z = 0.On note z ′ = −z.
Le produit est :
– associatif : ∀(z,z ′ ,z ′′ ) ∈ C3 , (zz ′ )z ′′ = z(z ′ z ′′ )
– commutatif : ∀(z,z ′ ) ∈ C2 , zz ′ = z ′ z.
– Il admet un élément neutre noté 1 : ∀z ∈ C, z.1 = 1.z = z
– Il est distributif par rapport à l’addition : ∀(z,z ′ ,z ′′ ) ∈ C3 , z(z ′ + z ′′ ) = zz ′ + zz ′′ et (z ′ + z ′′ )z = z ′ z + z ′′ z.
1
– Tout élément z non nul admet un symétrique appelé inverse et noté ou z −1 .
z
1.3
1.3.1
Conjugaison
Définition
Pour tout nombre complexe z = a + bi avec c(a,b) ∈ R2 , on pose z = a − bi. c’est le conjugué de z.
1.3.2
Propriétés
La conjuguée d’une somme est la somme des conjuguées : ∀(z,z ′ ) ∈ C2 , z + z ′ = z + z ′ .
Le conjugué d’un produit est le produit des conjugués : ∀(z,z ′ ) ∈ C2 , zz ′ = z × z ′ .
Le conjugué de l’inverse est l’inverse du conjugué, le conjugué d’un quotient est le quotient des conjugués.
1.3.3
Lien avec les parties réelle et imaginaire
On obtient facilement les relations : ∀z ∈ C, Re(z) =
z−z
z+z
, Im(z) =
2
2i
1
1.4
Représentation dans le plan
1.4.1
Affixe d’un point, d’un vecteur
Le plan usuel étant muni d’un repère orthonormé direct (O;~ı,~), on associe à tout point M de coordonnées (x,y)
son affixe z(M ) = x + iy.
→
→
À tout vecteur −
u de coordonnées (x,y) dans la base (~ı,~), on associe son affixe z(−
u ) = x + iy.
1.4.2
Lien avec l’addition et la soustraction
→
−
→
−
−
−
Pour deux vecteurs →
u et u′ d’affixe respectives z et z ′ , on vérifie immédiatement que →
u + u′ a pour affixe z + z ′ .
−−−→
Si deux points M et M ′ ont pour affixe respectives z et z ′ , alors M M ′ a pour affixe z ′ − z.
1.5
Module
1.5.1
Définition et expressions
On observe que, pour tout nombre complexe z = a + bi avec (a,b) ∈ R2 , le nombre z × z̄ est un réel positif ; en
effet : z × z̄ = (a + bi)(a − bi) = a2 − (bi)2 = a2 − (−b2 ) = a2 + b2 . On peut donc poser
p
√
|z| = zz̄ = a2 + b2
On voit alors immédiatement que : ∀z ∈ C, |z̄| = |z| et que |Re(z)| 6 |z| et |Im(z)| 6 |z|.
1.5.2
Propriétés
– ∀z ∈ C, |z| = 0 ⇔ z = 0 (évident)
– ∀(z,z ′ ) ∈ C2 , |zz ′ | = |z| × |z ′ | car |zz ′ |2 = (zz ′ )zz ′ = zz × z ′ z ′ = |z|2 |z ′ |2 .
– ∀(z,z ′ ) ∈ C2 , |z + z ′ | 6 |z| + |z ′ | (Inégalité triangulaire). En effet :
|z + z ′ |2 = (z + z ′ )(z + z ′ ) = zz + zz ′ + z ′ z + z ′ z ′ = |z|2 + 2Re(zz ′ ) + |z ′ |2 d’une part et, d’autre part :
(|z| + |z ′ |)2 = |z|2 ± 2|z|z ′ | + |z ′ |2 . Or Re(zz ′ ) 6 |Re(zz ′ )| 6 |zz ′ | = |z| × |z ′ | d’où l’inégalité annoncée.
– ∀(z,z ′ ) ∈ C2 , |z ′ − |z| 6 | |z ′ | − |z| |.
Le montrer en exercice :
1.5.3
Interprétation géométrique
Si ~u a pour affixe z alors |z| = k~uk.
1. Établir |z ′ | 6 |z ′ − z| + |z|.
2. Échanger les rôles de z et z ′ .
3. Se rappeler que la valeur absolue d’un réel x est le plus grand des deux nombres x et −x.
1.5.4
Distance de deux complexes
On définit la distance de deux complexes z et z ′ par d(z,z ′ ) = |z ′ − z|.
Elle vérifie les propriétés suivantes :
– ∀(z,z ′ ) ∈ C2 , d(z,z ′ ) = 0 ⇔ z = z ′ .
– ∀(z,z ′ ) ∈ C2 , d(z,z ′ ) = d(z ′ ,z)
– ∀(z,z ′ ,z ′′ ) ∈ C3 , d(z,z ′′ ) 6 d(z,z ′ ) + d(z ′ ,z ′′ ) C’est l’inégalité triangulaire pour les distances.
2
Calcul dans C
2.1
2.1.1
Manipulation de sommes
Le symboles
P
Étant donnée une liste (ui )m6i6n de complexes, la somme des ui se note
n
X
i=m
2
ui .
Il faut penser qu’on prend le premier terme um , on lui ajoute le suivant um+1 puis on ajoute um+2 etc jusqu’à un .
