Formulaire Général de Notions Mathématiques et Physiques

Formulaire Général de Notions Mathématiques
et Physiques
1er mai 2010
Autiwa
Table des matières
1 Avant-Propos
1.1 Nomenclature et conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Mathématiques
2.1 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Binôme de Newton . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Inégalité Triangulaire . . . . . . . . . .
2.1.3 Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . .
2.2 La Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Formules de dérivées . . . . . . . . . . .
2.2.2 Dérivée des fonctions usuelles . . . . . .
2.2.3 Dérivée d'une fonction réciproque . . . .
2.3 L'intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Intégration par parties . . . . . . . . . .
2.3.3 Changement de variable . . . . . . . . .
2.3.4 Intégrales courantes . . . . . . . . . . .
2.4 Analyse vectorielle et Opérateurs . . . . . . . .
2.4.1 Formules utiles . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5 Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.6 d'Alembertien . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Décomposition en Éléments simples . . . . . . .
2.6 Angles Solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Formules de Trigonométrie . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Formules Utiles . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Formules de linéarisation . . . . . . . .
2.7.3 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.4 Trigonométrie hyperbolique . . . . . . .
2.7.5 Angles orientés . . . . . . . . . . . . . .
2.7.6 Théorème d'Al-Kashi . . . . . . . . . .
2.8 Développement Limités Usuels . . . . . . . . .
2.9 Développement en Série Entière . . . . . . . . .
2.10 Séries de fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.2 Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.3 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.4 Autre dénition . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . .
2.11.1 Propriétés de la transformée de Laplace
2
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3
Table des matières
2.12 Transformée de Fourier . . . .
2.12.1 Transformées Usuelles
2.12.2 Propriétés . . . . . . .
2.12.3 Autres Relations . . .
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3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Les incertitudes sur des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Incertitude sur une valeur dépendant de plusieurs variables
3.2.2 Incertitudes sur les coecients d'une régression linéaire . .
3.3 Électromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Équations de maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Mécanique du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Travail d'une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Puissance d'une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Méthodes des monte-carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Calcul de pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Distributions plus générales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Vitesse associées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Physique
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26
26
27
Table des gures
28
Liste des tableaux
29
Index
30
Chapitre
1
Avant-Propos
1.1
Nomenclature et conventions
Les conventions d'écriture sont les suivantes :
Les vecteurs unitaires sont notés, dans la suite, avec un chapeau (êx , êθ ).
Pour les coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) : la convention prise ici, est de considérer (r, θ) exactement de
la même manière que pour les coordonnées cylindriques, c'est à dire que r est le segment reliant le centre
du repère au point considéré. Et θ est l'angle variant de [0; 2π]. En conséquence, pour les coordonnées
sphériques et en l'absence d'indications contraires, ça sera ϕ qui variera entre [0; π] (voir [Fig. 2.1]). Si je
précise ça, c'est parce que parfois, c'est la convention inverse qui est prise, et θ et ϕ sont inversées. Je trouve
plus logique de prendre la convention prise ici, dû au fait qu'en cylindrique, on utilise habituellement θ,
on rajoute donc simplement l'angle ϕ qui remplace la coordonnée spatiale z .
Les équations physiques sont des équations valables dans le système international (SI), et les unités
utilisées tout au long de ce formulaire sont celle de ce même système, sauf mention contraire.
1.2
Constantes
π = 3,141 592 653 589 793 238 462
e = 2,718 281 828 459 045 235 360
1
c2
h
~=
2π
ε0 µ0 =
4
(1.1)
(1.2)
5
Chapitre 1. Avant-Propos
Constante
Vitesse de la lumière
Constante de Planck
Charge de l'électron
Masse de l'électron
Masse du proton
Masse du neutron
Unité de masse atomique (12 C)
Nombre d'Avogadro
Constante de Rydberg
Constante de Stefan-Boltzmann
Première constante de radiation
Deuxième constante de radiation
Constante de Wienn
Constante de Boltzmann
Constante des gaz parfaits
Constante gravitationnelle
Masse solaire
Rayon solaire
Température eective du soleil
Luminosité solaire
Constante solaire
Gravité de surface du soleil
Unité astronomique
Parsec
Permittivité diélectrique du vide
Perméabilité diélectrique du vide
Tab.
symbole
Valeur
c
h
e
me
mp
mn
uma
NA
R∞
σ
c1
c2
a
kB
R
G
M
R
T
L
S
g
ua
pc
ε0
µ0
2,997 924 858 · 108 m.s−1
6,626 076(±4) · 10−34 J.s
1,602 177 3(±5) · 10−19 C
9,109 390(±5) · 10−31 kg
1,672 623(±1) · 10−27 kg
1,674 928 6 · 10−27 kg
1,660 540(±1) · 10−27 kg
6,022 136 7 · 1023 moles−1
1,097 373 153(±1) · 107 m−1
5,670 5(±2) · 10−8 W.m−2 .K−4
3,741 775(±2) · 10−16 W.m2
1,438 77(±1) · 10−2 m.K
2,897 76(±2) · 10−3 m.K
1,380 66(±1) · 10−23 J.K−1
8,314 51(±7) J.mole−1 .K−1
6,672 6(±8) · 10−11 m3 .kg−1 .s−2
1,989(±1) · 1030 kg
6,959 8(±7) · 108 m
5 770(±10) K
3,85(±6) · 1026 W
1,37(±2) · 103 W.m−2
2,738(±3) · 102 m.s−2
1,495 979(±1) · 1011 m
3,085 68(±1) · 1016 m
8, 85 · 10−12 SI
4π · 10−7 SI
1.1 Principales constantes universelles
Chapitre
2
Mathématiques
2.1
Polynômes
2.1.1 Binôme de Newton
n
(x + y) =
n X
n
k=0
où les nombres
n
k
k
xn−k y k
(2.1)
sont les coecients binomiaux :
n
n!
