{R ,Eu,

Logique propositionnelle intuitionniste et forcinq
J. DRABBE.
1. Terrninologie et notations
Les notations et la terminologie non expricitées sont ceI1es
des notes "une présentation topologique du calcul propositionner
intui tionni ste,, .
Nous noterons toujours un espace topologique sous la forme
Erë où E désigne lrensemble des "points" de I,espace consi.déré
et 6 1'ensemble des parties ouvertes (ae e).
L'espace topologique usuel des rée1s est noté
2. Nous nous proposons de montrer que si t( est une formule (du
calcu1 propositionnel intuitionniste) qui n'est pas une tautorogie
intuitionniste, alors il existe un espace topologique fini ÉrE
tel- que f nrest pas une E, E -tautologie.
Proposition I : si Lp n'est pas une tautologie intuitionniste
alors, 1l existe une topologie f, =r" fi telle que :
6 est finle ;
L.l n'est pas une fR.,G - tautologie.
DÉgglglrcttgl :
si I Gl , pn), (avec la notation usuelle qui prévoit que
I
toutes l-es variables proposi-tionnelles figurant dans ,( sont
dans la liste p1r'.. r pn) n'est pas une tautologie intuitionniste,
alors, i-l existe des ouverts
Ar,...., Rn (oe R,Eu, ) tels que
Y'^,3^(ot" "" An)
I fR
Soit 61e plus petit ensemble
de parties de R tel que
G comprend
f et IR
G - I f'n,e,r(o,-',
...., An) I V est formure partie a" yJ
{R
,Eu,

2C.-
vv YeE xuYeE et xnYeE
V .\)
II est aisé de vérifier que 6 est un ensemble
fini (ceci
résulte des propriétés de distributivité de U,fl ).
Trlvlalement IR,
% est un espace topologique et une induction
réguIlère sur la complexité des sous-formules de ? permet de
démontrer que pour toute sous-formule V d" I :
tt
,b^"- (A:,..., An) = fo,ïa (A.1,
...., An).
I
tK
)('tÆ
En partlculier t ,n (
d
îrR.U '''1 ' ' ' ' ' AnJ n'est pas une l'R
"ë
-tautologie. /
Proposition 2. lgpggggry- E, é soit un espace topologique tel
que soit fln1. Alors, il existe un espace topologique fini E*r6*
tel que l-es structures
(G, VrA ,',+) et (6T, v,,/\,'r -+)
soient isomorphes (notations : voir page
13 de lrarticle cité
précédemment
) .
PÉgggg!f3!193 : Définissons 1a relation dréquivalence _ sur
E par
x=y ssi Vx e% x € xë, €x.
Soit ë la classe dféquivalence de x € E par É.
Notons f la fonction de domaine 6 tel1e que pour tout X eE,
f (x) = { * | x e xi .
Posons rT=1(s)
Ë= f
t(x)
1 xe
Ëi
On vérifie aisément que EI, 6\ = les propriétés souhaitées.
Corollaire J : Pour toute for:u-= I teIle que rYnrest pas une
tautologie intuitionniste. :1 e:::s:e un espace topologique fini
ErE te1 que ,P nrest pas u:e =, Z- tautologie.

-'l
I
3. Nous nous proposons dtétablir une amélioration du corollaire J.
Rappelons qurà tout ordonné Er-4 on peut associer un espace topo-
logique noté ErQ aont 1a topologie Ë_.admet une base d.rouverts
formêe par toutes les æctions initiales de Er.( (une section ini-
tiale de E, ( est une partie A de E telle que
V*ry e E x<ye A + xe. A).
Oéfinition : Un ouvert A drun espace topologiQne E,6sera dit
irréductibÀessi Alfret
Vn, c€E A- BUc + A=B ouA=c.
Propriété éIémentaire : Si A, B, C sont des ouverts de ErE et si
A est irréductible, alors
ACBUC =à ACB ou AëC
Vérification :
A-(BUc)n A-(Bnl) u(cn A).
Comme
A est irréductible A - Bn A ou A = Cn A ;
parconséquent A cBouA c.C.
Proposition 4 :
Pour tout espace topologique fini E, 6 iI existe un ord.onné fini
J, ( et un morphisme 0-gg (E,v.A,',-) dans (T., Y,A,',-)
tel que pour tout A € V
d(A)-J + A=E.
(La proposition pourrait être forrnulée de manière plus fine en
exigeant qr.r" d soit un isomorphisme, mais nous nraurons besoin que
de 1a forne faible indiouée).
PÉggl:!:g!193 : soit J, é lfensemble des ouverts irréductibles
d.e E, 6 ord.onné par lrinclusion ensembliste.
Posons (pour A €G )
ûrrl= tD € J[ D c AJ.
Les propriétés suivantes sont triviales :
Pour tout A, B <.8
. $tnl est une section de J, c (et donc un ouvert de J, G- ) ;

