Morphismes acycliques

EXPO
SE
XV
MORPHISY~S ACYCLIQUES
par M. ARTIN
Introduction.
Soit
g : X
~ Y
un morphisme
num@ro, nous @tudions des conditions
c'est-A-dire,
Hq(Y,F)
~
par un
Y'
de
pour que
g
,
@tale sur
Y
F
sur
Y on air
et que cela reste vrai si l'on remplace Y
. Une condition naturelle n@cessaire
clicit@ est que les fibres g@om@triques
dire, aient une cohomologie
soient acycliques,
d'acy-
c'est-~-
triviale pour des faisceaux de torsion
On verra que cette condition,
cale, appel@e acyclicit@
Dans le premier
soit acyclique,
tel que pour tout faisceau de torsion
Hq(x,g~F)
constants.
sch@mas.
locale de
f
jointe ~ une condition lo1.11
, implique que
f
est
aoyclique.
Le th@or~me fondamental
acyclique
pour les faisceaux
r@siduelles
2.1
est qu'un morphisme
de torsion premiers aux caract@ristiques
, ce qui impliquera
base par un morphisme
lisse
premieres cons@quences,
lisse est localement
XVI 1.1
darts l'expos@
le th@or~me de changement
, qui sera d@velopp@~
de
avec ses
suivant.
Le present expos@ est ind~pendant des expos@s XI ~ XIV, et notan~nent
du "th~or~me de changement de base pour un morphisme propre". Ce dernier intervlendra ~ nouveau de fa~on essentielle, mals en conjouctlon avec le
th~or~me fondamental du present expose, ~ partir de l'expos~ suivamt;
168
-
2
-
XV.
I. G~n@ralit@s sur les morphismes fflobalement et looalement acycli~ues
Proposition
1.1.
Les assertions
(i)
Boi~
(i)
~
g : X
(iii)
Pour chaque
Y'
>
sur
Y'
un morphisme de
sch@mas.
suivantes sont @~uivalentes
-)
Y
au-dessus d'un ouvert affine de
F
Y
:
@tale (qu'on peut ~rendre affine
Y) et cha~ue faisceau d'ensembles
, le morphisme canoni~ue
F
)
g' g,~F
est in~ectif
(rest. bijectif).
(ii)
Pour cha~ue
Y'
) Y
au-dessus d'un ouvert affine de
F
sur
Y'
@bale (qu'on peut prendre affine
Y) et chaque faisceau d'ensembles
, le morphisme canonique
H°(Y',F)
~
H°(X',g'~F)
est injectif (resp. bi~ectif).
(iii) Pour chague
faisceau d'ensembles
H°(Y',F)
•
Y'
F
)
sur
Y'
Y
localement ~uasi-fini et cha~ue
, le morphisme canoni~ue
HO(x',g'*F) est injectif (resp. bijectif).
(ii his) (Si
mais en prenant
f
F
est quasi-compact
et quasi-s@par@).
faisceau constant de la forme
un ensemble donn@ au pr@alable, avec
card I ~ 2
D@!aonstration.
et
L'@quivalence
tir des d@finitions,
On a
et
xll
et
(ii bis) - > (ii)
Y
quasi-compacts
6.5
de
(iii)
(i)
(ii)
I¥,
et quasi-s@par@s,
(i) . Pour f implicatio~
169
est
Y
sont triviales.
affine, donc
X
et on peut alors appliquer
(i)--~
le lemme suivant :
, o_~ I
est imm@diate ~ par-
) (±i)---~ (i± bis)
, car on peut supposer
Comme (ii),
(iii)
, notons d'abord
-
L emme
1.2.
Alors
f
Soit
3
-
f : Y'
xv.
>
Y
est "fini localement
c'est-&-dire,
un morphisme
sur
on a des diagrammes
Y'
localement
pour la topologie
%uasi-fini.
~tale",
commutatifs
a.
y ,
i
1
>
Y'
>
Y
C,
1
Y.
1
o~ les
ai
,
ci
sent @tales,
les
bi
ment un recouvrement
de
Y' (*).
En effet,
y'
un point de
soit
de trouver un diagramme
(~)
sent finis,
Y'
tel que
et
y'
et les
y = f(y')
a.l
for-
. Ii suffit
soit dans l'image de
Y~
1
Soit
Z
~
le localis@
de
y'
Z
>
Y
le spectre de l'anneau hens@lis@
(ordinaire)de
et du point ferm@
~
est fini,
et
~' = Y' Xy~
~
de
Z
ouvert
Z.I
de
Y.
l
EGA I V 9
Y'x~i
~
~y,y
VIII 4.1
. D'apr~s
VIII 4.1
@tales au-dessus
que peur
, tel que
et
en l'unique point au-dessus
est un ouvert induit de
est limite de pr@schSmas
imm@diatement
de
Y.
de
convenable
1
Z = ZiXy.g
(ii)
,
~'
. Puisque
Y
, on voit
il
existe
, et dans
un
(~) il suf-
1
fira
de p r e n d r e
Y! = Z.
1
1
Supposons maintenant
dent que l'assertion
te de
(i)
Y'
donn@s)
que
(iii)
en remplagant
phisme lecalement
, c.q.f.d.
de
de
1.1
le morphisme
quasi-fini.
est locale sur
(i)
Y
1.1
soit vrai. Ii est @vi-
@quiv~ut
g l'assertion
Y'
Y
>
Sous cette forme,
et
Y'
(*) Cf. EGA IV 18.12.1.
170
@tale par un mor-
l'assertion
pour la topologie
est donc r@duit par le lemme au cas d'un morphisme
d@dui-
(pour
@tale,
f : Y'
>
Y,
et on
Y
4
-
fini. Soit
f' : X' ~
gement de base
g
-
X
Xv.
le morphisme d4duit de
f
par le chan-
. Alors le morphisme de changement de base
g*f.F ---> f'@g'*F est bijectif VIIi 5.6. D'apr~s (i), on a f ~ ( F ) - - ~ g W ~ F ) .
Par suite le morphisme
H°(Y',F)
(iii)
H°(Y',F) = H°(Y,f~F)
est le compos4
H°(X,~fF)
_
~°(x,f,~,~)
(resp. bijectif)
jectif
g)
H°(Y',g'.g'*F)
o H°(X,,~,~F)
il en est de m~me de
d@monstration de
1.1.
D4finition
On appelle morphisme
1.3.
clique) un morphism9
lentes
(i)
~
g : X ----)
(iii) (resp.
Y
(i)
morphisme est dit universel!ement
g' = g xyY'
: XxyY' ~
clique). Enfin, un
Sch@ma
~I
=
eet i~-
. Cela ach~ve la
(-1)-acyclique
(Tesp° O-acy-
ayant une des proprigt@s @quiva&
(iii)
res~@es) d_e 1.1.
(-1)-acyclique
Y'
X
~isq~e
6
si pour chaque merphisme de changement de bsse
phisme
Ho(y,g~gnf F)
6')
°
de
L_ee
(rest. O-aeyclique)
Y' ---->
Y
, le mor-
est (-1)-acycliq%e
(resp. O-ac~-
est dit (-1)-acyclique
(resp. O-aoy-
clique) s'il est ~Don-vide (res2. connexe et non vide).
Corollaire
1.4.
lots pour chaque
en groupes
F
sur
Sol}
g : X
Y' ......~
Y
Y'
HI(y',F)
>
Y
un morphisme O-acyclique.
localement quasi-fini
, le morphisme canoni ug~ue
~ HI(X',g'~F)
est injectif.
Cela r@sulte aussitSt de
XII 6.5
171
(i) •
A-
e t chaque faisc_ea.__uu
-
Corollaire
1.5.
Soit
5
-
xv.
g : X
~
Y
un morphisme,
Si
g
est sur-
~ectif (i.e. ses fibres sont non vides, i.e. ses fibres sont (-1)-ac 2cliques)
g
alors
g
es___t (-1)-acyclique.
est quasi-compact
La r@ciproque est vraie Si
et quasi-s@par6.
La premiere assertion est @vidente sur la forms 1.1
(ii) par
consid4ration des fibres des faisceaux envisag@s. La deuxi~me r4sulte
de la d@finition sous la forms 1.1
la limite
VII 5
(iii) et du sorite de passage &
, compte tenu que pour tout
y
Y
,
y = Spec k(y)
est limits projective de sch6mas affines localement quasi-finis sur
Y
, savoir les voisinages affines de
structure r@duite induite).
g
est quasi-compact
que d6j&
g
L C
1.6.
et quasi-s@par4,
Soient
9.5
alors
g : X
)
Y
implique que lorsque
g
(-1)-acyclique
un mor~hisme de
un ensemble de nombrss ~remiers, et
n = I). Les assertions
(i) i
(iii)
(i)
i
n
~
(iii) resp6es)
Pour chaque
et %uasi-s@par@,
(iii)
alors
(resp. de
>
Y
Si de plus
h_~ (iii)
(iv)
g
(resp.
(i)
(resp. (iv) resp@e).
