Divers aspects axiomatiques en mathématiques

Divers aspects axiomatiques
en mathématiques
Th. Raoux
Année 2006-2007, 1er semestre
2
Introduction
On a l’habitude de répartir les sciences, c’est-à-dire les activités liées à la connaissance,
selon deux grandes catégories, les sciences exactes, et les sciences humaines. Cette distinction est le fruit d’une longue évolution historique et culturelle, et ne se laisse pas réduire à
un unique critère. Cependant, lorsque l’on cherche à préciser ce qui distingue les sciences
exactes des autres, c’est en général l’usage du raisonnement hypothético-déductif qui est
mis en avant.
En fait, ce terme recouvre, selon le contexte, deux sens bien différents. Les identifier
permettra de mieux comprendre la place spécifique des mathématiques au sein des sciences
exactes. Et pour ce faire, il est utile de préciser les deux notions suivantes.
Raisonnement inductif et raisonnement déductif
Le raisonnement inductif consiste à conclure, à partir de l’observation d’un ensemble
de faits identiques, que ces faits sont l’expression d’une loi générale.
Exemple : après s’être piqué plusieurs fois en se frottant à des orties, un enfant se
convainc que toutes les orties piquent.
Le raisonnement déductif consiste à prédire, à partir d’une loi générale connue a
priori, une propriété concernant une situation particulière relevant de cette loi générale.
Il se ramène souvent à l’usage d’un syllogisme, comme dans le célèbre exemple suivant.
Exemple : Tous les hommes sont mortels ; or Socrate est un homme ; donc Socrate
est mortel.
Ces deux modes de raisonnement sont au coeur de toute activité scientifique, même si
le premier évoque plutôt l’aspect expérimental et le second la rigueur logique. D’ailleurs,
dans le deuxième exemple, la loi générale utilisée pour ce raisonnement déductif (”Tous
les hommes sont mortels”) provient en définitive d’un raisonnement de type inductif (c’est
par l’observation de ses semblables que tout être humain s’en convainc !).
3
4
Raisonnement hypothético-déductif : les deux significations
Cette expression est utilisée, dans des contextes différents, pour désigner deux types
de démarches.
Dans le cadre des sciences expérimentales, elle recouvre la démarche suivante :
1
On effectue une observation.
Exemple : J’observe un coquelicot rouge.
2
On formule l’hypothèse (ou la
conjecture) que cette observation est
la manifestation d’une loi générale.
Exemple : J’émets l’hypothèse
que tous les coquelicots sont rouges
3
On vérifie cette loi par de
nouvelles observations.
Exemple : Je recherche un grand nombre
de coquelicots, pour vérifier s’ils sont rouges.
Remarques : l’étape 2 relève d’un raisonnement inductif. A l’étape 3, la validation
expérimentale n’est jamais réellement définitive. En revanche, il suffit d’une seule observation contraire pour invalider l’hypothèse, et ce de manière définitive (par un raisonnement
déductif).
Dans le cadre de la logique et des mathématiques, elle s’applique au raisonnement
suivant :
1
On dispose d’un certain nombre de propriétés, supposées vraies a priori.
2
On en déduit de nouvelles propriétés en respectant des règles logiques.
Remarque : l’étape 2 est ici typiquement déductive.
La démarche axiomatique et les mathématiques
Au sein des sciences exactes, les mathématiques se distinguent par l’usage systématique
qu’elles font du raisonnement hypothético-déductif, dans la deuxième acception du terme
mentionnée ci-dessus.
Ainsi, une théorie mathématique achevée se présente généralement sous la forme suivante : on définit des objets de base (appelés notions premières ou termes primitifs) et
des règles régissant leurs relations (les axiomes), puis on en déduit de nouvelles propriétés,
auxquelles on attribue le nom de théorème, proposition, lemme... selon l’importance que
l’on désire leur accorder.
5
Dans ce contexte, le raisonnement hypothético-déductif peut être pris comme synonyme de démarche axiomatique.
Cette conception de l’activité mathématique, qui est le résultat d’une longue évolution
historique, est quelque chose de relativement récent, même si on peut considérer que
les premières préoccupations de ce type remontent à l’antiquité grecque, avec les écrits
d’Euclide.
But et plan de ce cours
Il s’agit de présenter des exemples de problèmes liés à ces préoccupations axiomatiques,
en précisant dans la mesure du possible leur cadre historique. On en profitera également
pour consolider la pratique de certains outils mathématiques classiques.
Plan (prévu)
Ch. 1 : Géométries euclidienne et non euclidiennes
Ch. 2 : Notions de logique
Ch. 3 : Construction axiomatique de N, puis de Z et Q.
6
Table des matières
I
Géométries euclidienne et non euclidiennes
1
Les Éléments d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Une œuvre originale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Les principes premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Quelques propositions du Livre 1 . . . . . . . . . . . .
2
Le cinquième postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Quelques propositions déduites du 5e postulat . . . . .
2.2
Un postulat riche de conséquences . . . . . . . . . . .
2.3
Vers les géométries elliptiques et hyperboliques . . . .
3
La géométrie de la sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Sphères de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Distance sur la sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Cercles sur la sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4
Angles sur la sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5
Propriétés des triangles sphériques . . . . . . . . . . .
3.6
Comparaison avec les axiomes d’Euclide . . . . . . . .
4
La géométrie elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Les points du plan elliptique . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Les droites du plan elliptique . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Distance dans le plan elliptique . . . . . . . . . . . . .
5
La géométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Droites et cercles orthogonaux du plan euclidien . . .
5.2
Le demi-plan de Poincaré et les droites hyperboliques
5.3
Angles et distances dans H . . . . . . . . . . . . . . .
5.4
Cercles de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5
Triangles de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Axiomatisation de la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . .
II Logique et mathématiques
1
Quelques éléments de logique classique . . . . . . . .
1.1
Négation, disjonction, conjonction . . . . . .
1.2
Implication et équivalence . . . . . . . . . . .
1.3
Tautologies, antinomies . . . . . . . . . . . .
1.4
Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5
Lien avec la théorie (intuitive) des ensembles
7
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8
TABLE DES MATIÈRES
2
3
Axiomatisation de la théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Non-contradiction de l’arithmétique : théorèmes de Gödel . . . . . . . . . . 46
III Construction des ensembles de nombres N, Z et Q
1
Construction de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Construction de l’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Construction de la multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Construction de la relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
Différentes formulations du principe de récurrence . . . . . . . . . .
2
Relations d’équivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Lien avec les partitions d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Construction de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Définition de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Addition dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4
Écriture canonique des entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5
Différence de deux entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6
Multiplication dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7
Relation d’ordre sur Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Construction de Q (cette partie n’a pas été traitée en cours) . . . . . . . .
4.1
Définition de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Multiplication dans Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Addition dans Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
Relation d’ordre sur Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
47
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64
Chapitre I
Géométries euclidienne et non
euclidiennes
1
1.1
Les Éléments d’Euclide
Une œuvre originale
On sait peu de choses sur Euclide. Il vivait à l’articulation des 4e et 3e siècles avant
J.C. dans la ville d’Alexandrie, et aurait étudié à l’Académie de Platon à Athènes. Il est
surtout connu pour être l’auteur des Éléments et c’est à ce titre qu’il nous intéresse ici.
Cet ouvrage se compose de treize livres. Les Livres 1 à 4 traitent de géométrie plane,
les Livres 5 à 9 de la théorie des proportions et d’arithmétique, le Livre 10 aborde les
grandeurs incommensurables (c’est-à-dire ce qui a trait aux nombres irrationnels) et les
Livres 11 à 13 sont consacrés à la géométrie dans l’espace.
Les Éléments ne constituent pas une somme du savoir mathématique de l’époque. Ils
n’abordent pas, par exemple, certains grands problèmes que se posaient les géomètres
grecs (quadrature des surfaces, duplication du cube, trisection de l’angle). L’originalité de
ce livre réside surtout dans l’organisation des faits et concepts, construits de façon logique
et déductive, à partir d’un ensemble de notions clairement énoncées au début du texte.
Bien des résultats mathématiques étaient connus auparavant dans le monde grec (pensez que Thalès a vécu au 7e siècle avant J.C. et Pythagore au 6e siècle avant J.C.), sans
parler des sources babyloniennes et égyptiennes ni des mathématiques chinoises et indiennes. Il n’empêche que la nature des travaux d’Euclide en fait probablement le premier
acteur de ce mouvement général qui conduira à l’axiomatisation des mathématiques. Et ses
Éléments ont constitué une référence et une source d’inspiration pour les mathématiciens
durant pratiquement deux mille ans.
1.2
Les principes premiers
La construction des Éléments montre bien la volonté d’Euclide de fonder ses résultats
sur une démarche déductive. Il commence ainsi en énonçant des Définitions (c’est-à-dire
9
10
CHAPITRE I. GÉOMÉTRIES EUCLIDIENNE ET NON EUCLIDIENNES
les notions premières de sa théorie) puis ce qu’il appelle des Demandes et des Notions
Communes, qui correspondent à ce que nous appellerions les axiomes.
Les voici reproduites (dans la traduction de Bernard Vitrac [EUC]).
Définitions
1. Un point est ce dont il n’y a aucune partie
2. Une ligne est une longueur sans largeur
3. Les limites d’une ligne sont des points
4. Une ligne droite est celle qui est placée de manière égale par rapport aux
points qui sont sur elle.
5. Une surface est ce qui a seulement longueur et largeur.
6. Les limites d’une surface sont des lignes.
7. Une surface plane est celle qui est placée de manière égale par rapport aux
droites qui sont sur elle.
8. Un angle plan est l’inclinaison, l’une sur l’autre, dans un plan, de deux lignes
qui se touchent l’une l’autre et ne sont pas placées en ligne droite.
9. Et quand les lignes contenant l’angle sont droites, l’angle est appelé rectiligne.
10. Et quand une droite, ayant été élevée sur une droite, fait les angles adjacents
égaux entre eux, chacun de ces angles égaux est droit, et la droite qui a été
élevée est appelée perpendiculaire à celle sur laquelle elle a été élevée.
11. Un angle obtus est celui qui est plus grand qu’un droit.
12. Un angle aigu est celui qui est plus petit qu’un droit.
13. Une frontière est ce qui est limite de quelque chose.
14. Une figure est ce qui est contenu par quelque ou quelques frontière(s).
15. Un cercle est une figure plane contenue par une ligne, celle appelée circonférence, par rapport à laquelle toutes les droites menées à sa rencontre à
partir d’un unique point parmi ceux qui sont placés à l’intérieur de la figure,
sont jusqu’à la circonférence du cercle égales entre elles.
16. Et le point est appelé centre du cercle.
17. Et un diamètre du cercle est n’importe quelle droite menée par le centre,
limitée de chaque côté par la circonférence du cercle, laquelle coupe le cercle
en deux parties égales.
18. Un demi-cercle est la figure contenue par le diamètre et la circonférence
découpée par lui ; le centre du demi-cercle est le même que celui du cercle.
19. Les figures rectilignes sont les figures contenues par des droites ; trilatères :
celles qui sont contenues par trois droites, quadrilatères par quatre ; multilatères
par plus de quatre.
20. Parmi les figures trilatères est un triangle équilatéral celle qui a les trois
côtés égaux ; isocèle celle qui a deux côtés égaux seulement ; scalène celle qui
a les trois côtés inégaux.
21. De plus, parmi les figures trilatères est un triangle rectangle celle qui a un
angle droit ; obtusangle celle qui a un angle obtus ; acutangle celle qui a les trois
angles aigus.
1. LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE
11
22. Parmi les figures quadrilatères est un carré celle qui est à la fois équilatérale
et rectangle ; est oblongue celle qui est rectangle mais non équilatérale ; un
losange celle qui est équilatérale mais non rectangle ; un rhomboı̈de celle qui
a les côtés et les angles opposés égaux les uns aux autres, mais qui n’est ni
équilatérale ni rectangle ; et que l’on appelle trapèzes les quadrilatères autres
que ceux-là.
23. Des droites parallèles sont celles qui étant dans le même plan et indéfiniment
prolongées de part et d’autre, ne se rencontrent pas, ni d’un côté ni de l’autre.
Demandes
1. Qu’il soit demandé de mener une ligne droite de tout point à tout point.
2. Et de prolonger continûment en ligne droite une ligne droite limitée.
3. Et de décrire un cercle à partir de tout centre et au moyen de tout intervalle.
4. Et que tous les angles droits soient égaux entre eux.
5. Et que, si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs
et du même côté plus petits que deux droits, les deux droites, indéfiniment
prolongées, se rencontrent du côté où sont les angles plus petits que deux
droits.
Notions communes
1. Les choses égales à une même chose sont aussi égales entre elles.
2. Et si, à des choses égales, des choses égales sont ajoutées, les touts sont
égaux.
3. Et si, à partir de choses égales, des choses égales sont retranchées, les restes
sont égaux.
4. Et si, à des choses inégales, des choses égales sont ajoutées, les touts sont
inégaux.
5. Et les doubles du même sont égaux entre eux.
6. Et les moitiés du même sont égales entre elles.
7. Et les choses qui s’ajustent les unes sur les autres sont égales entre elles.
8. Et le tout est plus grand que la partie.
9. Et deux droites ne contiennent pas une aire.
Les définitions reposent sur des notions destinées à être acceptées sans justification, et
appellent peu de commentaires, si ce n’est l’observation que nombre d’entre elles peuvent
paraı̂tre assez obscures : voir par exemple la définition des droites (Def. 4).
Les demandes et les notions communes correspondent au système d’axiomes de la
théorie, c’est-à-dire à l’énoncé des règles acceptées au départ comme naturellement évidentes
et ne nécessitant donc pas de justification. Les demandes (que l’on appelle aussi postulats)
sont distinguées par Euclide des notions communes (auxquelles la tradition réserve parfois
le nom d’axiomes). Ces dernières ont en effet pour lui un caractère d’évidence plus fondamental. La 7e et la 9e mises à part, elles énoncent des propriétés d’ordre très général,
tandis que les demandes sont plus spécifiquement géométriques.
La lecture des demandes appelle plusieurs commentaires.
12
CHAPITRE I. GÉOMÉTRIES EUCLIDIENNE ET NON EUCLIDIENNES
Les demandes 1 et 2 expriment la possibilité de tracer un segment de droite joignant
deux points donnés, et de prolonger tout segment d’une longueur arbitraire. La demande 3
affirme que l’on peut tracer un cercle en choisissant n’importe quel point pour centre et
n’importe quel rayon. Ces trois demandes permettent de légitimer les constructions à
la règle et au compas. Celles-ci prennent du même coup une place privilégiée... qu’elles
garderont jusqu’à nos jours (alors que dès l’époque d’Euclide, on savait utiliser des courbes
auxiliaires - notamment les coniques - pour résoudre certains problèmes de construction).
Notons qu’Euclide n’envisage pas les droites comme des objets illimités, et qu’il n’affirme
pas que le segment que l’on peut tracer en vertu de sa première demande soit unique. Il
s’en sert pourtant implicitement ultérieurement.
La quatrième demande complète la définition 10. Celle-ci affirme en effet qu’on appelle
angles droits deux angles adjacents construits sur une droite lorsqu’ils sont égaux. Mais
il n’est pas évident que tous les angles droits définis de cette façon sont bien égaux entre
eux. C’est ce qu’affirme la demande 4.
La cinquième demande, plus connue sous le nom de 5e postulat ou postulat des parallèles
a joué un rôle essentiel dans l’histoire des mathématiques puisque les questions qu’elle a
suscitées ont conduit à la découverte des géométries non euclidiennes. On y reviendra donc
un peu plus loin.
1.3
Quelques propositions du Livre 1
Une fois formulés ces énoncés de base, Euclide entame la démonstration d’un certain
nombre de propositions. A titre d’exemple, voici l’énoncé de la première, ainsi que la
justification qu’en donne Euclide.
Proposition 1.
Sur une droite limitée donnée, construire un triangle équilatéral.
C
D
A
B
E
Soit AB la droite limitée donnée.
Il faut alors construire un triangle équilatéral sur la droite AB.
Que du centre A et au moyen de l’intervalle AB soit décrit le cercle BCD
(Dem. 3), et qu’ensuite du centre B, et au moyen de l’intervalle BA, soit
décrit le cercle ACE (Dem. 3), et que du point C auquel les cercles s’entrecoupent soient jointes les droites CA, CB jusqu’aux points A, B (Dem. 1).
Et puisque le point A est le centre du cercle CDB, AC est égale à AB (Def. 15) ;
ensuite, puisque le point B est le centre du cercle CAE, BC est égale à BA
(Def. 15). Et il a été démontré que CA est égale à AB ; donc chacune des
droites CA, CB est égale à AB ; or les choses égales à une même chose sont
1. LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE
13
aussi égales entre elles (N.C. 1) ; et donc CA est égale à CB ; donc les trois
droites CA, AB, BC sont égales entre elles.
Donc le triangle ABC est équilatéral (Def. 20) et il est construit sur la droite
limitée donnée AB.
Ce qu’il fallait faire.
Il est remarquable que les précisions écrites en gras dans la citation ci-dessus figurent
dans le texte d’Euclide lui-même : elles montrent que son souci est bien de justifier tout
ce qu’il avance à partir de ses définitions et axiomes, donnant une forme très actuelle à
l’usage du raisonnement déductif.
Dans un registre plus anecdotique, sa façon (systématique dans tout l’ouvrage) de
conclure ses preuves par la phrase Ce qu’il fallait faire ou Ce qu’il fallait démontrer (selon
qu’il s’agit d’une construction ou d’une démonstration) a laissé son empreinte jusqu’à nos
jours dans la culture mathématique : c’est l’origine de notre C.Q.F.D (ou du QED, Quod
Erat Demonstrandum, en latin).
En revanche, l’intervention du point C (soulignée dans le texte) soulève un gros
problème de cohérence : aucun des axiomes posés par Euclide ne lui permet de justifier
qu’un tel point existe bien (c’est-à-dire que les deux cercles construits sont bien sécants).
Il ne se soucie pas non plus du nombre de solutions possibles : les questions d’unicité
ne le préoccupent pas vraiment. On peut voir là une faiblesse logique dans le texte des
Éléments... qui s’explique finalement assez bien quand on pense au caractère novateur
qu’avait sa démarche.
Le Livre 1 comporte au total 48 propositions. Les 28 premières, ainsi que la 31e ne font
pas appel au 5e postulat. En voici quelques-unes, formulées en langage moderne (on n’a
pas respecté l’ordre dans lequel elles sont établies ; celui-ci est indiqué par leur numéro !).
Proposition I.11 - On peut construire une droite perpendiculaire à une droite donnée,
passant par un point donné de celle-ci.
Proposition I.13 (angles supplémentaires) - Si C est un point d’un segment AB et
\ et DCB
\ vaut deux
D un point hors de la droite AB, alors la somme des angles ACD
droits.
Proposition I.15 - Lorsque deux droites sont sécantes, les angles opposés par le
sommet sont égaux.
Proposition I.17 - Deux angles quelconques d’un triangle ont une somme strictement
inférieure à deux droits.