L’indice i n’est qu’un compteur ; il n’a pas de valeur déterminée et ne doit pas apparaı̂tre dans la somme finale ;
n
X
n(n + 1)
.
i=
par exemple
2
i=1
On peut décider d’additionner à partir du dernier terme :
(vi )m6i6n alors
n
X
(ui + vi ) =
ui +
n
X
ui =
n−m
X
un−i Si l’on a deux listes (ui )m6i6n et
i=0
i=m
vi
i=m
i=m
i=m
2.1.2
n
X
n
X
Télescopage
Lorsque les termes ui se présentent comme différences de deux termes consécutifs d’une autre suite, on peut
calculer les sommes par télescopage:
Supposons en effet qu’il existe une suite (vi )i∈N telle que, pour tout i ∈ N, ui = vi+1 − vi .
n
X
ui en détaillant à partir du dernier terme.
Pour n ∈ N, calculons
n
X
i=0
i=0
ui = un + un−1 + un−2 + · · · + u2 + u1 + u0
= (vn+1 − vn ) + (vn − vn−1 ) + (vn−1 − vn−2 ) + · · · + (v3 − v2 ) + (v2 − v1 ) + (v1 − v0 ).
On voit ainsi que tous les termes s’éliminent sauf vn+1 et v0 . On a donc
C’est ce qu’on appelle le télescopage.
Pour le démontrer plus rigoureusement, on procède ainsi :
n
n+1
n
n
n
n
X
X
X
X
X
X
vi =
vi −
vi =
vi+1 −
(vi+1 − vi =
ui =
i=0
i=0
i=0
i=1
i=0
Le clou de la démonstration est le passage
n
X
i=0
n
X
vi
i=1
vi .
i=1
vi+1 pour i de 0
!
ui = vn+1 − v0 .
+ vn+1 − v0 −
n
X
i=1
vi
!
= vn+1 − v0
vi+1 =
i=0
Dans le membre de gauche, on additionne les termes
ce qui donne bien le membre de droite.
2.1.3
i=0
n+1
X
n
X
à n autrement dit on additionne v1 , v2 , . . . , vn+1
Sommes indexées par un rectangle
On se donne un tableau rectangulaire à m lignes indexées par i allant de 1 à m et n colonnes indexées par j allant
de 1 à n où m et n sont deux entiers strictement positifs. Dans chaque case du tableau on met un nombre que
l’on repère par le couple (i,j) formé par son numéro de ligne et de colonne ; on note ai,j le nombre à l’intersection
de la i-ème ligne et de la j-ème colonne.
Pour additionner tous les nombres du tableau, on peut décider de faire les sommes des termes de chaque ligne
n
X
ai,j et la somme des sommes
puis d’additionner les résultats obtenus. La somme des termes de i-ème ligne est
est
m
X
i=1
j=1


n
X

ai,j .
j=1
Si l’on décide de faire !les sommes partielles des termes de chaque colonne puis d’additionner ces résultats, on
m
n
X
X
ai,j . Il en résulte la formule d’échange :
obtiendra
j=1
i=1
m
X
i=1


!
m
n
n
X
X
X

ai,j
ai,j  =
j=1
j=1
3
i=1
2.1.4
Sommes indexées par un triangle
Examinons le cas d’une famille de nombres indexée par un triangle c’est–à-dire, par exemple de (ai,j )16i6n . Pour
16j6i
chaque valeur de i, il y a, dans la ligne i, les termes
 ai,j pour
 1 6 j 6 n ; la somme des termes de la i-ème ligne
n
i
n
X X
X

ai,j .
ai,j et la somme totale est donc
est donc
i=1
j=1
j=1
Si on décide d’additionner les termes figurant dans la j-ème colonne, il faut voir que, dans celle-ci,l’indice
i varie
n
n
n
X X
X

ai,j  d’où
ai,j et la somme totale :
entre j et n. La somme des termes de la j-ème colonne est donc
i=j
j=1
i=j
la relation :
n
X
i=1
Exercice 1




i
n
n
X
X
X


ai,j  =
ai,j 
j=1
j=1
i=j
Faire le même travail sur une famille indexée par {(i,j) ∈ N2 , i 6 n, j 6 n, i + j > n}.
2.1.5
Somme indexées par un ensemble fini quelconque
Pour tout ensemble fini I, on
Xpeut définir des familles indexées par i ∈ I. Un telle famille est alors notée (xi )i∈I
xi .
et la somme de ses termes :
i∈I
2.2
2.2.1
Produit
Le symbole
Q
Si (ui )m6i6n est une famille de complexes, le produit u1 × u2 × · · · × un−1 × un de ces complexes se note
2.2.2
n
Y
ui .
i=m
Télescopage multiplicatif
Lorsque chaque terme ui se présente comme quotient de deux termes consécutifs d’une autre suite (vi )m6i6n+1
vi+1
, on
c’est-à-dire lorsqu’il existe une suite finie (vi )m6i6n+1 ne s’annulant pas et telle que ∀i ∈ [[m,n]], ui =
vi
peut faire du télescopage multiplicatif :
n
Y
ui = um × um+1 × · · · × un−2 × un−1 × un
i=m
2.3
2.3.1
=
vm+1 vm+2
vn−2 vn−1 vn+1
×
× ··· ×
×
×
vm
vm+1
vn−1
vn
vn
=
vn+1
vm
Les formules de Newton et de Bernoulli
Les coefficients du binôme
Rappels : On pose 0! = 1 (lire factorielle zéro) et, pour tout n >
1,n! = 1 × 2 × 3 × · · · × (n − 2) × (n − 1) × n.
n
n!