@tale et chaque faisceau ab@lien de
ind- IL-groupes)
t F~
sch4mas,
(resp. lee assertions
(i)
sent aussi @quivalentes ~
Y'
impli-
un entier naturel
resp@es) suivantes sont @quivalentes.
est quasi-compact
L-torsion
y] (muni de la
(-1)-acyclique.
(reep.
(i)
dans
- Notons que
universellement
Proposition
y
IX 1.5
F
sur
Y'
, on
gVg'~F
(R%,)~,~
:
s.jz l ~
o
172
q ~
(resp. sj
q:
1).
-
(ii)
Pour chaque
L-torsion
Y' - ~
6
-
Y
XV.
@tale et chaque faisceau ab61ien de
(resp. de ind-]L- o ~ )
F
sur
Y'
, le morphisme ca-
noni~u,.e
~(Y,,F)
es% bijectif Si
si
q~<l)
q~
n
~ ~(X',~'~)
st in~ectif si
q = n+1
(res2. est bijectif
•
(iii) Pour chaque
ceau ab@lien de
Y' ~
Y
~-torsion
localement quasirfini et chaque fais-
(resp. de ind-~ -g~oupes) F
sur
Y' , l~e
morphisme
~(Y',F) ~
est bi~ectif s i
q~
n
~q(X',a'%)
et in~ectif si
q = n+1
(resp. est bi~ectif
si q.~1).
(iv)
L@ morphisme
g
e st sur~ectif, et ~ou r chaque
calement quasizfini , chaque
~ > 0
, et chaque
Y' ~
4 ~ ~
Y
I~o-
, le morphis-
me canoniqu@
~(Y',z/a ~) ....) ~(x,, ~/ ~ )
est. surjectif ppur
0 ~ q $ n
lement quasi-fini et ohaque
(res p. pour chaque
~gr9upe
me oanonique
es__~t surjectif pour
i = 0,1).
173
Y'
fini ordinaire
~
d
Y
loc ~-
, le mor~his-
-
Dgmonstration de
sont triviales. Or
t.6
7
xv.
-
Les implications
(Rqg')g'~F
(iii) ~_~(iv)
est le faisceau associ@ au pr@fais-
ceau
Rq(Y '') = Hq(x",g"~F)
on a
Hq(y,',F) ~
i.e.
(ii)~_~--->(i). L'implication
(qui correspond au oas
(ii)~-
(Y,,,
Hq(X",g"~F)
>
Y'
4tale).
Si
(ii)
est vrai,
, done le faisceau associ4 est nul,
(i)---~. (ii)
r@sulte de
1.1
(i)
n = O) joint & la suite spectrale be Leray
HP(Y',(Rqg ' ~)g '~F ) ....> HP+q(X ' ,~,~r)
bans le cas ab@lien~ et ~ la suite exacte
bans le cas be~ faiseeaux de groupes.
(i)~
(iii) : Puisque
est clair que
(i)
et
(ii)
son$ @quivalentes, il
(iii) @quivaut & l'@nono4 qui est d4duit be
(i)
en
remplagant le mot "@tale" par les mots "localement quasi-fini". Sous
cette forms c'est, pour
Y'
et sur
au cas oG
Y
Y
,
Y'
donn4s, une assertion locale sur
pour la topologie @tale,et on est donc r4duit par
f : Y' ----> Y
est un morphisme f i ~ "
le morphisme. On a d'apr~s
VIII 5-5
(resp.
Soit
1.2
f' : X' ---> X
VIII 5.8 )
(appliqu@
trois fois)
st ce dernier est nul si
sages,
~'o~
(i)
(i)
est vrai pour les valeurs de
q
envi-
>(iii).
Ii reste & d~montrer
(iv):---> (iii) ; or ceci r@sulte aussit6t
174
-
de
8
-
xv.
Xli 6. 5.
D@finition
1.7.
Soien_____~t n ~ ~
et
~ g]P
. Un morphisme g:X ~
qui satisfait & une des conditions @quivalentes (i) ~
_~& (iii) resp@es) d~e
1.6
Y
(iii) (resp. (i)
est appel@ morphisme n-acyclique (res___~p.mor-
phisme ~-asph@rique) pour ]L • On dit que
s'il est n-aoyclique pour IL pour chaque
g
est acyclique pour
n . On d.it ~ue
IL
g es_~tuni-
versellement n-acycli~ue (resp. universellement 1-asph@rique) pour IL,
si pour chaque
Y' --~
Y
(resp. 1-asph@rique) pour
le morphisme
IL
~IL
et cha~ue
est dit
I g q g n
on a
G
Hq(x,~/
1.3
~)=0
, on_~a HI(X,G) = 0).
~.8.
a) Si
g
X
IL , s'il est O-acyclique
(rest. et pour chaque IL-groupe fini ordinaire
Remarque s
est n-aeycli~ue
. Enfin, un pr@sch@ma
n-acyclique (resp. 1-asphgrique) pour
et si pour chaque
g' = g xyY'
g
est quasi-compact et quasi-s@par@~ il suffit, pour que
soit universellement n-acyclique, que
que fois que
Y' ----> Y
g'
soit n-acyclique cha-
est localement de pr@sentation finie. Nous
n'avons pas besoin de ce fair et en laissons la d@monstration, qui
est un exercice de passage & la limite, au lecteur.
b) Nous ignorons si un morphisme n-acyclique pour
universellement n-aoyclique pour
les variantes locales plus bas
c) Lorsque
n = O
n = -I
est d@j&
. La m@me question se pose pour
1.11.
, on retrouve la notion de
tendu, on aurait pu rgdiger
cas
IL
IL
1.6.
et
1.7.
1.3.
Bien en-
de fagon & inclure le
. La propo~ition qui suit est @galement valable dans ce
I75
-
9
-
xv.
Gas •
Proposition
(i)
~IP
1.9.
Soient
~ et
X
g ~
n £ ~
1-asph@rique pour
Y
....
h >
Z
des morphismes de
. Supposons que
IL
g
soit
Soh@mas~
0-aoyclique (resp.
, resp. n-acyolique pour
~). Soit
f = hg
Alors pour tout faisceau d'ensembles (resp. de ind ~-groupes, resp.
ab@lien de
L-torsion)
F
sur
Z
, on a un isomorphisme
f,f*F -~--~h*F (resp. des isomorphismes (RPf,)f*F ~-> (RPhw)hWF si
p ~ I
, resp. si
1-asph@rique pour
si
f
IL
h
est
~ resp. n-aoyclique pour
O-aoyolique (resp.
~) si et seulement
l'est.
(ii) Soit ~ g ~
de
p ~ n). En particulier~
: X
--->
k~
un syst&me projectif de morphismes
sch4mas tels que los morphismes
soient affines et que los
r@s. Soit
g : X
>
Alors si t o u s l e s
g~
Y
g~
~
X6
et Y0~ "-> Y~
soient quasi-compacts et quasi-s@pa-
ia limite projective des
g
VII 5.1.
sont O-acycliques (resp. 1-asph~riques pour
, resp. n-aoycliques pour
D4monstration.
X
~), il e n e s t de m~me de
g
Pour (i), on a d'abord
La deuxi~me assertion de (i) est cons@quence imm@diate de la suite
spectrale de Leray
(RPk~)(Rqg~)f~F
~
(RP+qf)f~-F
Enfin l'assertion non-ab41ienne r4sulte de la suite exacte
176
XII 3.2.
10
-
-
XV.
L'assertion (ii) r~sulte facilement de la th~orie de passage ~ la limite
VII 5 et VI .
Corollairs 1.9.1. SoSt
g : X
~
Y
quasi-s~par~, e~t n ~
,
P
. Si
(resp. 1-asph~ri~ue ~our
de
Y
X~
est n-acyolique pour
• C
y
y
P~o~osition
1.10.
mas,
, 6t
• C~
de
Y
, la fibre g~om~tri~ue
~).
est limits projective de sch6mas affines
sont n-acycliques pour
1.9
est n-ac~clique pour
]L (resp. 1-asph~rique pour
sont localement quasi-finis sur
en vertu de
g
~), alors pour tout point ~ o m ~ t r i q u e
, alg~brique sur un ~oint
En effet,
un morphisme quasi-compact et
•
Y
Yi
, et comme les Xi~XxyY i ~
qui
Yi
(resp . . . . ), il en est de mGme de X~ --*
(ii), d'oG la conclusion annonc~e.
Soient
n ~
g : X
~
Y
un mcrphismo de
. Alors les conditions (i) A
(iv)
sch$ci-des-
sous sont 4quivalentes.
(i)
Soit
que de
d_e_e X
y
X
,
Y
un ~oint ~@om4triQue de
Yet
~
. Soient
aux points
x
,
y
, et soit ~
. Alcrs
g
est O-acyclique (re_~. 1-asph4rique
g
, resp. n-acyclique pour
,
Y
un point ~@om@tri-
au-dessus de
phisme induit par
X
x
pour
]L
(ii)
Pour chaque diagramme ~ carr~s cart~siens
X
"
Y
*[
j
i
X'
Y,
~).