Proposition I.23 - À partir d’une demi-droite donnée, on peut construire un angle
égal à un angle donné.
Proposition I.27 - Si une droite
D coupe deux droites D0 et D00 en
déterminant avec ces droites des angles
alternes-internes égaux, alors les deux
droites D0 et D00 sont parallèles.
D
D’
D"
14
CHAPITRE I. GÉOMÉTRIES EUCLIDIENNE ET NON EUCLIDIENNES
Proposition I.31 - Par un point donné, on peut faire passer une parallèle à une droite
donnée.
Il faut bien noter que cette proposition n’affirme pas que la parallèle construite est
unique. Pour ce faire il faudra utiliser le 5e postulat (voir plus loin).
Nous avons vu en TD comment démontrer cette proposition en construisant un angle
égal à un angle donné (c’est-à-dire en utilisant la Proposition 23) pour obtenir des droites
parallèles grâce à la Proposition 27. On a observé à cette occasion une nouvelle faiblesse
de l’axiomatique d’Euclide : le fait de pouvoir placer un point d’un côté ou de l’autre
d’une droite donnée n’est pas mentionné dans les demandes et notions communes, alors
qu’Euclide l’utilise fréquemment.
Les quatre propositions suivantes méritent aussi d’être citées : la première établit
l’inégalité triangulaire.
Proposition I.20 - Dans tout triangle, la somme des longueurs de deux côtés est
supérieure à celle du troisième côté.
Les trois autres sont connues sous le nom de cas d’égalités des triangles. Euclide définit
l’égalité des triangles comme suit : les deux triangles ABC et A0 B 0 C 0 sont égaux (le terme
correct actuel serait plutôt isométriques), si leurs côtés sont égaux deux à deux et si les
angles associés sont égaux deux à deux (par exemple lorsque AB = A0 B 0 , BC = B 0 C 0 ,
CA = C 0 A0 , Â = Â0 , B̂ = B̂ 0 et Ĉ = Ĉ 0 ).
Proposition I.4 (2e cas d’égalité) - Si AB = A0 B 0 , AC = A0 C 0 et Â = Â0 , alors les
triangles ABC et A0 B 0 C 0 sont égaux.
Proposition I.8 (3e cas d’égalité) - Si AB = A0 B 0 , BC = B 0 C 0 et CA = C 0 A0 , alors
les triangles ABC et A0 B 0 C 0 sont égaux.
Proposition I.26 (1er cas d’égalité) - Si BC = B 0 C 0 , B̂ = B̂ 0 et Ĉ = Ĉ 0 , alors les
triangles ABC et A0 B 0 C 0 sont égaux.
2
2.1
Le cinquième postulat
Quelques propositions déduites du 5e postulat
A partir de la Proposition 29, Euclide utilise effectivement pour ses démonstrations sa
demande 5 (ou 5e postulat).
Demande 5 - Et que, si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs
et du même côté plus petits que deux droits, les deux droites, indéfiniment prolongées, se
rencontrent du côté où sont les angles plus petits que deux droits.
2. LE CINQUIÈME POSTULAT
15
On rappelle ici brièvement quelques propositions dont les preuves, utilisant ce 5e postulat,
ont été vues en TD.
Proposition I.29 - Si une droite coupe deux droites parallèles, elle détermine avec
ces droites des angles alternes-internes égaux.
On reconnaı̂t dans cette proposition la réciproque de la Prop. 27.
Proposition I.30 - Deux parallèles à une même droite sont parallèles entre elles.
Cette proposition traduit donc la transitivité du parallélisme, à ceci près que dans les
Éléments, Euclide ne considère que des droites strictement parallèles. Contrairement à
notre pratique actuelle, quand il considère deux objets, il n’envisage jamais qu’ils puissent
être confondus.
On note ici encore une faiblesse dans la preuve d’Euclide : elle consiste à considérer
d’une part deux droites parallèles à une même droite, et d’autre part une quatrième droite
qui coupe les trois premières. Or rien ne permet d’affirmer qu’une telle construction est
possible.
Proposition I.32 - Dans tout triangle, la somme des angles vaut deux droits.
2.2
Un postulat riche de conséquences
Le 5e postulat a attiré l’attention des tout premiers commentateurs d’Euclide : sa
formulation est en effet beaucoup plus compliquée que celle des quatre autres demandes,
et surtout son contenu semble nettement moins évident à admettre.
D’ailleurs l’organisation des Éléments laisse à penser qu’Euclide lui-même donnait à ce
postulat un statut bien particulier. En ne le faisant pas intervenir avant la démonstration
de la 29e proposition, il semble chercher à en différer l’emploi comme s’il l’avait invoqué
à contre-cœur.
Très tôt les mathématiciens grecs, puis arabes (entre les 9e et 13e siècle) et enfin
occidentaux (à partir de la Renaissance) vont essayer de s’en passer. L’histoire de ces
tentatives s’étendra jusqu’au XIXe siècle.
Certains vont tenter de le démontrer à partir des autres axiomes : le 5e postulat
serait alors un axiome redondant, qu’il faudrait ôter pour obtenir un système d’axiomes
indépendants. Ces tentatives seront vaines.
D’autres proposeront de le remplacer par un énoncé jugé plus immédiatement évident,
ce qui revient à construire un nouveau système d’axiomes, équivalent à celui d’Euclide.
Nous avons vu en TD que chacune des propositions I.29, I.30 et I.32 peut être substituée
au 5e postulat pour obtenir un tel système d’axiomes équivalent, et qu’il en est de même
de l’énoncé suivant, beaucoup plus connu et introduit par le mathématicien anglais John
Playfair (1748-1819).
Axiome de Playfair - Par un point donné, on peut faire passer une parallèle et une seule
à une droite donnée.
16
2.3
CHAPITRE I. GÉOMÉTRIES EUCLIDIENNE ET NON EUCLIDIENNES
Vers les géométries elliptiques et hyperboliques
Parmi les nombreux mathématiciens ayant travaillé sur le 5e postulat nous allons en
citer particulièrement trois.
Omar Khayyam (qui fut aussi un grand poète) vécut en Iran entre 1050 et 1122
(environ). Il nous intéresse ici parce qu’en cherchant à prouver le 5e postulat, il a introduit
un raisonnement associé à un quadrilatère « isocèle rectangle », qui se révélera très fécond.
C
D
A
B
Son but était d’établir que si un quadrilatère ABDC a deux angles droits en A et
B, et les côtés AC et BD égaux, alors il a ses quatre angles droits (autrement dit, c’est
un rectangle). Il s’agissait bien entendu de le démontrer sans recourir au 5e postulat, la
validité de celui-ci devant être obtenue par la suite grâce à l’existence de ce rectangle.
Omar Khayyam obtient bien que Ĉ = D̂ (et nous l’avons fait en TD). Mais il ne
parvient pas à obtenir que ces deux angles sont droits (nous l’avons démontré en revanche
en TD en utilisant le 5e postulat).
Cette tentative était vouée à l’échec, car on sait depuis que l’existence d’un rectangle
équivaut au 5e postulat.
Girolamo Saccheri (1677-1733) était italien. Il reprend le raisonnement de Omar
Khayyam (il a d’ailleurs laissé son nom au fameux quadrilatère). Il distingue les trois
cas de figure où les angles Ĉ et D̂ sont droits, aigus ou obtus, et cherche à obtenir une
contradiction en considérant chacun des deux derniers cas.
Il remarque d’abord que s’il existe un quadrilatère de Saccheri ABDC tel que les angles
Ĉ et D̂ soient droits (resp. aigus, obtus), alors tous les quadrilatères de Saccheri partagent
la même propriété. Saccheri nomme ces trois cas de figures hypothèse de l’angle droit,
hypothèse de l’angle aigu et hypothèse de l’angle obtus.
Il élimine l’hypothèse de l’angle obtus en montrant qu’elle conduit à contredire le caractère infiniment long des droites.
En revanche, malgré les nombreuses conséquences qu’il déduit de l’hypothèse de l’angle
aigu, il ne parvient pas à obtenir de contradiction (il en est réduit à conclure son ouvrage
par cette affirmation pittoresque : « l’hypothèse de l’angle aigu est absolument fausse, car
elle répugne à la nature de la ligne droite »).
Johann Heinrich Lambert (1728-1777) était allemand. Il reprend le même type
d’étude, mais en considérant un quadrilatère ayant trois angles droits. Il applique au
quatrième angle chacune des hypothèses de l’angle droit, de l’angle aigu et de l’angle
obtus, et cherche à obtenir une contradiction dans les deux derniers cas. Cela le conduit
aux mêmes conclusions que Saccheri, mais il observe que l’hypothèse de l’angle obtus
conduit à des propositions - certes contradictoires avec la longueur infinie des droites -
3. LA GÉOMÉTRIE DE LA SPHÈRE
17
mais présentant des ressemblances troublantes avec certaines propriétés connues sur la
sphère.
Tous ces travaux déboucheront au XIXe siècle sur les notions de :
- géométrie hyperbolique (associée à l’hypothèse de l’angle aigu), due principalement
au russe Nokolaı̈ Lobatchevski et au hongrois Janos Bolyai ;
- géométrie elliptique (associée à l’hypothèse de l’angle obtus), due au mathématicien
allemand Bernhard Riemann.
Quant au système d’axiomes de la géométrie euclidienne (correspondant bien sûr à
l’hypothèse de l’angle droit), il sera perfectionné par l’allemand David Hilbert : nous
avons observé (notamment à propos des preuves des propositions I.1, I.13 et I.30) que
malgré son grand souci de rigueur, Euclide recourt parfois à des propriétés implicitement
admises, qui auraient nécessité l’introduction d’axiomes supplémentaires.
3
La géométrie de la sphère
Les ressemblances - remarquées par J. H. Lambert - entre les conséquences de l’hypothèse de l’angle obtus et certaines propriétés connues pour la sphère, nous amènent à
préciser quelques propriétés relatives à la géométrie de la sphère. Celle-ci a été étudiée
depuis l’antiquité : en effet elle est liée entre autres aux calculs nécessaires à l’astronomie
de position, c’est-à-dire au repérage des astres sur la voûte céleste et à la description de
leurs mouvements.
3.1
Sphères de l’espace
On note E l’espace usuel (appelé plus savamment espace affine euclidien de dimension 3), et AB la distance (euclidienne !) entre deux points A, B de E. Un point O ∈ E et
un réel positif R étant donnés, on appelle sphère de centre O et de rayon R l’ensemble
S(O, R) = {M ∈ E / OM = R} .
Proposition 3.1 - Intersection d’une sphère et d’un plan. Soient S = S(O, R)
une sphère et P un plan de l’espace E. Notons d la distance du point O au plan P (c’està-dire la distance OH où H est le projeté orthogonal de O sur P.)
√
- si d < R, S ∩ P est le cercle du plan P, de centre H et de rayon R2 − d2 ;
- si d = R, S ∩ P = {H} ;
- si d > R, S ∩ P = ∅.
Preuve - Voir TD (feuille 2, ex. 4).
H
M
P
O
S
18
CHAPITRE I. GÉOMÉTRIES EUCLIDIENNE ET NON EUCLIDIENNES
Le rayon d’un tel cercle d’intersection est donc majoré par le rayon R de la sphère, et il
vaut R si et seulement si le plan passe par le centre de la sphère. Dans ce cas, le cercle est
appelé un grand cercle de la sphère. Les autres seront naturellement appelés petits cercles
de S. Ce sont les grands cercles qui joueront sur la sphère le rôle des droites dans le plan.
3.2
Distance sur la sphère
Soit S = S(O, R) une sphère de E. Deux points de S sont dits diamétralement opposés
ou antipodaux s’ils sont alignés avec le centre de la sphère (et distincts !).
Proposition 3.2 Deux points A et B de S sont antipodaux si et seulement si AB = 2R.
Preuve - Pour tous points A et B (distincts) sur S(O, R), on a AB ≤ AO+OB, avec égalité
si et seulement si O ∈ [AB] (c’est l’inégalité triangulaire). Autrement dit, AB ≤ 2R, avec
AB = 2R si et seulement si O, A, B sont alignés.
2
Proposition 3.3 Soient A et B deux points de S.
S’ils ne sont pas antipodaux, il existe un unique grand cercle de S passant par A et B.
S’ils sont antipodaux, il existe une infinité de grands cercles passant par A et B, qui
admettent tous pour diamètre le segment [AB].
Preuve - Un grand cercle de S passant par A et B est l’intersection d’un plan contenant
A, B et O avec la sphère S.
Dans le premier cas, il existe unique plan passant par A, B et O puisque ces point ne
sont pas alignés (cf figure ci-dessous à gauche).
Dans le second cas, tous les plans contenant la droite (AB) conviennent (cf figure
ci-dessous à droite).
2
A
B
B
θ
O
O
A
Définition - La distance d(A, B) de deux points A et B de S est définie ainsi :
- si A et B ne sont pas antipodaux, d(A, B) est la longueur du plus petit des deux arcs
de grand cercle d’extrémités A et B ;
- si A et B sont antipodaux, d(A, B) est la longueur commune à tous les demi-(grands)
cercles de S d’extrémités A et B, c’est-à-dire πR.
3. LA GÉOMÉTRIE DE LA SPHÈRE
19
Proposition 3.4 Soient S = S(O, R) une
sphère et A, B deux points de S. On a alors
\
d(A, B) = R.AOB.
A
B
R
θ
O
Corollaire 3.5 Sur une sphère de rayon R,
la distance de deux points quelconques est
majorée par πR.
3.3
Cercles sur la sphère
Un point A étant choisi sur une sphère S = S(O, R) et un réel positif r étant fixé, on
peut définir le « cercle » de S, de centre A et de rayon r comme on le fait avec la distance
usuelle dans le plan :
CS (A, r) = {M ∈ S / d(A, M ) = r} .
Pour que cet ensemble ne soit pas vide, il faut bien sûr supposer que r ≤ πR (cf. corollaire 3.5). La proposition suivante permet d’ôter les guillemets autour du mot « cercle ».
Proposition 3.6 Sous les hypothèses précédentes, CS (A, r) est un cercle de E. Son centre
−−→
−→
est le point H défini par OH = cos(r/R) OA, son rayon est R sin(r/R) et il est situé dans
le plan perpendiculaire en H à (OA).
Preuve - Voir TD (feuille 2, ex. 5).
2
Remarques - a) CS (A, r) est donc en général un petit cercle de S, et c’est un grand cercle
π
lorsque r = R.
2
b) On a CS (A, r) = CS (A0 , πR − r), où A0 est le point antipodal de A : un cercle de S
π
admet donc deux centres ! Ces centres sont associés à des rayons distincts... sauf si r = R.
2
3.4
Angles sur la sphère
_
_
On définit l’angle entre deux arcs de grands cercles AB et AC issus d’un point A d’une
sphère comme l’angle (dans E) entre les deux demi-tangentes à ces arcs en A. On notera
f
\ des demi-droites [AB) et [AC) dans
cet angle BAC (à ne pas confondre avec l’angle BAC
f
E). Nous admettrons la caractérisation suivante de BAC.
Proposition 3.7 Soient A, B et C trois points d’une sphère S = S(O, R). L’angle entre
_
_
f
les arcs de grands cercles AB et AC vérifie BAC = B\
0 OC0 , où B0 est le point de S tel que
B0 appartient au plan (ABO), (OB0 ) ⊥ (OA) et B0 est du même côté que B par rapport
à (OA) (C0 est défini de façon analogue, de sorte que le plan (OB0 C0 ) est perpendiculaire
à (OA)).
20
CHAPITRE I. GÉOMÉTRIES EUCLIDIENNE ET NON EUCLIDIENNES
A
α
C
B
O
α
Bo
Co
On en déduit cette importante formule de trigonométrie sphérique.
Proposition 3.8 Soient A, B et C trois points d’une sphère S = S(O, R), et notons α
_
_
l’angle entre les arcs de grands cercles AB et AC. On a alors
\ = cos(AOB).
\ cos(AOC)
[ + cos α. sin(AOB).
\ sin(AOC)
[ .
cos(BOC)
(1)
\ = c, AOC
[ = b et BOC
\ = a, et remarquons que
Preuve - Posons AOB
−−→
−→
−−→
−−→
−→
−−→
OB = cos c . OA + sin c . OB0 et OC = cos b . OA + sin b . OC0 .
A
B
C
c
a b
O
α
Bo
Co
On a alors d’une part
−−→ −−→
OB . OC = OB × OC × cos a = R2 cos a ,
−−→ −→ −−→ −→
et d’autre part (du fait que OB0 ⊥ OA et OC0 ⊥ OA)
−−→ −−→
−→
−−→
−→
−−→
OB . OC = (cos c . OA + sin c . OB0 ) . (cos b . OA + sin b . OC0 )
−−→ −−→
= cos c × cos b × OA2 + sin c × sin b × (OB0 . OC0 )
= R2 (cos c × cos b + sin c × sin b × cos α) .
−−→ −−→
En égalant les deux expressions obtenues pour OB . OC et en simplifiant par R2 , on obtient
la relation cherchée.
2
3. LA GÉOMÉTRIE DE LA SPHÈRE
21
Corollaire 3.9 Trois points quelconques A, B et C d’une sphère satisfont l’inégalité triangulaire :
d(B, C) ≤ d(B, A) + d(A, C) .
\ et sin AOC
[ sont positifs (puisque AOB
\
Preuve - On observe que dans (1) les réels sin AOB
[ sont éléments de [0, π]) et que cos α ∈ [−1, 1]. Il s’ensuit que
et AOC
\ ≥ cos(AOB)
\ cos(AOC)
[ − sin(AOB)
\ sin(AOC)
[ = cos(AOB
\ + AOC)
[ .
cos(BOC)
\ + AOC
[ ≤ π, et alors la décroissance de la fonction cosinus sur [0, π]
- Ou bien AOB
\ ≤ AOB
\ + AOC,
[
entraı̂ne BOC
\
[
\ ≤ AOB
\ + AOC.
[
- ou bien AOB + AOC > π et on a encore BOC
Dans tous les cas, il suffit de multiplier l’inégalité obtenue pour les angles par le rayon
R pour obtenir l’inégalité triangulaire.
2
3.5
Propriétés des triangles sphériques
Dans tout ce paragraphe, S = S(O, R) désigne une sphère de centre O et de rayon R.
Un triangle sphérique d’une sphère S = S(O, R) est déterminé par la donnée de trois
points A, B, C de S, non situés sur un même grand cercle (c’est-à-dire tels que A, B, C,
O ne sont pas coplanaires). Cette condition interdit alors en particulier que deux d’entre
eux soient antipodaux.
Proposition 3.10 Soit ABC un triangle de S. En posant a = d(B, C), b = d(C, A),
f
c = d(A, B) et α = BAC, on a
cos
a
b
c
b
c
= cos . cos + cos α. sin . sin .
R
R
R
R
R
Preuve - C’est une conséquence immédiate des propositions 3.4 et 3.8.
2
Proposition 3.11 - Formule de Girard (1625)
Soit ABC un triangle de S. Notons α, β, γ ses trois angles et A son aire. Alors
α+β+γ =π+
A
.
R2
Pour prouver cette formule, nous introduisons la notion de fuseau.
