Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres R. C ROISOT Théorie noethérienne des idéaux dans les anneaux et les demigroupes non nécessairement commutatifs Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 10 (1956-1957), exp. no 22, p. 1-9 <http://www.numdam.org/item?id=SD_1956-1957__10__A20_0> © Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres (Secrétariat mathématique, Paris), 1956-1957, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Faculté des Sciences de Paris Exposé -:-:-:- n4 22 Séminaire P, DUBREIL et C. PISOT THÉORIE et Année DES NOMBRES) ~95~/57 -:-:-:- THÉORIE NOETHÉRIENNE DES IDÉAUX DANS LES ANNEAUX ET LES DEMI-GROUPES NON NÉCESSAIREMENT COMMUTATIFS (Exposé [Exposé d’une 20.5.1957) le CROISOT, partie d’un mémoire de L. LESIEUR et IL à Zeitschrift.] paraître PARTIE I.- Idéaux à à R. de Ro Math. au gauche tertiaires gauche tertiaires dans les décompositions et et anneaux CROISOT, . idéaux en les demi-groupes non nécessairement commutatifs. U désigne un anneau ou un demi-groupe avec ’ élément zéro, nécessairement non commutatif, n’ayant pas nécessairement un élément unité. Nous imposons une condition de chaîne qui est, soit la condition de chaîne ascendante pour les idéaux à gauche, soit la condition de chaîne descendante pour les idéaux à gauche. , a a U b étant deux éléments de b et et de (aengendré b~ (). o U~ nous Pour tout élément x U~ notons a de nous U ~ la réunion b notons (x)1 de l’idéal (x) l’idéal bilatère de U engendré par x . Les idéaux à gauche de U sont représontés par des majuscules latines imprimées ; en outre, les idéaux bilatéres peuvent être représentés par des majuscules de ronde. Pour tout idéal à gauche A et tout idéal bilatère B , nous notons A.°B le à gauche de U résiduel à droite de A c’est un et par x par ~’~ 9 ensemble des éléments de U tels que l’on U Les éléments a vérifi.ant la x idéal à gauche ~ 1.- Radical tertiaire d’un idéal à gauche. THÉORÈME 1.1.- Soit un idéal à gauche de A c condition forment un . , L’ensemble 01(A) () ~; ~A~ idéal bilatère est non de vide U. car il contient l’élément zéro de U et il 1 a possède U b un est l’ensemble des éléments de la forme élément unité, on a évidemment a U*b = b U b . a x a avec x ~ U . Si U 22-02 est pour la. permis à droite et à multiplication; ferme pour la soustraction? dans le (~.(A) . a’ C U*x a c.A . On et a x~. A ÇA .De U~ ~’ C , a (b) x’ ~ tel que x’ e (x)’ c A ~ g x~ tel que avec a - ~(A) , a ~ Soit (bj est qu’il Montrons un anneau. a’ et A A x~ et C3-u(A) . le radical tertiaire de R(A) s’appelle 1.1.- L’idéal bilatère DÉFINITION A x’ ~ (a - a’) , en déduit on x ~ déduit Inexistence de on donc a est U il existe donc b~A , Prenons où cas gauche. l’idéal ’ à A c gauche THÉORÈME 1.2.- éléments avec l’ensemble des (;i,’ Notons A b~ dans o Si l’on l’énoncé b c a du théorème et Inversement, soit t e rait de r ’$ x C (an+1) $ a A tel que n :: x~A thèse. On a 2.- Idéal à an+1 ~ donc bien on a alors d où donc a on peut choisir n :~1 on an ~ x A , = ce r a a x A . Prenons x b considère le plus par il existe chaîne, 6 A . On suite, an+1~ A , avec = a’ b~. A . et 6~u(A) et, d’où C A a~ ~ a Si l’on avait forme il exis- L’élément r ~ U , et on x aurait qui serait contraire à l’hypo- R’ . suite? par A . On a ~R(A) . Sinon, a r = et, A et coïncide A gauche tertiaire. DÉFINITION 2.1.- On dit lorsqu’il vérifie la qu’’un idéal propriété THÉORÈME 2.1.