.
Pour tout entier naturel n et tout entier naturel p 6 n, on pose
=
p
p!(n − p)!
n
se lit p parmi n . Il représente le nombre de parties à p éléments d’un ensemble à n éléments.
p
n
Pour une raison qui viendra plus tard, les
sont aussi appelés : coefficients du binôme.
p
Il convient de connaı̂tre les propriétés suivantes :
4
n
n
∀n ∈ N, ∀p ∈ [[0,n]],
=
p n−
p n
−
1
n−1
n
∗
∀n ∈ N , ∀p ∈ [[1,n − 1]],
+
=
(Relation de Pascal).
p−1
p
p
n
n
n
n
Il faut aussi connaı̂tre les valeurs particulières : ∀n ∈ N,
=
= 1,
=
= n et, plus
0
n
1
n−1
généralement, en observant que :
n(n − 1) · · · (n − p + 2)(n − p + 1)(n − p)(n − p − 1) · · · 2 × 1
n!
=
= n(n − 1) · · · (n − p + 2)(n − p + 1), on
(n − p)!
(n − p)(n − p − 1) · · · 2 × 1
peut énoncer :
n
Produit des p entiers consécutifs en descendant à partir de n
=
p!
p
Exercice 2
n
n
n
Utiliser l’expression ci-dessus pour donner
,
et
sans utiliser de factorielles.
2
3
4
2.3.2
Newton
Quels que soient x, y appartenant à C, quel que soit n appartenant à N,
n
(x + y) =
n X
n
k=0
Première démonstration : récurrence.
k
k n−k
x y
=
n X
n
k=0
k
xn−k y k
Au rang 0, la propriété est triviale ainsi qu’au rang 1. Soit n > 2. Supposons que la propriété est vraie au rang
n − 1 alors
n
(x + y)
=
=
=
=
n−1
X
n − 1 k n−1−k
(x + y) × (x + y)
= (x + y) ×
x y
k
k=0
n−1 n−1 n n−1 X
n − 1 k+1 n−1−k X n − 1 k n−k X n − 1 k n−k X n − 1 k n−k
x y
+
x y
=
x y
+
x y
k
k
k−1
k
k=0
k=0
k=1
k=0
n−1 n−1
n−1
X
X
X
n − 1 k n−k
n − 1 k n−k
n−1
n−1
n
n
n
x +
x y
+
x y
+y =x +
+
xk y n−k + y n
k−1
k
k−1
k
k=1
k=1
k=1
n−1
n
n n 0 X n k n−k
n 0 n X n k n−k
x y +
x y
+
x y =
x y
n
k
0
k
n−1
k=1
k=0
Exercice important : repérer, dans cette démonstration, les étapes où la commutativité du produit a été essentielle.
Deuxième démonstration :
On développe (x + y)(x + y) · · · (x + y) en somme de 2n termes. Du fait de la commutativité du produit dans C,
on obtient des termes pouvant tous s’écrire xk y n−k . Pour k fixé, on
un terme xk y n−k en multipliant x pris
obtient
n
dans k des n facteurs par y pris dans les n − k restants. Or il y a
façons de choisir k facteurs parmi n. Il y a
k
n
donc
termes xk y n−k d’où le résultat.
k
5
2.4
Bernoulli
Quels que soient x appartenant à C, quel que soit n appartenant à N∗ ,
n
n
x − y = (x − y)
n−1
X
Il s’agit d’une vérification ; on développe (x − y)
(x − y)
xk y n−1−k =
k=0
=
n−1
X
k=0
n−1
X
k=1
xk+1 y n−(k+1) −
n−1
X
Deuxième démonstration :
n−1
X
k=1
= (x − y)
n−1
X
xn−1−k y k
k=0
xk y n−1−k cela donne :
k=0
n
X
xk y n−k =
k=0
n−1
X
xk y n−k + xn y 0 −
x y
k=0
Première démonstration :
n−1
X
k n−1−k
k=1
xk y n−k −
n−1
X
xk y n−k
k=0
xk y n−k − x0 y n = xn − y n
Si x = y ou si y = 0, alors la propriété est évidente sinon, on rappelle que :
n
x
k
−1
n−1
n−1
n
X
X
x
q −1
x
y
qk =
∀q 6= 1, ∀n > 0,
(⋆). On applique (⋆) à q = ce qui donne :
=
d’où, en
x
q−1
y
y
−
1
k=0
k=0
y
n−1
n
n
X
x −y
ce qui donne bien la formule de Bernoulli.
multipliant par y n−1 , on obtient :
xk y n−k =
x−y
k=0
2.4.1
Bernoulli, exposant impair
Lorsque n est impair, on peut remplacer y par −y dans la formule de Bernoulli Le membre de gauche devient
xn − (−y)n = xn + y n et l’on obtient :
xn + y n = (x + y)
n−1
X
(−1)k xn−1−k y k
=0
Exercice 3
Écrire les formules de Bernoulli pour a3 − b3 et a3 + b3 .
Développer (a + b)3 et (a − b)3 .
Ces quatre formules seront à savoir par cœur.