=
k
k!(n − k)!
2.1.2 Inégalité Triangulaire
Pour (x, y) ∈ C2 on a :
||x| − |y|| 6 |x + y| 6 |x| + |y|
(2.2)
2.1.3 Série de Taylor
La série de Taylor se dénit pour une fonction f inniment dérivable et en un point a au voisinage
duquel la fonction est dénie. Elle permet d'écrire l'image du point x par la fonction f à partir du point
a:
f (x) =
∞
X
f (n) (a)
n=0
n!
(x − a)n
(2.3)
À l'ordre 1, on retrouve l'expression de la tangente à une courbe en un point a donné.
Si on prend a = 0 et que l'on écrit les premiers termes, on obtient :
f (x) = f (0) + xf 0 (x) +
2.2
x2 00
f (x) + · · ·
2
(2.4)
La Dérivation
La déniton mathématique de la dérivée en un point d'une fonction f est la limite du taux d'accroissement quand dx tend vers 0
f 0 (x) = lim
dx→0
f (x + dx) − f (x)
dx
6
(2.5)
7
Chapitre 2. Mathématiques
2.2.1 Formules de dérivées
Dérivée d'une combinaison linéaire de fonctions
0
(αf + βg) = αf 0 + βg 0
(2.6)
Dérivée d'un produit de fonctions
(f g) = f 0 g + f g 0
(2.7)
0
f
f 0 g − g0 f
=
g
g2
(2.8)
0
Dérivée d'un quotient de fonctions
Dérivée d'une fonction composée
Soit u = g ◦ f
Un moyen mnémotechnique pour savoir dans quel ordre s'applique la composition est de dire que l'on
applique g à f . Donc on a :
g ◦ f = g (f (x))
(2.9)
u0 = f 0 (x) × g 0 (f (x))
(2.10)
2.2.2 Dérivée des fonctions usuelles
à savoir :
0
(xn ) = nxn−1
n 0
0
(u ) = nu u
n−1
0
(cos(x)) = − sin(x)
0
(sin(x)) = cos(x)
1
0
(ln(x)) =
x
u0
0
(ln(u)) =
u
0
(ex ) = ex
u 0
0 u
(e ) = u e
Remarque :
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
(2.19)
u représente la fonction u dépendant de x, c'est à dire : u(x). Le 0 représente ici la
dérivation par rapport à la variable x.
2.3. L'intégration
8
Il faudrait les savoir, mais bon :
0
1
= 1 + tan2 x
cos2 x
1
= −√
1 − x2
1
=√
1 − x2
1
=
1 + x2
= sh x
(tan x) =
0
(arccos x)
0
(arcsin x)
0
(arctan x)
0
(ch x)
0
(sh x) = ch x
1
0
(thx) = 2
ch (x)
(2.20)
(2.21)
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
2.2.3 Dérivée d'une fonction réciproque
(f −1 )0 =
2.3
1
f 0 ◦ f −1
(2.27)
L'intégration
2.3.1 Primitive
On dénit la primitive d'une fonction f comme la fonction qui, dérivée, donne la fonction f . Une
primitive est dénie à une constante près, en eet, une constante, dérivée, donne 0.
On retrouve donc les formules d'intégrations à partir des formules de dérivation
ˆ
b
u0
b
dx = [ln (|u|)]a
a u
n+1 b
ˆ b
x
xn dx =
n
+1 a
a
b
ˆ b
un+1
n
u dx =
(n + 1)u0 a
a
(2.28)
(2.29)
(2.30)
2.3.2 Intégration par parties
ˆ
ˆ
b
0
b
a
a
b
v 0 (x)u(x) dx
u (x)v(x) dx = [u(x)v(x)] −
(2.31)
a
Le principe de l'intégration par parties est de dériver toujours la même fonction pour essayer de
l'éliminer. On choisit généralement un polynôme comme fonction à dériver (en tant que fonction v donc)
et l'autre fonction, on a souvent une fonction telle que l'exponentielle, ou une fonction trigonométrique.
En eet, ces 3 fonctions ont pour caractéristiques d'être facilement intégrable et dérivable.
2.3.3 Changement de variable
Soit l'intégrale
˜
R
f (x, y) dx dy . On applique le changement de variable :
x = g(u, v)
y = h(u, v)
Soit Φ :
R
−→
(x, y) 7−→
S
(g(u, v), h(u, v))
9
Chapitre 2. Mathématiques
Soit J(Φ) la matrice jacobienne de Φ déni par :
∂ g(u,v)
J(Φ) =
¨
∂u
∂ h(u,v)
∂u
∂ g(u,v)
∂v
∂ h(u,v)
∂v
(2.32)
¨
f (g(u, v), h(u, v)) |det(J(Φ))(u, v)| du dv
f (x, y) dx dy =
R
(2.33)
S
Cylindrique
(2.34a)
(2.34b)
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
¨
¨
f (x, y) dx dy =
f (r cos(θ), r sin(θ))r dr dθ
R
(2.35)
S
Sphérique
z
P
r
0
y
x
Fig.
