notes chapitre 1 Les Nombres

Mathématique 306
Chapitre 1
LES NOMBRES
Section 1.1
La racine cubique, la notation exponentielle et les
lois des exposants
Section 1.2
La notation scientifique
Section 1.3
Les ensembles de nombres
Cahier des
tâches
Nom : ___________________________________
Septembre
2015
Groupe :
31
32
33
34
2
SECTION 1.1
LA RACINE CUBIQUE, LA NOTATION
EXPONENTIELLE ET LA LOI DES EXPOSANTS
LA RACINE CUBIQUE
Le symbole
3
signifie racine cubique. Extraire la racine cubique consiste à chercher le
nombre qui, multiplié trois fois par lui-même, donne le nombre qui se trouve sous le radical. Il
s’agit de l’opération inverse d’élever au cube.
L’expression
3
a se lit « racine cubique de a ».
L’expression a3 se lit « a au cube ».
Si 3 a  x , alors x 3  a .
Les nombres cubiques sont : 1, 8, 27, 64, 125, 216, …
Exemple :
3
125  5 , puisque 53  125.
Exemple :
Calcule :
3
a) √27 = __________
3
e) √27 = ________
3
b) √125 = _________
f)
3
√20 = _________
3
c) √1000= _________
3
d) √1 = ________
3
LES EXPOSANTS FRACTIONNAIRES
Il est possible de représenter les racines carrées et cubiques, et même les racines énièmes,
par des exposants fractionnaires de forme
1
1
a2
est équivalent à a
a 3 est
1
. Ainsi, pour tout nombre a positif :
n
équivalent à 3 a
1
an
est équivalent à n a
Exemple :
Calcule
a) 2161/3 = _________
e) 811/2= _________
b) 641/3 = _________
f)
c) 251/2 = _________
g) 331/3= _________
161/2 = _________
d) 3431/3= _________
4
NOTATION EXPONENTIELLE
L’exponentiation est l’opération qui consiste à affecter une base d’un exposant afin d’obtenir une
puissance : baseexposant = puissance. Par exemple, dans l’expression 45 = 1024, la base est 4,
l’exposant est 5 et la puissance est 1024.
Notation et signification
Exemple
Pour une base a et un exposant entier m > 1 :
𝑎𝑚 = ⏟
𝑎×𝑎 ×𝑎 ×…×𝑎
𝑚 fois
37 =
L’exposant m indique le nombre de fois que la
base a apparaît comme facteur dans un produit.
Pour une base a et l’exposant 1 :
a1 = a
-5,71 =
Pour une base a ≠ 0 et l’exposant 0 :
a0 = 1
18,20 =
Pour une base a ≠ 0 et l’exposant entier m < 0 :
1
𝑎m
𝑎-m =
5-3 =
Pour une base a > 0 et l’exposant
1
𝑎2
1
2
=
:
1
252 =
= √𝑎
=
1
Pour une base a et l’exposant 3 :
1
𝑎3
Exemple :
a)
1
64 3 =
3
= √𝑎
=
Calcule
45 = __________
f)
271/3
=__________
b) 271 = __________
g) 15780
c) 330 = __________
h) _________ = __________
-2
= __________
d) 2 = __________
i)
_________ = __________
e) 161/2 = __________
j)
_________ = __________
k) _________ = __________
5
LES LOIS DES EXPOSANTS
Voici des lois qui facilitent le calcul d’expressions comprenant des exposants. Ces lois
s’appliquent aussi aux exposants négatifs.
Loi
Produit de puissances de même base
Le résultat est la base affectée de la somme des exposants des
puissances.
Exemple
am x an = am + n
Quotient de puissances de même base
Le résultat est la base affectée de la différence des exposants
des puissances (exposant du dividende moins exposant du
diviseur).
am + an = am – n
a≠0
Puissance d’une puissance
Le résultat est la base affectée du produit des exposants.
(a m )n = a mn
D’autres lois des exposants
Ce tableau présente deux nouvelles lois des exposants. Il reprend également la loi du calcul
d’une puissance d’une puissance que tu as vue à la page 12, mais en y ajoutant cette fois un
exemple avec des exposants fractionnaires.
Loi
Exemples
Puissance d’une puissance
Le résultat est la base affectée du
produit des exposants.
(a m ) n  a mn
Puissance d’un produit
La puissance d’un produit est égale
au produit des puissances de même
exposant.
