{R ,Eu,

Logique propositionnelle
intuitionniste
forcinq
et
J. DRABBE.
1.
Terrninologie
et
notations
Les notations
des notes
intui
et
tionni
et
toujours
topologique
Nous nous proposons
calcu1
propositionnel
intuitionniste,
tel- que
des "points"
f
1l
ceI1es
I
des rée1s
est
noté
que si
t(
est
de montrer
il
existe
pas une E, E
: si
existe
usuel
Lp
6
est
finle
L.l n'est
forme
consi.déré
qui
n'est
{R,Eu,
(du
une formule
pas une tautorogie
un espace topologique
fini
ÉrE
-tautologie.
pas une tautologie
n'est
une topologie
sous la
de I,espace
(ae e).
ouvertes
intuitionniste)
alors
nrest
Proposition
alors,
sont
propositionner
du calcul
un espace topologique
1'ensemble des parties
6
non expricitées
topologique
où E désigne lrensemble
L'espace
2.
terminologie
ste,, .
Nous noterons
Erë
la
"une présentation
f,
=r"
fi
telle
intuitionniste
que :
;
pas une
fR.,G - tautologie.
DÉgglglrcttgl :
si
Gl
, pn), (avec la notation usuelle
II
toutes l-es variables
proposi-tionnelles
figurant
dans la
alors,
liste
i-l
Ar,....,
p1r'..
existe
Rn (oe
r pn) n'est
G
dans
pas une tautologie
prévoit
,(
que
sont
intuitionniste,
des ouverts
R,Eu,
) tels que
An)I
Y'^,3^(ot" ""
Soit 61e
qui
plus petit
fR
e n s e m b l ed e p a r t i e s d e R
comprend f et
tel
que
IR
...., An)
e s t f o r m u r ep a r t i e a " y J
G - I
f'n,e,r(o,-',
I V
2C.-
vV v . \ ) Y e E
II
que 6
est aisé de vérifier
résulte
des propriétés
Trlvlalement
réguIlère
et
xuYeE
xnYeE
de distributivité
de U,fl
).
IR, % est un espace topologique et une induction
sur la complexité des sous-formules de
démontrer que pour toute sous-formule
,b^"(A:,...,
I tK)('tÆ
En partlculier
(ceci
est un ensemble fini
An) =
d" I
V
tt
( A . 1 ,. . . . ,
fo,ïa
(d
,n
'''1 ' ' ' ' ' AnJ n'est
î r R /. U
t
-tautologie.
permet de
?
:
An).
pas une
l'R
"ë
Proposition
que
tel
soit
E, é
2. lgpggggryfln1. Alors, il
un espace topologique
soit
existe un espace topologique fini
tel
E*r6*
que l-es structures
(G,
VrA
et (6T,
,',+)
soient isomorphes (notations
-+)
v,,/\,'r
page13 de lrarticle
: voir
cité
p r é c é d e m m e n)t .
ssi
x=y
Soit
1a relation
Définissons
PÉgggg!f3!193 :
E par
Vx
x
e%
dréquivalence
xë,
€
_
sur
€x.
ë la classe dféquivalence de x € E par É.
Notons f la fonction
de domaine 6
f (x) = { *
tel1e que pour tout X eE,
| x e xi .
Posons rT=1(s)
Ë=
f t(x) 1 xe Ëi
que EI,
On vérifie
aisément
Corollaire
J
tautologie
intuitionniste.
ErE
te1
que
: Pour toute
,P
nrest
for:u-=
:1
propriétés
= les
6\
I
e:::s:e
pas u:e
teIle
souhaitées.
que rYnrest
pas une
un espace topologique
=, Z-
tautologie.
fini
-'l
3.
Nous nous proposons
qurà
Rappelons
formêe par
toutes
de E, (
tiale
aont
une partie
E
e
V*ry
: Un ouvert
Oéfinition
c€E
A est
BUc
A-
éIémentaire
Propriété
irréductible,
E,6sera
dit
ouA=c.
A=B
A, B,
C sont
de ErE
des ouverts
et
si
alors
=à
ACB
AëC
ou
:
Vérification
u(cn
A-(Bnl)
A-(BUc)n
C o m m eA e s t
4
Proposition
A -
irréductible
A ;
c.C.
topologique
tout
J, (
et un morphisme
pourrait
qr.r" d soit
existe
un ord.onné fini
dans (T.,
+
A=E.