2.1 Coordonnées Sphériques
x = r cos(θ) sin(ϕ)
y = r sin(θ) sin(ϕ)
z = r cos(ϕ)
˚
˚
f (r cos(θ) sin(ϕ), r sin(θ) sin(ϕ), r cos(ϕ))r2 sin(ϕ) dr dθ dϕ
f (x, y, z) dx dy dz =
R
(2.36a)
(2.36b)
(2.36c)
(2.37)
S
2.3.4 Intégrales courantes
ˆ
∞
un e−u du = n!
0
ˆ
0
∞
x
π2
=
e −1
6
x
(2.38)
(2.39)
2.4. Analyse vectorielle et Opérateurs
10
ˆ
+∞
(2.40)
2
e−ax xn dx
I(n) =
0
r
1 π
I0 =
2 a
1
I1 =
2a
√ 3/2
π 1
I2 =
4
a
Intégrale de Gauss :
ˆ
+∞
2
r
e−αx dx =
∀α ∈ R+∗
−∞
+∞
ˆ
2
e−x dx =
√
π
α
(2.41)
π
(2.42)
−∞
2.4
Analyse vectorielle et Opérateurs
On peut introduire l'opérateur (je sais pas si on peut l'appeler comme ça) nabla dénit comme :

∂
∂x

 
→
−
∂ 
∇ =  ∂y

 
(2.43)
∂
∂z
Remarque : Cette dénition est valable pour un repère cartésien
Et ainsi, on obtient la véritable notation de la divergence, du gradient et du rotationnel :
−
→
−
→
− →
∇ · (f ) = ∇. f
→
−
→
−
∇ (f ) = ∇f
− →
−
→
− →
− →
∇∧ f =∇∧ f
Remarque : Pour la divergence et le rotationnel,
→
−
f est un vecteur. Pour le gradient, f est un scalaire.
La divergence est un scalaire, le gradient et le rotationnel sont des vecteurs !
2.4.1 Formules utiles
→
− −
→
− − →
→
−
→
−
−c (→
−
a ∧ b ∧→
c = b (→
a .−c ) − →
a.b)
→
− →
− →
− →
− →
− →
− →
−
∇∧ ∇∧ A
=∇ ∇· A
− ∆A
→
→
−
→
−
−
−
−
−
∇ ∧ (f →
v ) = ∇ (f ) ∧ →
v + f ∇ ∧ (→
v)
→
→
−
− − →
−
−
−
∇ · (f →
v ) = f ∇ · (→
v ) + ∇ (f ) · →
v
Soit le produit mixte de 3 vecteurs dénit par :
(2.44)
(2.45)
(2.46)
(2.47)
11
Chapitre 2. Mathématiques
−
−
−
−
−
−
[→
u,→
v ,→
w] = →
u · (→
v ∧→
w)
(2.48)
Le produit mixte est invariant par permutation circulaire des trois vecteurs. Il change de signe par
permutation de deux vecteurs.
→
−
−
−
−
−
−
u · (→
v ∧→
w) = →
w · (→
u ∧→
v)
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
−
u · ( v ∧ w) = − v · ( u ∧ →
w)
(2.49)
(2.50)
→
−
∂f
∂f
∂f
∇ · (f (x, y, z)) =
+
+
∂x
∂y
∂z
(2.51)

∂f
 ∂x 
 
 
∂f 
→
−

∇ (f (x, y, z)) = 
 ∂y 
 
 
∂f 
(2.52)
2.4.2 Divergence
2.4.3 Gradient

∂z
2.4.4 Rotationnel

∂
∂x
 
fx




→
−
→
−
∂   
∇ ∧ f (x, y, z) =  ∂y
 ∧  fy 
   
∂
fz
∂z

(2.53)
2.4.5 Laplacien
∆f (x, y, z) =
∂2f
∂2f
∂2f
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
(2.54)
2.4.6 d'Alembertien
→
−
∂2
→
−
= ∆ − µ0 ε0 2
∂t
2.5
(2.55)
Décomposition en Éléments simples
Soit une fraction
F =
1
(x − x1 )(x − x2 )2
(2.56)
2.6. Angles Solides
12
On peut écrire F sous la forme :
F =
c
a
b
+
+
x − x1
(x − x2 )2
x − x2
(2.57)
avec :
a = F (x − x1 )
(2.58)
x=x1
b = F (x − x2 )2 (2.59)
x=x2
c = [F (x − x2 ) ] (2.60)
2 0
2.6
x=x2
Angles Solides
L'angle solide, noté Ω, est une généralisation dans l'espace de la notion d'angle. Son unité est le
stéradian, noté sr, et prend ses valeurs dans l'intervalle [0; 4π]. Cet angle solide représente la surface
qu'occupe l'objet sur une sphère imaginaire placé à la même distance de nous que l'objet. En conséquence,
la lune et le soleil ont environ le même angle solide vu de la terre alors que la taille de l'objet n'est pas
du tout la même.
La dénition du calcul d'un angle solide se fait de la manière suivante :
¨
Ω=
P ∈S
−
→
dS(P ).êr (P )
r2 (P )
(2.61)
Mais il est plus facile de se représenter l'angle solide ainsi :
Ω=
S
R2
(2.62)
C'est à dire comme la surface qu'occupe l'objet divisé par sa distance par rapport à nous. Ainsi,
comme la surface d'une sphère est 4πR2 on voit que pour tout l'espace, l'angle solide vaut bien 4π
2.7
Formules de Trigonométrie
Je ne connais par c÷ur que les formules des sections [Ÿ 2.7.1] et [Ÿ 2.7.2]. Je trouve les autres à partir
de celles là en deux ou trois lignes.
Il faut penser à utiliser le cercle trigonométrique pour retrouver bon nombre de formule, notamment
la valeur d'un cosinus de nombre négatif et ainsi de suite.