< ~'
~
177
i'
X"
,, y,,
les localis@s stricts
: X
,>
Y
le mor-
-
aveo i @tale et
i'
11
XV.
-
@tale de pr@sentation finie, e~ chaque faisceau
d'ensembles (resp. de ind- ~ - g r o u p e s ,
F
sur
Y"
, le morphisme de changement de base
g'~i'~F ~
e~t
resp. ab@lien de
bijeotif (~esp. les
et in~egtifs pour
XII 4.1
, 4.2
j'~g"~F
mo~phismes
~,~(R~i,)F ~
sont bio ectifs pour
~ -torsion)
(~%,)~,'~r
q = O, I, resp. sont bi~ec.tifs pour
0 ~ q ~ n
q = n+1).
(iii) Mgme @nonc@ que (ii)~sauf que le morphisme
i'
es~ suppos@ seu-
lement quasi-fini et quasi-s@par@.
(iv)
Mgme @nonc@ que (ii), mais en supposant
ment quasi-fini, et en revanche
i
seulement locale-
i' une immersion ouverte quasi-com-
pacte.
D@monstration. L'implication (iii) -~---~(ii) est triviale. V@rifions
que ( i ) ~ ( i i i ) .
I1 suffit de regarder le morphisme de (iii) fibre
par fibre. Soient
~
g@om@trique de
X'
un point g6om@trique de
au-dessus de
X'
~
et
~
un point
. Soit
X"
g'
y,
y
Y'
~ g"
~
Y"
,,,.g
le diagramme cart@sien d@duit de
lis@s stricts des
X'
,
Y'
(~), o~
aux points
I78
~'
~
,
,
Y'
sont les loca-
et o~ Y"= Y"x y, y,
-
12
-
XV.
.%/
X" = X"xx,X'
. On a
H~(Y
"~'', Z)
o~
~
VIII 5.2
et 5-3
"" (R~i'r)~
est l'image inverse de
Hq(X,, g,,ml~)
Puisque
~i
---~ ( g ' ~ (
F
sur
Y"
R~i'
)F)~
,
, et
---~ ((Rqj,)g,,~F)~
est quasi-fini, on peut appliquer
1.1
(iii) (resp. 1.5(iiD)
au morphisme
pour les valeurs de
(ii)~
q
envisag@es, d'oG ( i )
~-~ (iii).
(i). Supposons (ii) vrai et v@rifions le orit&re 1.6 (ii)
d'acyclicit@
pour un morphisme
f~
@tale, avec
Y'
ab~lien de
~ : X ---->
Y
. Soit Y' ----> Y
~J
affine, et soit
F
un faisceau d'ensembles
]L-torsion, resp. de ind - ]L-groupes) sur
Y'
(rosp.
• On dolt
d@montrer que
,F)
o~
~
:~
~
~'
Y
Y = lim Y
(supposant
Y
"descendre" le morphisme 6tale
en
Y'
~
Y
O
faisceau
, et on a
sur
1.6
(iii)
Y~
g
par ohangement
sont @tales et affines
affine, ce qui est loisible). On pout
Y'
,,)
Y' = le~ Y~
Y
& un des
~
= Y ~ Y Y'o
, disons
. Or chaque
O
Y'
est limite inductive des f a i s e e a ~
Y'
et
o~ les
O
F
,
est le morphisme d@duit de
de base. Or @crivons
au-dessus de
H~(x',~'~]
f~
est le morphisme canonique. D'apr~s XII 1.2 (~
los f a i s o e a ~
bles (resp. ab@liens de
f
f !~
~-~ersien,
sont des faisceaux d'ensem-
resp. de ind- ~ - ~ o u p e s ) .
179
Comp-
-
te tenu de
o~
F
VII 3.3
13
-
XV.
, on voit done qu'i! suffit de traitor le cas
se descend ~ un des
Y~
, disons & un
F
sur
Y'
O
appliquant
. En
O
(ii) au diagramme
jv
X
(
X
~ o
X t
o
o
i
y
Ooi
(..
y
(
o
y,
O
on d@duit que
de
q
go m(Rqi'o~)Fo
applicables.
canoniquement
O
"~" ) (RqJ' om ) g 'o~Fo
Or les points g@om@triques
en des points g@om@triques
tons par los mGmes symboles),
et on a
de
y
Yo
VIII 5.2
pour los valeurs
,
,
~
XO
se rel~vent
(nous los no-
et 5.3
~(y~,F~) : ((~qi,o~)Fo)9 ~ (%~(Rqi'o~)Fo) ~
et
E~(~,,F,~ ~) = ((Rqj,o~)~,o~o) ~
pour les valeurs de
q
envisag@es,
d'oG le r@sultat.
Reste & montrer que les conditions
g (iv). Or, utilisant
la forme
(i), on volt que cos conditions
stables par extension de la base
d'ofl r@sulte aussit6t,
D'autre part,
(i) & (iii) sent @quivalentes
Y'
~
Y
localement
sous la forme (ii), qu'elles
(iv) implique
(iii), oar pour v4rifier
sont
quasi-finie,
impliquent
(iv).
(iii) on volt
tout de suite, utilisant
par exemple la suite spectrale de Leray, ou
le r@sultat de descente
XII6.8
, que l'on peut supposer
affines.
Y'
et
Y"
Mais alors par le "Main Theorem"
EGA IV 8.12.8
Y"
~ Y'
i'
i~
me factorise en Y"
I.
) y, , avec
. Y~
i~ une immersion ou-
180
-
verte, et
i~
14
-
XV.
un morphisme fini. Utilisant
on est r@duit A v@rifier (ii) pour
i~
VIII 5-5 , 5.8
pour i~ ,
, qui relive de (iv). Ceci
ach~ve la d@monstration de 1.10.
1.11.
D@finition
Un morphisme
g : X
)
Y
de pr@sch@mas ~ui
satisfait & une des conditions ~quivalentes (i) ~_~ (iv) d e
1.10
est
appel@ morphisme localement O-acyclique (res___~p.localement 1-asph~rique
pour
•
, resp. localement n-acyclique pour
~). On d@finit d'une
mani~re @vidente (comparer 1.7 ) les notions de morphisme localement
acyclique, et de morphism~ universellement localement O-acyclique
(resp . . . .
)
po~
L
•
1.10.
On peut naturellement varier les @nonces (i) ~ (iii) de
Ainsi, dans (iii) et (iv) on peut se h o m e r
tant et de la forme
fini, resp.
G
GI
,
G
cela r~sulte facilement de
F
un ensemble fini (resp. un
~/
de la forme
~ un faisceau
1~ ~
, avec
VIII 5.2 , 5.)
i ~ L
et de
eons~
IL-groupe
,
9 ~
XII 6.5
;
. Signa-
lons @galement la variante suivante :
Corollaire
1.12.
Supposons
g : X .
~
Y
localement de type fini.
Pour v@rifier la O-aqyclicit@ (resp . . . . ) locale, il suffit de v@ri~ier
1.10
(i) dans le cas o~ le point g@om@triRue
dans la fibre g~om~trique
~
est ferm~
XY
En effet, dans la d~monstration de ( i ) ~
~ (iii) de
1.10
, on
a v@rifi@ (iii) fibre par fibre, et il suffisait de le faire pour les
fibres aux points g@om@triques
x
qui sont ferm~s dans leur fibre
181
-
g@om@trique,
puisque
Proposition
1.13.
(i)
mas,
Soient
IL ~ ~
X
O-aoyclique
n ~ ~
y
h ~.
pqur
Alors si tons les
g
g~
il en est de m6me de
1.1A. Pour simplifier
1.13
L
l'est.
~
des
X~
ett Y~
ig~]
O-ac~91iques
o
~
Y~
VII 5.1
(rg~ ....
,
1.5
essentiellement
de
, et il
que les 4nonc6s~
1.10
induits iocaux
X
d4fini-
sans changement
, la aondition
.....>. Y
sur~ectifs , et les conditions
en disant que le morphisme de changement
(i) s'@sont
(ii) ~ (iv)
de base
g'@(i'@(F))---> j',(g"*(F)) est un monomorphism ~. $ous ces conditions,
g
~
t&ohe, le r@daoteur a omis clans
s'appliquent
nonce en disant que les morphismes
done Rue
his-
1.9.
& ce cas. Ainsi, avec les notations
i.e.
pour
est localement
de traiter 4galement le cas de n = -I
tions et d6monstrations
s'@noncent
so__it suroective ,
f = hg
X~
laisse au lecteur le soin de se convaincre
(-1)-acyoliques
h
•
g
C'est un sorite analogue &
&
g
1-asph@rique
la limite prgjectiv~
sont localement
b)
sch@-
systole p ojooti
tels que les morphtsmes
Soit
VIII 3.13
des morphismes de
si
:x
de pr6soh@mas
i.iO
Z
~). Alor ~
(resp . . . . ) si et seulement
soient affines.
de type fini
(rgsp. localement
n-acYclique
(ii) s o i t
mes
xv.