être
forrnulée
un isomorphisme,
: soit
PÉggl:!:g!193
d.e E, 6
ord.onné par
J, é
Posons (pour A €G
)
ûrrl=
iI
Y,A,',-)
de manière
plus
fine
mais nous nraurons
en
besoin
que
indiouée).
faible
Les propriétés
E, 6
A € V
tout
(La proposition
fini
0-gg (E,v.A,',-)
d(A)-J
de 1a forne
Cn
:
espace
Pour
que pour
A).
A ou A =
Bn
cBouA
A
parconséquent
exigeant
A).
xe.
espace topologiQne
+
: Si
ACBUC
tel
+
A
ini-
Alfret
irréductibÀessi
Vn,
(une section
que
A de E telle
A drun
un espace topo-
associer
de Er.(
initiales
x<ye
J.
Ë_.admet une base d.rouverts
1a topologie
les æctions
est
on peut
Er-4
ordonné
tout
ErQ
noté
logique
du corollaire
une amélioration
dtétablir
lfensemble
lrinclusion
tD € J[
des ouverts
irréductibles
ensembliste.
D c
suivantes sont triviales
AJ.
:
Pour tout A, B <.8
. $tnl
I
est une section de J, c
(et donc un ouvert de J,
G-
) ;
22.-
. 0(rns)=
e(r)n Stel;
. 6ral u dre> c.A (r u e; ,
. o@)=fr.
On a également,
.
e (A u B) c dCa) u d (g) car si D est irréductible et
D C A U B , a l o r s D c A o u D C B ( p r o p r i é t é é l é m e n t a i r e rp a g e 2 1 ] .
Dtautre
.
part,
0 (l -- n) = d (A) -? Ornl.
En effetr
i1
(-
D Gint
de nontrer
suffit
A u B)
De (&A)
ssi
pour
Cfest-à-dire,
: s i D t i r r Ë i 1 . ' .C D
€
: considérons
(i)
D'C(-
(ii)
si
ulA
D €
(iii)
si
cD
A U B) n
est
int
DnA
alors
C o m m et o u s
D c
-
A.
A et
donc D cint
alors
Dn A c.B
(-A U n).
et
trivialement
u e).
nrest
une réunion
A et donc DrGB.
Dfl
inéductible,
(-a
D' e -gCaluS(B)
et Df é. 0 f Al
lf ouvert
D fl A = 9,
si
D irréductible,
-+ dCell
VD'irréo
'+
alors
tout
D irréductible,
tout
Dcint(-AUB)ssi
que pour
ni
f inie
irréductible,
drouverts
1es Dt CB,
ni
vide,
on ottient
D.4A
De
A est
Dt U. ..
U qf-.
alors
irréd.uctibles
e
B et dès
lorsDGint(-AUB).
11 est
trivial
= (&n))'
. d(a')
Finalement
réunion
oue
d(n)
de tous
car Âf = ;.'-+fr.
= J entral:e
les
:-te .l = E car
ouverts:::é:;ctibles
tout
quril
ouvert
est
contient.
)3,.-
:
Corollaire
5
Pour toute
formule
J.
-
de J,
prolonger
Jt
le
calcul
est
4.
McKinsey
le
f'
pas dréIérnent
nfadmet
Jr(
que
en exigeant
amé1iorée
être
4 peut
proposition
maximum'
régulier).
et
122-162)
Tarski
formule
-
E,E
ot
47 (
Math.
1946) '
:
1e résultat
8,617est une
(Annals
étatti
ont
Théorème7:Pourtoqlg
fini
4
2 et
sur
supérieure
une limitation
un ordonné maximé (si
soit
1,
U"
à Partir
: la
Remarque 6
pages
Pas une
nt est
des propositions
des d.émonstrations
récursivement
permet drobtenir
J, (
q
tautologie.
un examen attentif
cardinal
que
J,(tel
fini
o"do"tè
tt
u*iut"
iI
G.