Je ne connais pas non plus les formules (2.63a) qu'on retrouve à partir de l'expression en exponentielle
des fonctions cosinus et sinus. Il faut juste être astucieux et voir qu'on peut factoriser par une exponentielle
pour faire apparaître l'expression.
2.7.1 Formules Utiles
θ
θ
ei 2
1 − eiθ = −2i sin
2
θ
θ
1 + eiθ = −2 cos
ei 2
2
1 iθ
e + e−iθ
2
1 iθ
sin(θ) =
e − e−iθ
2i
cos(θ) =
(2.63a)
(2.63b)
(2.64a)
(2.64b)
13
Chapitre 2. Mathématiques
cos(a + b) = cos(a) × cos(b) − sin(a) × sin(b)
sin(a + b) = sin(a) × cos(b) + cos(a) × sin(b)
cos(−x) = cos(x)
sin(−x) = − sin(x)
tan(−x) = − tan(x)
(2.65a)
(2.65b)
(2.66a)
(2.66b)
(2.66c)
2.7.2 Formules de linéarisation
∀θ ∈ [[0; 2π]]
cos2 (θ) + sin2 (θ) = 1
1 − cos(2θ)
2
1 + cos(2θ)
2
cos (θ) =
2
sin2 (θ) =
(2.67)
(2.68)
(2.69)
2.7.3 Dérivées
sin0 (x) = cos(x)
(2.70a)
(2.70b)
tan0 (x) = 1 + tan2 (x)
1
tan0 (x) =
cos2 (x)
(2.70c)
cos0 (x) = − sin(x)
2.7.4 Trigonométrie hyperbolique
Dénition
ex + e−x
2
ex − e−x
sh(x) =
2
sh(x)
th(x) =
ch(x)
ex − e−x
th(x) = x
e + e−x
ch(x) =
(2.71a)
(2.71b)
(2.71c)
Dérivées
ch0 (x) = sh(x)
0
sh (x) = ch(x)
th0 (x) = 1 − th2 (x)
1
th0 (x) = 2
ch (x)
(2.72a)
(2.72b)
(2.72c)
2.7. Formules de Trigonométrie
14
2.7.5 Angles orientés
Dénition
On peut dénir un angle entre deux vecteurs. Cet angle possède un signe qui dénit en quelque sorte
le sens de parcours pour aller de l'un à l'autre. Le sens de parcours positif, c'est à dire celui par défaut,
est le sens trigonométrique (qui correspond au sens anti-horaire)
C
B
C
B
C
B
A
A
(a)
(b)
Fig.
(c)
2.2 Angle orienté
−
−
On prend pour exemple le schéma (a) de [Fig. 2.2]. L'angle orienté (→
v ,→
u ) est dénit comme l'angle
→
−
→
−
qu'il y a entre le vecteur v et le vecteur u . Pour celà, on construit ces deux vecteurs pour qu'ils partent
−
du même point (cf schéma (b) de [Fig. 2.2]). On part du premier vecteur, c'est à dire le vecteur →
v et on
→
−
va jusqu'au vecteur u dans le sens direct ; l'angle obtenu sera positif puisqu'on a parcouru dans le sens
−
−
direct, et correspondra à l'angle orienté (→
v ,→
u ).
Remarque : Si on parcours dans le sens horaire, il sura de mettre un signe moins pour que ça
corresponde à l'angle voulu.
Propriétés
−
−
−
−
(→
v ,→
u ) = −(→
u,→
v)
→
−
→
−
−
−
( v , u ) = π + (−→
v ,→
u)
(2.73a)
(2.73b)
2.7.6 Théorème d'Al-Kashi
Ce théorème est une généralisation à un triangle quelconque du Théorème de pythagore.
Remarque : C'est un théorème que l'on peut aisément redémontrer en écrivant les segments comme
des vecteurs. En eet, le produit scalaire qui apparait lors du développement du carré de la somme fait
immédiatemement apparaître le cosinus et permet de trouver quel angle utiliser.
Fig.
2.3 Notations utilisées pour la formule du théorème d'Al-Kashi
D'après les notations dénies dans [Fig. 2.3].
→
−2
→
−
2
→
−c 2 = →
−
−
a + b − 2→
a · b
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
(2.74)
15
Chapitre 2. Mathématiques
On peut bien entendu le faire pour chaque coté, l'angle dans le formule étant l'angle entre les deux
cotés opposés à celui que l'on cherche.
2.8
Développement Limités Usuels
x2
xn
+ ··· +
+ o(n)
2!
n!
x2
x3
xn
ln(1 + x) = x −
+
− · · · + (−1)n+1
+ o(xn )
2
3
n
x3
x5
x2p+1
sin(x) = x −
+
− · · · + (−1)p
+ o(x2p+2 )
3!
5!
(2p + 1)!
x2
x4
x2p
cos(x) = 1 −
+
− · · · (−1)p
+ o(x2p+1 )
2!
4!
(2p)!
α(α − 1) 2
α(α − 1)(α − 2) . . . (α − n + 1) n
∀α ∈ R, (1 + x)α = 1 + αx +
x + ··· +
x + o(xn )
2!
n!