3
Complexes de module 1 et trigonométrie
3.1
3.1.1
L’ensemble U
Définition
On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1.
3.1.2
Propriétés immédiates
– Stabilité pour le produit : ∀(z,z ′ ) ∈ U, zz ′ ∈ U car |zz ′ | = |z| × |z ′ | = 1 × 1 = 1.
1
1
1
−1
– Stabilité pour le passage à l’inverse : ∀z ∈ U, z ∈ U car =
= = 1.
z
|z|
1
6
3.1.3
Paramétrisation par les fonctions trigonométriques
Posons z = x + iy. On a l’équivalence z ∈ U ⇔ x2 + y 2 = 1.
On admet que, pour tout couple (x,y) de réels : x2 + y 2 = 1 si et seulement s’il existe θ ∈ R tel que cos(θ) = x et
sin(θ) = y. On admet que θ est unique à 2kπ près c’est-à-dire que si θ ′ est un (autre) réel tel que cos(θ ′ ) = cos(θ)
2π
et sin(θ ′ ) = sin(θ) alors il existe une entier relatif k tel que θ ′ − θ = 2kπ. On écrit θ ′ ≡ θ ou θ ′ ≡ θ [2π] ce qui se
lit “θ ′ est congru à θ modulo 2π”.
Il en résulte la
Propriété 3.1.3
Quel que soit z ∈ U, il existe θ unique à 2kπ près tel que z = cos(θ) + i sin(θ).
On observera aussi que : ∀z ∈ U, on a
3.1.4
1
= z.
z
Formules immédiates sur le cercle trigonométrique
En exercice,
exprimer
aumoyen de cos(θ) et sin(θ) les lignes trigonométrique suivantes :
π
π
cos θ ±
, sin θ ±
, cos(π − θ), sin(π − θ), cos(θ + π), sin(θ + π)
2
2
3.2
3.2.1
eit
Définition
On convient de noter eiθ le nombre complexe défini par eiθ = cos(θ) + i sin(θ) ∈ U
3.2.2
Propriétés
D’après les propriétés des fonctions sinus et cosinus, on montre :
′
– ∀(θ,θ ′ ) ∈ R2 , ei(θ+θ ) = eiθ × eiθ
1
– ∀θ ∈ R, e−iθ = iθ
e
3.2.3
′
Application à la trigonométrie
Si les formules précédentes se déduisent théoriquement de la trigonométrie, il s’avère qu’elles sont plus faciles à
retenir que ces dernières et qu’elles permettent d’ailleurs de les retrouver facilement.
En exercice, au moyen de ei(a+b) = eia eib et ei(a−b) = eia e−ib , retrouver les formules donnant cos(a ± b) et sin(a ± b)
en fonction de cos(a), sin(a), cos(b), sin(b).
7
3.3
Les fonctions sinus et cosinus
3.3.1
Quelques rappels
La mesure d’un
angle en radians
est la longueur de
l’arc du cercle de
rayon 1 délimité
par l’angle mesuré :
1
θ
θ
−1
1
−1
Pour des petites valeurs de l’angle θ, on a sin(θ) ≈ θ et tan(θ) ≈ θ comme on le “voit” graphiquement :
1
ou comme on peut s’en convaincre numériquement :
θ
0,1
0,01
0,001
0,0001
sin(θ)
0,0998334166
0,00999983333
0,0009999998333
0,000099999999833
tan(θ)
0,100334672
0,0100003333466
0,00100000033333
0,000100000000333
8
3.3.2
Dérivation
sin(θ)
sin(θ) − sin(0)
=
.
θ−0
θ
D’après ce qui précède, on voit que pour des valeurs de plus en plus petites (proches de zéro) de la variable θ, ce
taux d’accroissement se rapproche de 1.
On a donc sin′ (0) = 1.
D’abord en 0. Pour le sinus, on forme le taux d’accroissement :
Pour le cosinus, on écrit le taux d’accroissement sous la forme :
sin(θ/2) 2
cos(θ) − 1
sin2 (θ/2)
θ
cos(θ) − cos(0)
=
= −2
=− ×
.
θ−0
θ
θ
2
θ/2
sin(θ/2)
cos(θ) − cos(0)
Pour des valeurs de plus en plus petites de θ,
se rapproche de 1, son carré aussi et du coup
θ/2
θ
θ
est très proche de − qui, lui-même, se rapproche de 0.
2
Il en résulte cos′ (0) = 0.
Nous pouvons à présent dériver en un point x0 quelconque. Pour cela, posons :
f (t) = cos(x0 + t) = cos(x0 ) cos(t) − sin(x0 ) sin(t) et g(t) = sin(x0 + t) = sin(x0 ) cos(t) + cos(x0 ) sin(t).
On a alors :
cos′ (x0 ) = f ′ (0) = cos(x0 ) cos′ (0) − sin(x0 ) sin′ (0) = − sin(x0 ) et
sin′ (x0 ) = g′ (0) = sin(x0 ) cos′ (0) + cos(x0 ) sin′ (0) = cos(x0 ).
3.4
3.4.1
La fonction tangente
Définition
π
+ kπ, k ∈ Z ou, plus proprement :
2
π
∀x ∈ R, cos(x) = 0 ⇔ ∃k ∈ Z, x = + kπ
2
h
i π
π
Il en résulte que la fonction cosinus est non nulle sur tous les intervalles − + kπ, + kπ pour k ∈ Z et sur
2
h 2
[i π
π
eux seulement. La réunion de ces intervalles se note
− + kπ, + kπ .