, et supposons que
O-acyclique
resp. localement
-
est localement
. g )
, et
et localement
g
15
est iooalement
(-1)-ac2clique.
182
on dira
Cette condition est dono
16
-
-
XV.
stable par extension localement
signalons qu'un morphisme
pour un tel morphisme
quasi-finie
de la base. Comme exemple,
p~at est localement
(-1)-acyclique,
la condition de surjectivit@
est une consgquence bien connue de la platitude
D'autre part, signalons aussi que lorsque
sentation finie, alors
ment s i i l
est lecalement
est universellement
lement noeth@rien
1.10.3
f
. Pour un tel morphisme,
Y
soit inutile
des composantes
Th@or~me
Soient
et ~uasi-s@par@,
tier naturel
pour
IL CIP
(resp.
Soit
F
de
g : X
Y
est alors uniqupment
t@ sur
de
Y
Y
(n-1)-a¢2qlique
~
est loca-
EGA IV 14.4.9
(Ii est d'ailleurs
l'hypoth~se
localement
fini
un morphisme
g
pour
e st
]L
Y , que pour
de faisceau ab@lien de
Pour que
Y
,
tr~s
pro-
noeth@-
~
un en-
1.3 , 1.7 , 1.11
n ~ 1
on suppose mu-
un @l@ment
grace & l'hypoth&se
,
(resp. d'une
p r o v i e n n e d ' u n 41@ment d9
d@termin@,
n
(n-1)-acyclique
L-torsion
et soit
EGA IV 14. 4. I0) .
quasi-compact
un ensemble de nombres premiers,
structure de faisceau en groupes),
Hn(X,g~(F)).
si et seule-
locale implique par
est localement
......~.
un faisceau sur
ni d'une structure
de
la (-1)-acyclicit@
n = I). On suppose que
]L et looalement
1.14.
(-1)-acyclique
de prg-
: c'est en tous cas ainsi si l'ensemble
irrgductibles
1.15.
de ces morphismes.
en effet ais@ment
@none@s,
X ---@
est localement
locale universelle.
bable (*) que darts ces derniers
rienne sur
pour les
ouvert, du moins lorsque
: cela r@sulte
suite la (-1)-acyclicit@
f
car
de
Hn(y,F)
(qui
d~ (n-1)-acyclici-
g), i l faut et il suffit que pour tout point ggomgtrique
, alg~brique
Hn(X~ , F I X~)
sur un point
y
d£e
Y
, l'image ~ ~
soit dans l'image de Hn(y, F~)
(*) Cela a ~t~ effectivement v~rifi~ par M. Rayna~d.
183
d~e ~
dans
(ce qu i , POur n ~1 ,
Cf
r~dition
de EGA IV 14!
-I 7 -
siam~fie ~u'on a
~
xv.
F = o).
Notons tout de suite qu'on conclut de
ditions pr41iminaires envisag~es pour
(resp. 1-asph~rique pour
me dessus,
pour
L)
XY
est
g
1.15
,
g
que, sous les conest
n-acyclique pour
~) si et seulement si pour tout
n-acyclique pour
•
(resp. est
~
com-
1-asph@rique
: le "si" r@sulte en effet directement de 1.15
et des d@-
finitions, le "seulement si" 4tant de toutes fagons imm@diat par
1.9.1 .
Ceci dit, une r~currence imm@diate sur
Corollaire
1.16.
So~t
g
unmorphisme
n = I). Alo?s
(rest. es___tt 1-asph@rique pour
g@om4trique
bre
y
de
Y
~CIP
1.17.
calement
g
L
g : X ~
1-asph@rique pour
d2e X
des localis@s stricts de
correspondant
de
g
y
de
es t
(re_~.
Y)
X
z
asph@ri%ue pour
IL).
de_ Y
est un entier
n-acyclique pour
L
y
de
Y
, la fi-
]~).
u n morphisme de pr@sch4mas,
n
un entier naturel (resp.
n-acyclique pour
IL (resp. l__%o-
IL) il faut et il .suffit que pour tout
, si
et
g : ~----~
Y
(e__n_n ~
induit par
g
Y
, soit
est le morphisme
et le point g@om@trique
, chaque fibre g@om@trique
, relativement ~ un point g@om4trique
que.sur un point
n
1-asph@rique pour
Y
soit localement
~
, o~
, alg@brique sur un point
~oient
point g@om@trique
X~
g
un ensemble de nombres premiers,
n = I). Pour que
L
IL) si et seulement si pour tout point
X~ es__~t n-ac~clique pour
Corollaire
fournit le
~uasi-compact et quasi-s@pa-
r@ qui est looalement (n-1)-acyclique pour
naturel donn@ (resp. oG
n
~
n-acycli%ue ~our
La n@cessit~ r~sulte en effet du crit&re
i84
d__~e Y
al~@bri-
IL (resp.
1.10. (i) et de
I-
1.9.1. ,
-
pour la suffisance
permet, lorsque
et 1.16
pour
XV.
pour
~ de supposer que
IL
~
est
n-acyclique
Corollaire
1.18.
g
n
~ ce qui nous
est d@j& localement
n-acyelique
ce qui en vertu du crit~re
localement
sur
. I1 en est alors de m@me des morphismes
implique alors que
~),
-
on precede par r@currence
n ~ I
(n-1)-acyclique
18
1.10
(resp. localement
~
(i) implique que
1.17
ment de tFpe fini , alors dans le crit&re
& prendre des Points g~om@triques
(resp. 1-asph@rique
1-asph@rique)pour
Avec les notations de
g ,
, si
dnonc@,
g
g
est
~ •
est locale-
on peut se borner
dont la localit@
x
est fer-
m@e dans sa fibre.
Cela r@sulte en effet de la d~monstration
D@monstration
strictement
de
local,
de Leray pour
0 < i 4 n-1
acyclicit@
de
1.t5
et
, et
F
g
1.12.
(*).Montrons d'abord qu'on peut supposer
Dans l e c a s a b @ l i e n ,
g
donn@e et de
g~(P)
,jointe
~'*~. g~g (F)
, implique
O --'--> H n ( Y , F )
qu'on
~
n ~ 1
, la
suite
R g~(g (P)) = 0
, exprimant
l'hypoth~se
a une suite
exacts
Y
spectrale
pour
de (n-1)-
canonique
, Ho (Y,R n g ~ ( g ~ ( F ) )
~.Hn(x,g~(F))
qui montre qu'il suffit de prouver que l'image de
~
,
dans le troi-
si~me terme est nul. Ceci se v@rifie fibre par fibre, et compte tenu
de
cas
VIII 5.2
n = 0
mani&re,
injectif,
on est ramen@ au cas oG
,
F
~
est strictement
@rant un faisceau d'ensembles,
car l'hypoth&se
st
Y
sur
s'identifie
g
implique que
gune
local. Le
se traits de la mGme
F ----> g~g (F)
est
section du deuxi~me faisoeau,
dont il s'agit de montrer q~'elle provient
d'une section du premier
(*) Le lecteur qui ne s'int~resserait qu'au cas noeth~rien est invit~
se reporter ~ 1.18.
185
:
-
19
-
XV.
cela se v@rifie encore fibre par fibre, et on applique
VIII 5.3.
Le mGme argument essentiellement est valable dans le cas non commutatif, avec
n = I
, en utilisant la suite exacte
H1(Y,F)
et utilisant
..........~ H I ( X , ~ ( F ) )
et quasi-s6par4.
FiII 6.10
YI
de
Y
,, H°(Y,Rlg~(g~(F))
Y
strictement local, donc
Le morphisme
g : X ---->
Y
X
est dans l'image de
satisfait aux conditions
Y
, la restriction de
Hn(yI,F IYI)
~
~
~
X I ~ XXyY I
Hn(xI,g~(F) IXI)
fier dans ce cas qu'on peut trouver u n morphisme fini
dont l'image dans
l'image inverse
Y
~ '
de
~
Hn(y',F ') ~
sur
X' = XXyY'
Hn(x',g'~(F'))
automatiquement
satisfaite pour ce morphisme
f
Y
soit contenue dans
f : Y' ..........~....... Y
, nous pouvons supposer
y
de
Y
. Soit
Y
k(y)
que
U.
1
est limite projective filtrante d'ouverts
Y
sur
Y
r@duit, et
y
m@trique cerrespondant & une clSture s@parable de
Y.l
~ et tel que
, la condition 2 ° ) de loc. cit. est
nous consid@rons u n point maximal
nis int&gres
le point g@o, de sorte
de schgmas fi-
, dont chacun est tel que son image dans
contient u n voisinage de
y
. Utilisant l'hypoth&se sur
volt qu'il existe un indice
i
tel que l'image inverse de
Xxy U i
, resp. est dans l'image de
si
est nulle si
Y ,
. On notera en effet que,
VIII 5.5 , 5.8
Pour trouver un tel
, et ~ v@rif : Y' --
contient un ouvert non vide de
compte tenu de
~
quasi-compact
, ce qui nous ram~ne au cas o2 pour toute partie ferm@e
distincte de
l'image de
,
VIII 5.3.
