Modèle mathématique.

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RACINES CARREES (Partie 1)
La devise pythagoricienne était « Tout est nombre » au sens de nombres rationnels (quotient de
deux entiers).
L'erreur des pythagoriciens est d'avoir toujours nié l'existence des nombres irrationnels.
Par la diagonale d'un carré de côté 1, ils trouvent le nombre inexprimable 2 qui étonne puis
bouleverse les pythagoriciens. Dans un carré d'une telle simplicité niche un nombre indicible et
jamais rencontré jusqu'alors. Cette découverte doit rester secrète pour ne pas rompre le
fondement même de la Fraternité pythagoricienne jusqu'à ce qu'un des membres, Hippase de
Métaponte, trahisse le secret. Celui-ci périra "curieusement" dans un naufrage !
Origine du symbole :
IIe siècle : l12 = côté d’un carré d’aire 12 (l comme latus = côté en latin)
1525, Christoph RUDOLFF, all. : v12 (vient du r de racine)
XVIe siècle, Michael STIFEL, all. : 12 (combinaison du « v » de Rudolff et de la barre «
» ancêtre des
parenthèses)
I. La famille des racines carrées
1) Définition
Exemples : 32 = 9 donc 9 = 3
2,62 = 6,76 donc 6,76 = 2,6
La racine carrée de a est le nombre (toujours positif) dont le carré est a.
Remarque :
-5 = ?
La racine carrée de -5 est le nombre dont le carré est -5.
Un nombre au carré est toujours positif (règle des signes), donc la racine carrée d’un nombre
négatif est impossible.
-5 n’existe pas !
2) Quelques nombres de la famille des racines carrées
0=0
1=1
2 ≈ 1,4142
3 ≈ 1,732
(nombres ni décimaux, ni rationnels !)
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2
3) Racines de carrés parfaits
4=2
9=3
16 = 4
25 = 5
36 = 6
49 = 7
64 = 8
81 = 9
100 = 10
121 = 11
144 = 12
169 = 13
4) Racines carrées d’un nombre au carré
Exemples :
32 = 9 = 3
52 = 25 = 5
92 = 81 = 9
Pour un nombre positif a, a2 = a
La racine « annule » le carré.
II. Opération sur les racines carrées
1) Exemples
a
b
9
25
36
16
4
16
a
3
5
6
b
4
2
4
a+ b
7
7
10
a- b
-1
3
2
ax b
12
10
24
a/ b
0,75
2,5
1,5
a+b
5
≈5,4
≈7,2
2) Formules
ax
b= axb
Attention :
Les « non-formules » :
a
=
b
a
b
a+ b ≠
a+b
et
a–
3) Carré d’une racine carrée
( a) 2 =
ax
a= axa=
a2 = a
Pour un nombre positif a, ( a)2 = a
Le carré « annule » la racine.
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b ≠
a-b
a-b
Imp.
≈4,6
≈4,5
axb
12
10
24
a/b
0,75
2,5
1,5
3
Méthode:
Ecrire le plus simplement possible :
A=
D=
G=
32 x
2
B= 3x
98
2
32  10
80
A = 32 x 2 =
B = 3 x 27 =
C= 3x3x
98
D=
=
2
50
E=
=
72
E=
64 = 8
81 = 9
36 = 9 x
27
50
72
C = 3 x 36 x
3
F = (4 5)2
36 = 3 x 6 = 18
49 = 7
25
25 5
=
=
36
36 6
F = 16 x( 5)2 = 16 x 5 = 80
32×10
=
80
G=
4=2
4) Extraire un carré parfait
Méthode:
Ecrire sous la forme a b, avec a et b entiers et b étant le plus petit
possible :
A=
72
A=
72
B = 45
C = 3 125
=
9x8
←on fait « apparaître » dans 72 un carré parfait
=
9x 8
←on extrait cette racine avec la formule
=3x
8
=3x 4x2
=3x
←on simplifie la racine du carré parfait
←on recommence si possible
4x 2
=3x2x 2
=6 2
B=
9x5=3 5
←on s’arrête, 2 ne « contient » pas de carré parfais
C = 3 25 x 5 = 3 x 5 5 = 15 5
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Remarque :
Pour que b soit le plus petit possible, b ne doit pas contenir de carré parfait.
III. Application à la résolution d’équations
Exemple :
Résoudre l’équation x 2  5
x2  5
x2  5  0
( x  5 )( x  5 )  0
Un produit de facteur est nul si l’un au moins des facteurs est nul.
x  5  0 ou
x 5

ou
S   5; 5
x 5 0
x 5

Les solutions de l’équation x2 = a
sont – a et a.
Dans la pratique, on applique directement la propriété !
Activité de groupe : T.P.
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