Definition - On appelle fuseau d’angle α
d’une sphère S la partie de S comprise
entre deux demi-grands cercles de mêmes
extrémités, l’angle entre ces deux arcs étant
égal à α.
A’
α
A
On admet que l’aire d’un tel fuseau est 2αR2 , où R est le rayon de S (on retrouve
cette valeur en admettant que l’aire du fuseau est proportionnelle à l’angle α et en sachant
qu’elle vaut 2πR2 pour la demi-sphère, c’est-à-dire lorsque α = π).
22
CHAPITRE I. GÉOMÉTRIES EUCLIDIENNE ET NON EUCLIDIENNES
Preuve de la Proposition 3.11 - Considérons un triangle ABC de la sphère S, et notons
f
f
f
respectivement α, β et γ les angles BAC, CBA et ACB. On appelle A0 , B 0 et C 0 les
points diamétralement opposés aux points A, B et C. Enfin, M N P désignant un triangle
sphérique quelconque, on notera A(M N P ) son aire et A(S) l’aire de la sphère S.
C
A
α
B’
γ
A’
β
B
C’
Le fuseau de S d’extrémités A, A0 et délimité par les demi-grands cercles passant par
B et C est la réunion des deux triangles ABC et A0 BC, donc
2αR2 = A(ABC) + A(A0 BC) .
On obtient de même en observant le fuseau d’extrémités B et B 0 , réunion des triangles
ABC et AB 0 C :
2βR2 = A(ABC) + A(AB 0 C) .
On procède enfin de même avec le fuseau réunion de ABC et ABC 0 , mais on remplace
l’aire de ABC 0 par celle du triangle A0 B 0 C (ces deux triangles ont même aire car ils sont
symétriques par rapport au centre de la sphère). On trouve
2γR2 = A(ABC) + A(A0 B 0 C) .
Ajoutons membre à membre les trois égalités précédentes, en remarquant que la réunion
des quatre triangles ABC, A0 BC, AB 0 C et A0 B 0 C est une des demi-sphères de frontière le
grand cercle passant par A et B. On a donc A(ABC)+A(A0 BC)+A(AB 0 C)+A(A0 B 0 C) =
A(S)/2 = 2πR2 . Finalement on obtient
2(α + β + γ)R2 = 2A(ABC) + 2πR2 ,
et il suffit de simplifier par 2R2 pour obtenir la formule de Girard.
2
Corollaire 3.12 Sur une sphère, la somme des angles d’un triangle est toujours strictement supérieure à π.
Pour terminer au sujet des triangles sphériques, nous allons énoncer des conditions
d’égalités. On dit (comme pour les triangles plans) que les triangles sphériques ABC et
A0 B 0 C 0 sont égaux si l’on a les six relations

f
f


0 A0 C 0

0
0
BAC
=
B


 d(A, B) = d(A , B )

d(B, C) = d(B 0 , C 0 )
d(C, A) = d(C 0 , A0 )
f
f
CBA = C 0 B 0 A0


f

 f
ACB = A0 C 0 B 0 .
3. LA GÉOMÉTRIE DE LA SPHÈRE
23
Nous admettrons la proposition suivante.
Proposition 3.13 - Cas d’égalité des triangles sphériques
Soient ABC et A0 B 0 C 0 deux triangles d’une sphère S.
A’
A
c’
b
B’
c
b’
a’
C
a
B
C’
Chacune des conditions suivantes est équivalente à l’égalité des triangles ABC et
A0 B 0 C 0 :
a = a0 , b = b0 et c = c0 ;
(i)
(ii)
f
f
A = A0 , b = b0 et c = c0 ;
f
f
f
f
f
f
f
f
(iii)
A = A0 , B = B 0 et c = c0 ;
(iv)
A = A0 , B = B 0 et C = C 0 .
f
f
Remarque - Notez que contrairement au cas euclidien (cf. fin du paragraphe 1.3) l’égalité
des trois angles entraı̂ne l’égalité des triangles (propriété (iv)).
3.6
Comparaison avec les axiomes d’Euclide
Nous avons vu qu’il était naturel de faire jouer aux grands cercles d’une sphère le rôle
dévolu aux droites dans le plan. Voyons ce que deviennent les axiomes de la géométrie
d’Euclide lorsqu’on les adapte aux objets de la sphère. Commençons par le 5e postulat.
Rappelons que l’étude de la sphère que nous venons de mener a été motivée par le
statut des parallèles, c’est-à-dire des droites n’ayant aucun point commun. Dans le cadre
de son système d’axiomes, Euclide montre d’abord qu’il en existe (c’est la Proposition I-31,
établie à l’aide de la Proposition I-27) ; cette preuve n’utilise pas le 5e postulat. Celui-ci
est utilisé ensuite pour établir un certain nombre de propriétés dont on sait qu’elles sont
en fait équivalentes à la Demande 5. Il s’agit par exemple des Propositions I-29 sur
les angles alternes-internes, I-30 (transitivité du parallélisme), I-32 (la somme des angles
d’un triangle vaut deux droits), de l’axiome de Playfair (unicité de la parallèle à une
droite donnée menée par un point donné) ou de l’hypothèse de l’angle droit concernant
les quadrilatères étudiés par Omar Khayyam et Girolamo Saccheri.
Sur la sphère le problème ne se pose pas dans les mêmes termes. En effet, deux grands
cercles de la sphères sont toujours sécants (car deux plans de E passant par le centre O
d’une sphère S ont nécessairement une droite commune... qui coupe S en deux points
antipodaux). Il n’existe donc pas de parallèles ! Les propositions I-29, I-30 et l’énoncé de
Playfair sont ainsi sans objet, tandis que l’on a vu que la somme des angles d’un triangle
24
CHAPITRE I. GÉOMÉTRIES EUCLIDIENNE ET NON EUCLIDIENNES
est toujours plus grande que deux droits (cf Corollaire 3.12) et que les quadrilatères de
Saccheri vérifient l’hypothèse de l’angle obtus (cf TD feuille 3).
Autrement dit, ce sont les Propositions I-27 et I-31 elles-mêmes qui sont mises en
défaut... alors qu’elles ne relèvent pas du 5e postulat. L’explication est que plusieurs autres
axiomes d’Euclide ne sont pas valides sur la sphère. Examinons-les en détail (en adaptant
leur formulation aux objets de la sphère).
Demande 1. Qu’il soit mené un arc de grand cercle de tout point à tout point.
Au premier abord, cette demande est satisfaite (cf Proposition 3.3). En revanche si
on impose que ce grand cercle soit unique (ce qu’Euclide n’écrit pas dans la Demande 1,
mais qu’il considère dans la suite de son texte comme une conséquence de la Notion
Commune 9), ce n’est plus le cas.
Demande 2. Et de prolonger continûment en ligne droite un arc de grand cercle.
Ici encore la formulation semble s’adapter convenablement. Mais n’oublions pas l’usage
qu’en fait Euclide : il s’agit lorsque l’on prolonge un segment de droite, d’en constituer
un nouveau, dont la longueur est la somme de celle du segment de départ et de la partie
prolongée. Cette demande revient donc à affirmer le caractère infiniment long des droites,
et n’est pas satisfaite pour les arcs de grands cercles.
Demande 3. Et de décrire un cercle (sur la sphère) à partir de tout centre et pour
tout rayon.
Cette demande est contredite par le Corollaire 3.5, comme on l’a déjà remarqué au
paragraphe 3.3.
Demande 4. Et que tous les angles droits soient égaux entre eux.
Cette propriété est vérifiée : elle résulte des propriétés des angles que l’on peut définir
entre plans de l’espace E.
Les Notions Communes ne concernent pas spécifiquement les objets géométriques et ne
sont pas touchées par le changement de cadre, exceptée la 9e , qui est utilisée pour traduire
l’unicité du segment de droite évoqué dans la Demande 1. Pour la sphère, elle s’écrirait
ainsi.
Notion Commune 9. Et deux arcs de grands cercles ne contiennent pas une aire.
Ceci est contredit par l’existence des fuseaux de la sphère.
Finalement, il ne subsiste pas beaucoup de propriétés, parmi celles imposées par Euclide ! Ceci explique que la géométrie de la sphère ne peut nous fournir un exemple de
système d’axiomes où tous ceux d’Euclide seraient satisfaits, sauf le 5e postulat. D’ailleurs
Saccheri et Lambert s’étaient déjà aperçus que l’hypothèse de l’angle obtus était incompatible avec la Demande 2 d’Euclide (cf paragraphe 2.3).
Observons quand même ce que donne l’adaptation à la sphère de la
Demande 5. Et que, si un grand cercle coupe deux autres grands cercles en faisant
des angles intérieurs et du même côté plus petits que deux droits, ces deux grands cercles
se rencontrent du côté où sont les angles plus petits que deux droits.
La première partie de la conclusion est immédiatement vérifiée, puisque deux grands
cercles se coupent toujours... mais pas la fin : en effet les deux points d’intersections
(antipodaux) des deux grands cercles seront situés de part et d’autre du premier (sur la
4. LA GÉOMÉTRIE ELLIPTIQUE
25
figure illustrant la preuve de la formule de Girard, remarquez par exemple que les points
C et C 0 sont chacun dans un des hémisphères déterminés par le grand cercle contenant A
et B).
Pour terminer cette étude de la géométrie de la sphère, on peut remarquer que la mise
en défaut des axiomes d’Euclide repose en fait sur deux raisons distinctes :
- la première conduit à contredire les Demandes 2 et 3 : c’est le caractère fini de la
longueur des grands cercles. Elle est fondamentale et est apparue à Saccheri et Lambert
dès qu’ils ont voulu remplacer l’hypothèse de l’angle droit par celle de l’angle obtus.
- la seconde conduit à contredire la Notion Commune 9 (donc l’unicité dans la Demande 1) ainsi que la Demande 5 et permet d’attribuer deux centres à chaque cercle :
c’est le rôle très particulier joué par les points antipodaux. Nous verrons dans la section
suivante qu’on peut s’en affranchir, au prix d’un nouveau changement de cadre, celui de
la géométrie elliptique.
4
La géométrie elliptique
Les concepts de la géométrie elliptique sont d’un maniement assez délicat. Il s’agit ici
d’en donner un simple aperçu. On souhaite résoudre le problème posé par l’existence des
points antipodaux sur la sphère. Pour cela on va remplacer les points de la sphère par des
objets, liés à ces points, mais qui coı̈ncident lorsque les points sont antipodaux.
On fixe un point O de l’espace E, et on appelle S la sphère S(O, 1) de centre O et de
rayon 1.
4.1
Les points du plan elliptique
À chaque point A de S on associe la droite (OA). Par ce procédé, on remplace l’ensemble S des points de la sphère par l’ensemble de toutes les droites passant par O. Cet
ensemble, que l’on notera P, est appelé le plan elliptique. Ainsi, A ∈ P (on dit que A est
un point de P) signifie qu’il existe un point A de S tel que A = (OA). Les points de P
sont les droites de E qui passent par O.
A
B’
O
B
A’
Remarquons que lorsque A et A0 sont des points antipodaux de S, ils définissent la
même droite A = (OA) = (OA0 ) de E, c’est-à-dire le même point de P.
26
4.2
CHAPITRE I. GÉOMÉTRIES EUCLIDIENNE ET NON EUCLIDIENNES
Les droites du plan elliptique
Considérons un grand cercle C de S (rappelons que les grands cercles jouent sur la
sphère le rôle des droites dans le plan). C’est l’intersection de S avec un plan P passant
par O. A chaque point de C est associée par le procédé précédent une droite de P passant
par O.
Il est donc naturel d’associer au cercle C = S ∩ P l’ensemble de toutes ces droites, que
l’on notera DP . Cet ensemble
DP = {(OM ) / M ∈ P} = {(OM ) / M ∈ C}
est appelé une droite de P ou droite elliptique, que l’on l’abrégera également en e-droite.
Proposition 4.1 Soient A et B deux points distincts de P. Il existe une unique droite
elliptique passant par A et B.
Preuve - Considérons deux points A et B de S tels que A = (OA) et B = (OB). Ces
droites, supposées distinctes, ont le point O en commun et sont donc sécantes.
S’il existe une droite DP (associée comme ci-dessus à un plan P de E) passant par A et
B, le plan P doit contenir les deux droites (OA) et (OB). Comme celles-ci sont sécantes,
le seul plan qui les contienne est le plan (AOB) de E. Et celui-ci convient bien, ce qui
achève la preuve.
2
A
O
B’
B
A’
Remarque - Autrement dit, dans P, les points et les e-droites satisfont la Demande 1
d’Euclide, y compris la propriété d’unicité. L’absence de cette propriété sur la sphère est
bien liée à l’existence des points antipodaux.
4.3
Distance dans le plan elliptique
Définition - Soient A et B deux points de P, et A, B deux éléments de S tels que
(OA) = A et (OB) = B. La distance δ(A, B) entre A et B est l’angle des droites (OA) = A
et (OB) = B.
Rappelons (ou précisons) de quoi il s’agit. Si on note A0 le point antipodal de A et B 0 celui
0 OB 0 et AOB
0 OB (ce sont des paires d’angles opposés
\0 = A
\
\ = A\
de B, on a d’une part AOB
5. LA GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE
27
\0 (ce sont des angles supplémentaires).
\ = π − AOB
par le sommet) et d’autre part AOB
\ et
L’angle des droites (OA) et (OB) est par définition le plus petit des deux angles AOB
\0 . C’est donc un élément de [0, π/2].
AOB
A
O
B’
B
A’
Proposition 4.2 Trois points quelconques A, B, C de P satisfont l’inégalité triangulaire :
δ(B, C) ≤ δ(B, A) + δ(A, C) .
Preuve - Soient A, B, C trois points de P. Fixons d’abord A ∈ S tel que A = (OA).
\ = δ(A, B). De même
Notons alors B l’unique point de S tel que (OB) = B et AOB
[ = δ(A, C). On a alors
on désigne par C l’unique point de S tel que (OC) = C et AOC
\ π − BOC),
\ de sorte que
δ(B, C) = min(BOC,
\ ≤ BOA
\ + AOC
[ = δ(B, A) + δ(A, C)
δ(B, C) ≤ BOC
(l’inégalité du milieu résulte du corollaire 3.9).
2
Par ailleurs, il résulte immédiatement de la définition que
∀A ∈ P, ∀B ∈ P,
δ(A, B) ≤
π
.
2
Ainsi la distance entre les points de P est bornée (comme l’était la distance sur la sphère).
Cela entraı̂ne que les Demandes 2 et 3 d’Euclide ne pourront être respectées dans P.
Comme annoncé au paragraphe 3.6, cette différence avec la géométrie plane d’Euclide
est fondamentale : elle est liée au fait que dans P, il n’existe pas de e-droites parallèles
(de même que sur la sphère, tous les grands cercles sont sécants). En effet, deux e-droites
distinctes de P sont associées à deux plans distincts de E, ayant le point O en commun.
Ceux-ci se coupent donc selon une droite (qui passe par O). Cette droite de E est un
élément de P, et c’est l’unique point commun des deux e-droites.
5
La géométrie hyperbolique
Il s’agit de la géométrie construite à partir de l’hypothèse de l’angle aigu introduite
par Girolamo Saccheri. Elle a été développée essentiellement par Nokolaı̈ Lobatchevski et
Janos Bolyai (cf. paragraphe 2.3), de façon axiomatique : ils ont obtenu tout un système
28
CHAPITRE I. GÉOMÉTRIES EUCLIDIENNE ET NON EUCLIDIENNES
logiquement cohérent de propriétés en remplaçant l’hypothèse de l’angle droit par celle de
l’angle aigu, mais n’en ont pas donné de représentation concrète.
Plusieurs mathématiciens ont ensuite proposé des modèles de plans hyperboliques construits à partir d’objets de la géométrie euclidienne (de même que la géométrie de la sphère
a fourni un modèle de géométrie liée à l’hypothèse de l’angle obtus - perfectionné ensuite
par l’introduction du plan elliptique). On peut citer l’Italien Eugenio Beltrami (18351900), l’Allemand Felix Klein (1849-1925) et le Français Henri Poincaré (1854-1912). Nous
présenterons ici l’un de ces modèles, le demi-plan de Poincaré.
Pour cela nous notons P un plan euclidien, et nous commençons par préciser quelques
propriétés des droites et cercles de P.
5.1
Droites et cercles orthogonaux du plan euclidien
Définition - Dans le plan P, on appelle angle entre deux arc de cercles (resp. un arc de
cercle et un segment) de même extrémité A l’angle entre leurs deux demi-tangentes en A
(resp. entre le segment et la demi-tangente à l’arc en A). Sur les deux figures ci-dessous,
cet angle est noté α.
B
C
α
α
B
A
C
A
Définition - Deux cercles (resp. un cercle et une droite) sont dits orthogonaux s’ils se
coupent selon des angles droits.
Proposition 5.1 Un cercle C(O, R) et une droite D de P sont orthogonaux si et seulement
si O ∈ D.
Preuve - Si C(O, R) et D sont orthogonaux, ils sont sécants. Et en désignant par A un des
points communs, D doit être orthogonale à la tangente en A à C(O, R) c’est-à-dire être
confondue avec (OA). Ainsi O ∈ D.
Réciproquement, si D passe par O, elle est sécante au cercle C(O, R). De plus si A
est un des points d’intersection, D = (OA) est orthogonale à la tangente en A à C(O, R).
Ainsi C(O, R) et D sont orthogonaux.
2
Proposition 5.2 Soient C(O, R), C(O0 , R0 ) deux cercles de P. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes.
(i) C(O, R) et C(O0 , R0 ) sont orthogonaux ;
(ii) OO02 = R2 + R02 ;
(iii) C(O, R) et C(O0 , R0 ) sont sécants et leurs points d’intersections sont situés sur le
cercle de diamètre [OO0 ].
5. LA GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE
29
Preuve - (i) ⇒ (ii). Si les cercles C(O, R) et C(O0 , R0 ) sont orthogonaux, ils sont sécants
et leurs tangentes au point commun A sont orthogonales (cf. figure ci-dessous). Il en
est donc de même de leurs rayons (OA) et (O0 A), de sorte que le triangle AOO0 est
rectangle en A. Le théorème de Pythagore entraı̂ne donc OO02 = OA2 + O0 A2 c’est-à-dire
OO02 = R2 + R02 .
A
O
(ii) ⇒ (iii).
O’
Si OO02 = R2 + R02 , on a alors
(R − R0 )2 = R2 + R02 − 2RR0 ≤ OO02 ≤ R2 + R02 + 2RR0 = (R + R0 )2
d’où |R − R0 | ≤ OO0 ≤ R + R0 . Ces deux conditions montrent que les cercles sont sécants.
En appelant A un de leurs points communs, on en déduit puisque OO02 = OA2 + O0 A2
que les rayons (OA) et (O0 A) sont perpendiculaires. Le point A est donc sur le cercle de
diamètre [OO0 ] (matérialisé en pointillé sur la figure).
