Logique

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TD n˚5 : Déduction naturelle intuitionniste
Exercice 1 :
Donnez une preuve en déduction naturelle intuitionniste des propositions suivantes :
• A ⇒ ¬¬A
• ¬¬¬A ⇒ ¬A
• ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A ∧ ¬B)
• ¬∃x. A ⇔ ∀x. ¬A
• ¬¬(A ∧ B) ⇒ (¬¬A ∧ ¬¬B)
• (A ⇒ B) ⇒ (¬B ⇒ ¬A)
• ¬¬(A ∨ ¬A)
Etant donnée une formule φ, on définit sa traduction de Gödel (ou non-non traduction) G(φ)
par récurrence structurelle sur φ :
– si φ est atomique, G(φ) = ¬¬φ
– G(>) = >
– G(⊥) = ⊥
– G(¬ψ) = ¬G(ψ)
– G(φ1 ∧ φ2 ) = G(φ1 ) ∧ G(φ2 )
– G(φ1 ∨ φ2 ) = ¬¬(G(φ1 ) ∨ G(φ2 ))
– G(φ1 ⇒ φ2 ) = G(φ1 ) ⇒ G(φ2 )
– G(∀x. ψ) = ∀x. G(ψ)
– G(∃x. ψ) = ¬¬∃x. G(ψ)
Si Γ est un ensemble de formules, on notera G(Γ) l’ensemble {G(φ) | φ ∈ Γ}. Le but du
prochain exercice est de montrer que Γ `c φ si et seulement si G(Γ) `i G(φ).
Exercice 2 :
1) Prouvez que pour toute formule φ, ¬¬G(φ) ⇒ G(φ) est démontrable en logique intuitionniste. Vous regarderez au moins les cas suivants : ⊥ ; ¬ ; ∧.
2) Déduisez que pour toute formule φ, si Γ `c φ alors G(Γ) `i G(φ). Vous regarderez au
moins les cas suivants : introduction du ∧ ; introduction du ∨ ; élimination du ∨ ; tiers
exclu.
3) Prouvez que pour toute formule φ, φ ⇔ G(φ) est prouvable en logique classique.
4) Déduisez que pour toute formule φ, si G(Γ) `i G(φ) alors Γ `c φ.
Exercice 3 :
Prouvez que la formule ∃x. (P (x) ⇒ ∀y. P (y)) n’est pas démontrable en logique intuitionniste.
On se restreint maintenant au fragment propositionnel de la logique intuitionniste i.e. on ne
considère que des formules sans quantificateur. On va donner une première sémantique de
cette logique, la sémantique topologique proposée par Tarski.
Un espace topologique est la donnée d’un ensemble E et d’un sous-ensemble O de l’ensemble
des parties de E (appelé sous-ensemble des ouverts) tels que :
– l’ensemble vide ∅ appartient à O
– E appartient à O
S
– si (Ui )i∈I est une famille quelconque de O,
Ui ∈ O
i∈I
T
– si (Ui )i∈I est une famille finie de O,
Ui ∈ O
i∈I
Etant donné un sous-ensemble W de E, on note :
– c(W ) = E \ W , le complémentaire de W
– i(W ), le plus grand ouvert inclus dans W , appelé l’intérieur de W
Une interprétation topologique est la donnée d’un espace topologique (E, O) et d’une fonction σ des variables dans O. Cette interprétation s’étend à toute formule φ par récurrence
structurelle :
– J>K = E
– J⊥K = ∅
– JXK = σ(X)
– Jφ1 ∧ φ2 K = Jφ1 K ∩ Jφ2 K
– Jφ1 ∨ φ2 K = Jφ1 K ∪ Jφ2 K
– J¬φK = i(c(JφK))
– Jφ1 ⇒ φ2 K = i(c(Jφ1 K) ∪ Jφ2 K)
T
Notez que JφK est un ouvert. On notera JΓK, l’ouvert
JφK.
φ∈Γ
Exercice 4 :
1) Prouvez que si Γ ` φ est démontrable en logique intuitionniste alors JΓK ⊆ JφK pour toute
interprétation topologique.
2) Déduisez des formules non prouvables en logique intuitionniste. Vous pourrez utiliser R
muni de sa topologie usuelle (topologie engendrée par les intervalles ouverts).
Remarque : La réciproque de la question 1 est vraie, mais est plus difficile à démontrer. Vous
verrez au prochain cours une autre sémantique, avec cette fois la preuve de sa complétude.