- Si U est à gauche suivante c. T , a primaire et do la x = (~’ . U*b c.A (an+1) . : = tel que &#x26; En vertu de la condition de R(A) . (an) A (s.~) serait nécessairement A : (an) d’où A (an+1) s a a U’x ~A , a on s. d’un idéal puissance appartient 1.1, d’où résulte tel que A ~ = entier une déduit on en petit entier positif m peut c hoi sir x un dont a dernier ensemble et soit ce a commutatif, le radical tertiaire est U Si est T un idéal à gauche tertiaire s b ~T~ a ~ R(T) . commutatif, les notions d ’ idéal tertiaire et d’idéal coïncident. Ce résultat est une conséquence immédiate de la définition précédente et du théorème 1.2. DÉFINITION 2.2.- On dit lorsque les relations qu’un idéal à gauche A est un idéal à gauche primai entraînent l’existence d’un élément tel que l’on ait x ~ U ,, , , THEOREME 2,1 .- Tout idéal à I Soit gauche tertiaire est triviale pour la pour n a = p C, T -- p+ 1 . On + n de la définition 2.2. La pro- n Supposons la vraie pour n p et démontrons , p et 1, 2, , tll , x £ T pour 1 OEa en déduit, T étant tertiaire, ap+1 ~ R (T) j p+ = a. V*x Ci donc a l’entier sur 1 , = T xp+1 p+’ .~ , p+ « sui te, d’après la relation x q# T , t l On a également ;’ Q ~ 1 c - TT » 0n ai Il, par primal. idéel à gauche tertiaire. un On raisonne par récurrence priété ost ~ = . T 1 pour (x)1 x’1 £ il existe o . x’ tel que 1 2 = 1, 2, ... , p $T et ,t’ 1. La propriété . est donc vérifiée. THÉORÈME U àe Le radical tertiaire d’un idéal à 2020- est éléments idéal bilatère premier un a pour lesquels peut o.n ÔJ gauche tertiaire Cet idéal coïncide o trouver un élément b $ T Puisque a Réciproquement, T a que est tertiaire, (P soit a E: (Jb(T) . d t où a ~ (p Considérons alors chaîne, ’ on (?~(T)~ (~ . et T ~ il existe alors On a est p Ux semble des éléments ~. T . on a y a ~(T) bien = (~ C (~/T) . x Et T tel (~ . gauche T.’ . En vertu de la condition de éléments a. $: (~ (i = 1, 2, «. ~ n) tels que l’on primai~ il existe un élément (i == 1~ 2~ ... ~ n) . En vertu de (l)~ T p ~ (~ entraîne la relation bS d’où à peut trouver des Puisque Prenons l’ensemble des tel que l’on ait a ~ (~(T) ~ tire on en que l’on ait tel Démontrons d’abord la deuxième partie du théorème. Soit éléments a pour lesquels on peut trouver un élément b &#x26; T distinct l’ensemble des avec T T Réciproquement: y ~ qui vérifient (~ . a Il en si tel que l’on ait T on a y est x un résulte que T . e T.*~ ~ donc élément vérifiant (? == est l’en- Montrons maintenant que Si l’on donc c ~ b existe DÉFINITION distinct de associe à 3.- Si (? 2.3.- U ~ on premier. Supposons on on en déduit premier est bien = est a T , avec . L’idéal P ~ a l’idéal , dit que Test (P gauche (~ -irréductible dans le Considérons~ ~T’ . On , T , a c’ a cas où Dans le procède on THÉORÈME à T , d’où (~ gauche tertiaire T est l’idéal premier est ~ (c| . un Il est tertiaire. ~-irréductible et anneau~ l’idéal ==t~+c’ et par suite cas U donc avec p + b’ en c’ C T . On avec considère l’idéal T’ x (T+(b))n(T+(c)) . o ~T ~ t3 ~ T , et déduit = tertiaire. t~ 6 T en T’ non T’ == T ~2~~ ~ d’où ce qui con- ~ -irréductible . tredit le fait que l’idéal est et c~ idéaux à gauche tertiaire. en que l’idéal à gauche T soit Il existe donc a et b tels que l’on ait (bj( Sinon il ( ). -tertiaire et que Supposons b’ ~ ~(~ . avec a est le radical tertiaire de l’idéal à LEMME 3.1.- Tout idéal à x b a T . Décompositions Soit en.déduit On a d’un demi-groupe, on = (T u(b)) de la même manière. 