Divers aspects axiomatiques en mathématiques

Divers aspects axiomatiques
en math´ematiques
Th. Raoux
Ann´ee 2006-2007, 1er semestre

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Introduction
On a l’habitude de r´epartir les sciences, c’est-`a-dire les activit´es li´ees `a la connaissance,
selon deux grandes cat´egories, les sciences exactes, et les sciences humaines. Cette distinc-
tion est le fruit d’une longue ´evolution historique et culturelle, et ne se laisse pas r´eduire `a
un unique crit`ere. Cependant, lorsque l’on cherche `a pr´eciser ce qui distingue les sciences
exactes des autres, c’est en g´en´eral l’usage du raisonnement hypoth´etico-d´eductif qui est
mis en avant.
En fait, ce terme recouvre, selon le contexte, deux sens bien diff´erents. Les identifier
permettra de mieux comprendre la place sp´ecifique des math´ematiques au sein des sciences
exactes. Et pour ce faire, il est utile de pr´eciser les deux notions suivantes.
Raisonnement inductif et raisonnement d´eductif
Le raisonnement inductif consiste `a conclure, `a partir de l’observation d’un ensemble
de faits identiques, que ces faits sont l’expression d’une loi g´en´erale.
Exemple : apr`es s’ˆetre piqu´e plusieurs fois en se frottant `a des orties, un enfant se
convainc que toutes les orties piquent.
Le raisonnement d´eductif consiste `a pr´edire, `a partir d’une loi g´en´erale connue a
priori, une propri´et´e concernant une situation particuli`ere relevant de cette loi g´en´erale.
Il se ram`ene souvent `a l’usage d’un syllogisme, comme dans le c´el`ebre exemple suivant.
Exemple : Tous les hommes sont mortels ; or Socrate est un homme ; donc Socrate
est mortel.
Ces deux modes de raisonnement sont au coeur de toute activit´e scientifique, mˆeme si
le premier ´evoque plutˆot l’aspect exp´erimental et le second la rigueur logique. D’ailleurs,
dans le deuxi`eme exemple, la loi g´en´erale utilis´ee pour ce raisonnement d´eductif (”Tous
les hommes sont mortels”) provient en d´efinitive d’un raisonnement de type inductif (c’est
par l’observation de ses semblables que tout ˆetre humain s’en convainc !).
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Raisonnement hypoth´etico-d´eductif : les deux significations
Cette expression est utilis´ee, dans des contextes diff´erents, pour d´esigner deux types
de d´emarches.
Dans le cadre des sciences exp´erimentales, elle recouvre la d´emarche suivante :
1 On effectue une observation. Exemple : J’observe un coquelicot rouge.
2 On formule l’hypoth`ese (ou la Exemple : J’´emets l’hypoth`ese
conjecture) que cette observation est que tous les coquelicots sont rouges
la manifestation d’une loi g´en´erale.
3 On v´erifie cette loi par de Exemple : Je recherche un grand nombre
nouvelles observations. de coquelicots, pour v´erifier s’ils sont rouges.
Remarques : l’´etape 2 rel`eve d’un raisonnement inductif. A l’´etape 3, la validation
exp´erimentale n’est jamais r´eellement d´efinitive. En revanche, il suffit d’une seule observa-
tion contraire pour invalider l’hypoth`ese, et ce de mani`ere d´efinitive (par un raisonnement
d´eductif).
Dans le cadre de la logique et des math´ematiques, elle s’applique au raisonnement
suivant :
1 On dispose d’un certain nombre de propri´et´es, suppos´ees vraies a priori.
2 On en d´eduit de nouvelles propri´et´es en respectant des r`egles logiques.
Remarque : l’´etape 2 est ici typiquement d´eductive.
La d´emarche axiomatique et les math´ematiques
Au sein des sciences exactes, les math´ematiques se distinguent par l’usage syst´ematique
qu’elles font du raisonnement hypoth´etico-d´eductif, dans la deuxi`eme acception du terme
mentionn´ee ci-dessus.
Ainsi, une th´eorie math´ematique achev´ee se pr´esente g´en´eralement sous la forme sui-
vante : on d´efinit des objets de base (appel´es notions premi`eres ou termes primitifs) et
des r`egles r´egissant leurs relations (les axiomes), puis on en d´eduit de nouvelles propri´et´es,
auxquelles on attribue le nom de th´eor`eme,proposition,lemme... selon l’importance que
l’on d´esire leur accorder.

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Dans ce contexte, le raisonnement hypoth´etico-d´eductif peut ˆetre pris comme syno-
nyme de d´emarche axiomatique.
Cette conception de l’activit´e math´ematique, qui est le r´esultat d’une longue ´evolution
historique, est quelque chose de relativement r´ecent, mˆeme si on peut consid´erer que
les premi`eres pr´eoccupations de ce type remontent `a l’antiquit´e grecque, avec les ´ecrits
d’Euclide.
But et plan de ce cours
Il s’agit de pr´esenter des exemples de probl`emes li´es `a ces pr´eoccupations axiomatiques,
en pr´ecisant dans la mesure du possible leur cadre historique. On en profitera ´egalement
pour consolider la pratique de certains outils math´ematiques classiques.
Plan (pr´ evu)
Ch. 1 : G´eom´etries euclidienne et non euclidiennes
Ch. 2 : Notions de logique
Ch. 3 : Construction axiomatique de N, puis de Zet Q.