cette logique, la sémantique topologique proposée par Tarski.
Un espace topologique est la donnée d’un ensemble Eet d’un sous-ensemble Ode l’ensemble
des parties de E(appelé sous-ensemble des ouverts) tels que :
– l’ensemble vide ∅appartient à O
–Eappartient à O
– si (Ui)i∈Iest une famille quelconque de O,S
i∈I
Ui∈ O
– si (Ui)i∈Iest une famille finie de O,T
i∈I
Ui∈ O
Etant donné un sous-ensemble Wde E, on note :
–c(W) = E\W, le complémentaire de W
–i(W), le plus grand ouvert inclus dans W, appelé l’intérieur de W
Une interprétation topologique est la donnée d’un espace topologique (E, O)et d’une fonc-
tion σdes variables dans O. Cette interprétation s’étend à toute formule φpar récurrence
structurelle :
–J>K=E
–J⊥K=∅
–JXK=σ(X)
–Jφ1∧φ2K=Jφ1K∩Jφ2K
–Jφ1∨φ2K=Jφ1K∪Jφ2K
–J¬φK=i(c(JφK))
–Jφ1⇒φ2K=i(c(Jφ1K)∪Jφ2K)
Notez que JφKest un ouvert. On notera JΓK, l’ouvert T
φ∈Γ
JφK.
Exercice 4 :
1) Prouvez que si Γ`φest démontrable en logique intuitionniste alors JΓK⊆JφKpour toute
interprétation topologique.
2) Déduisez des formules non prouvables en logique intuitionniste. Vous pourrez utiliser R
muni de sa topologie usuelle (topologie engendrée par les intervalles ouverts).
Remarque : La réciproque de la question 1 est vraie, mais est plus difficile à démontrer. Vous
verrez au prochain cours une autre sémantique, avec cette fois la preuve de sa complétude.