3.1.- Tout idéal à gauche est l’intersection d’un nombre fini d’idéaux gauche tertiaires. o Ce résultat est conséquence immédiate une du lemme 3.1. et de la condition de ’ chaîne imposée.. ~ distinct de U A en idéaux à gauche (2) Rappelons qu’un idéal bilatère ou b e (Cf. Il, H. entraîne a ~ ainsi, soit en Pour qu’il p. 823-833). a U*bc,.(p entraîne gauche décomposition 3.2.- Soit ou T. supposés i-tertiaires, aucun d’eux (p est premier si la relation a U b ~ MAC COY, Amer. Journ. of Math., 71, 1948, il faut et il suffit que la relation (~ . ’ (j~(A) de nI étant superflu. Le radical tertiaire a) Démontrons (P. ~ 2 Soit (~ H l’inclusion ...~ k . ~ par suite, d’après a ~ a Si b’ il Sinon, avec existe, b’2 ~ T2 est dans vertu en En. poursuivant superflu.’On donc s d’où ce On qui ce aussi a on en avec b’ 6 obtient on (donc b’ ~ (bj) et T1 ~ T2 un élément b’ ~ (b)1 a est possible puisque (bj1 T. déduit et 1 b’ ~.A . On établit de même n’est pas T. et entraînerait T. car 6 tel que d’idéaux a A . Comme a ~2, ... , -tertiaires gauche est 0 -tertiaires. U*b ~ T1 ~ T2 Soit donc puisque Etant donnée à (~ -tertiaire Il suffit de le démontrer pour l’intersection T et On vient de voir supposés = (bi1 (A) ~ 1 ~ 2 ~...~k . idéal à gauche T2 R(T) (P . T. (b)1 raisonnement, LEMME 3.2.- L’intersection d’un nombre fini un ~ et il existe (P.-tertiaire y k , ~ a d’où b’ b~ avec donc U%’ CI. est T1 a a et et ,avec ~~~n..~9 k C(~(A). Choi(~’)(A)~?.n~rB~.n~ . Soit l’inclusion ...r~T. a un a~H-L(A) b) Démontrons b T~ élément b’2 b ~ T. (par donc (bl il existe on a élément un et sissons on a On a aussi a U*b’2 ~ T1 U b* ~ T1 ~ T2 . avec 1 , 2 , a ~ et Dans les deux cas, il existe a T~ , de g.~(~) * (P~ ~ ...H Considérons exemple) et, à égal est A une a T1 est avec b ~ T1 ~ -tertiaire, a ~ . décomposition de T~ = de deux idéaux (théorème 3.2.) que l’on a T ’ On a, par exemple, 1~idéal à gauche A idéaux à gauche aucun Ti T. 1 n’étant superflu, on peut donc rassembler les idéaux tertiaires associés à un même idéal premier. La décomposien tion obtenue est dite i-tertiaires, réduite, conformément à la définition suivante : , / décomposition DEFINITION 3.1.- Une i-tertiaires posés on a donc est dite réduite i idéaux premiers en T 1 r1 T2 ~ ... ~ T k si aucun T, 1 n’est idéaux en superflu Ti sup- et si les sont tous distincts o définitive le théorème suivant : THÉORÈME 3.3.- Tout idéal à position réduite = comme gauche . distinct de A U possède au intersection d’ un nombre fini d’idéaux à moins une décom- gauche tertiaires. 4.- Théorème d’unicité. 4.1.t T’ un Soit li = idéal à gauche T’ ~ X ’ = ’-tertiaire, Il suffit de montrer (P ~ (~’ .11 et, a en déduirait a’ ~ T’ , P 6 C, T p n X avec = T’ H X’ , idéal à un p~ On gauche -tertiaire, a a ~ XrBX’ . Supposons par exemple (?’ . Si l’on avait a f A , on aurait (a) T avec et THÉORÈME 4.1.- Soit il. = T’2 ~ ... p T’k’ = T1 ~ T2 ~ On a , II suffit de montrer que était pas ainsi, on U (p ~ par (~’.J associés Tk U~a’~.T . On on aurait en résulterait deux décomposi- intersection d’idéaux comme premiers premiers ~ ... tions réduites de l’idéal à gauche A distinct de à gauche tertiaire. k = k’ et les idéaux sont les m6mes que les idéaux p U*a’ ~ T’ . Nais, étant ’-tertiaire, il d’où t A . T’ puisqu’on aurait , ce qui serait contraire à l’hypothèse. . ’ est ~ ’ . Soit il existerait suite, T avec 1 existe donc par où i associés aux T. T’ . aux 2014j exemple~ est aurait les relations suivantes : égal à un S’il n’en on déduit alors de la même procédé Le poursuit conduit, après application et (1) , (2) , des relations B*~ ~ y ~ ... , ce se manière, qui contredit le fait que Tl n’est pas superflu. PARTIE II.5.