√
1
1
1
1 + x = 1 + x − x2 + x3 + o(x3 )
2
8
16
1
= 1 + x + x2 + · · · + xn + o(xn )
1−x
1
1
3
5
√
= 1 − x + x2 − x3 + o(x3 )
2
8
16
1+x
x3
2 5
tan(x) = x +
+ x + o(x5 )
3
15
ex = 1 + x +
2.9. Développement en Série Entière
2.9
16
Développement en Série Entière
Ce sont les développements en série de Taylor des fonctions usuelles :
ex =
∞
X
xn
n=0
∞
R = +∞
n!
cos(x) =
X
x2n
(−1)n
(2n)!
n=0
R = +∞
sin(x) =
∞
X
x2n+1
(−1)n
(2n + 1)!
n=0
R = +∞
∞
X
x2n
(2n)!
n=0
R = +∞
ch(x) =
sh(x) =
∞
X
n=0
∞
x2n+1
(2n + 1)!
R = +∞
X
1
=
(−1)n xn
1 + x n=0
R=1
∞
X
xn
ln(1 + x) =
(−1)n+1
n
n=1
R=1
∞
X
1
xn
=
1 − x n=0
ln(1 − x) = −
∞
X
xn
n=1
∞
arctan(x) =
R=1
R=1
n
X
x2n+1
(−1)n
2n + 1
n=0
α
(1 + x) = 1 +
R=1
∞
X
α(α − 1)(α − 2) . . . (α − n + 1)
n!
n=1
2.10
x
n
(
R = +∞,
R = 1,
si α ∈ N
si α ∈ R\N
Séries de fourier
2.10.1 Dénition
Soit f une fonction de période T (d'où ω =
f (t) =
2π
T
). On a :
a0 X
+
an cos(nωt) + bn sin(nωt)
2
n=1
(2.75)
avec, ∀n > 0 :
ˆ
2 α+T
f (t) cos(nωt) dt
T α
ˆ
2 α+T
bn =
f (t) sin(nωt) dt
T α
an =
(2.76a)
(2.76b)
2.10.2 Parité
Si f est paire, alors tout les bn = 0 ∀n > 1
Si f est impaire, alors tout les an = 0 ∀n > 0
Si la fonction n'admet aucune parité, alors il est souvent pratique de passer à l'autre dénition faisant
intervenir uniquement les coecients cn (équations (2.77) et (2.78)).
17
Chapitre 2. Mathématiques
2.10.3 Continuité
1
2
Si f est continue en tout point, alors Sf (t) = f (t) mais aux points de discontinuité, on a Sf (t0 ) =
[f (t0 + ) + f (t0 − )]
2.10.4 Autre dénition
On peut aussi écrire une série de fourier de la façon suivante :
+∞
X
Sf (t) =
cn einωt
(2.77)
f (t)e−inωt dt
(2.78)
n=−∞
Avec, ∀n ∈ Z :
cn =
2.11
1
T
ˆ
α+T
α
Transformée de Laplace
La transformée de laplace de la fonction f est dénie comme :
Lf :
C
p
−→
7−→
C
(L f )(p)
ˆ
→+∞
L {f } =
f (t)e−pt dt
0
L {1} (p) =
L {t} (p) =
n ∈ N, L {tn } (p) =
1
L √ (p) =
t
a ∈ C, L {e−at } (p) =
a ∈ C, L {te−at } (p) =
(a, n) ∈ C × N, L {tn e−at } (p) =
ω ∈ R, L {cos(ωt)} (p) =
ω ∈ R, L {sin(ωt)} (p) =
ω ∈ R, L eiωt (p) =
L {e−at cos(ωt)} (p) =
L {e−at sin(ωt)} (p) =
1
p
1
p2
n!
pn+1
√
π
√
p
1
p+a
1
(p + a)2
n!
(p + a)n+1
p
p2 + ω 2
ω
p2 + ω 2
1
p − iω
p+a
(p + a)2 + ω 2
ω
(p + a)2 + ω 2
(2.79)
2.12. Transformée de Fourier
18
2.11.1 Propriétés de L
1. Avec a > 0
L {f (at)} =
p
1
L {f }
p
a
(2.80)
2. Avec a > 0
L {f (t − a)} = e−a L {f } (p)
(2.81)
L {e−at f (t)} = e−a L {f } (p + a)
(2.82)
3. ∀a ∈ R
(L f 0 ) (p) = pL (f )(p) − f (0)
(L f ) (p) = p L (f )(p) − pf (0) − f (0)
1
L (F )(p) = L (f )(p)
p
00
2.12
0
2
(2.83)
(2.84)
(2.85)
Transformée de Fourier
F {f (t)} = F (ω)
ˆ
+∞
(2.86)
e−iωt f (t) dt
F (ω) =
−∞
2.12.1 Transformées Usuelles
f (t)
e−t u(t)
$
e−|t|
(
1 si
(t)
0 si
(
1 − |t|
∧(t) =
0
2
e−t
δ(t)
Tab.
