PROBABILITES CONDITIONNELLES ET INDEPENDANCE 1

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E
PROBABILITES CONDITIONNELLES ET INDEPENDANCE
1
Un individu d'une population donnée à une probabilité 0,3 d'être contaminé par une maladie
donnée. La moitié de la population a été vaccinée. On estime à 80 % la proportion de la population
qui ayant été vaccinée ne sera pas contaminée. Un individu n'a pas été contaminé par la maladie :
Quelle est la probabilité qu'il ait été vacciné?
Citer des événements liés à ce problème dont on peut calculer les probabilités en fonction des
données du texte.
2
, et
A B C
sont trois événements d'un espace probabilisé tels que :
( ) 0,55 ; ( ) 0,3 ; ( ) 0,2
( ) 0,62 ; ( ) 0,37 ; ( ) 0,4 ; ( ) 0,2
P A P A B P A B C
P B P B C P C P A C
= ∩ = ∩ ∩ =
= ∩ = = ∩ =
a) Donner l'expression ensembliste de E = " A et B se produisent mais pas C "
et F = " un seul des événements A , B ou C se produit ".
b) Calculer P(E) et P(F)
c) Calculer P(A / B) , P(B / A) , P(
( / )
P A B C
∩
3
Une urne A contient 4 boules noires et 2 boules blanches, une urne B contient
2 noires et 4 blanches.
Un joueur choisit au hasard une urne et y effectue trois tirages avec remise.
Quelle est la probabilité que la troisième boule tirée soit noire sachant que les deux premières
l'étaient ?
Que se passerait-il si le joueur effectue le choix de l'urne à chacun des trois tirages ?
4
On considère deux urnes
1
U
et
2
U
:
pour i = 1 , 2
i
U
contient des boules blanches et noires en proportion
i
p
et
i
q
.
On effectue une suite de tirages avec remise suivant la règle :
on choisit au hasard une urne pour le premier tirage.
ensuite on tire dans
1
U
si la première boule tirée est blanche, dans
2
U
sinon.
De même la
ième
n
boule est tirée dans
1
U
ou
2
U
suivant que la
( 1)
ième
n− boule tirée était
blanche ou noire.
1) Calculer les probabilités de tirer une blanche au premier , deuxième, troisième coup.
2) Soit la probabilité
n
π
de tirer une blanche au
ième
n
coup.
Calculer
n
π
ainsi que
lim
n
→∞
n
π
.
5
Quelle est la probabilité au poker d'obtenir un carré ?
a) Jean-Marc vient de recevoir sa première carte, un 8 de Pique :
à combien peut-il évaluer ses chances d'avoir un carré ?
b) Même question quand Jean-Marc a vu ses deux premières cartes : 8 P et 8K ?
c) Même question quand Jean-Marc a vu ses trois premières cartes : 8 P , 8 K et 8 T ?
Que pensez-vous de ces résultats ?
6
A et B jouent au tennis et sont à égalité 40-40 .
A gagne chaque point avec la probabilité
]
[
0,1
p∈
.
Quelle est la probabilité que le jeu s'arrête ? Que A remporte le jeu ?
Que le jeu dure au moins 2n coups ?

- 2 -
7
Sur un stock de 100 dés, 25 sont pipés (la probabilité de tirer un 6 étant
1
2
).
1) On choisit un dé et on le lance. On obtient 6 : quelle est la probabilité que ce dé soit pipé ?
2) On relance le dé et on obtient à nouveau un 6 : même question ?
8
n urnes
1
U
,
2
U
, …,
n
U
contiennent respectivement 1 , 2 , … , n boules noires.
On choisit une urne au hasard , on en retire une boule et on n'y met une boule blanche.
Un tirage dans cette urne donne une boule blanche.
Quelle est la probabilité que le tirage ait été effectué dans
i
U
?
9
Soient
A
et
B
deux événements indépendants d'un espace probabilisé.
Montrer que
A
et
B
sont indépendants. idem pour
A
et
B
puis pour
A
et
B
.
Généraliser ce résultat à un système
(
)
1
i
i n
A
≤ ≤
d'événements mutuellement indépendants.
10
Un feu bicolore est déréglé : quand il est rouge, il passe au vert avec la probabilité
1
p
: quand il est vert, il passe au rouge avec la probabilité
2
p
(les changements éventuels ont lieu aux temps t = 1 ,2 , 3 , ….)
On note
n
r
( resp.
n
v
) la probabilité que ce feu soit rouge (respectivement vert) à l'instant n .
a) Établir des relations de récurrence sur (
n
r
) et (
n
v
) .( on écrira
1
1
n n
n n
r r
A
v v
+
+
= avec
A
∈
M
2
(IR) ).
b) Déterminer B et C tq
2
B C I
+ =
et
1 2
(1 )
B p p C A
+ − − =
c) Exprimer
n
r
et
n
v
en fonction de n pour n ≥ 1 . Calculer
lim
n
→∞
n
r
et
lim
n
→∞
n
v
: interpréter .
11
Un damier est formé de 9 cases : celle du centre est notée O, celles des angles I et les autres J.
Une puce est au temps t = 0 au centre du damier et se déplace la façon suivante :
à chaque instant elle saute au hasard sur une case contiguë de celle où elle se trouve.
1) Quelle est la probabilité pour que la puce soit en O à l'instant t = n ?
2) Quelle est la probabilité pour que la puce revienne en pour la première fois à t = n ?
12
On lance m des non truqués, puis on laisse de côté ceux qui ont amené un 6 .
On relance les autres, en laissant à nouveau de côté ceux qui ont amené six, et ainsi de suite.
a) On considère un dé fixé . Quelle est la probabilité pour que ce dé soit lancé au moins n fois ?
b) Calculer la probabilité de l'événement "on obtient la figure formée de m 6 en au plus
n relances " ainsi que sa limite quand
n
→ + ∞
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Deux joueurs A et B s'affrontent dans une succession de points. A remporte chaque point
avec une probabilité
]
[
0,1
p∈
(et B avec q = 1- p ) .Le perdant de chaque point donne un
franc au vainqueur. A commence le jeu avec une fortune de a francs alors que B avec
une fortune de b francs. On note
n
α
la probabilité pour A d'être ruiné lorsqu'il
commence avec une fortune de n francs.
Établir une relation de récurrence linéaire double vérifiée par
( )
n n
α
∈
ℕ
.
En déduire la probabilité pour A d'être ruiné, de même pour B et enfin la probabilité que
la partie dure indéfiniment .