2
2
On rappelle que ∀x ∈ R, cos(x) = 0 ⇔ x =
k∈Z
Définition 3.4.1
Pour tout réel x appartenant à
h
[i π
π
sin(x)
.
− + kπ, + kπ , on pose tan(x) =
2
2
cos(x)
k∈Z
3.4.2
Propriétés algébriques
Pour tous réels a et b tels que tan(a), tan(b) et tan(a + b) ou tan(a − b) soient définis :
tan(a + b) =
tan(a) + tan(b)
1 − tan(a) tan(b)
et
Exercice 4
Montrer ces formules.
π
.
Donner une formule pour tan(2x) et pour tan x ±
4
Vérifier que tan est impaire et π-périodique.
9
tan(a − b) =
tan(a) − tan(b)
1 + tan(a) tan(b)
3.4.3
Propriétés analytiques et représentation
Exercice 5
1
.
cos2
2. Déterminer les limites de tan en π/2 à gauche et en −π/2 à droite (on pourra utiliser l’imparité et la
périodicité).
Tracer la courbe représentative de tan dans le plan muni d’un repère orthonormé direct.
1. Montrer que tan′ = 1 + tan2 =
3.5
3.5.1
Formules d’Euler et de Moivre
Formules d’Euler
Ce sont les formules cos(t) =
3.5.2
eit − e−it
eit + e−it
, sin(t) =
dont la vérification est immédiat.
2
2
Transformation de eit ± 1
On pose ∀t ∈ R,
eit
+1=
eit/2
eit/2
+
e−it/2
Exercice 6
=
eit/2
t
× 2 cos
.
2
Trouver une transformation analogue pour eit − 1.
3.5.3
Formules de Moivre
On peut généraliser la formule eia + b = eia eib au cas de n réels α1 , . . . ,αn : ei(α1 +···+αn ) = eiα1 ×· · ·×eiαn . Lorsque
n
les αi sont tous égaux à une même valeur θ, on obtient eniθ = eiθ ce qui donne la formule de Moivre :
∀n ∈ N, ∀θ ∈ R, cos(nθ) + i sin(nθ) = (cos(θ) + i sin(θ))n
3.5.4
Applications
Développement, linéarisation, calcul de
Un exemple : cos2 (x) =
Exercice 7
eix + e−ix
2
2
n
X
cos(kt),
k=0
e2ix
=
n
X
sin(kt)
k=1
+ 2 + e−2ix
2 cos(2x) + 2
cos x + 1
=
=
4
4
2
Linéariser de la même façon cos3 (x), sin3 (x), cos4 (x), sin4 (x).
Un autre exemple : Développons cos(2x). cos(2x) = Re(e2ix ) or e2ix = (eix )2 = (cos(x) + i sin(x))2 = cos2 (x) −
sin2 (x) + 2i sin(x) d’où cos(2x) = Re(e2ix ) = cos2 (x) − sin2 (x).
Exercice 8
Développer de la même façon : cos(3x), sin(3x), cos(4x), sin(4x), cos(5x), sin(5x).
3.6
Arguments
3.6.1
Définition des arguments d’un nombre complexe non nul
z
z
∈ U. Il peut donc s’écrire
= eiθ pour des nombres réels θ. Ces
Pour tout nombre complexe non nul z,
|z|
|z|
nombres sont appelés arguments de z.
On sait que ces nombres sont congrus entre eux modulo 2π. Lorsque θ est un argument de z, on note
2π
arg(z) ≡ θ [2π] ou arg(z) ≡ θ
10
3.6.2
Écriture z = reiθ , r > 0, θ ∈ R
D’après ce qui précède, on a, pour tout nombre complexe z non nul :
Il existe un unique réel r strictement positif, il existe θ unique à 2kπ près, k ∈ Z tels que z = reiθ .
2π
On a donc z = |z|(cos(θ) + i sin(θ)) avec θ ≡ arg(z).
3.6.3
Propriétés (produits, quotients)
′
En écrivant ∀z, z ′ 6= 0, z = |z|ei arg(z) , z ′ = |z ′ |ei arg(z ) et d’après les propriétés des exponentielles et des modules,
on a :
′
z 2π
′
′ 2π
′
≡ arg(z ′ ) − arg(z)
∀z, z 6= 0, arg(zz ) ≡ arg(z) + arg(z ),
arg
z
3.6.4
Caractérisation des réels et des imaginaires purs non nuls
π
Les réels non nuls sont caractérisés par sin(θ) = 0 c’est-à-dire arg(z) ≡ 0 (Attention, c’est bien modulo π).
π π
Les imaginaires purs eux, sont caractérisés par cos(θ) = 0 c’est-à-dire arg(z) ≡ .
2
3.6.5
Transformation de A cos(t) + B sin(t)
√
Soient A, B deux réels non nuls. Posons Z = A + Bi = reiθ0 avec r = |Z| = A2 + B 2 . On√a Z = A − Bi = re−iθ0 .
Alors, pour tout θ ∈ R, A cos(θ) + B sin(θ) = Re(eiθ Z) = Re(rei(θ−θ0 ) = r cos(θ − θ0 ) = A2 + B 2 cos(θ − θ0 ).