- Idéaux bilatères tertiaires et idéaux bilatèrcs tertiaires dans les demi-groupes désigne toujours non décompositions anneaux en et les nécessairement commutatifs. élément zéro, non nécessairement commutatif, n’ayant pas nécessairement un élément unité. Nous imposons maintenant seulement la condition de chaîne ascendante pour les idéaux bilatères ou la condition de chaîne descendante pour les idéaux bilatères. U Les notations de la un anneau ou un partie déni-groupe avec l restent valables. , ° Les résultats obtenus sur les idéaux à gauche s’étendent aux idéaux bilatères remplaçant l’idéal principal à gauche (bl considéré dans la partie I par l’idéal principal bilatère (b) . Nous nous contenterons d’énoncer les principales définitions et les principaux résultats. en . THÉORÈME 5.1.- Soit un idéal bilatère de U . Les éléments a vérifiant la condition forment un idéal bilatère ~~ ( ~,) de DEFINITION ~~1.~ Cet idéal bilatère l’idéal bilatère U. s’appelle , le radical tertiaire (à droite) de " Remarquons que -. ~ ~ A possède en tant qu’idéal à gauche un radical tertiaire qui n’est pas a priori identique à son radical tertiaire ~,(~ ) en tant qu’idéal bilatère. On a seulement 6L(A)~(R)(Cb) . Signalons cependant qu’il y â égalité dans le où l’on impose la condition de la chaîne descendante pour les cas idéaux à gauche. DEFINITION (à droite) Si un 5.2.- On dit qu’un idéal bilatère est lorsque! vérifie, la propriété suivante idéal bilatère est tertiaire en également tertiaire in tant qu’idéal bilatère. priori ; elle est pourtant valable en présence dante pour les idéaux à DÉFINITION un idéal bilatère tertiaire il est tant à La n’est pas vraie qu’idéal réciproque gauche, de la condition de a chaîne descen- gauche. ~.i 5.3.- On dit qu’un idéal bilatère est primal (à droite), lorsque ’ les relations entraînent l’existence d’un élément U tel que l’on ait déjà donnée pour un idéal à, gauche. Donc, pour qu’un idéal bilatère Él> soit primal en tant qu’idéal bilatère, il faut et il suffit qu’il soit primal on tant qu’idéal lli gauche. Cette définition coïncide THÉORÈME 5.2.- THÉORÈME 5.3.- Le radical Tout idéal a.vec bilatère tertiaire ost tertiaire bilatère premier Ù DÉFINITION Si 5.4.- OE / U , on dit à 11 . DÉFINITION 5.5.Ék = Une 1 ~2F ... est dite réduite si tous distincts. primal. d’un idéal bilatère cst tertiaire un idéal .. est le radical tertiaire ào l’idéal bilatère tertiaire ii esi que la définition 2.2, 9-tertiaire et quc F’ décomposition d’un idéal bilatère fX k’ idéaux bilatères È , aucun en ùÙ,i est l’iàé il premier associé ’ OE d.istinct de supposés U , i-tertiaires n’est superflu et si les idéaux premiers ÔÎ, i sont 22-09 5.4-.- Tout idéal bilatère distinct de U est intersection réduite nombre fini d’idéaux bilatères tertiaires (adroite). THÉORÈME THÉORÈME 5.5.- Soit Ôj = décompositions réduites d’idéaux bilatères n de ... n k l’idéal bilatère tertiaires. On a k = k’ = ’1 ~ 2 ~ ... ~ k’ distinct de et les idéaux U deux comme premiers aux i sont les mêmes que les idéaux premiers (P_ associes d’un aux intersection i associes j.