Exercices I. Récurrence. La suite (un) est définie par : u0=2 , u1=7 et

Exercices
I. Récurrence.
La suite (u n ) est définie par : u 0 =2 , u 1 =7 et pour tout n ∈ℕ : u n+2 =7 u n+1−10 u n .
a) Calculer u 2 et u3 .
b) On veut démontrer que pour tout entier n⩾1 , u n =5 n +2n .
Pour cela on pose P(n) la propriété : « pour tout entier k ⩽n , u k =5k +2 k ».
Démontrer par récurrence la formule annoncée.
II. Optimisation.
Le bateau en A se dirige vers le point H à la vitesse de 4 km/h. Une fois sur la plage, la vitesse (à
pied) est de 6km/h. Déterminer le point H pour que la durée de la course soit la plus courte.
III. Suite homographique.
On considère la suite récurrente définie par u 0 =5 et pour tout entier naturel n : u n+1 =
a) Déterminer la nature de la suite (vn ) définie pour tout entier naturel n par : v n =
b) En déduire une formule explicite de un en fonction de n .
c) Déterminer la limite de la suite (u n ) .
4u n −1
.
u n +2
1
.
u n −1
IV. Probabilités.
On lance simultanément dix pièces de monnaie. Le lancer est considéré comme gagnant si le
nombre de « Pile » n'est pas compris entre 4 et 6 inclus.
1. On définit la variable aléatoire X donnant le nombre de « pile » obtenus sur 10 lancers.
10
k
a) Montrer que P (X=k) =
.
1024
21
b) En déduire que P (4⩽X⩽6)=
.
32
c) Quelle est la probabilité que le lancer soit gagnant ?
( )
2. On joue six fois de suite à ce jeu.
a) Quelle est la probabilité de gagner au moins une fois ?
b) Combien de fois gagne-t-on en moyenne ?