On peut envisager un autre point de vue.
On rappelle qu’étant donnés deux réels a, b tels que a2 + b2 =1, il existe α unique à 2kπ tel que a = cos(α) et
√
B
A
b = sin(α). On écrit : ∀θ ∈ R, A cos(θ) + B sin(θ) = A2 + B 2 √
cos(θ) + √
sin(θ) .
A2 + B 2
A2 + B 2
B
A
et b = √
on voit que a2 + b2 = 1.
Or si l’on pose a = √
2
2
2
A +B
A + B2
A
B
Il existe donc θ0 tel que √
= cos(θ0 ) et √
= sin(θ0 ) et l’on alors :
2
2
2
A +
A + B2
√
√B
∀θ ∈ R, A cos(θ) + B sin(θ) = A2 + B 2 (cos(θ0 ) cos(θ) + sin(θ0 ) sin(θ)) = A2 + B 2 cos(θ − θ0 ).
4
Équations du second degré
4.1
4.1.1
Racines carrées d’un complexes
Écriture exponentielle
Soit Z un complexe non nul écrit sous la forme exponentielle Z = Reiα .
On cherche des complexes z écrits eux aussi sous forme exponentielle z = reiθ tels que z 2 = Z. De tels nombres,
sils existent sont appelés racines carrées de de Z.
√
est réservé au cas des réels positifs.
ATTENTION : Le symbole
Avec les notations ci-dessus, 
on a l’équivalence :
√
√



r2 = R
R
R
r
=
r
=



2
et
z 2 = Z ⇔ reiθ = Reiα ⇔
⇔
⇔
et
et



 2θ 2π
θ = α/2 + kπ
2θ = α + 2kπ, k ∈ Z
≡α
√ iα/2
√ i(α/2+π)
√
Lorsque k est pair, on obtient z = Re
et pour k impair, on a z = Re
= − Reiα/2 ce qui donne
deux racines carrées opposées.
4.1.2
Écriture algébrique
On pose ici Z = A + Bi et on cherche z = x + iy tel que
z2
11
= Z ce qui équivaut à
x2 − y 2 = A
2xy = B
√
compte du fait que |z|2 = |Z|, on ajoute l’équation x2 + y 2 = A2 + B 2 . On a alors z 2 = Z ⇔
= A
= √
B
(Vérifier)
A2 + B 2
=
√
√
A2 + B 2 + A
A2 + B 2 − A
2
2
On en déduit immédiatement x =
,n y =
. Il n’ya plus qu’à prendre les racines
2
2
carrées.... sauf que cela semble donner 4 couples de solutions. Il faut tenir compte de 2xy = B.
Discutons ce qu’il en est.
r√
r√
√
√
A2 + B 2 + A
A2 + B 2 − A
= ± A et y = ±
= 0 d’où z = ± A.
Si B = 0 et A > 0, on trouve x = ±
2
2
p
√
Si B = 0 et A < 0 on trouve
de
même
x
=
0
et
y
=
±
−A
d’où
z
=
±i
|A|.
r√
r√
√
A2 + B 2 + A
A2 + B 2 − A
= ± A et y = ±
= 0 et si B > 0 alors x et y sont de
Si B 6= 0, On a x = ±
2
2
même signe tandis que si B < 0, ils sont de signes contraires.
En
 tenant
 x2 − y 2
2xy
 2
x + y2
4.2
4.2.1
Résolution
Rappel du cas réel
Étant donnés trois réels a, b, c avec a 6= 0, on considère l’équation ax2 + bx + c = 0. On pose ∆ = b2 − 4ac et l’on
a les trois cas suivant :
√
√
−b − ∆
−b + ∆
∆ > 0 L’équation a deux racines x1 =
, x2 =
et l’on a ∀x, ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ).
2a
2a
b
∆ = 0 L’équation a une racine double x0 = −
et ∀x, ax2 + bx + c = a(x − x0 )2
2a
p
p
−b − i |∆|
−b + i |∆|
,z=
et l’on a :
∆ < 0 L’équation a deux racines non réelles conjuguées z
2a
2a
∀x, ax2 + bx + c = a(x − z)(x − z).
4.2.2
Cas général
On prend a, b, c complexes avec a 6= 0.
reprendre#toute"la factorisation. Pour tout
# x ∈ C,
"Nous allons
2
2
2
2
b
c
b
c
b − 4av
b
b
ax2 + bx + c = a x2 + x +
.
+ − 2 =a x+
−
=a x+
a
a
2a
a 4a
2a
4a2
b 2
b
2
2
On pose à nouveau ∆ = b − 4ac. Si ∆ = 0 alors ∀x ∈ C, ax + bx + c = a x +
et on a encore x0 = −
2a
2a
comme racine double.
Si ∆ 6= 0, on sait "qu’il admet deux racines
opposées. Posons
δ l’une d’entre elles. Alors, pour tout x ∈ C :
#
"carrées
2
2 2 #
2
b
δ
δ
b
ax2 + bx + c = a x +
− 2 =a x+
−
2a
4a
2a
2a
−b + δ
−b − δ
x−
.
=a x−
2a
2a
−b ± δ
On a la forme factorisée et les racines
2a
4.2.3
Relations entre coefficients et racines
Soit x 7→ ax2 + bx + c, a 6= 0 une fonction polynôme du second degré de racines x1 , x2 éventuellement confondues.