(iii) ⇒ (i). Si C(O, R) et C(O0 , R0 ) se coupent en deux points situés sur le cercle de
diamètre [OO0 ], notons A l’un deux. Les droites (OA) et (O0 A) sont alors perpendiculaires,
et il en est de même des tangentes en A aux deux cercles : ceux-ci sont bien orthogonaux.
2
5.2
Le demi-plan de Poincaré et les droites hyperboliques
Dans le plan euclidien P, considérons un repère orthonormé R, et D son axe des
abscisses. On appelle demi-plan de Poincaré, ou plan hyperbolique le « demi-plan ouvert
supérieur de frontière D » :
H = {M (x, y) ∈ P, / y > 0} .
La droite D est appelée l’horizon. Les ensembles de points de H qui joueront dans H le
rôle joué par les droites dans P sont appelés les droites hyperboliques ou h-droites de H. Il
y en a de deux sortes :
- les demi-droites incluses dans H, d’origine sur D et perpendiculaires à D,
- les demi-cercles inclus dans H et centrés sur D.
Notez bien que leurs extrémités, situées sur l’horizon D, ne sont pas dans H.
La figure ci-dessous montre plusieurs h-droites de H, d étant du premier type, et toutes
les autres du second type. Remarquez bien que les h-droites d0 et d00 , représentées par des
demi-cercles tangents en P , n’ont pas de point commun (P n’est pas un point de H).
30
CHAPITRE I. GÉOMÉTRIES EUCLIDIENNE ET NON EUCLIDIENNES
d
d’’
d’
D
P
Proposition 5.3 (i) Par deux points distincts de H, il passe une unique h-droite.
(ii) Par un point extérieur à une h-droite donnée, il passe une infinité de h-droites qui
ne la rencontrent pas.
Preuve - (i) Soient A, B deux points distincts de H.
Ou bien (AB) ⊥ D. Il n’existe pas de demi-cercle centré sur D passant par A et B. En
revanche il y a une unique demi-droite d’origine sur D passant par A et B.
B
B
A
A
Ω
D
D
Ou bien (AB) n’est pas perpendiculaire à D. Il n’y a alors pas de demi-droite orthogonale à D contenant A et B. Par ailleurs la médiatrice de [A, B] coupe D en un point Ω.
Le demi-cercle de centre Ω est une h-droite passant par A et B, et c’est la seule.
(ii) La figure ci-dessous illustre la situation dans le cas où la h-droite est une demidroite d orthogonale à D. Les autres cas ont été (ou seront) vus en TD. Notez qu’aucune
des h-droites représentées passant par A - même celle en pointillés - ne rencontre d.
2
d
A
D
Remarques - 1) Cette proposition montre que dans le dei-plan de Poincaré H, la Demande 1 d’Euclide (avec l’unicité) est vérifiée, mais pas l’axiome de Playfair.
2) Avec la terminologie d’Euclide, la propriété (ii) exprime qu’en géométrie hyperbolique, par un point A donné, il passe une infinité de parallèles à une droite d donnée.
5. LA GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE
31
Lobatchevski utilisait ce vocabulaire différemment : ayant remarqué que parmi les hdroites passant par A et ne rencontrant pas d, il en existe toujours deux qui séparent
toutes ces h-droites de celles passant par A et coupant d (cf TD 4), il réservait à ces deux
h-droites particulières le titre de parallèles. Par exemple sur la figure précédente, avec
cette définition, les h-droites parallèles à d issues de A sont le demi-cercle pointillé et la
demi-droite passant par A.
Pour notre part, nous en resterons à la définition d’Euclide en appelant parallèles deux
h-droites quelconques ne se rencontrant pas.
5.3
Angles et distances dans H
Dans le demi-plan de Poincaré, un segment de droite hyperbolique (appelé plus brièvement
segment de h-droite ou h-segment) est
- soit un segment (inclus dans H) d’une droite perpendiculaire à D,
- soit un arc (inclus dans H) d’un cercle centré sur D.
Les notions d’angles et de distances dans H sont liées à des propriétés fondamentales
de la géométrie hyperbolique, non abordées ici. On mentionnera seulement les définitions
suivantes.
Angles de deux h-segments ayant une extrémité commune - C’est l’angle qu’ils
forment dans le plan euclidien P, c’est-à-dire l’angle entre arcs de cercles ou segments défini
à la section 5.1. L’un des intérêts de ce modèle de plan hyperbolique est précisément que
l’angle hyperbolique entre deux h-droites est le même que l’angle euclidien entre les deux
objets qui les représentent dans P (on pourra donc parler d’angles sans autre précision).
On traduit cela en disant que le demi-plan de Poincaré est un modèle conforme de plan
hyperbolique.
Distance de deux points - De même que les grands cercles sur la sphère, les h-droites
jouent dans H le même rôle que les droites dans P. En particulier, la distance entre deux
points de H est la longueur de l’unique h-segment qui les relie. Mais, contrairement à ce
qui se passe pour les angles, cette longueur ne coı̈ncide pas avec la longueur euclidienne
du segment de droite ou de l’arc de cercle correspondant. Plus précisément, soient A et
B deux points de H. La distance hyperbolique entre les points A et B, notée d(A, B) est
définie comme suit :
- si A et B sont sur une même demi-droite perpendiculaire à D on pose
¯
¯ ¯
¯
¯ BP ¯ ¯ yB ¯
¯
¯
¯
¯,
d(A, B) = ¯ln
= ln
AP ¯ ¯ yA ¯
où P est le point de D, extrémité de la demi-droite.
- si A et B sont sur un même demi-cercle centré sur D on pose
¯
¯
¯ BP.AQ ¯
¯
¯,
d(A, B) = ¯ln
BQ.AP ¯
où P et Q sont les points de D, extrémités du demi-cercle.
32
CHAPITRE I. GÉOMÉTRIES EUCLIDIENNE ET NON EUCLIDIENNES
A
A
B
B
D
D
P
Q
P
Remarques - 1. Dans les formules ci-dessus, les notations AP , BQ etc. désignent les
distances euclidiennes dans P et yB , yA sont les ordonnées de B et A dans le repère R.
2. Les points A et B sont distincts de P et Q, de sorte que les rapports sont bien définis
et strictement positifs ; les logarithmes sont donc également bien définis.
3. Les valeurs absolues garantissent d’une part que d(A, B) est toujours positif et
d’autre part que d(B, A) = d(A, B) pour tous A, B dans H.
4. Lorsque A = B les deux formules peuvent s’appliquer. En effet, on peut alors
considérer que A, B sont d’une part sur la demi-droite perpendiculaire à D en A, et d’autre
part sur une infinité de demi-cercles centrés sur D. Selon le cas, les formules donnent
¯
¯
¯
¯
¯ BP ¯
¯ BP.AQ ¯
¯ln
¯ = | ln 1| = 0 = d(A, B) ,
¯
¯ln
¯ AP ¯
¯ BQ.AP ¯ = | ln 1| = 0 = d(A, B) .
Proposition 5.4 Soient A, B deux points d’une h-droite donnée δ, et P une extrémité
(située sur D) de cette h-droite. Pour A fixé, on a
lim d(A, B) = +∞
B→P
B∈δ
Preuve - Si δ est une demi-droite, il suffit de remarquer que lim
BP.AQ
demi-cercle, on a de même lim
= 0.
B→P BQ.AP
B→P
BP
= 0. Si δ est un
AP
2
Enfin, on admet la proposition suivante.
Proposition 5.5 Trois points quelconques A, B et C de H satisfont l’inégalité triangulaire :
d(B, C) ≤ d(B, A) + d(A, C) .
5.4
Cercles de H
Un point A de H et un réel positif r étant donnés, on définit le h-cercle CH (A, r) comme
l’ensemble
CH (A, r) = {M ∈ H / d(A, M ) = r} .
Les deux propositions suivantes énoncent des propriétés des h-cercles que l’on admettra.
5. LA GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE
33
Proposition 5.6 Les h-cercles sont les cercles (euclidiens) de P inclus dans H.
En désignant toujours par C(Ω, ρ) le cercle euclidien de centre Ω et de rayon ρ c’est-àdire {M ∈ P / ΩM = ρ}, cela signifie que
- pour tout A ∈ H et tout r > 0, il existe Ω ∈ H et ρ > 0 tels que CH (A, r) = C(Ω, ρ),
- pour tout Ω ∈ P et tout ρ > 0 tels que C(Ω, ρ) ⊂ H, il existe A ∈ H et r > 0 tels que
CH (A, r) = C(Ω, ρ).
Mais attention ! On a Ω 6= A et ρ 6= r. On pourra donc parler de cercle sans avoir à
préciser s’il s’agit de cercle euclidien ou hyperbolique. En revanche on réservera les noms
de centre et rayon pour les éléments notés ci-dessus Ω et ρ. Le point A et le réel positif r
seront appelés le centre hyperbolique (ou h-centre) et le rayon hyperbolique (ou h-rayon).
Comme pour les cercles euclidiens, on appelle diamètre hyperbolique (ou h-diamètre)
d’un cercle tout h-segment ayant ses extrémités sur le cercle et passant par son h-centre.
Proposition 5.7 Les h-diamètres d’un cercle C de H sont portés par les h-droites orthogonales à C.
La figure ci-dessous montre trois diamètres d, d0 et d00 d’un cercle C, ainsi que son
h-centre A.
d"
d
d’
A
D
5.5
Triangles de H
Voici deux exemples de triangles hyperboliques (ou h-triangles).
A
B
α
β
γ
A
C
α
β
γ
C
B
Nous allons citer trois propriétés concernant les triangles hyperboliques de H, que l’on
pourra comparer avec certaines propriétés vues pour les triangles sphériques.
34
CHAPITRE I. GÉOMÉTRIES EUCLIDIENNE ET NON EUCLIDIENNES
Tout d’abord nous admettrons qu’on peut définir l’aire d’un triangle hyperbolique
(liée à la notion de distance introduite sur H, elle n’est pas égale à l’aire euclidienne de la
portion du plan P correspondante). On a alors la relation suivante, à relier avec la formule
de Girard pour les triangles sphériques (sur une sphère de rayon 1).
Proposition 5.8 Les angles α, β, γ et l’aire A d’un triangle hyperbolique vérifient la
relation
α+β+γ =π−A.
En particulier, en géométrie hyperbolique, la somme des angles d’un triangle est toujours
strictement inférieure à π.
Ensuite, la formule de trigonométrie hyperbolique suivante est à rapprocher de celle
vue pour les triangles sphériques (toujours dans le cas d’une sphère de rayon 1) :
Pour un triangle hyperbolique ABC de H, en posant a = d(B, C), b = d(C, A), c =
d(A, B) et en notant α l’angle en A de ce triangle, on a
cosh a = cosh b cosh c − cos α sinh b sinh c .
Enfin, comme en géométrie sphérique, on peut énoncer quatre cas d’égalité des triangles. Autrement dit, pour un triangle de H, les quatre conditions énoncées à la Proposition 3.13 sont équivalentes. Là encore, et contrairement aux triangles euclidiens, des
triangles ayant tous leurs angles égaux (deux à deux) sont égaux.
6
Axiomatisation de la géométrie
La découverte des géométries non euclidiennes (qui est l’aboutissement de plus de
2000 ans de travaux mathématiques), a posé aux mathématiciens un certain nombre de
problèmes concernant le statut des concepts qu’ils manient. Avec d’autres difficultés rencontrées à la même époque dans d’autres branches des mathématiques, ces problèmes (ou
plutôt les réponses à ces problèmes) ont énormément influé l’évolution de cette discipline
à la charnière des XIXe et XXe siècles.
1- Les mathématiciens ont d’abord été surpris qu’il soit possible de renoncer à un
axiome aussi intuitivement « évident » que l’axiome des parallèles, et de construire une
théorie cohérente... dont les résultats défient par ailleurs l’intuition. Cela les a conduit
à dissocier les bases de la géométrie de l’« expérience sensible » (c’est-à-dire de notre
perception du monde).
2- Ils ont pris conscience de la nécessité d’être plus complet dans le choix des axiomes
(Euclide par exemple n’énonce aucun axiome permettant de justifier certains arguments
liés à l’ordre des points sur une droite, qu’il utilise pourtant abondamment).
3- Devenus méfiants vis à vis des recours excessifs (et souvent inconscients) à l’expérience
sensible, et particulièrement attentifs aux questions d’indépendance et de non-contradiction
des axiomes (les recherches de preuves du 5e postulat d’Euclide relevaient d’ailleurs dès
l’origine de la première problématique), ils ont cherché comment utiliser des arguments
purement logiques pour résoudre ces questions.
6. AXIOMATISATION DE LA GÉOMÉTRIE
35
Tout cela a contribué à l’axiomatisation de la géométrie (et de l’ensemble des mathématiques) à la fin du XIXe siècle, ainsi qu’au rapprochement de la logique et des
mathématiques.
Le système d’axiomes de Hilbert
Dans « Les principes fondamentaux de la géométrie », paru en 1900 dans les Annales
Scientifiques de l’École Normale Supérieure, le mathématicien allemand David Hilbert
développe son système d’axiomes pour la géométrie euclidienne.
Il introduit, de façon abstraite, trois systèmes d’objets : les points, les droites, les plans.
Puis il explique que ces objets peuvent avoir entre eux des relations (comme « est situé
sur ») dont la description précise réside dans les axiomes qu’il va détailler. Même si ces
axiomes sont choisis pour correspondre aux comportements attendus des points, droites et
plans de notre expérience sensible, Hilbert cherche à se détacher le plus possible de toute
référence à cette expérience sensible pour s’assurer, sur des bases logiques rigoureuses, de
l’exactitude des propriétés établies.
Les axiomes sont répartis en cinq groupes.
I. Axiomes d’association (ou d’incidence)
I. 1. Deux points distincts déterminent une droite.
I. 2. Deux points distincts quelconques d’une droite déterminent cette droite,
et sur toute droite il y a au moins deux points.
Suivent 5 axiomes relatifs aux plans de l’espace.
Remarques - Ces axiomes sont à relier au Postulat 1 d’Euclide. Hilbert se préoccupe
de plus de justifier qu’une droite contient bien au moins deux points.
II. Axiomes de distribution (ou d’ordre)
II. 1. Si A, B, C sont trois points d’une droite, et si B est situé entre A et C,
il l’est aussi entre C et A.
II. 2. Si A et C sont deux points d’une droite, il y a au moins un point B situé
entre A et C et au moins un point D tel que C soit entre A et D.
A
B
C
D
II. 3. De trois points d’une droite, il en est toujours un et un seul situé entre
les deux autres.
II. 4. Quatre points quelconques A, B, C, D d’une droite peuvent toujours être
distribués d’une manière telle que B soit situé entre A et C et aussi entre A et
D, et que C soit situé entre A et D et aussi entre B et D (cf. figure ci-dessus).
A ce stade, Hilbert énonce : « le système formé par deux points A et B situés
sur une droite a est dit un segment : les points situés entre A et B sont dits les
points du segment AB ou encore à l’intérieur du segment AB ; tous les autres
36
CHAPITRE I. GÉOMÉTRIES EUCLIDIENNE ET NON EUCLIDIENNES
points de la droite a sont dits à l’extérieur du segment AB. Les points A et B
sont les extrémités du segment AB.
II. 5. Soient A, B et C des points non situés sur une même droite, et soit a une
droite située dans le plan ABC, et ne passant par aucun des points A, B ni C.
Si la droite a passe par un point du segment AB, elle passera toujours ou bien
par un point du segment BC, ou bien par un point du segment AC.
A
C
B
Remarques - Ces axiomes sont essentiels pour justifier un certain nombre de propriétés
abondamment utilisées de façon implicite par Euclide. L’axiome II.5. est connu sous le
nom d’axiome de Pasch1 . Il est utilisé pour définir les demi-plans limités par une droite.
III. Axiome des parallèles (Postulat d’Euclide)
III. Dans un plan α, par un point A pris en dehors d’une droite a, l’on peut
toujours mener une droite et une seule qui ne coupe pas la droite a ; cette
droite est dite la parallèle à a menée par le point A.
Remarque - On reconnaı̂t là l’axiome de Playfair, déjà rencontré (cf paragraphe 2.2).
IV. Axiomes de congruence
Convention. Les segments ont entre eux certaines relations que le mot congruent en particulier sert à exprimer.
IV. 1. Si l’on désigne par A, B deux points d’une droite a et par A0 un point
de cette même droite ou d’une autre droite a0 , l’on pourra toujours, sur la
droite a0 , d’un côté donné du point A0 , trouver un point et un seul B 0 tel que
le segment AB soit congruent au segment A0 B 0 , ce que l’on écrit AB ≡ A0 B 0 .
B’
A
B
a
a’
A’
Tout segment est congruent à lui-même : AB ≡ AB.
Le segmentAB est toujours congruent au segment BA : AB ≡ BA.
IV. 2. Si AB ≡ A0 B 0 et AB ≡ A00 B 00 , alors A0 B 0 ≡ A00 B 00 .
IV. 3. Sur la droite a soient AB et BC deux segments sans points communs, et
soient ensuite A0 B 0 et B 0 C 0 deux segments situés sur la même droite ou sur une
autre droite a0 , également sans points communs. Si AB ≡ A0 B 0 et BC ≡ B 0 C 0 ,
alors AC ≡ A0 C 0 .
1
Moritz Pasch : mathématicien allemand, 1843-1930
6. AXIOMATISATION DE LA GÉOMÉTRIE
37
A
B
C
a
A’
B’
C’
a’
Remarques - La relation de congruence entre segments définie dans ce groupe d’axiomes
correspond à l’égalité de leurs longueurs. Hilbert précise les règles logiques respectées par
cette relation, en faisant abstraction du lien avec les distances.
L’axiome IV.1. exprime entre autres que la relation de congruence est réflexive. L’axiome
IV.2. énonce une forme de transitivité de cette relation (ce n’est pas la définition standard
actuelle de la transitivité). À partir de ces deux axiomes, il peut démontrer que la relation est également symétrique : si AB ≡ A0 B 0 , alors A0 B 0 ≡ AB. C’est donc une relation
d’équivalence.
De la même façon, la relation de congruence des angles introduite ci-dessous correspond
à l’égalité de leurs mesures, et les axiomes de Hilbert en font également une relation
d’équivalence.
Convention. Le système formé par deux demi-droites h et k de même origine
O est appelé angle <
)(h, k) ou <
)(k, h).
IV.4. Soit, dans un plan α, un angle <
)(h, k) et soit, dans un plan α0 , une droite
a0 . Supposons encore que, dans le plan α0 , un côté déterminé de la droite a0 soit
assigné. Désignons par h0 une demi-droite prise sur la droite a0 et issue d’un
point O0 de cette droite. Dans le plan α0 , il existera alors une demi-droite k 0
et une seule, telle que l’angle <
)(h, k) soit congruent à l’angle <
)(h0 , k 0 ) et qu’en
0
0
même temps tous les points à l’intérieur de l’angle <
)(h , k ) soient situés du
0
côté assigné de a , ce que nous exprimerons par la notation <
)(h, k) ≡ <
)(h0 , k 0 ).
h’
k’
k
O
h
O’
a’
Tout angle est congruent à lui-même : <
)(h, k) ≡ <
)(h, k) et <
)(h, k) ≡ <
)(k, h).