|t| < 1
|t| > 1
si |t| < 1
si |t| > 1
F (ω)
1
1 + iω
2
1 + ω2
2 sin(ω)
ω
!2
sin ω2
√
ω
2
πe−
1
ω2
4
2.1 Transformées de Fourrier Usuelles
2.12.2 Propriétés
Linéarité
Soit f et f deux fonctions de Transformée de Fourrier respective F et G. Soit a et b deux constantes,
on a :
F {a · f (t) + b · g(t)} = a · F (ω) + b · G(ω)
(2.87)
19
Chapitre 2. Mathématiques
Changement d'Échelle de Temps
F {f (at)} =
1 ω
F
|a|
a
(2.88)
Translation de la Variable Temps
F {f (t − t0 )} = e−iωt0 F (ω)
(2.89)
F eiω0 t f (t) = F (ω − ω0 )
(2.90)
Translation de Fréquence
Transformée de la fonction Complexe Conjuguée
n
o
F f (t) = F (−ω)
(2.91)
Transformée des dérivées d'une fonction
n
F f (n) (t) = (iω) F (ω)
(2.92)
Dérivation par rapport à la fréquence
dn F (ω)
dω n
F {tn f (t)} = in
(2.93)
Formule
Théorème des Moments
n
d
F
(ω)
(−i)n mn =
dω n ω=0
ˆ +∞
F (0) =
f (t) dt
(2.94)
−∞
Convolution
F {(f ∗ g) (t)} = F (ω) · G(ω)
F −1 {F (ω) · G(ω)} = (f ∗ g) (t)
(2.95a)
(2.95b)
2.12.3 Autres Relations
Formule de Plancherel
ˆ
+∞
f (t)g(t) dt =
−∞
1
2π
ˆ
+∞
F (ω)G(ω) dω
−∞
(2.96)
2.12. Transformée de Fourier
20
Relation de Parseval
ˆ
+∞
2
|f (t)| dt =
−∞
1
2π
ˆ
+∞
2
|F (ω)| dω
−∞
(2.97)
Chapitre
3
Physique
3.1
Généralités
Équation de dispersion
En électromagnétique, l'équation de dispersion relie la pulsation et le vecteur d'onde. Par exemple,
dans le vide, on a :
k2 =
ω2
c2
(3.1)
Mais on peut aussi dénir des relations de dispersions dans d'autres domaines de la physique. Par
exemple une relation de dispersion entre l'énergie et l'impulsion, utile en particulier en mécanique quantique relativiste.
Je serai tenté de dire que l'on ne peut dénir des relations que pour des ondes, mais c'est une
information uniquement basée sur une intuition, et je n'ai jamais vu marqué ça nulle part.
−
Toute relation liant l'énergie E et l'impulsion →
p est une équation de dispersion. Pour la relativité
restreinte, l'équation de dispersion est :
−
E2 = →
p c2 + m2 c4
2
3.2
(3.2)
Les incertitudes sur des mesures
3.2.1 Incertitude sur une valeur dépendant de plusieurs variables
Quand on a une valeur X dépendant de variables que l'on mesure avec une certaine incertitude, on
utilise les dérivées partielles pour trouver l'incertitude sur X .
Pour celà, et pour ne pas trop compliquer les explications, je vais directement prendre un exemple.
Soit :
X=3
u
v
(3.3)
On a :
u = u0 ± ∆u
v = v0 ± ∆v
(3.4a)
(3.4b)
Remarque : Pour la suite, on suppose les valeurs u0 et v0 comme positives, de sortes à simplier les
calculs avec les valeurs absolues.
L'incertitude sur X vaut :
21
3.2. Les incertitudes sur des mesures
22
∂X ∆u + ∂ X ∆v
∆X = ∂u
∂v (3.5)
Ce qui donne :
∆X = 3
∆u
u∆v
+3 2
v
v
(3.6)
3.2.2 Incertitudes sur les coecients d'une régression linéaire
Ici, je vais aussi parler de la détermination des coecient d'une régression linéaire. Cette méthode peut
s'appliquer pour des régression exponentielles et autres, du moment que l'on peut ramener les couples
(x, y) à des couples dont la dépendances est linéaire (par exemple, pour une régression exponentielle, on
prend le logarithme de y ce qui donne une droite ane.)
Si on transforme les données, par exemple, en prenant le logarithme de y (en clair, quand la
véritable dépendance n'est pas linéaire), il faudra prendre un soin tout particulier à reporter ces
dépendances lors de la détermination des incertitudes. Si on cherche une dépendance exponentielle, et
même si le logiciel prend tout seul le logarithme, il faudra rajouter une colonne ln y pour faire les calculs,
car alors les ordonnées sont bels et bien les logarithmes.
Soit Ai (xi , yi ± δyi ) un point expérimental et son erreur. 1
Soit Bi (xi , axi + b) le point de la droite ajustée ayant même abscisse que Ai .
La distance Ai Bi = yi − (axi + b) est appelé résidu relatif à la paire (xi , yi ). les valeurs optimales
des coecients a et b sont celles qui minimisent la quantité :
χ2 =
X
(3.7)
2
ωi (yi − axi − b)
i
Remarque : C'est pour celà qu'on appelle cette méthode la méthode des moindres carrés.
Avec :
ωi =
1
δyi 2
(3.8)
L'expression des coecients de la régression y = ax + b de la série de donnée vaut :
"
#
X
X
1 X X
a=
ωi
ωi xi yi −
ωi x i
ωi yi
D i
i
i
i
"
#
X
X
X
1 X
2
b=
ωi yi
ωi x i −
ωi x i
ωi x i yi
D i
i
i
i
(3.9a)
(3.9b)
avec
!2
D=
X
i
ωi
X
ωi xi 2 −
X
i
ωi xi
(3.10)
i
Les erreurs δa et δb sur les paramètres ajustés sont approximativement :
δa =
δb =
1.