Nous supposons donc
de
XII 3.2
n ~ I
n = 0
186
~
~
, on
sur
H°(Ui,FU )
I
-
Nous prendrons
Y'
20
-
XV.
@gal &
Y.
, et n o t o n s q u ' o n peut supposer
l
U' = U.
l
@gal & l'image inverse
y
Y
dans
XxyZ'
(o~
d'un v o i s i n a g e
ouvert affine
, de sorte q u ' o n voit que l ' i m a g e inverse de
~
Z' = Y ' - U '
dans
est darts l'image de
est l'image inverse de
Hn(Z',F Z ! )
Z = X-U
Quitte & r e m p l a c e r
•
Y
nous v o y e n s done que nous sommes r @ d u i t s au cas suivant
u n ouvert affine
restrictions
de
& l'image de
Z
X
de
&
, de c o m p l @ m e n t a i r e
XU
et &
ces r e s t r i c t i o n s
n ~ I
j : Z --~
, par
Y
,
et c o n s i d 6 r o n s
F'
provient
par
Y')
Y'
9
: il existe
respectivement
; de plus
, sin
~ I,
nulles.
U'
l'image
,
i'~~
y, =
u
i,,, ,o
Y
,
nous @crirons
Z'
inverse
Y'
U'
g~(F)
j' : Z' ~
~
au lieu
les images i n v e r s e s de
~ j'
X
Y'
. Notons
Y'
i : U--~
U
,
Y,
les inclusions~
Z'
J
z
la sBite exaete de f a i s c e a u x
~e
~
d'un @l@ment
dernier sur
Hn(Z,Fz)
sur
, tel que les
appartiennent
les notations,
i' : U' --~
0 --~
Comme l ' i m ~ e
Z
de
, nous allons m o n t ~ e r que sous ces conditions, en a
, et nous d @ s i g n o n s par
Y'
XZ
et & l ' i m a g e de
. Pour s i m p l i f i e r
dans
F~, y,
Y
Hn(U,Fu)
Lorsque
de
U
~
on p e u t . s u p p o s e r
-- 0
U
U'
F~, y, --->
F' ~
F~, y, ---> 0
dan~ IIn(~',F£,,y,)
de
H n (Y , ,Fu,
, y ,)
est @gale & celle de
:
e~t n . n s ,
~ et la r e s t r i c t i o n
~
est isomorphe & l'image inverse de
I87
~n(z',F~,)
,donc
FU, Y
est nulle.
de ce
Comme
~ nous sommes ainsi
-
21
-
XV.
ramen@s au cas d'un faisceau de la forme
supposer
FZ = O
Notons que si
de
FU, Y
~ donc nous pouvons
(oe qui tient compte de l'hypoth~se
F ~
G
~
I Z' = 0).
est un monomorphisme de faisceaux ab@liens
l.-torsion (resp. de faisceaux en g~oupes), il suffit de prouver
que l'image
~
de
i.e. est nulle
i (Fu)
~
dans
XII 6.6
Hn(y'~G ')
. Cela nous permet de remplacer
, compte tenu que l'hypoth&se
phisme canonique
est d~ns l'image de Hn(y,G)
F ----9
i (Fu)
FZ = 0
est injectif. Or comme
(n-1)-acyclique pour
IL
n ~ I), il s'ensuit que l'image inverse de
s'identifie ~
i' (F~,)
l'image
~
de
tion de
~
&
, eta
fortiori
g
e~t lo-
0-acyclique pour
i (Fu)
sum
Y'
, de sorte qu'on est ramen@ ~ montrer que
dans
U'
~
par
implique que l'homomor-
calement
(car
F
H n ( y ' , i ' (F~,))
est
nulle. Or la restric-
est nulle, et il suffit donc de v6rifier que
l'homomorphisme
(~)
~(Y,,i,(F~,)) --, ~ ( ~ , , r ~ , )
est un monomorphisme. Dans le cas ab@lien, o~ utilise la suite spectrale de Leray pour
i'
et
F~,
:
E~ '~ ~ ~P(~,,Rqi,(F~,)) ----> ~ ( ~ , , r ~ , )
,
et les relations
(~)
E~,qo = O
pour
O < p g n-1
~
q~n-1
Pour v@rifier ces derni&res, on note que l'hypoth~se de
cit@ locale de
g
pour
Rqi' (F~,)
•
•
(n-1)-acycli-
implique que l'on a des isomorphismes
~-- g~(Rqi (Fu))
188
pour
q ~ n-1
,
-
22
et compte tenu du fair ~ue
que
HP(Y,G) ~
de
]1~-torsion
pour
p > 0
(m~_~)
g
HP(Y',G ')
G
sur
Y
-
XV.
est
pour
(n-1)-acyclique pour
p ~ n-1
•
, donc
et tout faisceau ab@lien
, on trouve (~a~) puisque
HP(Y,G) ~ 0
~ et on trouve de mGme
E~ 'q
~
H°(Y,Rqi (FU))
pour
q~n-1
.
La suite spectrale de Leray consid@r~e donne alors naissance & une
suite exacte, qui forme la deuxi~me ligne du diagramme oommutatif
suivant :
HO(y,Rn-li(Fu))
,~ ~n(y,i(Fu)) = 0
En(U',F~,)
HO(y' ,Rn-ti~(F~, ) ) > Hn(y' ,i~(F~, ))
oh la premiere fl&che verticale est bijective en vertu de (~=~-~). On
lit sur le diagramme que (~) est injectif, ce qui ach~ve la d~monstration dans ce cas. Dans le cas non ab@lien,
me diagramme avec
Xll
3.2
n~1
n=1
, on utilfse le mG-
:
, o3 la premi&re fl%ehe verti~ale est encore bijective grg-
ce ~ l'hypoth~se de
O-acyclicit4 locale et globale faite sur
g
, et
on conclut encore l'injectivit4 de (~) darts ce cas.
Traitons enfin le cas
section
~
d'une section
de
F'
@ U'
telles que l'image de
n = 0
. Remarquons que la donn@e d'une
revient, en vertu de
de
F~,
~ Z'
et d'une section
, ~ la donn@e
~ Z'
de
par l'homomorphisme naturel
I89
F~,
,
-
23
-
XV.
soit la section du deuxi~me membre induite par
se, il existe des sections
vement, qui induisent
I Z'
~Z
et
et
~U
I U'
~ U'
de
FZ
. Par hypoth~-
et
FU
respecti-
. Tout revient & v o i r
qu'el-
les satisfont & la condition de compatibilit@ analogue, exprimant que
ce sont les restrictions d'une mGme section
rifier l'@&~lit4 de deux sections de
me
Z'
>
Z
est surjectif (g
~
3 (I~(Fu))
de
F
. Il faut v@-
, et pour eeci, com-
@tant surjectif puisque
(-1)-acy-
clique par hypoth~se), il suffit de v@rifier que les deux sections
correspondantes de
gz (3 (I~(Fu)) = j'~(g~(i~(Fu))
sont @gales. Or
le faisceau envisag@, grace & l'homorphisme de changement de base
(~)
g~(i (Fu)) ---~
s'envoie dans
j'~(i' (F'))
U'
i~(g~(Fu))
= i ' (F~,)
, et ce dernier homomorphisme est injeo-
tif, car il en est ainsi de (~) gr&ce & l'hypoth&se que
lement
tions de
,
g
est loca-
(-1)-acyclique. I1 suffit donc de v@rifier que les deux secj'~(i' (F~,))
, images des deux sections pr@c@dentes, sont
@gales. Or on eonstate aussitSt que ces sections ne sont autres que
celles d@j& envisag@es plus haut, qui sont @gales par hypoth&se. Cela
ach~ve la d@monstration.
Remarque 1.18. On peut donner un raffinement de
une d@monstration nettement plus simple de
1.15
1.15
, qui fournit
lorsque
Y
est
suppos@ localement noeth@rien. Pour ceci, en plus des hypotheses pr@liminaires sur
g
points g@om@triques
,
F
, supposons qu'il existe un nombre fini de
fi : Yi
~
Y
190
de
Y
tels que le morphisme
-
24
F , ~ T
-
XV.
fi~(fi ~(r))
soit inj~ctif (hypoth~se automatiquement v@rifi@e si
rien et si
F
est constructible
conditions, le crit&re
points g@om@triques
supposer que
F
1.15
Yi
Y
est noeth@-
IX 2.14 ) . Je dis que sous ces
est valable en se bornant aux seuls
• En effet, en vertu de
est lui-m@me de la forms
XII 6.6
f (M~)
, o~
ensemble resp. un groupe rssp. un groups ab@lien de
f : Y ----*
Y
on peut
M
est un
• -torsion, et
un point ggom@trique. Soit
f' : X' = X~ X le
Y
morphisme canonique. Supposant, pour Fixer les id@es, n & I , l'~vpoth~se locale faite sur
g~(f (M~))
g
implique qu'on a
---~ f' (MX,)
,
Rif'
(Mx,) = 0
pour
I ~ i ~n-1
,
la deuxi~me relation provenant du fait que le premier membre est isomorphe &
pour
g~(Rif (M~))
i~l
, qui est nul puisque manifestement Rif (M~) = 0
De ces relations, on conclut que
~n(x,g~(r))
~
Hn(x,f' (MX,)),, ~
in(x',MX, )
est in~ectif, en utilisant la suite spectraie de Leray pour
qui prouve bien qu'un @lgment
nul de
Hn(x~ ,F)
simplifi@e de
~
de
, ce
induisant un @l@ment
est nul. Pour d@duire de ceci une d@monstration
I.~5
dans le cas o~
on note qu'on peut se borner au cas
la limite facile, utilisant
mener au cas oG
Hn(X,F)
f'
F
Y
Y
IX 2.7.2
est localement noeth@rien,
noeth@rien, e~ un passage &
et
VII 5 ~ permet de se ra-
est de plus constructible,
c~ qu'on vient de prouver.