IV.5. Si <
)(h, k) ≡ <
)(h0 , k 0 ) et <
)(h, k) ≡ <
)(h00 , k 00 ), alors <
)(h0 , k 0 ) ≡ <
)(h00 , k 00 ).
IV.6. Dans deux triangles ABC et A0 B 0 C 0 , si les congruences AB ≡ A0 B 0 ,
AC ≡ A0 C 0 et <
)BAC ≡ <
)B 0 A0 C 0 sont vérifiées, alors <
)ABC ≡ <
)A0 B 0 C 0 et
<
)ACB ≡ <
)A0 C 0 B 0 .
Remarque - En énonçant IV.6., Hilbert prend donc pour axiome un des cas d’égalité
des triangles. Notez cependant que cet axiome conclut seulement à l’égalité de deux paires
d’angles, mais ne dit rien de l’égalité des troisièmes côtés. C’est dans le souci de réduire
le plus possible les propriétés posées en axiomes. En effet, Hilbert démontre par la suite
cette égalité des troisièmes côtés.
38
CHAPITRE I. GÉOMÉTRIES EUCLIDIENNE ET NON EUCLIDIENNES
V. Axiome de la continuité (axiome d’Archimède)
V. Soit A1 un point quelconque situé sur une droite entre les points quelconques
donnés A et B. Construisons alors les points A2 , A3 , A4 , . . . tels que A1 soit
situé entre A et A2 , que A2 soit situé entre A1 et A3 , que A3 soit situé entre
A2 et A4 et ainsi de suite, et tels en outre que les segments AA1 , A1 A2 , A2 A3 ,
A3 A4 , . . . soient égaux entre eux. Alors dans la suite de points A2 , A3 , A4 , . . .
il existera toujours un certain point An tel que B soit situé entre A et An .
B
A
A1
A2
A3
A4
A5
A6
Ici, n = 6 .
Remarque - Cette propriété est à relier à la propriété d’Archimède satisfaite par les
réels : « pour tout ε ∈ R∗+ et tout a ∈ R∗+ , il existe N ∈ N tel que N ε > a ».
Les axiomes étant ainsi définis, il reste deux questions à se poser : ce système est-il
non-contradictoire ? Ces axiomes sont-ils indépendants ?
Non-contradiction du système d’axiomes - On considère le modèle suivant, où le
plan est l’ensemble R2 des couples de nombres réels. Ces couples sont les points du modèle.
Les droites sont définies comme les sous-ensembles de R2 de la forme
{(x, y) ∈ R2 / ux + vy + w = 0} ,
où (u, v, w) est un triplet de réels vérifiant (u, v) 6= (0, 0). On dit que le point (x2 , y2 ) d’une
droite est entre les points (x1 , y1 ) et (x3 , y3 ) de cette même droite lorsque x2 est entre x1
et x3 ou lorsque x1 = x2 = x3 et y2 est entre y1 et y3 . Enfin les relations de congruences
entre segments et angles sont déduites de la définition de la distance euclidienne :
p
d((x, y), (x0 , y 0 )) = (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 .
On peut démontrer que ce modèle vérifie tous les axiomes de Hilbert. On en déduit que ce
système est non-contradictoire, si les propriétés de R sont non-contradictoires. En réalité
l’ensemble R est construit à partir de l’ensemble N des entiers naturels (en passant par
l’intermédiaire de Z, puis de Q). Il s’ensuit que la non-contradiction de la géométrie euclidienne repose sur celle des axiomes définissant N (c’est-à-dire sur la non-contradiction
de l’arithmétique.
Indépendance des axiomes - La question ne se pose pas vraiment pour les axiomes
des groupes I et II, puisqu’ils sont indispensables pour définir les objets des trois autres
groupes. Hilbert a vérifié de façon détaillée l’indépendance des axiomes des groupes III,
IV et V, en construisant pour chacun d’eux un modèle satisfaisant tous les axiomes à
l’exception de celui-ci.
Par exemple, pour montrer l’indépendance de l’axiome IV.6. par rapport aux autres,
Hilbert considère toujours l’ensemble R2 , avec les droites usuelles, mais il remplace la
6. AXIOMATISATION DE LA GÉOMÉTRIE
39
distance euclidienne par une autre distance. Il construit ainsi des triangles qui satisfont
les hypothèses de IV.6., mais pas la conclusion.
En nous référant aux éléments présentés dans ce cours, nous pouvons conclure à
l’indépendance de l’axiome III par rapport aux autres, en considérant le modèle du demiplan de Poincaré H (on admettra qu’il vérifie bien tous les axiomes des groupes I, II, IV
et V). Pour voir que ce modèle n’est pas contradictoire, il suffit de remarquer que H est
construit à partir d’objets de la géométrie euclidienne. Sa non-contradiction repose donc
sur celle des axiomes de la géométrie euclidienne, c’est-à-dire sur la non-contradiction de
l’arithmétique.
40
CHAPITRE I. GÉOMÉTRIES EUCLIDIENNE ET NON EUCLIDIENNES
Chapitre II
Logique et mathématiques
Rappelons-nous la description de la démarche axiomatique présentée dans l’introduction. Dans le premier chapitre, nous nous sommes surtout intéressés à sa première étape,
en partant de préoccupations liées au choix des axiomes de la géométrie. En voyant comment ces préoccupations ont contribué au développement de nouvelles théories, nous avons
été conduits à poser la question de la non-contradiction des systèmes d’axiomes.
Pour garantir la validité des raisonnements, il est alors temps de se préoccuper du
deuxième aspect de la démarche axiomatique : les règles logiques que l’on est en droit
d’utiliser.
1
Quelques éléments de logique classique
À chaque proposition (on ne cherchera pas à définir ce terme), on associe une valeur de
vérité : vrai (V) ou faux (F). Certaines propositions étant données, on peut en exprimer
de nouvelles, à l’aide des précédentes et des connecteurs logiques (¬, ∨, ∧, −→, ←→),
introduits ci-dessous.
1.1
Négation, disjonction, conjonction
Négation d’une proposition - On appelle négation d’une proposition P la proposition,
notée non P ou ¬P , qui est vraie si et seulement si la proposition P est fausse. Cela se
représente par la table de vérité
P ¬P
V
F
F
V
Disjonction de deux propositions - On appelle disjonction de deux propositions
P et Q la proposition, notée P ∨ Q, qui est vraie si et seulement si l’une au moins des
propositions P et Q est vraie.
Conjonction de deux propositions - On appelle conjonction de deux propositions
P et Q la proposition, notée P ∧ Q, qui est vraie si et seulement si les deux propositions
P et Q sont simultanément vraies.
41
42
CHAPITRE II. LOGIQUE ET MATHÉMATIQUES
Voici les tables de vérité des propositions associées à ces deux connecteurs :
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P ∨Q
V
V
V
F
P ∧Q
V
F
F
F
Proposition 1.1 Les connecteurs ∧, ∨ et ¬ vérifient les propriétés suivantes, appelées
« lois de De Morgan1 » :
¬(P ∧ Q) a les mêmes valeurs de vérité que (¬P ) ∨ (¬Q),
¬(P ∨ Q) a les mêmes valeurs de vérité que (¬P ) ∧ (¬Q).
Preuve - Ces propriétés peuvent s’établir à l’aide de tables de vérités. Pour la première
par exemple, on écrit
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P ∧Q
V
F
F
F
¬(P ∧ Q)
F
V
V
V
¬P
F
F
V
V
¬Q
F
V
F
V
(¬P ) ∨ (¬Q))
F
V
V
V
Il suffit alors de contrôler que les valeurs de vérité en gras coı̈ncident.
2
Remarque - Il résulte de la proposition précédente qu’on peut en fait définir le connecteur
∧ (resp. ∨) à partir des connecteurs ¬ et ∨ (resp. ¬ et ∧) :
P ∧ Q = ¬((¬P ) ∨ (¬Q))
1.2
Implication et équivalence
Les théorèmes s’énoncent fréquemment sous la forme suivante :
T :
« Si l’hypothèse P est vraie, alors la conclusion Q est vraie ».
Cette proposition énonce une relation entre les propositions P et Q, que l’on note couramment P =⇒ Q. Cette relation peut être formulée de la façon suivante :
« Il est impossible que P soit vraie et que Q soit fausse ».
Autrement dit, la proposition T signifie : « P ∧ (¬Q) est fausse », ce qui peut encore
s’énoncer
« ¬(P ∧ (¬Q)) est vraie »
ou encore
« (¬P ) ∨ Q) est vraie » .
La proposition (¬P ) ∨ Q) sera notée P −→ Q (ce qui constitue la définition du connecteur d’implication −→). Elle peut être vraie ou fausse.
En résumé la notation P =⇒ Q exprime une relation entre les propositions P et Q,
qui signifie que la proposition P −→ Q est vraie.
1
Augustus De Morgan : mathématicien anglais (1806-1871)
1. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE CLASSIQUE
43
On appelle implication réciproque de l’implication P −→ Q l’implication Q −→ P . Ces
deux propositions peuvent être vraies ou fausses indépendamment l’une de l’autre, comme
le montre la table de vérité ci-dessous.
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P −→ Q
V
F
V
V
Q −→ P
V
V
F
V
(P −→ Q) ∧ (Q −→ P )
V
F
F
V
Les deux implications réciproques P −→ Q et Q −→ P sont simultanément vraies
(c’est-à-dire qu’on a les deux relations P =⇒ Q et Q =⇒ P ) si et seulement si les deux
propositions P et Q ont la même valeur de vérité. Cela se vérifie aussi dans la table
précédente.
On dit dans ce cas que P et Q sont logiquement équivalentes, et on note P ⇐⇒ Q.
Cette nouvelle relation entre P et Q signifie donc que P =⇒ Q et Q =⇒ P .
On note P ←→ Q la proposition (P −→ Q) ∧ (Q −→ P ) (ce qui définit le nouveau
connecteur ←→). La relation P ⇐⇒ Q signifie donc que la proposition P ←→ Q est vraie.
exemple - Avec ces nouvelles notations, les lois de De Morgan énoncées dans la
proposition 1.1 s’écrivent :
¬(P ∧ Q) ⇐⇒ (¬P ) ∨ (¬Q) ,
1.3
¬(P ∨ Q) ⇐⇒ (¬P ) ∧ (¬Q) .
(1)
Tautologies, antinomies
Considérons une proposition T dont l’énoncé comporte une ou plusieurs propositions
variables P , Q, etc. On dit que T est une tautologie ou une loi logique, si T est vraie,
quelles que soient les valeurs de vérité prises par P , Q, etc.
On dit que T est une antinomie, si T est fausse, quelles que soient les valeurs de vérité
prises par P , Q, etc.
Par exemple, la proposition
P ∨ (¬P )
est une tautologie, appelée loi du tiers exclu, tandis que la proposition
P ∧ (¬P )
est une antinomie, appelée loi de contradiction.
Les équivalences logiques (1) traduisent que les propositions
¬(P ∧ Q) ←→ (¬P ) ∨ (¬Q)
et
¬(P ∨ Q) ←→ (¬P ) ∧ (¬Q)
sont des tautologies.
Une autre loi logique importante est la loi de contraposition énoncée dans la proposition
suivante.
44
CHAPITRE II. LOGIQUE ET MATHÉMATIQUES
Proposition 1.2 Quelles que soient les propositions P et Q, on a
(P −→ Q) ⇐⇒ (¬Q −→ ¬P )
Preuve - Cette équivalence exprime que la proposition
(P −→ Q) ←→ (¬Q −→ ¬P )
est une tautologie, ce dont on peut se convaincre en observant la table de vérité suivante,
que l’on remplit en se rappelant que R ←→ S est vraie si et seulement si les deux propositions R et S ont même valeur de vérité.
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P −→ Q
V
F
V
V
¬Q
F
V
F
V
¬P
F
F
V
V
(¬Q) −→ (¬P )
V
F
V
V
(P −→ Q) ←→ (¬Q −→ ¬P )
V
V
V
V
Il suffit de remarquer que la dernière colonne est constituée uniquement de « V »(ou que
les colonnes en gras sont identiques).
2
Définition - La proposition ¬Q −→ ¬P est appelée la contraposée de la proposition
P −→ Q.
1.4
Quantificateurs
Dans un texte mathématique formalisé, on utilise les symboles ∀ (appelé quantificateur
universel) et ∃ (appelé quantificateur existentiel). Ces symboles sont utiles pour traiter
des propositions dépendant d’une (ou plusieurs) variable(s) x (y . . .) : on note de telles
propositions P (x) (ou P (x, y) . . .).
L’énoncé ∃x, P (x) signifie qu’il existe au moins une valeur de x, que l’on peut noter
par exemple a, telle que la proposition P (a) est vraie.
L’énoncé ∀x, P (x) signifie que pour toute valeur a que peut prendre la variable x, la
proposition P (a) est vraie.
Les règles d’usage de ces quantificateurs découlent de leur signification intuitive. On a
par exemple
¬(∃x, P (x)) ⇐⇒ (∀x, ¬P (x))
¬(∀x, P (x)) ⇐⇒ (∃x, ¬P (x))
∃x, (∃y, P (x, y)) ⇐⇒ ∃y, (∃x, P (x, y))
∀x, (∀y, P (x, y)) ⇐⇒ ∀y, (∀x, P (x, y))
Mais attention - L’énoncé ∃x, (∀y, P (x, y)) n’est pas équivalent à ∀y, (∃x, P (x, y))
(cf. feuille de TD 5).
Proposition 1.3 La négation d’une propriété contenant un certain nombre de quantificateurs ∀, ∃, suivis d’une propriété P , s’obtient en remplaçant chaque quantificateur ∀ par
∃, chaque quantificateur ∃ par ∀, puis la propriété P par sa négation ¬P .
2. AXIOMATISATION DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES
1.5
45
Lien avec la théorie (intuitive) des ensembles
On suppose connues les notions et symboles de la théorie intuitive des ensembles :
appartenance (∈), inclusion (⊂), réunion (∪), intersection (∩), complémentaire...
Supposons fixé un ensemble E. On peut associer à chaque sous-ensemble A de E la
propriété PA (x), dans laquelle la variable x représente un élément de E, et telle que PA (x)
est vraie si et seulement si x ∈ A.
Réciproquement, on peut définir pour chaque propriété P (x), dans laquelle la variable
x représente un élément de E, l’ensemble EP = {x ∈ E / P (x) est vraie}. On dit alors
qu’on a défini l’ensemble EP en compréhension, par opposition à la définition en extension
qui consiste à énumérer tous ses éléments (lorsque c’est possible !).
On établit ainsi une correspondance entre les propositions dépendant de la variable x
et les parties de E.
Dans cette correspondance, si les parties A et B de E sont associées respectivement
aux propositions P et Q, alors
- A ∪ B est associée à P ∨ Q,
- A ∩ B est associée à P ∧ Q,
- la partie A complémentaire de A dans E est associée à ¬P .
On a de plus les correspondances suivantes entre les relations entre propositions et
celles entre parties de E :
- A ⊂ B si et seulement si : ∀x ∈ E, P (x) =⇒ Q(x),
- A = B si et seulement si : ∀x ∈ E, P (x) ⇐⇒ Q(x).
Ainsi, les lois de De Morgan (1) ont leurs analogues pour les parties d’un ensembles :
(A ∪ B) = A ∩ B ,
2
(A ∩ B) = A ∪ B .
(2)
Axiomatisation de la théorie des ensembles
La théorie des ensembles a été développée principalement par le mathématicien allemand Georg Cantor (1845-1918) à partir de 1874.
Mais autour de l’année 1900, des paradoxes sont mis en évidence au sein de cette théorie,
notamment par le mathématicien et philosophe britannique Bertrand Russel (1872-1970).
En voici une version imagée, connue sous le nom de paradoxe des catalogues.
Toute bibliothèque possède un catalogue qui recense tous les ouvrages
qu’elle détient. Certains de ces catalogues se mentionnent eux-mêmes (leur
rédacteur estimant qu’il constitue un ouvrage de la bibliothèque au même titre
que les autres), d’autres ne le font pas (leur rédacteur pensant qu’il n’a pas
le statut d’un vrai ouvrage). Un bibliothécaire décide un jour de réaliser un
catalogue (appelons-le le « super-catalogue ») de tous les catalogues qui ne se
mentionnent pas eux-mêmes.
Question - Ce super-catalogue doit-il se mentionner lui-même ?
Ce problème conduit à un paradoxe. En effet, le super-catalogue C est défini par la
propriété
(P) :
« C est la liste des catalogues qui ne se mentionnent pas eux-mêmes ».
46
CHAPITRE II. LOGIQUE ET MATHÉMATIQUES
Et selon la loi du tiers exclu (cf. paragraphe 1.3) :
- ou bien C se mentionne lui-même, mais alors il ne répond plus à la définition (P),
- ou bien C ne se mentionne pas lui-même... mais alors il devrait le faire selon (P).
En fait ce problème est lié au suivant (plus abstrait) énonçable dans le cadre de la
théorie des ensembles.
Considérons un ensemble quelconque A. Toujours selon la loi du tiers exclu,
- ou bien il se contient lui-même (A ∈ A), on dira qu’il est de type 1,
- ou bien il ne se contient pas lui-même (A 6∈ A) et on dira qu’il est de type 2.
Le second cas est le plus simple à concevoir : l’ensemble des étudiants de licence nés à
Reims... n’est pas un étudiant !
Mais on peut imaginer un ensemble relevant du premier cas : notons A « l’ensemble
de tous les ensembles qui peuvent être définis en français en moins de vingt mots ». On a
bien A ∈ A (la définition précédente contient 17 mots !).
Le paradoxe apparaı̂t lorsqu’on cherche à considérer l’ensemble T de tous les ensembles
de type 2 :
- ou bien T ∈ T , mais alors T est de type 1 et ne devrait pas être élément de T ,
- ou bien T 6∈ T , mais alors T est de type 2 et devrait être élément de T .
Pour éliminer ces paradoxes, il a fallu comprendre qu’il est nécessaire d’apporter certaines restrictions dans la façon de définir des ensembles en compréhension. En particulier,
il faut renoncer à considérer qu’il existe un ensemble de tous les ensembles.
Ces questions ont conduit à la théorie axiomatique des ensembles (d’un abord très
abstrait), due à Ernst Zermelo (1871-1953) et Abraham Fraenkel (1891-1965). Notons que
cette théorie comporte un axiome (appelé axiome de fondement), qui permet d’établir
que ∀x, x 6∈ x. On en tire qu’on ne peut pas définir d’ensemble de tous les ensembles,
puisqu’un tel ensemble E devrait vérifier à la fois E ∈ E et E 6∈ E.
3
Non-contradiction de l’arithmétique : théorèmes de Gödel
On se souvient que Hilbert a réduit la non-contradiction des axiomes de la géométrie
(euclidienne ou non-euclidienne) à la non-contradiction de ceux de l’arithmétique. Cette
dernière question fut donc pour lui une préoccupation essentielle. Elle figurait d’ailleurs
dans la célèbre liste de 23 problèmes qu’il proposa lors du IIe Congrès International des
Mathématiciens, tenu à Paris en 1900 (c’est le 2e problème de Hilbert).