On a donc ∀x, ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) = ax2 − a(x1 + x2 )x + ax1 x2 . On admet que cela entraı̂ne
b = a(x1 + x2 ) et c = ax1 x2 ou on le vérifie en partant des formule soutenues plus haut.
b
c
et x1 x2 =
a
a
Inversement on se donne S et P deux nombres complexes et on cherche les couples (x,y) ∈ C2 vérifiant
On a donc x1 + x2 = −
x + y = S, xy = P
Si (x,y) est un tel couple alors, pour tout z ∈ C, (z − x)(z − y) = z 2 − (x + y)z + xyz = z 2 − Sx + P de sorte que
x et y sont les racines de X 2 − SX + P .
12
5
Racines n-èmes
5.1
5.1.1
Un
Définition
Soit un entier naturel n > 2. On appelle Un l’ensemble Un = {z ∈ C, z n = 1}. Les éléments de Un sont appelés
les racines n-èmes de l’unité.
5.1.2
Propriétés
Un ⊂ U car si z n = 1 alors 1 = |1| = |z n | = |z|n d’où |z| = 1.
Un est stable pour le produit i.e. : ∀z, z ′ ∈ C, (z ∈ Un et z ′ ∈ Un ) ⇒ zz ′ ∈ Un .
En effet si z n = z ′n = 1 alors (zz ′ )n = z n z ′n = 1 × 1 = 1.
n
1
1
1
– Un est stable par le passage à l’inverse i.e. : ∀z ∈ C, z ∈ Un ⇒ z 6= 0 et
= n = = 1.
z
z
1
n
n
– Un est stable par conjugaison : ∀z ∈ C, z ∈ Un ⇒ z ∈ Un car (z) = z = 1 = 1.
–
–
5.1.3
Expression des racines n-èmes de l’unité
Posons z = eiα ∈ U.
2kπ
.
n
On pose alors, pour tout entier relatif k, zk = e2iπ/n et on voit que ∀k ∈ Z, zk+n = zn . On peut donc se contenter
′
de considérer z0 , z1 , . . . , zn−1 . On voit alors que si 0 6 k 6 k′ < n sont des entiers tels que e2ikπ/n = e2ik π/n
′
alors e2i(k −k)π/n = 1 donc 2(k′ − k)π/n est multiple entier de 2π d’où k′ − k est multiple de n mais comme
0 6 k′ − k < n, cela n’est possible que si k′ − k = 0. Les zk pour k de 0 à n − 1 sont donc deux à deux distincts.
En résumé :
n
o
Un = e2ikπ/n , 0 6 k 6 n − 1
z n = 1 ⇔ eniα = 1 ⇔ nα = 2kπ, k ∈ Z ⇔ α =
On peut généraliser la description ci-dessus en demandant à k de prendre n valeurs entières consécutives. Les
exemples les plus courants étant :
– de 0 à n − 1
– de 1 à n
– Pour n pair, n = 2p, on peut prendre k de −p + 1 à p ou de −p à p − 1
– pour n impair, n = 2p + 1, on prend généralement k de −p à p.
5.1.4
Inclusion des Un
Rappel : Étant donnés deux entiers m et n strictement positifs, on dit que m divise n et on écrit m|n lorsque n
est multiple de m c’est-à-dire lorsqu’il existe k ∈ N tel que n = km.
On a la propriété suivante qui fait un lien entre l’arithmétique et les Un .
Pour tous entiers m et n strictement positifs, on a l’équivalence : Um ⊂ Un ⇔ m|n.
Démonstration : Si n = km avec k ∈ N alors ∀z ∈ C, z m = 1 ⇒ z n = z km= (z m )k = 1k = 1 d’où Um ⊂ Un .
n
Inversement, si Um ⊂ Un alors, comme e2iπ/m ∈ Um ⊂ Un , on a e2iπ/m = 1 c’est-à-dire e2inπ/m = 1 donc
2πn/m est multiple entier de 2π ce qui revient à dire que n/m ∈ N.
C.Q.F.D
5.2
5.2.1
Racines n-èmes d’un complexe
Recherche des racines quand on en connaı̂t une
Soit Z un complexe non nul (sinon il n’y a aucun intérêt) et n un entier supérieur ou égal à 2. Les racines n-èmes
de l’unité sont les solutions z de l’équation z n = Z.
Dans cette question, on suppose connue une racine n-ème z0 . z0 est en particulier non nulle. Alors, pour tout
z ∈ C:
n
z
z
zn
n
n
n
=1⇔
∈ Un .
z = Z ⇔ z = z0 ⇔ n = 1 ⇔
z0
z0
z0
13
Il en résulte la propriété suivante :
Les racines n-èmes d’un complexe Z sont les produits d’une racines particulière par les racines n-èmes de l’unité.
5.2.2
Recherche générale
On pose Z = Eeiα et on cherche les racines n-èmes sous la forme reiθ avec R, r > 0 et α, θ ∈ R. On a les
équivalences :
√
n
r = R
r = nR
n
n
niθ
iα
z = Z ⇔ r e = Re ⇔
⇔
nθ = α + 2kπ, k ∈ Z
θ = αn + 2kπ
n , k ∈Z
√
√
2ikπ
2kπ
α
n
n
i( n + n )
iα/n
On obtient donc z = Re
= z0 e n avec z0 = Re
ce qui correspond à la description trouvée
précédemment.