191
justiciable de l'@non-
-
25
-
XV.
2, Acycliqit~ locale d'un morphisme lisse.
Le th@or&me est le suivant :
Th@or~me
~
2.1.
Soient
g : X ---->
Y
un mor~hisme lisse et soit
l'ensemble compl@mentaire de l'ensemble des caractgristi~ues
r@siduelles de
X
. Alors
g
est localemen@ acyclique et localement
1-asph@ri~ue pour
Notons d'abord le corollaire
Corollaire
2.2.
semble
I
les de
Y
y
g : ~ m
Soit
l'espace affine. Alors
g
m = I
1.16
. D'apr~s
2.1
cyclicit@,
soit
X'
le morphisme structural de
~
1-asph@rique pour l'en-
p ~L
si
k
1.9
g
~
(i)
on se ram~ne au
est localement
,donc
que
n-~cy-
la condition locale
Ii suffit done de dgmontrer que les
I
• y
sont acycliques et l-asph~ri-
, c'est-&-dire que
L
et
on salt que
est satlsfaite .
ph@rique pour
ristique
sur m
1-asph@rique pour
fibres ggomdtriques de
ques pour
Y
compl@mentaire de l'ensemble des caract@ristiques r@siduel-
clique et localement
de
~
e st acyclique et
En effet, par rgcurrence
cas
:
Speck
[t]
est acyclique et 1-as-
est un corps s@parablement clos de caractg-
~ ce qui r~sulte de
IX 4.6
pour l'assertion d'a-
et pour la 1-asph@ricit@ est bien connu. Plus g@n@ralement,
un revGtement normal irrgductible galoisien de
192
I
X = IP k
-
26
-
XV.
qui soit non ramifi@ en dehors du point
~0
et dont la ramification
en ce point soit mod@r@e. Prouvon's que le degr@
est @gal & I. Or on a la formule de Hurwitz
g
~
g'
sent le genre de
[email protected] a
g = 0
et comme
g' ~ 0
D@monstration de
,
~X'/X
X' ~ et
~X'/X
le diviseur
~ et l'hypoth6se de ramification mod@r@e im-
eee ~fx'/x ~n-~
pliqus
X
du rev@tement
:
2(g' - I) = 2n(g - I) + deg
oG
n
, a'o~
~ on conclut
2.1
2(e'-I) ~-(n+1)
n % I
donc
n = I
~enon ~2(I-g')-I,
~ c.q.f.d.
L'assertion est locale sur
la topologie @tale, et on peut donc supposer
X
et
SGAI II i.I
m
IEy
est le morphisme structural de l'espace affine
Y
pour
que
g
~ et que
affine. En appliquant la transitivit@ de l'acyclicit@ locale
Y
est
1.13.
(i)
m
IEy =
m-1
e~ le fair que
~
I on se r~duit imm@diatement au cas
IEy
m = I , c'est-&-dire, au cas
X = S~Oy
[t]
Appliquons
1.18
. On est ramen@ & d@montrer Rue les fibres g@o-
m@triques du morphisme de sch@mas strictement locaux
d@duit d'un couple de points g@om@triques
m@ dans la fibre
pour
~
XY
g : ~ .... ~
x
,
~
, sont acycliques pour
~
et 1-asph@riques
. On peut @videmment
supposer
Y = ~
, o~
. Soit
u n morphisme fini, local, et surjectif~ de sorte que
tement local, et soient
le point de
X'
~'
le point de
au-dessus de
~
est fini, le localis@ strict de
X' = ~X XyY'
et de
X'
Y'
~'
au point
. Puisque
~'
~/Y
193
est fer-
Y' ~
Y'
Y
est stric-
au-dessus de
~
,
X' ~
~'
X
n'est autre que
. Par suite, route fibre g@om@trique de
duite d'une fibre g@om@trique de
~
Y ,
.5/y,
X
est d@-
par extension alg@brique
(n@-
-
27
-
XV.
cessairement radicielle) du corps de base, de plus il y a au moins
une fibre g@om@trique de
que de
X/Y
~'/Y'
. On peut donc
par choix convenable de
Alors
~
au-dessus de chaque fibre g@om@tri-
VIII 1.1
Y'
t = a°
• En relevant
et en faisant la "translation"
A =
~
sst le point
~" (Y,O~)
Notation
A {t}
par
Soit
A
Corollaire
Alors
et
par
Y'
, et
de
A
X~ = Spec k(y) It]
en une section
a
,
de
~yy
on est ramen@ au cas oh le
$pec k ( ~ ) I t I
. Posons
est un anneau strictement local.
un anneau hens@lien local. On d~note par
le hens@lis@ de l'anneau
rad A
a°
t I = t-a
It = O}
, de sorte que
2.3.
Y
, on se ram~ne ainsi au cas oG k ( ~ = k ( ~ )
est un point rationnel de la fibre
disons le point
point
remplacer
A It]
en l'id@al premier engendr@
t
2.4.
Soient
A
hens@lien et
A'
tu~e A-alg&bre finie.
A' {t~ ~___ A' ~ AA It1
Cela r@sulte imm@diatement de
VIII 4.1
strictement local, il en est de m@me de
. Notons que si
A
est
A ~t)
La d@monstration du th@or&me est ramen@e au lemme suivant :
Lemme
2.5.
duelie
p
Soit
A
un anneau hens@lien de ca ract@ristique r@si-
. Alors chaque fibre g@om@trique de
est acyclique et 1-asph@rique pour
bre
Notons que puisque
A {t)
Spec A [t]~
K
AK
,
~
~-
Spec A ~t I
[Pl "
est le hens@lis4 de
un corps r@siduel de
194
su___rrSpsc A
A
A It]
~ une fi-
~ est limite pro-
-
28
-
XV.
jective de schgmas affines et de type fini
X.
sur la "droite"
l
Spec K It]
, c'est-&-dire, limite de courbes alg@briques affines.
Donc cheque fibre ggom@trique de
affines
(Xi) ~
s'ensuit de
Spec A it}
est limite de courbes
au-dessus du corps sgparablement clos
IX 5.7
et
VII 5.7
des fibres g@om@triques est
. I1 suffit donc de v@rifier que
les fibres ggom@triques sent 1-asph@riques pour
HI(z,G) = 0
pour chaque
Ecrivons
Z~ . Le morphisme
s@
de
B
~
, c'est-&-dire,
est connexe, non vide~ et que
fini
oh les
fini sur
A
Z
~-groupe
A = li~ B
, et il
que la dimension cohomologique
4 1
qu'une telle fibre g@om@trique
K
B~
B
)
G
sent des anneaux de type
A
se factorise par le hens@li-
en l'id@al premier induit par
rad A
, d'o~
A = li~ A
. 0n constate ~is@ment qu'on a aussi A ~
@t]J = li~ A~ ~t].
0~
De plus, soient ~ un point g@om@trique de Spec A , X- la fibre
Y
g@om@trique de
de
$pec ACL
Spec A
{t~
S = Spec A {tl
induit par
sur
~
Spec A
en
sur
, et
Spec A
~
,
~
le point
X~.ycc
la fibre g@om@trique de
• 0n a
X~ ~ ~i m X c~Qc
~
donc r@duit pour la d@monstratien de
of~ A
en
2.5
par
I .7
" On est
(ii)(appliqu@
est le hens@lis@ d'une alg%bre de type fini sur
2Z en un i-
d6al premier donn@. Nous le supposons d@sormais. R~ppelons qu'une
telle alg~bre est un anneau excellent
donc que
A
EGA IV 7.8.3
(iii)~ 7.8.6
(i) ,
est @galement excellent(comme on voit facilement sur
l~ d@finition, cf. EGA IV 18.7.6 ).
Vgrifions la
Appendice.)
Puisque
O-acyclicit@.