La réponse à cette question repose sur les travaux des logiciens Gottlob Frege (18481925) et Kurt Gödel (1906-1978). On doit à ce dernier les deux théorèmes suivants.
Théorème 1 (K. Gödel, 1931) - Si l’arithmétique formelle est non-contradictoire,
alors il existe au moins un énoncé de cette théorie qui est indécidable (c’est-à-dire dont on
ne peut démontrer ni l’exactitude ni la fausseté dans le cadre de cette théorie).
Théorème 2 (K. Gödel, 1931) - L’énoncé affirmant la non-contradiction de l’arithmétique formelle fait partie des énoncés indémontrables dans ce système formel.
Ceci apporta une réponse aussi spectaculaire qu’inattendue au 2e problème de Hilbert,
en mettant en évidence une limitation fondamentale à la volonté d’axiomatiser l’ensemble
des mathématiques.
Chapitre III
Construction des ensembles de
nombres N, Z et Q
1
Construction de N
Dans cette section nous allons voir comment on peut établir les propriétés essentielles
de N à partir des axiomes introduits en 1889 par le mathématicien Italien Giuseppe Peano
(1858-1932).
Axiomes de Peano - Il existe un ensemble N, une application s de N dans N et un
élément (noté 0) de N tels que :
(i) ∀x ∈ N, ∀y ∈ N, s(x) = s(y) =⇒ x = y ,
(ii) 0 6∈ s(N) ,
(iii) (Axiome d’induction)
Soit P ⊂ N. Si P vérifie
½
0∈P
∀x ∈ N, x ∈ P =⇒ s(x) ∈ P
Alors P = N.
Définitions - L’image s(x) d’un entier x par l’application s est appelée le successeur de
x, et s est appelée l’application successeur.
Le symbole 1 désignera le nombre s(0).
Remarques - L’axiome (i) signifie que l’application s est injective et l’axiome (ii) exprime
que 0 n’est le successeur d’aucun entier. Quant à l’axiome (iii), il traduit le principe de
récurrence.
Un outil essentiel des démonstrations qui vont suivre est l’usage de suites définies par
une relation de récurrence. Le théorème suivant garantit la pertinence de leur définition.
Théorème 1.1 Soient E un ensemble non vide, f une application de E dans E et a ∈ E.
Il existe une unique suite u : N −→ E vérifiant les deux conditions
½
u(0) = a
∀n ∈ N, u(s(n)) = f (u(n)) .
47
48 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DES ENSEMBLES DE NOMBRES N, Z ET Q
Remarque - Pour les besoins des rédactions de cette section, on utilise ici la notation
u(n) au lieu de un pour le terme de rang n de la suite : il est considéré comme l’image de
l’élément n de N par l’application u.
Preuve - L’existence de la suite u est admise (la démonstration n’est pas très difficile mais
fait appel à la caractérisation des applications comme graphes de relations binaires, non
rappelée dans ce cours).
On établit donc seulement l’unicité. Soient deux suites u et u0 satisfaisant
½
½ 0
u(0) = a
u (0) = a
et
∀n ∈ N, u(s(n)) = f (u(n))
∀n ∈ N, u0 (s(n)) = f (u0 (n)) .
Posons P = {n ∈ N / u(n) = u0 (n)}. Cet ensemble vérifie P ⊂ N et 0 ∈ P (puisque
u(0) = u0 (0) = a).
De plus si n ∈ P , on a
u(s(n)) = f (u(n)) = f (u0 (n)) = u0 (s(n)) ,
de sorte que s(n) ∈ P . On peut donc conclure grâce à l’axiome (iii) que P = N. Ainsi
pour tout n ∈ N, u(n) = u0 (n), c’est-à-dire u = u0 .
2
1.1
Construction de l’addition
Théorème 1.2 Il existe une application σ :
µ
N×N →
N
(k, n) 7→ k + n
¶
(appelée addition)
vérifiant :
(1) ∀k ∈ N, ∀m ∈ N, ∀n ∈ N, (k + m) + n = k + (m + n) (l’addition est associative)
(2)
∀k ∈ N, ∀n ∈ N,
k+n=n+k
(l’addition est commutative)
(3)
∀k ∈ N,
k+0=0+k =k
(0 est élément neutre)
(4)
∀k ∈ N,
k + 1 = s(k)
Preuve - Pour définir l’application σ, on fixe un entier k et on applique le Théorème 1.1
avec E = N, f = s et a = k.
Il existe donc une unique application sk : N −→ N telle que
(?) sk (0) = k
et (??) ∀n ∈ N sk (s(n)) = s(sk (n)) .
Cette construction étant valable pour tout k ∈ N, on peut poser pour tout (k, n) ∈ N × N :
k + n = sk (n) .
On démontre d’abord la propriété (4) en écrivant pour k entier quelconque,
k + 1 = sk (1) = sk (s(0)) = s(sk (0)) = s(k) .
On démontre ensuite la propriété (3).
On a d’une part pour tout k ∈ N la relation sk (0) = k, c’est-à-dire k + 0 = k.
D’autre part, considérons l’ensemble P = {n ∈ N / s0 (n) = n}. On a 0 ∈ P puisque
s0 (0) = 0. De plus, si n ∈ P , n vérifie la relation s0 (n) = n. On en tire grâce à (??) :
s0 (s(n)) = s(s0 (n)) = s(n) ,
1. CONSTRUCTION DE N
49
de sorte que s(n) ∈ P . Par application de l’axiome (iii), il vient P = N, c’est-à-dire
∀k ∈ N,
0+k =k .
Finalement la propriété (3) est valide : 0 est élément neutre pour l’addition.
On établit ensuite la propriété (1). Pour cela on pose
P = {n ∈ N / ∀k ∈ N, ∀m ∈ N,
(k + m) + n = k + (m + n)} .
L’entier 0 appartient à P , puisque pour tout k ∈ N et tout m ∈ N, on a d’après (3)
(k + m) + 0 = k + m = k + (m + 0) .
Soit n ∈ P . En remarquant que (k+m)+n = k+(m+n) peut s’écrire sk+m (n) = sk (m+n),
on peut écrire
(k + m) + s(n)
=
sk+m (s(n))
(par définition de σ)
=
s(sk+m (n))
(d’après (??))
=
s(sk (m + n))
(par la remarque ci-dessus)
=
sk (s(m + n))
(d’après (??))
=
sk (s(sm (n)))
(par définition de σ)
=
sk (sm (s(n)))
(d’après (??))
= k + (m + s(n))
(par définition de σ) .
Cela montre qu’alors s(n) ∈ P . L’axiome (iii) permet encore de conclure que P = N,
c’est-à-dire que (1) est satisfaite : l’addition est associative .
On ne détaillera pas la preuve de la propriété (2). Signalons seulement qu’elle résulte
aussi de l’axiome (iii). On applique d’abord cet axiome à
P = {n ∈ N / ∀m ∈ N,
s(m + n) = s(m) + n}
pour vérifier que
∀m ∈ N, ∀n ∈ N,
s(m + n) = s(m) + n .
Puis on l’applique à
P 0 = {n ∈ N / ∀k ∈ N,
k + n = n + k}
pour obtenir (2).
1.2
2
Construction de la multiplication
Théorème 1.3 Il existe une application π :
µ
N×N → N
(k, n) 7→ k.n
¶
(appelée multiplica-
tion) vérifiant :
(1) ∀k ∈ N, ∀m ∈ N, ∀n ∈ N,
(k.m).n = k.(m.n)
(2)
∀k ∈ N, ∀n ∈ N,
k.n = n.k
(3)
∀k ∈ N,
k.1 = 1.k = k
(4) ∀k ∈ N, ∀m ∈ N, ∀n ∈ N, k.(m + n) = k.m + k.n
(m + n).k = m.k + n.k
(5)
∀n ∈ N,
n.0 = 0.n = 0
(la multiplication est associative)
(la multiplication est commutative)
(1 est élément neutre)
(la multiplication est distributive
par rapport à l’addition)
(0 est élément absorbant)
50 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DES ENSEMBLES DE NOMBRES N, Z ET Q
Preuve - La preuve repose sur des arguments analogues à ceux utilisés pour démontrer le
théorème 1.2.
Pour définir l’application π, on fixe un entier k et on applique le Théorème 1.1 avec
E = N, f = sk et a = 0.
Il existe donc une unique application pk : N −→ N telle que
(∗) pk (0) = 0
et
(∗∗) ∀n ∈ N, pk (s(n)) = pk (n) + k .
Cette construction étant valable pour tout k ∈ N, on pose ensuite pour tout (k, n) ∈ N×N :
k.n = pk (n) .
Les propriétés (1) à (5) s’obtiennent ensuite en appliquant l’axiome (iii) à des ensembles
P convenablement choisis.
2
1.3
Construction de la relation d’ordre
Le but est de retrouver la relation d’ordre usuelle sur les entiers naturels (notée ≤),
en la définissant à partir des notions introduites précédemment.
On peut le faire par exemple en disant que pour n et p entiers,
n≤p
⇐⇒
∃k ∈ N, p = n + k .
(1)
On établit ensuite les propriétés suivantes, en faisant un large usage de l’axiome d’induction (iii) (nous ne détaillerons pas les preuves ici).
Théorème 1.4 a) La relation ≤ définie par (1) est une relation d’ordre : elle est
réflexive :
∀n ∈ N,
anti-symétrique :
∀n ∈ N, ∀p ∈ N,
transitive :
∀n ∈ N, ∀p ∈ N, ∀q ∈ N,
n ≤ n,
(n ≤ p) ∧ (p ≤ n) =⇒ (n = p),
(n ≤ p) ∧ (p ≤ q) =⇒ (n ≤ q).
b) C’est une relation d’ordre total : ∀n ∈ N, ∀p ∈ N, (n ≤ p) ∨ (p ≤ n).
c) Elle est compatible avec l’addition et la multiplication :
∀n ∈ N, ∀p ∈ N, ∀q ∈ N
∀n ∈ N, ∀p ∈ N, ∀q ∈ N
n ≤ p =⇒ n + q ≤ p + q ,
n ≤ p =⇒ n.q ≤ p.q .
d) Toute partie non vide de N admet un plus petit élément.
On montre de plus que lorsque n ≤ p, l’entier k figurant dans (1) est unique. On
l’appelle la différence de p et n et on note k = p − n.
1.4
Différentes formulations du principe de récurrence
Soit Hn une propriété dépendant de l’entier n. On peut lui associer le sous-ensemble
P de N défini par
P = {n ∈ N / Hn est vraie } .
L’axiome d’induction (le troisième axiome de Peano) prend alors la forme du théorème
suivant, qu’on établira en TD (cf. feuille 6).
2. RELATIONS D’ÉQUIVALENCES
51
Théorème 1.5 - Principe de récurrence (faible) - Supposons qu’une propriété Hn
(dépendant de n ∈ N) vérifie :
(1) - il existe n0 ∈ N tel que Hn0 est vraie,
(2) - pour tout n ∈ N tel que n ≥ n0 , on a Hn =⇒ Hn+1 .
Alors la propriété Hn est vraie pour tout entier naturel n ≥ n0 .
Remarques - Dans un raisonnement par récurrence, la propriété Hn est appelée l’hypothèse
de récurrence, la preuve de (1) est appelée l’initialisation du raisonnement et on traduit
la propriété (2) en disant que Hn est héréditaire.
On déduit de ce théorème deux corollaires.
Corollaire 1.6 - Principe de récurrence (forte) - Supposons qu’une propriété Hn
(dépendant de n ∈ N) vérifie :
(1) - il existe n0 ∈ N tel que Hn0 est vraie,
(2) - pour tout n ∈ N tel que n ≥ n0 , on a (Hn0 ∧ · · · ∧ Hn ) =⇒ Hn+1 .
Alors la propriété Hn est vraie pour tout entier naturel n ≥ n0 .
Corollaire 1.7 - Principe de récurrence (à deux termes) - Supposons qu’une
propriété Hn (dépendant de n ∈ N) vérifie :
(1) - il existe n0 ∈ N tel que Hn0 et Hn0 +1 sont vraies,
(2) - pour tout n ∈ N tel que n ≥ n0 + 1, on a (Hn−1 ∧ Hn ) =⇒ Hn+1 .
Alors la propriété Hn est vraie pour tout entier naturel n ≥ n0 .
2
2.1
Relations d’équivalences
Définition
Définitions - a) Un ensemble E étant donné, une relation binaire R sur E × E est
appelée une relation d’équivalence si et seulement si elle est
réflexive :
∀x ∈ E,
symétrique :
∀x ∈ E, ∀y ∈ E,
transitive :
∀x ∈ E, ∀y ∈ E, ∀z ∈ E,
xRx,
xRy =⇒ yRx,
(xRy) ∧ (yRz) =⇒ (xRz).
b) Soient R une relation d’équivalence sur un ensemble E et x ∈ E. On appelle classe
d’équivalence de x suivant R l’ensemble CR (x) = {y ∈ E / xRy}.
On appelle ensemble quotient de E pour la relation R l’ensemble de toutes les classes
d’équivalences d’éléments de E selon R. On le note E/R. Ainsi
E/R = {CR (x), x ∈ E} .
C’est un sous-ensemble de l’ensemble P(E) des parties de E.
Exemple - Dans l’ensemble N, la relation définie par « n R p si et seulement si n a même
reste que p dans la division par 2 » est une relation d’équivalence. Il y a deux classes
d’équivalences : l’ensemble des entiers pairs (qui constitue la classe de 0) et l’ensemble des
entiers impairs (qui constitue la classe de 1). Ainsi E/R = {CR (0), CR (1)}.
Proposition 2.1 ∀x ∈ E,
∀y ∈ CR (x),
CR (y) = CR (x) .
52 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DES ENSEMBLES DE NOMBRES N, Z ET Q
Preuve - Soit y ∈ CR (x), autrement dit xRy.
Si z ∈ CR (y), alors yRz d’où par transitivité, xRz c’est-à-dire z ∈ CR (x). Ainsi
CR (y) ⊂ CR (x). On montre de même l’inclusion inverse.
2
2.2
Lien avec les partitions d’un ensemble
Définition - Soit F un sous-ensemble de P(E). On dit que F est une partition de E s’il
vérifie :
(1) ∀F ∈ F, F 6= ∅,
(2) ∀F
[ ∈ F, ∀G ∈ F, F 6= G =⇒ F ∩ G = ∅,
(3)
F = E.
F ∈F
Théorème 2.2 Soit R une relation d’équivalence sur un ensemble E. L’ensemble quotient
E/R est une partition de E.
Preuve - (1) Pour F ∈ E/R, il existe x ∈ E tel que F = CR (x). Or R étant réflexive, on
a x ∈ CR (x). Ainsi F 6= ∅.
(2) Soient F et G deux éléments de E/R. Il existe x ∈ E et y ∈ E tels que F = CR (x)
et G = CR (y). On raisonne par contraposition. Si F ∩ G 6= ∅, il existe z ∈ F ∩ G. On
déduit de la proposition 2.1 que CR (x) = CR (z) = CR (y)
[soit F = G.
(3) Pour tout x ∈ E, on a CR (x) ⊂ E, de sorte que
CR (x) ⊂ E. Par ailleurs, on a
pour tout x0 ∈ E, x0 ∈ CR (x0 ) d’où x0 ∈
[
x∈E
CR (x) et finalement E ⊂
x∈E
[
CR (x).
2
x∈E
Théorème 2.3 Soit F une partition d’un ensemble E. Il existe une unique relation
d’équivalence sur E telle que F = E/R.
Preuve - Si une telle relation R existe, elle doit nécessairement vérifier
∀x ∈ E, ∀y ∈ E,
xRy ⇐⇒ (∃F ∈ F, x ∈ F et y ∈ F ).
Ceci détermine R de manière unique.
Reste à voir que la relation ainsi définie est bien une relation d’équivalence, et que l’on
a bien E/R = F.
La réflexivité découle de (3) : x ∈ E donc il existe F ∈ F tel que x ∈ F . Alors xRx.
La symétrie provient du fait que x ∈ F et y ∈ F si et seulement si y ∈ F et x ∈ F .
La transitivité s’obtient grâce à (2). En effet, si xRy et yRz, il existe d’une part F ∈ F
tel que x ∈ F et y ∈ F , et d’autre part G ∈ F tel que y ∈ G et z ∈ G. Comme y ∈ F ∩ G
il vient F = G, de sorte que x ∈ F et z ∈ F . Mais alors xRz.
Pour montrer que F = E/R, on remarque d’abord que pour tout F ∈ F et tout x ∈ F ,
on a F = CR (x). En effet d’une part la relation y ∈ F entraı̂ne que xRy, et donc y ∈ CR (x).
D’autre part, la relation y ∈ CR (x) entraı̂ne xRy, c’est-à-dire qu’il existe G ∈ F tel que x
et y soient tous deux dans G. Mais alors F ∩ G 6= ∅, d’où F = G. Ainsi y ∈ F .
On en déduit d’abord que F ⊂ E/R : car si F ∈ F, on sait que F 6= ∅. Considérant
x ∈ F , on obtient F = CR (x) et donc F ∈ E/R.
On vérifie ensuite que E/R ⊂ F : si G ∈ E/R, il existe x ∈ E tel que G = CR (x). Par
ailleurs, il existe F ∈ F tel que x ∈ F . On en tire F = CR (x) = G, de sorte que G ∈ F. 2
3. CONSTRUCTION DE Z
3
53
Construction de Z
3.1
Introduction
Si un ensemble E est muni d’une loi interne ∗ associative :
∀x ∈ E, ∀y ∈ E, ∀z ∈ E,
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) ,
admettant un élément neutre e :
∀x ∈ E,
x∗e=e∗x=x,
et telle que tout élément admette un symétrique pour cette loi :
∀x ∈ E, ∃x0 ∈ E,
x ∗ x0 = x0 ∗ x = e ,
on dit que (E, ∗) est un groupe. Le groupe est dit commutatif lorsque la loi ∗ est commutative :
∀x ∈ E, ∀y ∈ E, x ∗ y = y ∗ x .
Une propriété importante est que dans un groupe, tout élément est régulier, c’est-à-dire
que tout élément x vérifie :
½
∀y ∈ E, ∀z ∈ E, x ∗ y = x ∗ z =⇒ y = z
∀y ∈ E, ∀z ∈ E, y ∗ x = z ∗ x =⇒ y = z
Cette propriété est importante car elle permet d’effectuer des simplifications lorsqu’on
résout des équations. On la prouve en utilisant l’existence de l’élément symétrique x0 de
x : on écrit par exemple
x∗y = x∗z =⇒ x0 ∗(x∗y) = (x0 ∗x)∗z =⇒ (x0 ∗x)∗y = (x0 ∗x)∗z =⇒ e∗y = e∗z =⇒ y = z .
Revenons à l’ensemble des entiers naturels. L’addition dans N est associative et admet
0 pour élément neutre. Mais (N, +) n’est pas un groupe, car 0 est le seul élément admettant
un élément symétrique (on a vu en TD que ∀(n, p) ∈ N × N, n + p = 0 =⇒ n = p = 0).
Cependant, on a la proposition suivante.
