C A C H A N

C A C H A N
Incertitudes et probabilités dans le calcul des structures
Claude Blanzé
Rapport Interne
décembre 2000
LABORATOIRE DE MÉCANIQUE ET TECHNOLOGIE
(E.N.S. CACHAN / C.N.R.S. / Université Paris 6)
61 Avenue du Président Wilson, 94235 CACHAN CEDEX (France)
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Résumé
L’objet de ce rapport est de rappeler brièvement quelques notions de probabi-
lités en insistant sur celles qui sont applicables aux calculs de structures. Quelques
exemples basiques préciseront le propos et une étude bibliographique non exhaus-
tive permettra de donner quelques repères dans ce monde souvent mal connu des
mécaniciens.
Abstract
The object of this report is to present briefly some notions of probability espe-
cially these concerning structural mechanics. Some basics examples will illustrate
the topic and some elements of bibliography will give the reader some ways and
means in a world often misknown for many researchers involved in Mechanical
Science.
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Introduction
L’aspect aléatoire d’un phénomène peut être défini comme une absence de mo-
tif clairement identifiable. Cette caractéristique peut être observée dans de nom-
breux objets définis dans un contexte d’espace et/ou de temps. Deux familles de
sources aléatoires sont généralement introduites :
– Irrégularités inhérentes aux phénomènes observés et dont la caractérisation
déterministe est impossible : Principe d’Incertitude de la mécanique quan-
tique, théorie cinétique des gaz.
– Manque de connaissances des phénomènes mis en jeu : cela peut concerner
le modèle (les équations associées) ou les paramètres du modèle comme
la valeur d’un coefficient matériau en un point de l’espace, ainsi que les
entrées du modèle comme les effets d’un séisme (aléatoires) sur un bâtiment
(de comportement déterministe).
Dans une première partie, on effectuera quelques rappels de base sur les no-
tions d’espace de probabilités, de variables aléatoires puis de processus stochas-
tiques, puis dans une deuxième partie, on examinera comment les incertitudes
d’un calcul de structures peuvent être modélisées par des variables aléatoires (ou
des processus stochastiques), comment la réponse peut être calculée et enfin com-
ment elle peut être interprétée à l’aide de critères de performance (notion de fia-
bilité). Cette partie comportera quelques exemples caractéristiques empruntés à la
littérature.
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Première partie
Rappels de probabilités
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La théorie des probabilités, branche des mathématiques, fournit un cadre ri-
goureux permettant l’analyse des phénomènes aléatoires ou incertains (random
phenomena). Cette première partie n’a pas la prétention de l’exhaustivité : pour
une approche plus importante de la théorie des probabilités, il existe d’excellents
ouvrages de référence [Grimmette et Stirzaker 91][Metivier 89].
Considérons une expérience répétée un certain nombre de fois dans des condi-
tions identiques (aussi précisément que possible) et intéressons nous aux résultats :
Si les résultats de mesures sont identiques, le processus sera qualifié de détermi-
niste sinon, si les résultats diffèrent, le processus sera qualifié d’aléatoire.
Exemples de processus aléatoire : le jet d’une pièce de monnaie, le nombre de
jours sans panne d’une machine, les efforts aérodynamiques sur une aile d’avion,
le tir sur une cible circulaire...
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