δyi
est donc l'incertitude sur
yi
vX
u
u
ωi
t
i
D
vX
u
u
ωi xi 2
t
i
D
(3.11)
(3.12)
23
Chapitre 3. Physique
3.3
Électromagnétisme
3.3.1 Flux
→
−
Le ux φ d'un champ vectoriel V à travers une surface fermée S est :
‹
→
→
− −
V .dS
φ=
(3.13)
S
Formule de la Divergence
L'expression du Théorème de Green-Ostrogradski, en notant ϑ le volume limité par S est :
‹
→
→
− −
V .dS =
˚
S
3.3.2 Circulation
→
− →
−
∇ · V . dϑ
(3.14)
ϑ
→
−
La circulation C d'un champ vectoriel V le long d'un contour fermé Γ est :
˛
−
→
− →
V . dl
C =
(3.15)
Γ
Formule du rotationnel
L'expression de la Théorème de Stockes, en notant S toute surface orientée par Γ, s'appuyant sur Γ,
est :
˛
Γ
−
→
− →
V . dl =
¨
→
− −
→
− →
∇ ∧ V .dS
(3.16)
S
3.3.3 Équations de maxwell
→
− →
−
ρ
∇· E =
ε0
→
−
→
− →
−
∂B
∇∧ E =−
∂t
→
− →
−
∇· B =0
(3.17a)
(3.17b)
(3.17c)
→
−
→
− →
−
1 ∂E
→
−
∇ ∧ B = µ0 j + 2
c ∂t
(3.17d)
→
−
Que la divergence de B soit nulle se rapproche du fait qu'il n'existe pas de charge magnétique
(contrairement à la charge électrique). Il n'existe pas de monopole magnétique.
On a de plus :
→
−
→
−
E = − ∇ (V )
→
−
→
− →
−
B =∇∧ A
3.3.4 Force de Lorentz
(3.18)
(3.19)
→
−
→
−
Une particule de charge électrique q plongée dans un champs E et un champs B et ayant une vitesse
→
−
v subit une force de Lorentz ayant pour expression :
→
− − →
−
F =q E +→
v ∧B
(3.20)
3.4. Mécanique du point
24
3.3.5 Énergie potentielle
Pour une particule de charge q plongée dans un potentiel V , l'énergie potentielle Ep associée vaut :
(3.21)
Ep = qV
Remarque : Ceci marche aussi quand on prend un électron soumis à un potentiel de, mettons, 100 V.
On peut alors calculer V pour une distribution de charge. Dans le cas d'une énergie potentielle pour
deux densité de charge en interaction, on ne peut plus séparer en une charge q et un potentiel V . On doit
alors écrire l'intégrale totale :
1
Ep =
4π0
3.4
˚
x1 ∈D1 ;x2 ∈D2
ρ1 (x1 )ρ2 (x2 ) 3
d x1 d3 x2 = 0
kx2 − x1 k
˚
E1 .E2 d3 x
(3.22)
Mécanique du point
3.4.1 Travail d'une force
→
−
−−→
Soit une force F . Le travail élémentaire dW de cette force lors d'un déplacement élémentaire dOM
vaut :
→
− −−→
dW = F . dOM
(3.23)
Le travail de la force sur un chemin C donné vaut :
ˆ
W =
dW
C
ˆ
→
− −−→
F . dOM
=
C
(3.24)
Concrêtement, le travail d'une force équivaut à la variation d'énergie qu'induit cette force sur le
système mécanique considéré. Si la force fournit un travail positif, on aura par exemple une variation
(augmentation) d'énergie cinétique qui se traduit par une accélération de l'objet.
3.4.2 Puissance d'une force
Définition 1 (puissance instantanée)
C'est la dérivée du travail par rapport au temps, ou le produit scalaire de la force par la vitesse instantanée.
P (t) =
dW
dt
−
= F.→
v
(3.25)
(3.26)
→
− −−→
dW = F . dOM
→
− −
= F .→
v dt
→
− →
−
dW
= F.v
dt
Remarque : Le Watt (W) est l'unité internationale de la puissance.
3.5
Méthodes des monte-carlo
3.5.1 Dénition
On appelle méthode de Monte-Carlo toute méthode qui utilise des variables aléatoires pour résoudre
un problème mathématique ou physique. En clair, on utilise des probabilités pour essayer de résoudre un
problème généralement très compliqué à résoudre analytiquement.
Dans les exemples qu'on va voir par la suite, on s'orientera dès le départ vers des problèmes soit
simple, soit physiques. La rigueur mathématique ne sera sans doute pas là, même si je m'eorcerai de
faire le plus clair et propre possible.
25
Chapitre 3. Physique
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
Fig.
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
3.1 Exemple graphique de la détermination de π par la méthode de monte-carlo.
3.5.2 Calcul de π
On tire aléatoirement deux coordonnées qui ont une distribution aléatoire entre 0 et 1. Ceci nous
permet de placer aléatoirement des points dans un carré de coté 1. On trace le quart de cercle de rayon
1, et le rapport du nombre de points contenus dans le quart de cercle par rapport au nombre de points
total donne une estimation statistique de la valeur de π (plus exactement du quart de la valeur de π .
En eet, les points ont statistiquement la même probabilité d'être positionné dans le carré. Le nombre
de points dans le quart de cercle est décrit simplement par le rapport des surface du cercle et du carré,
ce qui donne :
n=
πR2
4
2
R
π
=
4
(3.27)
3.5.3 Distributions plus générales
La base est une distribution uniforme sur l'intervalle [0; 1[.
Distribution uniforme sur [a : b[
Pour se ramener à une distribution uniforme de la variable x sur l'intervalle [a : b[, on considère une
variable r dont la distribution est uniforme sur [0; 1[.
On dit que
x = a + (b − a)r
(3.28)
Loi de distribution non uniforme sur [a : b[
Soit r une variable aléatoire dont la distribution est uniforme sur [0; 1[. On cherche à avoir une variable
x de densité de probabilité ρ(x) non uniforme.
On dit que
ˆ
r=
x
ρ(t) dt
(3.29)
a
= F (x) − F (a)
(3.30)
où F est une primitive de ρ.