Proposition 3.1 Tout élément de N est régulier pour l’addition.
Preuve - On raisonne par récurrence. En effet il s’agit de montrer (compte tenu de la
commutativité de l’addition) que pour tout entier n, la propriété
Hn :
∀p ∈ N, ∀q ∈ N,
p + n = q + n =⇒ p = q
est vraie.
• H0 est vraie du fait que 0 est élément neutre.
• Supposons que Hn soit vraie pour un certain n ∈ N. Montrons que Hn+1 est vraie.
Considérons deux entiers p et q tels que p + (n + 1) = q + (n + 1). On tire de l’associativité
de l’addition que (n + p) + 1 = (n + q) + 1 c’est-à-dire s(n + p) = s(n + q) (où s désigne
l’application « successeur »). Comme l’application s est injective, on a nécessairement
54 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DES ENSEMBLES DE NOMBRES N, Z ET Q
n + p = n + q. On peut alors conclure grâce à Hn que p = q. On a ainsi établi que Hn+1
est vraie.
Finalement, le principe de récurrence permet de conclure : Hn est vraie pour tout
n ∈ N.
2
On cherche à construire un ensemble Z ⊃ N, muni d’une loi interne qui en fasse un
groupe, et qui coı̈ncide avec l’addition lorsqu’on l’applique à des entiers naturels.
La construction va utiliser la remarque suivante.
Si n, p sont deux entiers naturels, on a vu que la différence n − p (c’est-à-dire l’entier
k tel que n = p + k) est définie seulement dans le cas où p ≤ n.
De plus, lorsque p ≤ n et p0 ≤ n0 , on a l’équivalence suivante :
n − p = n0 − p0
⇐⇒
n + p0 = n 0 + p .
En effet, notons k = n − p.
Si n − p = n0 − p0 , alors n0 = p0 + k et donc n + p0 = p + k + p0 = p + n0 .
Réciproquement, si n + p0 = n0 + p, on peut écrire p + k + p0 = n0 + p, c’est-à-dire
0
(p + k) + p = n0 + p : par usage de la proposition 3.1 (p est régulier), on obtient n0 = p0 + k,
soit n0 − p0 = n − p..
On remarque cependant que, contrairement au membre de gauche qui ne peut prendre
de sens que pour p ≤ n et p0 ≤ n0 , le membre de droite a un sens quelque soit l’ordre des
entiers p, n (et p0 , n0 ).
3.2
Définition de Z
On définit sur N2 = N × N la relation R par
∀(n, p) ∈ N2 , ∀(n0 , p0 ) ∈ N2 ,
(n, p) R (n0 , p0 ) ⇐⇒ n + p0 = n0 + p .
Proposition 3.2 La relation R est une relation d’équivalence sur N2 .
Preuve - Le réflexivité et la symétrie sont immédiates. Vérifions la transitivité.
Soient (n, p), (n0 , p0 ) et (n00 , p00 ) trois éléments de N2 tels que (n, p) R (n0 , p0 ) et
0
(n , p0 ) R (n00 , p00 ). On a alors
n + p0 = n0 + p
et
n0 + p00 = n00 + p0 ,
d’où en ajoutant membre à membre, n + p00 + (n0 + p0 ) = n00 + p + (n0 + p0 ). Comme
n0 + p0 est régulier pour l’addition (proposition 3.1), on en tire n + p00 = n00 + p, c’est-à-dire
(n, p) R (n00 , p00 ).
2
Définition - L’ensemble quotient N2 /R est noté Z et ses éléments sont appelés les entiers
relatifs.
Exemples - Le couple d’entiers naturels (1, 4) définit l’entier relatif
CR ((1, 4)) = {(0, 3), (1, 4), (2, 5), . . .} = {(k, k + 3), k ∈ N} ,
et le couple (0, 0) définit l’entier relatif CR ((0, 0)) = {{(k, k), k ∈ N}.
3. CONSTRUCTION DE Z
3.3
55
Addition dans Z
On commence par définir l’addition dans N2 , à partir de celle de N. Pour tous (a, b) et
(c, d) dans N2 , on pose
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) .
Proposition 3.3 L’addition ainsi définie dans N2 est associative, commutative et admet
le couple (0, 0) pour élément neutre.
Preuve - Cela découle directement des propriétés de l’addition dans N.
2
Une propriété essentielle pour la suite de la construction est la suivante.
Proposition 3.4 La relation R est compatible avec l’addition dans N2 : si les couples
(a, b), (a0 , b0 ), (c, d), (c0 , d0 ) vérifient (a, b) R (a0 , b0 ) et (c, d) R (c0 , d0 ), alors
[(a, b) + (c, d)] R [(a0 , b0 ) + (c0 , d0 )] .
Preuve - Si (a, b) R (a0 , b0 ) et (c, d) R (c0 , d0 ), on a a + b0 = a0 + b et c + d0 = c0 + d. En
ajoutant membre à membre ces deux égalités, on obtient :
(a + c) + (b0 + d0 ) = (a0 + c0 ) + (b + d) ,
c’est-à-dire (a + c, b + d) R (a0 + c0 , b0 + d0 ).
2
Cela signifie que si on fixe deux entiers relatifs n et p dans Z, on peut choisir n’importe
quel représentant (a, b) ∈ N2 de n (c’est-à-dire n’importe quel couple d’entiers naturels
(a, b) tel que n = CR ((a, b))) et n’importe quel représentant (c, d) de p (c’est-à-dire n’importe quel couple (c, d) tel que n = CR ((c, d))), la somme (a + c, b + d) définira toujours
la même classe d’équivalence CR ((a + c, b + d)).
Il est alors possible de définir l’addition de deux entiers relatifs de la façon suivante.
Définition - Soient n, p deux entiers relatifs et (a, b), (c, d) des représentants respectifs
de n et p. On pose
n + p = CR ((a + c, b + d)) .
Proposition 3.5 L’addition ainsi définie dans Z est commutative, associative et admet
la classe CR ((0, 0)) pour élément neutre. De plus, tout entier relatif admet un élément
symétrique pour l’addition (qu’on appelle son opposé).
Autrement dit, (Z, +) est un groupe commutatif.
Preuve - Les trois premières propriétés découlent de la proposition 3.3.
L’existence de l’élément symétrique d’un entier relatif s’obtient en remarquant que
pour tout (a, b) ∈ N2 , (a, b) + (b, a) = (a + b, a + b) et que (a + b, a + b) R (0, 0). Ainsi on a
CR ((a, b)) + CR ((b, a)) = CR ((0, 0)) : la classe de (b, a) est l’opposée de la classe de (a, b).
2
56 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DES ENSEMBLES DE NOMBRES N, Z ET Q
3.4
Écriture canonique des entiers relatifs
Proposition 3.6 Tout entier relatif admet un unique représentant dont au moins l’un
des termes est nul.
Preuve - Soit n = CR ((a, b)) un entier relatif. S’il admet un représentant de la forme
(m, 0), cela signifie que a + 0 = m + b. Cela suppose donc que b ≤ a, et dans ce cas on a
nécessairement m = a − b.
Si n admet un représentant de la forme (0, m), cela signifie que a + m = 0 + b. Cela
suppose donc que a ≤ b, et dans ce cas m vaut nécessairement b − a.
Finalement, comme ≤ est une relation d’ordre total sur N, on a nécessairement a ≤ b
ou b ≤ a. Si b ≤ a, alors n = CR (a − b, 0)), et si a ≤ b, alors n = CR (0, b − a)).
2
Notations - Pour tout m ∈ N, la classe CR (m, 0) est notée +m, et la classe CR (0, m) est
notée −m. Dans les deux cas, m est appelé la valeur absolue de l’entier relatif, et on écrit
m = | + m| = | − m| .
On remarque que 0 est le seul entier naturel m tel que +m = −m. En effet, si m vérifie
+m = −m, on a CR ((m, 0)) = CR ((0, m)), c’est-à-dire m + m = 0. Mais alors m = 0 (on
a vu en TD que dans N, k + m = 0 =⇒ k = m = 0). Réciproquement 0 convient puisque
+0 = −0 = CR (0, 0). On convient alors de noter plus simplement 0 la classe de (0, 0), qui
coı̈ncide avec +0 et −0. On est désormais en mesure de définir les notations classiques
Z+ = {+m, m ∈ N}, Z− = {−m, m ∈ N}, Z+∗ = {+m, m ∈ N∗ }, Z−∗ = {−m, m ∈ N∗ } .
Proposition 3.7 (i) On a Z+ ∪ Z− = Z, Z+ ∩ Z− = {0}.
(ii) Les ensembles Z+ et Z− sont stables par l’addition.
Preuve - Le point (i) provient de la proposition 3.6 : tout entier relatif n s’écrit +m ou
−m avec m ∈ N, et s’il peut s’écrire à la fois +m et −m0 , on a CR ((m, 0)) = CR ((0, m0 ))
d’où m + m0 = 0, ce qui impose m = m0 = 0 et donc n = 0.
Le point (ii) signifie que pour tous n, p dans Z,
n ∈ Z+ et p ∈ Z+ =⇒ n + p ∈ Z+ ,
n ∈ Z− et p ∈ Z− =⇒ n + p ∈ Z− .
Cela découle du fait que pour tous m, m0 dans N,
(m, 0) + (m0 , 0) = (m + m0 , 0) ,
(0, m) + (0, m0 ) = (0, m + m0 ) ,
par définition de l’addition dans N2 .
(2)
2
La proposition suivante permet d’identifier les éléments de Z+ et ceux de N.
µ
¶
N → Z+
Proposition 3.8 L’application ϕ :
est une bijection qui vérifie
m 7→ +m
∀m ∈ N, ∀m0 ∈ N,
ϕ(m + m0 ) = ϕ(m) + ϕ(m0 ) .
On dit que ϕ est un isomorphisme de (N, +) sur (Z+ , +).
Preuve - L’application ϕ est bien bijective, car pour tout n ∈ Z+ , il existe un unique
m ∈ N tel que n = CR ((m, 0)), d’après la preuve de la proposition 3.6. L’égalité proposée
provient simplement de la première égalité dans (2).
2
Notation - Finalement, on pourra écrire pour tout m ∈ N, m = +m = | + m| = | − m|.
3. CONSTRUCTION DE Z
3.5
57
Différence de deux entiers relatifs
On introduit d’abord la notation (−n) pour l’opposé de l’entier relatif n (cette notation
est bien cohérente avec les notions précédemment introduites : si n ∈ N, −n est l’entier
relatif opposé de +n, que l’on a identifié avec n lui-même).
Proposition 3.9 Pour n et p dans Z, il existe un unique élément d de Z tel que p = n+d.
Cet élément est la somme de p et de l’opposé de n : d = p + (−n).
Preuve - Le nombre d = p + (−n) convient puisque n + (p + (−n)) = (n + (−n)) + p =
0 + p = p. C’est le seul possible car si d0 vérifie p = n + d0 , on a n + d0 = n + d et donc
d0 = d.
2
Définition - Le nombre d défini ci-dessus est appelé la différence de p et n et noté p − n.
Remarques - a) Notez que le symbole « − » recouvre trois sens bien distincts :
- dans l’écriture −3, c’est le signe de l’entier relatif CR ((0, 3)),
- dans l’écriture −n (où n ∈ Z) il sert à désigner l’opposé de n,
- dans l’écriture p − n, il désigne la différence de p et n.
b) La proposition 3.9 est en fait valable dans n’importe quel groupe commutatif dont
la loi est notée additivement.
Proposition 3.10 Pour tout (n, p) ∈ Z2 , on a −(n+p) = (−n)+(−p) et n−p = −(p−n).
Preuve - Soient (n, p) ∈ Z2 . L’entier −(n) + (−p) est bien l’opposé de n + p puisque
(n + p) + (−n) + (−p) = n + (−n) + p + (−p) = (n + (−n)) + (p + (−p)) = 0 + 0 = 0 .
De même n − p est bien l’opposé de p − n car
(n − p) + (p − n) = n + (−p) + p + (−n) = (n + (−n)) + ((−p) + p) = 0 + 0 = 0 . 2
3.6
Multiplication dans Z
On dispose de deux méthodes pour définir la multiplication dans Z.
Première méthode - C’est celle qui a été présentée en cours. Elle correspond à l’introduction qui est faite au collège.
Les entiers relatifs n et p étant donnés, on définit leur produit q = np en précisant sa
valeur absolue et son signe :
- |q| = |n|.|p| ,
- Si (n, p) ∈ (Z+ )2 ∪ (Z− )2 , alors q ∈ Z+ ; si (n, p) ∈ (Z+ × Z− ) ∪ (Z− × Z+ ), alors q ∈ Z− .
La proposition suivante résume les propriétés de cette opération.
Proposition 3.11 a) La multiplication dans Z prolonge celle de N.
b) La multiplication dans Z est commutative, associative et distributive par rapport à
l’addition. Elle admet le nombre 1 = +1 = CR ((1, 0)) pour élément neutre.
c) Les nombres 1 et −1 sont les seuls éléments de Z admettant un symétrique pour la
multiplication.
d) Pour tout n et p dans Z, np = 0 =⇒ n = 0 ou p = 0.
e) Pour tout n, p, q dans Z, n.0 = 0, n(−p) = −(np) et n(p − q) = np − nq.
f )Tout élément non nul de Z est régulier pour la multiplication :
∀n ∈ Z∗ , ∀p ∈ Z, ∀q ∈ Z,
np = nq =⇒ p = q .
58 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DES ENSEMBLES DE NOMBRES N, Z ET Q
Remarques - L’ensemble Z est muni des deux lois internes + et × qui vérifient : (Z, +) est
un groupe commutatif, et la loi × est associative et distributive par rapport à l’addition.
On traduit ceci en disant que (Z, +, ×) est un anneau. Cet anneau est dit commutatif du
fait que la loi × est commutative, et unitaire du fait qu’elle admet un élément neutre.
Enfin on traduit la propriété d) en disant que Z est un anneau intègre.
Preuve de la proposition 3.11 - a) Ce point découle directement de la définition de la
multiplication et de l’identification entre N et Z+ .
b) La commutativité se lit directement sur la définition. Pour montrer l’associativité,
on observe que si n, p, q sont trois entiers relatifs, les entiers relatifs (np)q et n(pq) ont la
mème valeur absolue :
|(np)q| = |np| |q| = (|n| |p|) |q| = |n| (|p| |q|) = |n| |pq| = |n(pq)| ,
mais aussi le même signe (cela se voit en dressant un tableau présentant toutes les combinaisons possibles de signes pour n, p et q).
La distributivité est plus fastidieuse à démontrer : il faut établir pour n et p dans Z
que s’ils sont de même signe, |n + p| = |n| + |p| et que s’ils sont de signes contraires,
|n + p| = ||n| − |p||. Nous ne le détaillons pas ici.
c) et d) proviennent des propriétés de la multiplication dans N (raisonner sur les valeurs
absolues de n, p et np).
e) Les deux premières égalités peuvent s’établir facilement à l’aide des valeurs absolues
et de la règle des signes. Voici une autre preuve, plus générale, valable dans tout anneau.
Soient (n, p, q) ∈ Z3 . La distributivité de la multiplication par rapport à l’addition
permet d’écrire d’une part n.0 = n(0 + 0) = n.0 + n.0 d’où on tire n.0 = 0, et d’autre part
np + n(−p) = n(p + (−p)) = n × 0 = 0 ,
ce qui montre que n(−p) est bien l’opposé de np.
La troisième égalité s’obtient en écrivant :
n(p − q) = n(p + (−q)) = np + n(−q) = np + (−(nq)) = np − nq .
On a utilisé successivement la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition,
le point a) puis la définition de la différence.
f) est une conséquence de d) et e) : plus généralement, dans un anneau intègre, tout
élément non nul est régulier pour la multiplication. Pour le voir il suffit d’écrire que np = nq
entraı̂ne np − nq = 0 et donc n(p − q) = 0 (d’après e)), puis de déduire de d) que n 6= 0
implique p − q = 0.
2
Deuxième méthode - Celle-ci a été tout juste esquissée pendant le cours. En voici une
présentation détaillée.
Elle consiste à définir d’abord une opération convenable sur N2 , qu’on notera aussi
multiplicativement. Mais celle-ci est définie de façon moins immédiate que l’addition. On
souhaite en effet que cette multiplication dans N2 soit distributive par rapport à l’addition,
mais aussi qu’elle conduise aux résultats attendus suivants, correspondant à la « règle des
signes » :
3. CONSTRUCTION DE Z
59
(m, 0) × (m0 , 0) = (0, m) × (0, m0 ) = (mm0 , 0) ,
(m, 0) × (0, m0 ) = (0, m) × (m0 , 0) = (0, mm0 ) .
Ces contraintes imposent alors pour tous (a, b) et (a0 , b0 ) dans N2 :
(a, b) × (c, d) = [(a, 0) + (0, b)] × [(c, 0) + (0, d)]
= (a, 0) × (c, 0) + (a, 0) × (0, d) + (0, b) × (c, 0) + (0, b) × (0, d)
= (ac, 0) + (0, ad) + (0, cb) + (bd, 0)
= (ac + bd, ad + cb) ,
d’où la définition suivante.
On pose pour tous (a, b), (c, d) dans N2 , (a, b) × (c, d) = (ac + bd, ad + bc).
Proposition 3.12 La multiplication définie ci-dessus est commutative, associative et distributive par rapport à l’addition (de N2 ). Elle admet le couple (1, 0) pour élément neutre.
Preuve - La commutativité et le fait que (1, 0) soit élément neutre se voient directement
sur la définition. L’associativité et la distributivité par rapport à l’addition demandent
plus d’efforts. On considère trois couples d’entiers (a, b), (c, d) et (e, f ), et on vérifie d’une
part que
[(a, b) × (c, d)] × (e, f ) = (ac + bd, ad + bc) × (e, f )
= ((ac + bd)e + (ad + bc)f, (ac + bd)f + (ad + bc)e)
= (ace + bde + adf + bcf, acf + bdf + ade + bce)
= (a(ce + df ) + b(cf + de), a(cf + de) + b(ce + df ))
= (a, b) × (ce + df, cf + de)
= (a, b) × [(c, d) × (e, f )] ,
et d’autre part que
(a, b) × [(c, d) + (e, f )] = (a, b) × (c + e, d + f )
= (a(c + e) + b(d + f ), a(d + f ) + b(c + e))
= (ac + ae + bd + bf, ad + af + bc + be)
= (ac + bd, ad + bc) + (ae + bf, af + be)
= [(a, b) × (c, d)] + [(a, b) × (e, f )] .
Comme dans le cas de l’addition, il faut se préoccuper de la propriété suivante.
Proposition 3.13 La relation R est compatible avec la multiplication dans N2 : si les
couples (a, b), (a0 , b0 ), (c, d), (c0 , d0 ) vérifient (a, b) R (a0 , b0 ) et (c, d) R (c0 , d0 ), alors
[(a, b) × (c, d)] R [(a0 , b0 ) × (c0 , d0 )] .
60 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DES ENSEMBLES DE NOMBRES N, Z ET Q
Preuve - Si (a, b) R (a0 , b0 ) et (c, d) R (c0 , d0 ), on a a + b0 = a0 + b et c + d0 = c0 + d.