A ~t I /A
L
(Pour un r@sultat plus g@n@ral~ cf.
admet la section
;
195
"t = 0"
, une fibre
-
g@om@trique
Z
int~gre, et oG
~
Spec A
nie s@parahle
A
K'
par un quotient
K'
de corps de fractions
A-alg~bre finie
Spec A' {t I
A'(t}=A'@AA<t~, d'o~
ZK,
~
fit alors de d@montrer Rue
A ~t}
Z
, au cas oG
A
est
de
A
A'
, le sch@ma
la normalisge de
EG A IV 7.8.2 )
A'
. D'apr~s
• Remplagons
ZK,
A
et
2.4
par
Z'
A
la
, on a
A'
. Ii suf-
est int~gre, e t il suffit de d@montrer
A
SGAIIg.5.
La d~monstration de
sur
Z'
est int~gre. Mais
l'est aussi
K
est connexe. Soient
(qui est une
A It~
2.4
. I1 suffit de prouver que pour route extension fi-
fibre g@ngrique de
que
XV.
est la fibre g@om@trique au-dessus du point g@n@-
(Z = Spec A ~t I ® A K)
dans
-
est non-vide. Pour voir qu'elie est connexe, on est
rgduit, en remplagant
rique de
29
@tant normal,
A [t]
l'est, doric
(i) , d'o~ le r~sultat.
2.5
, et par suite de
2.1
, est ainsi
r~duite au lemme suivant, qui sera d~montr@ dans le prochain num@ro :
Lemme
2.6.
Soi__.~t A
un anneau hens41ien et excellent, et soit
une fibre g@om@trique de
Spec A {t } /Spec A
ment principal galoisien
Z'
d_e_e Z
la caract@ristique r@siduelle
p
. Alors chaque rev@te-
, de g r o u p %
de
196
A
G
d'ordre premier
, est trivial.
-
3O
-
xv.
3. DTmonstration du lermne principal.
En rempla~ant
duit l'assertion
A
par une alg&bre finie
2.6
au cas o~
fibre g@om@trique g@n@rique de
le corps des fractions de
A
A'
est int&gre et oG
Spec A {t I sur
Aet
(cf. 2.4 ), on r@Z
Spec A
est la
. Soient
Z = Spec A It} ® A K
• Si
K
Z' / Z
est un revGtement principal ge~ioisien~ on peut le descendre & un
oG
K'
est une extension finie sSparable eonvenable de
pla~ant
2.4
bre finie
A
par son normalis@ dans
EGA IV 7.8.3
K'
K
ZK,
. En rem-
, qui est une
A-alg&-
(vi) , on est ramen@ & d@montrer le lemme
sous la forme suivante :
Lemme
soit
~.I.
Avec les notations de
Z' / Z
2.6
, supposons
est induit par une extension galoisienne
SGA fix 6.2
le revGtement
D@monstration.
Soit
B'
de hauteur
ramifi@e en
I
P
de
=
(A/~) ~t I
Puisque
A Itl
Spec A
de
Z'
A Itl
. Puisque
point g@n@rique de
~'
Z
p
K'
de
de
d@duit de
le normalis@ de
fonctions rationnelles de
P
normal, et
un rev@tement @tale principal galoisien~ de groupe
d'ordre premier & la earact@ristique r@siduelle
Z'
A
A
{t}
Z'
A
K
. Alors
, i.e.
est trivial.
dans l'anneau des
et oonsid@rons les id@aux premiers
B'
tels que l'alg~bre
Z' / Z
est @tale,
, i.e.~
P
p = P n A
sur
EGA IV 7.8.6
A ~t~
soit
n'est pas sur le
0
. Donc
est int&gre et de dimension au plus @gale &
est excellent
G
(i) et 18.7.6
A ~/pA{t I
dim A
doric ca-
t@naire, on a dim Spec A ~ ] / P = ( d i m A~I)~I = dim A ~ dim A [t~/pA~t I ,
197
-
31
-
xv.
p_~Itj
Soient donc
A
teis q~o
s
le p.g.c.d,
pour
B'
El , ..., pm
B' /A it}
les id~atux premiers de hauteur
soit ramifi~ en les i b ~ a ~
des ordres des groupes d'inertie
en les id@aux premiers au-dessus
un entier divisant
laordre de
G
~i A [t I
, donc premier &
une fonction qui s'annule avec ordre I en chaque
te
17 ). En remplagant
au cas
o~
, qui est
. Soit
2.4
A
f ~ A
(un tel
f exisChap. II,
par son normalis@
de
K et B,
p~le
SGAI X 3.6
n'est ramifi@e en aucun id@al premier de hau-
A it t
Alors l'alg~bre
Spec A it}
fet, soit
p
normal,
A
~}@
AA
mas
G. g G
i
, on se r@duit par le lemme d'Abyankhar
A I @ A B'
B'
teur I de
A
p
~i
KI ~K[xJ/(~-f)
d~ns l'extension finie
normalis@ de
de
, soit
, comme il r@sulte par exemple de Bourbaki 9 Alg. Comm.,
§ 3, cot. & prop.
A.!
~iA It)
SGAIV 2
des
I de
B'/A [t}
en tout point de
est aussi @tale au-dessus
Spec A
de codimension
un id@al premier de hauteur
I
de
A
est un anneau de valuation discr&te,
est aussi r@gulier
@t~les a~-~essus be
A
It3
-en
effet,
de la fibre
I
. En ef-
. Puisque
bonc r@gulier~
o ' e s t une
limite de
. Par ~ p o t h ~ s ~ , l'al¢~bre
est @tale en chaque point de oodimension
g I
be
A
est
donc
sch@-
B'/~ {t]
Spec A { t ] @
AA
donc elle est @tale partout par le th@or&me de puret@ be Zariski-Nagata
SGA I X3.1
; pour une ddmonstration,
En remplagant
2.4
A
par une
se famine au cas oh d__~eplus l'alg~bre
est compl&tement
d@eompos@e
au-dessus
voir p. ex. SGA2
A-alg~bre
B'/tB'
X
~.4 )-
finie convenable,
sur
on
A {t I /tA itj ~
du point g@n@rique
Donc il suffit de d@montrer que sous ces conditions,
198
,
de
A
Spec A
l'alg&bre
B' sur
-
A itI
52
-
XV.
est "triviale", et puisque
d@montrer que
B'
sur
fait que l'alg~bre
Spec A
A [tl
B'/tB'
est hensSlien, il suffit de
est @tale ; en effet, il r@sulte du
splitte au-dessus du point g@ngrique de
qu'elle sp!itte sur
tensions rSsiduelles de
A [t I
Spec(A)
B'
(SGA~I 10.I
,donc
sur l'id@al maximal de
que leg ex-
A It}
sont tri-
viales, et on applique (EGA IV 18.5.14 ). On est donc ramen@ au lemme suivant :
Lemme
3.2.
Soit
0 / t ~ tad B
B
un anneau local excellent et normal, et soit
tel que
B/tB
soit normal. Soit
finie int&gre normale, contenant
(i)
L'alg&bre
en l e s p o i n t s
B'/tB'
Alors
1
B'
pas 4tale, soit
B
est @tale en les points de codimen-
dim B/th ~ I
x
Speo B
en
B'/B
x
B'/B
n'est pas @tale~ et soit
, Alors
) , on a
C-alg~bre
~ c'est-&-dire~ que
Spec B/tB
. Supposons que
dim B 42,
ne soit
un point maximal de l'ensemble des points de
au-dessus duquel
sont vrais pour la
point de
est cqmp!~tement dScompos@e
B
lent e t normal (EGA IV 7 . 8 . 2
B = C
:
En vertu de (ii), l'assertion est triviale pour
c'est-~-dire pour
neau local de
B-alg~bre
.
est 4tale sur
D@monstration.
Spec B/tB
B/tB
sum
sur
d~e S p e c ( B / t B )
B'
, telle u ~
une
maximaux d__.ee Spec(B/tB)
(ii) L'alg~bre
sion
B
h'
B'
C
l'an-
est encore un anneau excel-
0 / t erad
C' = C @ B B'
est @tale sur
C
, et (i) et (ii)
. On peut donc supposer
B
au-dessus de chaque
, sauf peut-@tre & l'origine. Puisque
199
C
B/tB
est
-
normal
33
(en fair unibranche
l'alg~bre
B'/tB'
est compl&tement
lemme suivant
:
Lemme
Soit
dim
B
Soit
pl~tement
B
mension
que
B'/B
0
x ~X-U
alors,
2
~
I
V(t)
~
3
. On est donc ramen4 au
X
~
d__ee B/tB
Alors
B'
des
x
dim B-I ~ 2
,
(X
soit com-
est 4tale sur
X I = X - [xo] ~ oG
l'ouvert
0 / t £ rad B,
finie normale int&-
(X-U) ~ V(t) =
x ° est le
X
en lesquels
[Zol
est de diil s'ensuit
@tant cat@naire)
, i.e. codim(X-U,X) ~ 2
U '~ l'image inverse de
cat@naire,
U
la relation
codim(X'-U',X') ~
2
dans
X'
,
codim(X-U,X)
(EGA IV 5.6.10
)~
on a
le faisceau de
sa restriction &
et normal ,
B'/tB'
(EGA 0IV 16.2.5 ), donc
dtant normal,
~' = B'
en dehors de l'origi-
B-alg&bre
,
(i) implique que
est d4fini par une @quation,
implique la relation
Soit alors
,
i : U
@tant universellement
X'
~
une
X = Spec B
X' = Spec(B')
X
donc,
X
~
> dim 0X, x
Soit
B'
est @tale. Alors
. Puisque
dim(X-U)
dim B
en dehors de l'origine.
