1 RACINES CARREES (Partie 1) La devise pythagoricienne était « Tout est nombre » au sens de nombres rationnels (quotient de deux entiers). L'erreur des pythagoriciens est d'avoir toujours nié l'existence des nombres irrationnels. Par la diagonale d'un carré de côté 1, ils trouvent le nombre inexprimable 2 qui étonne puis bouleverse les pythagoriciens. Dans un carré d'une telle simplicité niche un nombre indicible et jamais rencontré jusqu'alors. Cette découverte doit rester secrète pour ne pas rompre le fondement même de la Fraternité pythagoricienne jusqu'à ce qu'un des membres, Hippase de Métaponte, trahisse le secret. Celui-ci périra "curieusement" dans un naufrage ! Origine du symbole : IIe siècle : l12 = côté d’un carré d’aire 12 (l comme latus = côté en latin) 1525, Christoph RUDOLFF, all. : v12 (vient du r de racine) XVIe siècle, Michael STIFEL, all. : 12 (combinaison du « v » de Rudolff et de la barre « » ancêtre des parenthèses) I. La famille des racines carrées 1) Définition Exemples : 32 = 9 donc 9 = 3 2,62 = 6,76 donc 6,76 = 2,6 La racine carrée de a est le nombre (toujours positif) dont le carré est a. Remarque : -5 = ? La racine carrée de -5 est le nombre dont le carré est -5. Un nombre au carré est toujours positif (règle des signes), donc la racine carrée d’un nombre négatif est impossible. -5 n’existe pas ! 2) Quelques nombres de la famille des racines carrées 0=0 1=1 2 ≈ 1,4142 3 ≈ 1,732 (nombres ni décimaux, ni rationnels !) ayachour.math.free.fr 2 3) Racines de carrés parfaits 4=2 9=3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10 121 = 11 144 = 12 169 = 13 4) Racines carrées d’un nombre au carré Exemples : 32 = 9 = 3 52 = 25 = 5 92 = 81 = 9 Pour un nombre positif a, a2 = a La racine « annule » le carré. II. Opération sur les racines carrées 1) Exemples a b 9 25 36 16 4 16 a 3 5 6 b 4 2 4 a+ b 7 7 10 a- b -1 3 2 ax b 12 10 24 a/ b 0,75 2,5 1,5 a+b 5 ≈5,4 ≈7,2 2) Formules ax b= axb Attention : Les « non-formules » : a = b a b a+ b ≠ a+b et a– 3) Carré d’une racine carrée ( a) 2 = ax a= axa= a2 = a Pour un nombre positif a, ( a)2 = a Le carré « annule » la racine. ayachour.math.free.fr b ≠ a-b a-b Imp. ≈4,6 ≈4,5 axb 12 10 24 a/b 0,75 2,5 1,5 3 Méthode: Ecrire le plus simplement possible : A= D= G= 32 x 2 B= 3x 98 2 32 10 80 A = 32 x 2 = B = 3 x 27 = C= 3x3x 98 D= = 2 50 E= = 72 E= 64 = 8 81 = 9 36 = 9 x 27 50 72 C = 3 x 36 x 3 F = (4 5)2 36 = 3 x 6 = 18 49 = 7 25 25 5 = = 36 36 6 F = 16 x( 5)2 = 16 x 5 = 80 32×10 = 80 G= 4=2 4) Extraire un carré parfait Méthode: Ecrire sous la forme a b, avec a et b entiers et b étant le plus petit possible : A= 72 A= 72 B = 45 C = 3 125 = 9x8 ←on fait « apparaître » dans 72 un carré parfait = 9x 8 ←on extrait cette racine avec la formule =3x 8 =3x 4x2 =3x ←on simplifie la racine du carré parfait ←on recommence si possible 4x 2 =3x2x 2 =6 2 B= 9x5=3 5 ←on s’arrête, 2 ne « contient » pas de carré parfais C = 3 25 x 5 = 3 x 5 5 = 15 5 ayachour.math.free.fr 4 Remarque : Pour que b soit le plus petit possible, b ne doit pas contenir de carré parfait. III. Application à la résolution d’équations Exemple : Résoudre l’équation x 2 5 x2 5 x2 5 0 ( x 5 )( x 5 ) 0 Un produit de facteur est nul si l’un au moins des facteurs est nul. x 5 0 ou x 5 ou S 5; 5 x 5 0 x 5 Les solutions de l’équation x2 = a sont – a et a. Dans la pratique, on applique directement la propriété ! Activité de groupe : T.P. ayachour.math.free.fr