6
Exponentielle complexe
6.1
6.1.1
Généralités
Définition
Pour tout nombre complexe z = x + iy, (x,y) ∈ R2 , on pose exp(z) = ex eiy = ex (cos(y) + i sin(y))
6.1.2
Propriétés
On a défini l’exponentielle complexe pour prolonger les propriétés algébriques usuelles et c’est bien ce qu’on
obtient :
– ∀z, z ′ ∈ C, exp(z + z ′ ) = exp(z) × exp(z ′ ). (Vérifier en posant z = x + iy et z ′ = x′ + iy ′ ).
exp(z ′ )
– ∀z, z ′ ∈ C, exp(z ′ − z) =
.
exp(z)
– ∀z ∈ C, ∀n ∈ Z, exp(nz) = (exp(z))n .
6.1.3
Module, arguments
En appliquant la définition de exp(z) avec z = x + iy, on voit que :
2π
| exp(z)| = exp(x) = eRe(z) et que arg(exp(z)) ≡ y = Im(z).
6.2
6.2.1
Diverses équations
exp(z) = exp(z ′ )
Quels que soient les nombres complexes z et z ′ , l’équation exp(z ′ ) = exp(z) équivaut à exp(z ′ − z) = 1.
Nous allons donc
( résoudre exp(z) =1. D’après la caractérisation par module et arguments, on a :
eRe(z) = 1
Re(z) = 0
exp(z) = 1 ⇔
≡
2π
Im(z)
= 2kπ, k ∈ Z
arg(z) ≡ 0
Il résulte de ce qui précède que, pour tous nombres complexes z et z ′ , on a exp(z) = exp(z ′ ) ⇔ z −z = 2ikπ, k ∈ Z.
6.2.2
Équation exp(z) = Z
2π
Soit Z ∈ C∗ les complexes z tels que exp(z) = Z vérifient exp(Re(z)) = |Z| et Im(z) ≡ arg(Z) et ainsi, les
nombres z tels que exp(z) = Z sont :
ln |Z| + i arg(Z) + 2ikπ, k ∈ Z
14
7
Nombres complexes et géométrie plane
7.1
Alignement et orthogonalité
7.1.1
Alignement
Soit ~u un vecteur d’affixe z ; pour λ ∈ R on vérifie facilement au moyen des coordonnées que λ~u a pour affixe λz.
x′ + iy ′
z′
=
=
Inversement, soit ~u 6= ~0 d’affixe z = x + iy et ~u′ un (autre) vecteur d’affixe z ′ = x′ + iy ′ . On a
z
x + iy
(xx′ + yy ′ ) + i(xy ′ − x′ y)i
z′
(x′ + iy ′ )(x − iy)
=
.
Il
en
résulte
que
est réel si et seulement si xy ′ − x′ y = 0 ce
x2 + y 2
x2 + y 2
z
qui équivaut à xy ′ = x′ y et on reconnaı̂t là la colinéarité des vecteurs ~u e t~u′ . Il en résulte la caractérisation suivante :
z′
∈ R ou encore arg
Deux vecteurs ~u 6= ~0 et ~u′ d’affixes respectives z et z ′ sont colinéaires si
z
7.1.2
Orthogonalité
z′
∈ Ri si et seulement si Re
Le même calcul que précédemment montre
z
qui revient à ~u.~u′ = 0 ou encore ~u ⊥ ~u′ .
7.2
7.2.1
′
z
π
≡0
z
′
z
= 0 c’est-à-dire si xx′ + yy ′ = 0 ce
z
Transformation z 7→ eiθ z
Angles
Pour tout nombre complexe z non nul, en écrivant z = |z|ei arg(z) , on sait que arg(z) représente l’angle orienté
~ı,~u(z) où ~u(z) est le vecteur d’affixe z.
′
Dès lors si ~u et vecu′ sont deux vecteurs non
′ nuls
d’affixes respectives z et z , alors :
z
2π
2π
c
cu 2π
~ud
,~u′ ≡ ~ı,~
u′ − ~ı,~
≡ arg(z ′ ) − arg(z) ≡ arg
.
z
7.2.2
Interprétations
On considère à présent θ ∈ R et l’application z 7→ zeiθ .
Soit ~u le vecteur d’affixe un complexe z6= 0et ~u′ le vecteur d’affixe z ′ = zeiθ .
z ′ 2π
2π
2π
≡ arg(eiθ ) ≡ θ.
~u et ~u′ ont même module et ~ud
,~u′ ≡ arg
z
~u est donc l’image du vecteur ~u par la rotation d’angle θ.
Si on considère maintenant les points M et M ′ d’affixes respectives z et z ′ , cette fois, M ′ est l’image de M par la
rotation de centre O d’angle θ.
7.3
z 7→ z + b
−−−→
Si on pose M d’affixe z et M ′ d’affixe z + b alors M M ‘ a pour affixe z ′ − z = b.
Ainsi l’application qui à M associe M ′ est la translation de vecteur ~u d’affixe b.
7.4
z 7→ kz
Soit k ∈ R∗ .
On voit facilement que l’application qui à M d’affixe z associe M ′ d’affixe kz est l’homothétie de centre O
7.5
z 7→ z̄
La transformation géométrique correspondante est la symétrie orthogonale d’axe Ox.
15