On commence par établir que [(a, b) × (c, d)] R [(a0 , b0 ) × (c, d)]. Pour cela on tire de la
relation a + b0 = a0 + b les deux égalités
ac + b0 c = a0 c + bc et a0 d + bd = ad + b0 d ,
que l’on ajoute membre à membre : (ac + bd) + (b0 c + a0 d) = (a0 c + b0 d) + (ad + bc). Cela
exprime que
(ac + bd, ad + bc) R (a0 c + b0 d, a0 d + b0 c)
c’est-à-dire la relation cherchée.
La multiplication dans N2 étant commutative, on peut réutiliser ce résultat et déduire
de la relation (c, d) R (c0 , d0 ) que [(a0 , b0 ) × (c, d)] R [(a0 , b0 ) × (c0 , d0 )]. On achève alors la
preuve grâce à la transitivité de la relation R : [(a, b) × (c, d)] R [(a0 , b0 ) × (c, d)] et
[(a0 , b0 ) × (c, d)] R [(a0 , b0 ) × (c0 , d0 )] entraı̂nent [(a, b) × (c, d)] R [(a0 , b0 ) × (c0 , d0 )].
2
On peut alors procéder comme on l’a fait pour l’addition.
Définition - Soient n, p deux entiers relatifs, et (a, b), (c, d) des représentants respectifs
de n et p. On pose
np = CR ((ac + bd, ad + bc)) .
Proposition 3.11’ a) La multiplication sur Z prolonge celle de N.
b) La multiplication dans Z est commutative, associative, distributive par rapport à
l’addition et admet le nombre 1 = +1 = CR ((1, 0)) pour élément neutre.
c) Pour tous n ∈ Z et p ∈ Z :
- |np| = |n| |p|,
- si (n, p) ∈ (Z+ )2 ∪ (Z− )2 , alors np ∈ Z+ ,
- si (n, p) ∈ (Z+ × Z− ) ∪ (Z− × Z+ ), alors np ∈ Z− .
d) Les entiers relatifs 1 et −1 sont les seuls éléments de Z qui admettent un symétrique
pour la multiplication.
e) L’anneau Z est intègre.
f ) Pour tout n, p, q dans Z, n.0 = 0, n(−p) = −(np) et n(p − q) = np − nq.
g) Tout élément non nul de Z est régulier pour la multiplication.
Preuve - a) provient du fait que pour tout a, c dans N, (a, 0) × (c, 0) = (ac, 0).
b) est une conséquence de la proposition 3.12.
c) En posant m = |n|, m0 = |p| et en appliquant la définition du produit, on obtient
np = +mm0 lorsque (n, p) ∈ (Z+ )2 ∪ (Z− )2 , et np = −mm0 lorsque (n, p) ∈ (Z+ × Z− ) ∪
(Z− × Z+ ).
d), e), f) et g) se démontrent comme les points c), d), e), f) de la proposition 3.11. 2
3.7
Relation d’ordre sur Z
On définit ainsi la relation ≤ sur Z :
∀n ∈ Z, ∀p ∈ Z,
n ≤ p ⇐⇒ p − n ∈ Z+ .
Proposition 3.14 La relation ≤ est une relation d’ordre total sur Z, compatible avec
l’addition et la multiplication par un entier positif.
4. CONSTRUCTION DE Q (CETTE PARTIE N’A PAS ÉTÉ TRAITÉE EN COURS)61
Preuve - La relation ≤ est réflexive, car pour tout n ∈ Z, n − n = 0 ∈ Z+ , donc n ≤ n.
Elle est antisymétrique car n ≤ p et p ≤ n entraı̂nent d’une part p − n ∈ Z+ et d’autre
part n − p ∈ Z+ d’où p − n = −(n − p) ∈ Z− ; alors p − n ∈ Z+ ∩ Z− = {0} soit p = n.
Elle est transitive car si n ≤ p et p ≤ q, on a p − n ∈ Z+ et q − p ∈ Z+ , donc
q − n = (q − p) + (p − n) ∈ Z+ , c’est-à-dire que n ≤ q.
C’est donc une relation d’ordre, et cet ordre est total car Z = Z+ ∪ Z− , donc pour n et
p dans Z on a p − n ∈ Z+ (et alors n ≤ p) ou p − n ∈ Z− (et alors n − p ∈ Z+ d’où p ≤ n).
Elle est compatible avec l’addition et la multiplication par un entier positif, car si les
entiers n et p vérifient n ≤ p, on a
- pour tout q dans Z, (p + q) − (n + q) = p − n ∈ Z+ donc n + q ≤ p + q,
- pour tout r dans Z+ , rp − rn = r(p − n) ∈ Z+ donc rn ≤ rp.
2
4
4.1
Construction de Q (cette partie n’a pas été traitée en cours)
Définition de Q
On a vu que dans Z, seuls deux éléments (1 et −1) admettent un inverse (c’est-à-dire
un symétrique pour la multiplication).
On cherche à construire un ensemble Q ⊃ Z, muni de deux lois internes, qui coı̈ncident
avec l’addition et la multiplication déjà définies lorsqu’on les applique à des entiers relatifs,
et qui en plus de toutes les propriétés énoncées ci-dessus pour les opérations dans Z,
permettent d’attribuer à tout élément non nul un inverse.
Pour cela, on s’inspire de l’écriture attendue des rationnels comme quotients d’entiers :
p
p0
on veut que les fractions et 0 soient égales si et seulement si pq 0 = p0 q.
q
q
On définit donc la relation S sur Z × Z∗ par
∀(p, q) ∈ Z × Z∗ , ∀(p0 , q 0 ) ∈ Z × Z∗ ,
(p, q) S (p0 , q 0 ) ⇐⇒ pq 0 = p0 q .
Notez la similitude de cette définition avec celle de la relation R qui a servi à définir Z.
Proposition 4.1 La relation S est une relation d’équivalence sur Z × Z∗ .
Preuve - Comme pour la proposition 3.2, la réflexivité et la symétrie sont immédiates.
Détaillons la transitivité.
Soient (p, q), (p0 , q 0 ) et (p00 , q 00 ) trois éléments de Z × Z∗ tels que (p, q) S (p0 , q 0 ) et
0
(p , q 0 ) S (p00 , q 00 ). On a alors d’une part pq 0 = p0 q, d’où l’on tire pq 0 q 00 = p0 qq 00 , et d’autre
part p0 q 00 = p00 q 0 qui permet d’écrire p0 q 00 q = p00 q 0 q. en observant les deux égalités obtenues, on obtient pq 0 q 00 = p00 q 0 q soit (pq 00 )q 0 = (p00 q)q 0 . Or q 0 est régulier pour la multiplication puisqu’il est non nul (cf. proposition 3.11). On a donc pq 00 = p00 q c’est-à-dire
(p, q) S (p00 , q 00 ).
2
Définition - L’ensemble quotient (Z × Z∗ )/S est noté Q et ses éléments sont appelés les
nombres rationnels. La classe d’équivalence d’un couple (p, q) de Z × Z∗ pour la relation
p
S se note sous forme fractionnaire CS ((p, q)) = .
q
−1
Exemples - Le couple d’entiers relatif (−1, 4) définit le rationnel
c’est-à-dire
4
CS (−1, 4) = {(−1, 4), (1, −4), (−2, 8), (2, −8), (−3, 12), (3, −12), . . .} = {(−k, 4k), k ∈ Z∗ } ,
62 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DES ENSEMBLES DE NOMBRES N, Z ET Q
et les couples (0, 1) et (1, 1) définissent respectivement les rationnels
0
= CR (0, 1) = {(0, k), k ∈ Z∗ } et
1
4.2
1
= CR (1, 1) = {(k, k), k ∈ Z∗ } .
1
Multiplication dans Q
La construction est analogue à celle de l’addition dans Z. On commence par définir
une multiplication sur Z × Z∗ , en posant pour tous (p, q) et (p0 , q 0 ) dans Z × Z∗ :
(p, q) × (p0 , q 0 ) = (pp0 , qq 0 ) .
Les entiers relatifs q et q 0 étant tous deux non nuls, le produit qq 0 est bien dans Z∗ .
Proposition 4.2 La multiplication ainsi définie dans Z×Z∗ est commutative, associative,
et admet le couple (1, 1) pour élément neutre.
Preuve - Cela découle directement des propriétés de la multiplication dans Z.
Puis on établit la propriété suivante.
2
Proposition 4.3 La relation S est compatible avec la multiplication dans Z × Z∗ : si les
couples (a, b), (a0 , b0 ), (c, d), (c0 , d0 ) vérifient (a, b) S (a0 , b0 ) et (c, d) S (c0 , d0 ), alors
[(a, b) × (c, d)] S [(a0 , b0 ) × (c0 , d0 )] .
Preuve - Si (a, b) S (a0 , b0 ) et (c, d) S (c0 , d0 ), on a ab0 = a0 b et cd0 = c0 d. En multipliant
membre à membre ces deux égalités, on obtient :
(ac)(b0 d0 ) = (a0 c0 )(bd) ,
c’est-à-dire (ac, bd) S (a0 c0 , b0 d0 ).
2
Il est alors possible de définir la multiplication de deux rationnels de la façon suivante.
Définition - Soient x, y deux rationnels, et (a, b), (c, d) des représentants respectifs de x
et y. On pose
ac
a c
.
xy = CS ((ac, bd)) c’est-à-dire × =
b d
bd
Proposition 4.4 La multiplication ainsi définie dans Q est commutative, associative et
1
admet le rationnel = CS ((1, 1)) pour élément neutre. De plus, tout rationnel non nul
1
admet un élément symétrique pour la multiplication (qu’on appelle son inverse).
En particulier, (Q∗ , ×) est un groupe commutatif.
Preuve - Les trois premières propriétés découlent de la proposition 4.2.
L’existence de l’élément symétrique d’un rationnel non nul s’obtient en remarquant
que pour tout (a, b) ∈ Z∗ × Z∗ , (a, b) × (b, a) = (ab, ab) et que (ab, ab) S (1, 1). Autrement
a
b
dit l’inverse du rationnel non nul est le rationnel .
2
b
a
4. CONSTRUCTION DE Q (CETTE PARTIE N’A PAS ÉTÉ TRAITÉE EN COURS)63
4.3
Addition dans Q
Là encore, on définit d’abord une opération, notée additivement, dans Z × Z∗ . Pour
qu’elle corresponde à l’addition des fractions (avec la réduction au même dénominateur),
on pose pour (a, b) et (c, d) dans Z × Z∗ :
(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) .
Proposition 4.5 L’addition ainsi définie dans Z × Z∗ est commutative, associative et
admet le couple (0, 1) pour élément neutre.
Preuve - La commutativité et le fait que (0, 1) soit élément neutre sont immédiats. Montrons l’associativité. Soient (a, b), (c, d) et (e, f ) trois éléments de Z × Z∗ .
[(a, b) + (c, d)] + (e, f ) = (ad + bc, bd) + (e, f )
= ((ad + bc)f + bde, bdf )
= (adf + b(cf + de), bdf )
= (a, b) + (cf + de, df )
= (a, b) + [(c, d) + (e, f )] .
Proposition 4.6 La relation S est compatible avec l’addition dans Z × Z∗ : si les couples
(a, b), (a0 , b0 ), (c, d), (c0 , d0 ) vérifient (a, b) S (a0 , b0 ) et (c, d) S (c0 , d0 ), alors
[(a, b) + (c, d)] S [(a0 , b0 ) + (c0 , d0 )] .
Preuve - Comme (a, b) S (a0 , b0 ) et (c, d) S (c0 , d0 ), on a ab0 −a0 b = cd0 −c0 d = 0. Par ailleurs,
(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) et (a0 , b0 ) + (c0 , d0 ) = (a0 d0 + b0 c0 , b0 d0 ). En calculant
(ad + bc)b0 d0 − (a0 d0 + b0 c0 )bd = (ab0 − a0 b)dd0 + (cd0 − c0 d)bb0 = 0 ,
on voit que (ad + bc, bd) S (a0 d0 + b0 c0 , b0 d0 ).
2
On peut donc définir une addition sur Q en posant
CS ((a, b)) + CS ((c, d)) = CS ((a, b) + (c, d)))
c’est-à-dire
ad + bc
a c
+ =
.
b d
bd
Proposition 4.7 L’addition ainsi définie dans Q est commutative, associative et admet
0
le rationnel = CS ((0, 1)) pour élément neutre. De plus, tout rationnel admet un élément
1
symétrique pour l’addition (qu’on appelle son opposé), et la multiplication dans Q est
distributive par rapport à l’addition.
Preuve - Les trois premières propriétés découlent de la proposition 4.5.
L’existence de l’élément symétrique d’un rationnel s’obtient en remarquant que pour
tout (a, b) ∈ Z × Z∗ , (a, b) + (−a, b) = (ab + (−a)b, b2 ) = (0, b2 ) et que (0, b2 ) S (0, 1). Ainsi
−a
a
on a CS ((a, b)) + CS ((−a, b)) = CS ((0, 1)) : le rationnel
est l’opposée de .
b
b
64 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DES ENSEMBLES DE NOMBRES N, Z ET Q
Pour établir la distributivité, on calcule
(a, b)[(c, d) + (e, f )] = (a, b)(cf + de, df ) = (acf + ade, bdf )
puis
(a, b)(c, d) + (a, b)(e, f ) = (ac, bd) + (ae, bf ) = (b(acf + ade), b(bdf )) .
Onµ en tire¶ que (a, b)[(c, d) + (e, f )] S [(a, b)(c, d) + (a, b)(e, f )] ce qui traduit bien que
a c
e
ac ae
+
=
+
.
2
b d f
bd bf
Remarque - Finalement (Q, +, ×) est un anneau unitaire tel que tout élément non nul
admet un inverse : on dit que (Q, +, ×) est un corps. De plus ce corps est dit commutatif
du fait que la multiplication est commutative.
np
o
La proposition suivante permet d’identifier Z au sous-ensemble A =
; p ∈ Z de Q
1
et montre que les opérations définies sur Q prolongent celles de Z.
Proposition 4.8 µL’ensemble A ¶est stable pour l’addition et la multiplication de Q et
Z → A
l’application ψ :
est un isomorphisme de (Z, +, ×) sur (A, +, ×).
p 7→ p/1
Preuve - La stabilité s’obtient en calculant pour p et q dans Z :
p.1 + 1.q
p q
pq
p q
p+q
pq
+ =
et × = 2 =
.
=
1 1
12
1
1 1
1
1
Ces calculs montrent au passage que ψ(p+q) = ψ(p)+ψ(q) et ψ(pq) = ψ(p).ψ(q). Pour voir
que l’application ψ est un isomorphisme, il ne reste qu’à montrer qu’elle est bijective. Elle
est surjective par construction, et injective du fait que ψ(p) = ψ(q) entraı̂ne p × 1 = 1 × q
c’est-à-dire p = q.
2
4.4
Relation d’ordre sur Q
On commence par définir les ensembles Q+ et Q− .
a
.
b
0
0
- Ou bien a = 0. Tout autre représentant (a , b ) de x vérifie alors a0 = 0.
- Ou bien ab ∈ Z+∗ . Tout autre représentant (a0 , b0 ) de x vérifie alors a0 b0 ∈ Z+∗ .
- Ou bien ab ∈ Z−∗ . Tout autre représentant (a0 , b0 ) de x vérifie alors a0 b0 ∈ Z−∗ .
Proposition 4.9 Soient x ∈ Q et (a, b) ∈ Z × Z∗ tel que x =
Preuve - Comme b 6= 0, les trois cas ab = 0, ab ∈ Z+∗ et ab ∈ Z−∗ conduisent aux trois
situations envisagées dans la proposition.
a0
Considérons un couple (a0 , b0 ) de Z × Z∗ tel que x = 0 c’est-à-dire tel que ab0 = a0 b.
b
Si a = 0, on a nécessairement a0 b = 0 et donc a0 = 0.
Lorsque a 6= 0, le produit aa0 bb0 est le carré de l’entier non nul ab0 et est donc dans
+∗
Z .
Si ab ∈ Z+∗ , on a nécessairement a0 b0 ∈ Z+∗ puisque sinon aa0 bb0 serait dans Z−∗ .
On montre de même que si ab ∈ Z−∗ , alors a0 b0 ∈ Z−∗ .
2
4. CONSTRUCTION DE Q (CETTE PARTIE N’A PAS ÉTÉ TRAITÉE EN COURS)65
Avec les notations de la proposition précédente, le fait que a = 0, ab ∈ Z+∗ ou ab ∈
est indépendant du représentant (a, b) choisi pour le rationnel x. Le premier cas est
caractéristique de x = 0. On appelle Q+∗ l’ensemble des rationnels x qui vérifient la
deuxième propriété et Q−∗ l’ensemble des rationnels x qui vérifient la troisième. Ainsi les
ensembles {0}, Q+∗ et Q−∗ constituent une partition de Q.
Z−∗
On pose Q+ = Q+∗ ∪ {0} et Q− = Q−∗ ∪ {0}.
On peut alors procéder comme on l’a fait pour Z au paragraphe 3.7. On note (−x)
l’opposé d’un rationnel x, puis on définit la différence y − x = y + (−x) de deux rationnels
x et y (comme dans la proposition 3.9), qui vérifie les mêmes propriétés que dans Z
(proposition 3.10 et distributivité de la multiplication sur la soustraction énoncée à la
proposition 3.11-e).
On définit alors la relation ≤ ainsi : pour x, y dans Q,
x ≤ y ⇐⇒ y − x ∈ Q+ .
Proposition 4.10 La relation ≤ ainsi définie est une relation d’ordre total sur Q, compatible avec l’addition et la multiplication par un rationnel positif.
Preuve - La preuve est la même que dans Z (cf proposition 3.14). Pour la développer, on
a besoin d’établir que Q+ est stable pour l’addition et la multiplication.
Cela vient de ce que si (a, b) et (c, d) sont des éléments de Z × Z∗ tels que ab ∈ Z+ et
ad + bc
a c
vérifie
cd ∈ Z+ , alors d’une part la fraction + =
b d
bd
(ad + bc)bd = (ab)d2 + b2 (cd) ∈ Z+ .
Et d’autre part la fraction
ac
a c
× =
vérifie (ac)(bd) = (ab)(cd) ∈ Z+ .
b d
bd
2
66 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DES ENSEMBLES DE NOMBRES N, Z ET Q
Bibliographie
[COL] Collette Jean-Paul, Histoire des mathématiques, Vuibert (1979).
Sur les géométries euclidienne et non euclidiennes
[BER] Berger Marcel, Géométrie, Vol. 1 et 2, Nathan (1990).
[EUC] Euclide, Les Éléments, Vol. 1 - Livres I à IV : géométrie plane,
Presses Universitaires de France (1990).
[LEH] Lehmann Daniel, Initiation à la géométrie,
Presses Universitaires de France (1988).
Sur la logique et la théorie des ensembles
[SCH] Schwartz Laurent, Analyse I : théorie des ensembles et topologie,
Hermann (1991).
67

Divers aspects axiomatiques en mathématiques

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