22.-
. 0(rns)= e(r)n Stel;
. 6ral u dre>
c.A
(r u e; ,
. o@)
=fr.
On a également,
. e (A u B) c dCa) u d (g) car si D est irréductible et
D
CA U B, alors D cA ou
D CB (propriété élémentairer
page 21].
Dtautre part,
. 0 (l -- n) = d (A)
-? Ornl.
En effetr i1 suffit de nontrer que pour tout D irréductible,
D Gint (- A u B) ssi De (&A) -+ dCell
Cfest-à-dire, pour tout D irréductible,
Dcint(-AUB)ssi VD'irréo cD D' e -gCaluS(B)
'+ : si DtirrËi1.'.
CD et Df é. 0 f
Al
alors D'C(- A U B) n A et donc DrGB.
€ : considérons lf ouvert Dfl A.
(i) si D fl A = 9, alors D c - A et donc D cint (-A U n).
(ii) si ulA est inéductible, alors Dn A c.B et trivialement
D € int (-a u e).
(iii) si DnA nrest ni irréductible, ni vide, alors De A est
une réunion f inie drouverts irréd.uctibles Dt U. .. U qf-.
Comme
tous 1es Dt CB, on ottient D.4A e B et dès
lorsDGint(-AUB).
11 est trivial oue
. d(a') = (&n))' car Âf = ;.'-+fr.
Finalement d(n) = J entral:e :-te .l = E car tout ouvert est
réunion de tous les ouverts:::é:;ctibles quril contient.

)3,.-
Corollaire 5 :
Pour toute formule I telle que
I
<P n'est pas une tautologie intui-
I-
tionnister iI u*iut" tt o"do"tè fini J,(tel que q nt est Pas une
J. G. - tautologie.
un examen attentif des d.émonstrations des propositions 1, 2 et 4
permet drobtenir récursivement une limitation supérieure sur le
cardinal de J, à Partir U" f'
Remarque 6 :
J, ( soit un
prolonger Jt
le calcul est
la proposition 4 peut être amé1iorée en exigeant que
ordonné maximé (si Jr( nfadmet pas dréIérnent maximum'
régulier).
- #orr.t-n'l noi c - al ors. <,O est une tautoloFie
4. McKinsey et Tarski ont étatti (Annals ot Math. 47 ( 1946) '
pages 122-162) 1e résultat :
Théorème7:Pourtoqlg formule rp , si pour tout espace topologique
I
fini 8,617
est une E,E
intuitionniste.
On
de
Théorème B :
éouivalent es
en
LA
déduit aisément (en utilisant une généralisation immédiate
proposition 1) :
our toute formule f r 1es propriétés suivantes sont
(a) t,0
est une tautologie intuitionnistel
'I I
(b) pour tout espace topologique ErE 1a
est une Er 6 -tautologiel
(c) pour tout espace topologique fini Er6 yest uner-Er
6 -tautologie
(e) pour tout ordonné fini Jr< yrest une {r ( -tautologie'
!. Topologie des sections i'nitialeset forcinF'
Soient Pr( un ordonné maximé et v une fonction de lfensemble
des variabres propositionnell-es dans lrensembre des ouverts de Prtr<'
v détermine évid.emment
une valuation topologique (que nous notons
encore v) de lfensemble ces formules d'u ca1cul propositionnel
dans lfensemble des ouve:'ts âe PrA vérifiant :