À l'aide de cette expression, on cherche à exprimer x en fonction de r. Somme toute, on veut trouver
l'inverse de la fonction F . Ainsi, après avoir généré une séquence de nombre aléatoire de distribution
uniforme, on se ramène à la distribution non uniforme en écrivant :
x = F −1 (r)
(3.31)
3.6. Thermodynamique
26
Exemple : On veut générer des nombres aléatoires xi sur l'intervalle [0; +∞[ avec une loi de densité
normalisée
ρ(x) = ae−ax
On a
ˆ
(3.32)
x
ae−at dt
r=
0
x
= [−e−at ]0
= (1 − e−ax )
e
−ax
=1−r
−ax = ln(1 − r)
1
x = − ln(1 − r)
a
(3.33)
On génère donc une distribution de n valeurs de r selon une loi uniforme, et on applique la transformation (3.33) pour avoir des valeurs de x aléatoires distribués selon la densité de probabilité voulue.
3.6
Thermodynamique
Théorème 1 (Loi de l'équipartition de l'énergie par degrés de liberté)
Dans un système statistique classique en état d'équilibre thermodynamique, à chaque degré de liberté
d'une particule isolée correspond la même énergie 12 kB T , où kB est la constante de Boltzmann et T la
température absolue.
3.7
Onde plane
3.7.1 Propagation
Soit une onde plane variant dans le temps de la façon suivante :
u(t) = u0 eiωt
(3.34)
Cette onde a pour pulsation ω et se déplace à la vitesse v > 0 dans la direction êx (sens des x
positifs). On cherche la forme de u(x, t) en fonction du temps t et de l'abscisse x. On connait déjà la
forme temporelle de cette fonction, on veut donc trouver le terme qui s'ajoute dû au fait que cette onde
se propage dans l'espace.
Le déplacement dans l'espace est relié au déplacement dans le temps. En eet, on a :
v=
x
t
(3.35)
On suppose qu'à t = 0, l'onde plane se trouve à x = 0. On cherche maintenant à suivre l'onde au l
du temps. On xe ainsi la valeur de u(x, t).
On s'attend à avoir une onde de la forme :
u(x, t) = u0 eiωt+ϕ
(3.36)
Remarque : En eet, pour un x donné, l'onde doit varier de la même manière en fonction du temps.
On s'attend donc à ce que ϕ dépende de x, ce qui modiera l'amplitude en fonction de l'espace.
u(x, t) = cte ⇔ iωt + ϕ = cte
27
Chapitre 3. Physique
On utilise 3.35
x
+ ϕ = cte
v
x
⇔ cte = −iω
v
⇔ iω
On sait de plus que pour une onde on a v =
ω
k
2
x
⇔ cte = −iω ω
k
⇔ cte = −ikx
(3.37)
D'où :
u(x, t) = u0 ei(ωt−kx)
(3.38)
3.7.2 Vitesse associées
Pour une onde, on dénit deux vitesses à partir de l'équation de dispersion.
Définition 2 (vitesse de phase)
vϕ =
ω
k
(3.39)
dω
dk
(3.40)
Définition 3 (vitesse de groupe)
vg =
On a de plus la relation :
vϕ × vg = v 2
(3.41)
où v est la vitesse de déplacement de l'onde.
Remarque : Pour une onde électromagnétique, on a v = c.
Pour un milieu non dispersif, on a vg = vϕ = v .
Si la vitesse de groupe est nulle, alors il n'y a pas de propagation, on a une onde stationnaire.
2. où
k
est la norme du vecteur d'onde
Table des gures
2.1 Coordonnées Sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Angle orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Notations utilisées pour la formule du théorème d'Al-Kashi . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
14
14
3.1 Exemple graphique de la détermination de π par la méthode de monte-carlo. . . . . . . .
25
28
Liste des tableaux
1.1 Principales constantes universelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1 Transformées de Fourrier Usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
29
Index
onde
plane, 26
stationnaire, 27
opérateur
d'Alembertien, 11
divergence, 10, 11
gradient, 10, 11
laplacien, 11
nabla, 10
rotationnel, 10, 11
équation de dispersion, 21
angle orienté, 14
angle solide, 12
binôme de Newton, 6
cercle trigonométrique, 12
champ de vecteur
circulation d'un, 23
ux d'un, 23
coecients binomiaux, 6
constante de Boltzmann, 26
constantes physiques, 4
primitive, 8
produit mixte, 10
puissance d'une force, 24
décomposition en éléments simples, 11
développements limités, 15
dérivation, 6
régression linéaire, 22
incertitude, voir incertitude
Relation de Parseval, 20
électromagnétisme, 23
équation
de dispersion, 27
de Maxwell, 23
sens trigonométrique, 14
série
développement en série entière, 16
de Fourier, 16, 17
fonction impaire, 16
fonction paire, 16
de Taylor, 6, voir développements en série entière
stéradian, 12
fonction
ch, 13
cos, 12
sh, 13
sin, 12
tan, 12
th, 13
force de Lorentz, 23
Formule de Plancherel, 19
Théorème
d'Al-Kashi, 14
de Green-Ostrogradski, 23
de pythagore, 14
de Stockes, 23
thermodynamique, 26
transformée
de Fourier, 18
de Laplace, 17
travail d'une force, 24
trigonométrie, 12
inégalité triangulaire, 6
incertitude, 21
régression linéaire, 22
intégration, 8
changement de variable, 8
gaussienne, 10
par parties, 8
vitesse
de groupe, 27
de phase, 27
mécanique du point, 24
méthode des moindres carrés, 22
matrice jacobienne, 9
monte-carlo, 24
30