Soient
point ferm6, et soit
l'alg&bre
d4compos@e
, telle que l'alg~bre
ddcompos4e
D@monstration.
la condition
un anneau local excellent
B >w 3 .
gre, contenant
XV.
suffirait),
ne. De plus, on peut supposer
~.~.
-
U
~x-alg~bres
qui d4finit
, alors la formule pr@c@dente
& la formule
200
X'
sur
@quivaut
B.
-
34
-
XV.
_B' ~,. i.(i)
et
3.3
se famine par suite ~ l'@nonc@
question de
B')
Y = Spec(B/tB)
,
X - {Xo}
XI
YI
: Soient
U
,
U'
nonique)
U'
t
comme dane
ouvert de
un revGtement
, alors
i (~)
,
un voisinage
soit compl~tement
d~finissant
B
suivant
@tale de
d4compos@e,
~
(i : U o~ >
(oh il n'est plus
3-3
U
X
d@signant
prof ~X,x ~ 2
signal@e plus haut et ~ EGA IV 5.10.5
,
soit
normal
de
(v)) et
/ B
>
cart@sien d@duit de
lement plat, le foncteur
X
(ou, ce qui
pour
x ~ X-U
±
B
est fid~lement
plat. Soit
X
----->
X
. Puisque
commute au changement
est une alg~bre @tale cur
• On peut donc remplacer
preuver que
U'
qui impliquera
de
X
B
est un revGtement
@videmment
complet.
est fidef
~ prouver que
B
~ (C)
par
d~compos@ de
qu'il se prolonge en un rev@tement
,
U
(ee
~tale
Or cette assertion est main-
imm@diate de la "th@orle de Lefschetz
20t
B
Dans ce cas, nous allons
compl&tement
, et ach~vera la d~monstration).
tenant cons@quence
f
de base
E~A IV 17.7.1
on peut suppoeer
est
. Alors
EGA IV 2.3.1, et on est ramen~
c'est-~-dire,
ca-
se prolonge en un rev@-
est le compl@t~ de
U
le diagramme
~u,-alg&bres
X)
Speo
(EGA IV 7.8.3
dans
l'immersion
6tale sur
U'
,
dent la restriction
le faisoeau de
est une Alg~bre eoh@rente
X'
X = Spec(B)
YI = Y - {xel
revient au mGme, grace ~ la relation
tement ,@tale
,
locale"
-
35
SGA 2 X 2.1 (i) et 2.5 ,
-
XV.
comme on constate imm@diatement,
tenu encore une fois de la relation
prof OX~ x >. 2
Remarque
et
3.4. On peut prouver
plus g@n@rales,
B
B
excellent
est normal
sation, grace aux r6sultats
pl6t@ de
B
3.3
en suivant essentiellement
au lieu de supposer
que le compl@t4
3.2
de
pour la topologie
pour
compte
dim~x~=
t J
sous des conditions
la m@me d6monstration
et normal,
I
:
il suffit de supposer
(condition qui est stable par localiEGA IV 7 ) , ou seulement
(tB)-adique
d'un anneau r@gulier.
202
que le com-
soit normal, et quotient
-
4. Appendice
36
-
XV.
: Un crit~re de O-acyclicit4 locale.
Les r@sultats
du prgsent num@ro ne seront plus utilis4s dans la
suite du s@minaire.
Th@or~me 4.1. Soi_..~t g : X ---->
pose
g
Y
un m0rph!sme
plat e t ~ fibres s@parables,
riens rest.
g
iocalement
versellement
iocalement
et
X
de pr@sentation
de
soh@mas.
On sup-
Y
Iocalement
noeth@-
et
finie. Aiors
g
est uni-
O-acyclique.
On peut @videmment
supposer
X
et
Y
dans le cas resp@, de se ramener au cas oG
par la m@thode standard de EGA IV 8,
affines,
ce ~ui permet,
Y
X
donc
utilisant
est noeth@rien,
ici EGA IV 9.7.7.
peut donc se borner & prouver le premier @nonc@. L'hypoth&se
stable par changement
du passage & la limite
O-acyclique,
g
(ii), & prouver que
g
strictement
4.2. Bolt
discret. Alors
g
g : X
1.17
compte tenu
est localement
& prouver que si
local, alors les fibres g4om@triques
>
Y
un morphisme
est universellement
On peut supposer que
Y
de
localement
sch@mas, a vec
O-aoyclique.
est le spectre d'un corps parfait
VIII 1.1
. D'autre part, on peut supposer
projective
de schgmas affines de type fini sur
1.13
g
4tant
sont connexes. Or c'est ce que dit EGA IV 18.9.8.
Corollaire
Y
1.13
et pour ceci on est ramen@ par
on suppose de plus
de
de base de type fini, on est r@duit,
On
(ii) on est ramen@ au cas o~
203
X
X
affine,
k
k
donc limite
, et compte tenu de
est de type fini sur
k
. En-
-
fin, on peut @videmment
puisqus
k
37
-
supposer
est parfait.
4.3. Supposons que
conditions
de
ou de
on suppose de plus que
soit universellement
X
r@duit~
g
g
soit sur~ectif,
4.2
;dans
g
sur
¢.I.
st satisfasse aux
le cas non resp@ de
est, soit quasi-compact
ouvert. Alors
effective universelle
donc s@parable
La conclusion rSsulte alors de
Corollaire
4.1
XV.
4.1
e t suasi-s@parS,
est un morphisme
de descento
pour la cat@gorie fibr@e des faisoeaux
@tales
sur des pr@sch@mas variables.
Dans les cas envisag@s,
r@sulte de ~ I I
9.~
pour la cat@gerie
d'effectivit@~
que
g
est universellement
est un morphisme
fibr@e envisag@e.
X
que
X
Y
la somme disjoints
des
X
l
se recouvre
et quasi-s6par@
ce au raisonnement
VIII 9.4.1
de
que pour un morphisme
de
g~(F)
de base
Remar%ues
(F
>
Y
sur
Y
quasi-compact
Y
. Rempla@ant
X
affine,
X
par
a
. On conclut alors grale fait
et quasi-sSpar@
g
XVI 1.1
, la formation
X) commute ~ tout changement
qui est localement
O-acyclique.
d.~.
a) On obtient ainsi la dgmonstration(qui
suspens)
pour la question
par un hombre fini d'ou-
, en utilisant
un faisoeau @tale sur
Y'
de desaente universelle
, on peut alors suppossr
fortiori quasi-compact
et il
affine. On volt de plus, darts
dent los images recouvrent
l
submersif
Cela nous permet,
de nous borner au cas
chacun des cas envisag@s,
verts affines
g
de
VIII 9.4
tration diffSrente
avait @t4 laiss@e
d), comme cas particulier
plus facile,
n'utilisant
204
en
de 4.3° Une dSmons-
pas le r@sultat assez d@-
38
-
-
xv.
s'obtiendrait
licat de EGA IV 18.9.8,
en notant qua grace ~
on peut se borner au oas du morphisme
Spec(K)
par une extension de corps
Spec(K)
localement
O-aeyclique
ment acyclique
dans
pour
K/k
sur
~=
, or
Spec(k)
IP- ~p]
,
--->
VIII 9.1
Spec(k)
induit
est universellement
, car il est mGme universellep ~ car k
, comma on verra
XVI 1.5.
b) On ignore si tout morphisme quasi-compact
surjectif et localement
(-1)-acyclique)
(-1)-acyclique
est un morphisme
e~ quasi-s@par@,
(ou universellement
de descente
effective
localement
pour la cat~-
gorie fibr~e des faisceaux @tales sur des pr@sch@mas variables,
@nonc@ semble assez plausible,
et am@liorerait
4.3
et
Cet
VIII 9-4
c),d).
On le rapprochera de l'~nonc~ d'effectivit~ dans ML~RE, S~m.
Bourbaki
n ° 293, p. 17.
c) II est plausible que sous les conditions
mgme localement
L
, o3
L
acyclique
est l'ensemble
tdristiques r@siduelles
gvidemment
Y
peut montrer
de
pour
L
et localement
k
t~ristique
4.2
,
Y
1-asph@rique
. On peut dans cette question
spectre d'un corps alg@briquemenZ
clos
k
est
pour
nulle, comma on voit en utilisant
205
lorsqu'on
pour les sch@mas de-type fi-
la r@ponse est affirmative
(*) Cf. SGA i XIII.
supposer
, et on
(SGA 1964/65) que la r@ponse est affirmative
.Donc
g
des nombres premiers distincts des carac-
dispose de la r@solution des singularit@s
ni sur
de
lorsque
Y
est de carac-
les r@sultats
de HIROI~F~ (*).