I-
I
tionnister
intui-
pas une tautologie
<P n'est
que
telle
I
si
rp ,
I
# o r r . t - n ' ln o i c -
pour
espace topologique
tout
une
<,O est
al ors.
tautoloFie
intuitionniste.
de
proposition
LA
our
Théorème B :
1)
:
toute
éouivalent
es
(' a
t,0 est
I )
une tautologie
I
(b)
pour
formule
(c)
pour tout
espace topologique
(e)
pour
ordonné fini
!.
tout
Topologie
Soient
Pr(
des variabres
v détermine
encore v)
des sections
r 1es propriétés
f
Jr<
ErE
fini
yrest
i'nitialeset
1a
Er6
une Er 6
est
une {r (
propositionnell-es
dans lrensembre
évid.emment une valuation
ces formules
des ouve:'ts âe PrA
-tautologie
-tautologie'
forcinF'
v une fonction
dans lfensemble
sont
-tautologiel
uner-Er 6
yest
un ordonné maximé et
de lfensemble
suivantes
intuitionnistel
espace topologique
tout
immédiate
une généralisation
(en utilisant
aisément
On en d é d u i t
de lfensemble
des ouverts
de Prtr<'
(que nous notons
topologique
d'u ca1cul
propositionnel
vérifiant
:
2 4 .-
t <7v )
f
{r7t,f)
v
v
t,7 ) V v
(y)
A v
=v
=v
(.f+y)
(^'Y )
v
v
(f)
v (f)
"9)"
Pour p € Pr
9)
q)
formule d.u calcu1 propositionnel
Y
rh ( q u e n o u s n o t e r o n s
définissons
plus
n l1-f
ssi
p €
(1ire
"(1)
intuitionniste,
simplement
"p force
f
tF ) par
t' pou" pH,f).
P r opos it ion 9 :
P our t or P t p , 9 € p , p o u r to u te fo rn u l e rp,f:
(i) ( rtt-f et q-<p)+ q*f
( ii) p lf - ssi
p ,* F o u p fi -g
fu y
(iii) n +ssi
p *f
et p r-f
fn!
(iv) ny-^.'rf ssi
Vq
/ \ 1
:"r.
(vi)
(vii)
et,-y)y
ssi
On ne peut
avoir
pour
toute
Vérification
(i)
p ft-(f
tautologie
et
)
p F-^/?
intuitionnist
e tg.
n lF@.
:
résulte
(ii)
=+ ttrf
Vq<n(arr7
du fait
et (iii)
(iv)ptr-Ny
que v (y) est un ouvert de p, Ea
sont triviaies.
ssi
pe"(-y)
ssi p€int (-v(p))
ssi
ssi V q<
p€(fl(v))'
p
v kp)
tf
ssi Vq<p
(v) pv-y)y
ssi
,tt+y.
p € int (-v(g) u v(f))
ssi Vq < p
o € -v (< 7 ) u v (f) s si
Vq < p ( e e v(g) =r q é',, ,fi,
ssi
(qp-lp
Vq<p
*
r
l
)
.
?q
(vi)
(vii)
est
est
alors
triviaie.
une conséquence immédiate
du théorème g.
Remarque : Notons 1 1e naxinun ce p, (
( V p e P
p lFp) ssi
- r;-qp
i
(en vertu de 1a n"ono'.rrlî
p(:').
Notons p HJ
pour p t+-.,t^t(p.
it
II
. on a alors
25.
1O :
Proposition
pour
tout
P lt-cP g
I
p l*-f
\aa/
I
a t t
( 1v,
P,
p €
I
P ng
ssi
@
est
formule
Ç
f
p
- l trt,-Q
p VÊ?
I
ssi
P É5 f^*
si
tcute
nour
une tautologie
,tprÊY
4È1
alors
classique,
Vérification:
(i),
(ii)
12,dans
positionnel
(iv)
(iii)
et
lfarticle
en utilisant
décrites
du calcul
page
pro-
du théorème de Glivenko
et
du théorènre B.
:
Ie
d.es tautologies
i
de I
topologique
intuitionnisterr.
Gonséquence triviale
Remarque_l-1
1es propriêtés
: utiliser
ItUne présentation
théorème B,
intuitionnistes
iI
est
aisé
drobtenir
en termes
urle caractérisation
de forcing-