(a  b) m  a m  b m
Puissance d’un quotient
La puissance d’un quotient est égale
au quotient des puissances de même
exposant.
a
am
( )m 
b
bm
b0
6
1.2 NOTATION SCIENTIFIQUE
LA NOTATION SCIENTIFIQUE
C’est une façon d’écrire les nombres qui sont très petits ou très grands.
Par exemple, on peut écrire que 30 000 = 3 × 10 000 = 3 × 104
Premier facteur
(appelé « la mantisse »)
Deuxième facteur
Puissance de 10 en notation exponentielle, qui
indique l’ordre de grandeur du nombre.
Nombre décimal supérieur ou égal à 1,
mais inférieur à 10, formé de chiffres
significatifs.
3,05 X 106
Premier chiffre
significatif non nul
►Si le nombre initial est supérieur
à 1, l’exposant est positif.
►Si le nombre initial est compris
entre 0 et 1, l’exposant est négatif.
Autres chiffres
significatifs
conservés
Cette dernière façon est la notation scientifique. Il suffit de repérer le premier chiffre significatif
multiplié par une puissance de 10.
Donc, 1200 = ___________________
Pour vous aider voici un tableau
…
106
105
104
103
102
101
100
,
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
…
En transcrivant le nombre dans ce tableau, comment s’écrit 4 620 000 en notation scientifique?
__________________________
Et comment serait 0,00034? _________________________
7
Autres exemples :
a) 0,000 000 000 036 _____________
g) -0,000 000 679 5
_______________
b) -256 700 000 000 ______________
h) 4 000 000 000
_______________
c) 0,000 007
i) 600 000
_______________
_______________
d) 34 000 000 000 000 _____________
j) -675 895 000
__________ ____
e) -0,000 000 002 567 _____________ k) 0,000 000 000 4
______________
f) 7000
______________
_____________ l) 0,004
Sachant que le tableau indique la position de chacun des chiffres, on fait la même chose
lorsqu’on veut écrire en notation décimale un nombre déjà en notation scientifique.
Donc 3 x 10-5 = 0,00003
Exemples :
a) 5,6  10 11
_________________
d) 7,32  10 9
_________________
b)  8,967  10 8
_________________
e) 2,534  10 12
_________________
c)  8,778  10 5
_________________
f) 8,234  10 6
_________________
8
Les calculs avec des nombres exprimés en notation scientifique
La notation scientifique facilite le calcul d’expressions qui comprennent de très grands
nombres et de très petits nombres.
Voici les étapes de la multiplication de 2,5 x 108 et 4,8 x 105.
Par commutativité de la multiplication, regrouper les
mantisses ensemble et les puissances de 10
ensemble.
Par associativité de la multiplication, calculer le
produit des mantisses et des puissances de 10.
Exprimer le résultat en notation scientifique.
On procède de façon similaire pour calculer le quotient de deux
nombres exprimés en notation scientifique.
Voici les étapes de la division de 2,7 x 1012 et 3 x 10 4.
Par associativité, regrouper les mantisses
ensemble et les puissances de 10 ensemble.
Calculer le quotient des mantisses et des
puissances de 10.
Exprimer le résultat en notation scientifique.
9
1.3 L’ENSEMBLE DES NOMBRE
LES ENSEMBLES DE NOMBRES
Le tableau suivant présente les ensembles de nombres de façon détaillée.
Ensemble
de nombres
(symbole)
Définition
Nombres
naturels
( )
Nombres qui servent à
dénombrer :
Nombres
entiers
( )
Nombres naturels et leurs
opposés :
Nombres
rationnels
( )
Nombres qui peuvent
s’exprimer comme
le quotient de deux
nombres entiers :
Nombres
irrationnels
(
)
Nombres qui ne peuvent pas
s’exprimer comme le quotient de
deux nombres entiers,
possèdent une suite de décimales
infinie et non périodique. On ne
peut pas les représenter de façon
précise à l’aide de la notation
décimale.
Nombres
réels
(
)
Ensemble qui correspond à
l’union des nombres
rationnels et des nombres
irrationnels.
Exemple
Ce diagramme illustre la relation entre les ensembles de nombres.
Pièges et astuces
Il est impossible
d’écrire la suite de
décimales d’un
nombre irrationnel,
car celle-ci est infinie
et non périodique.
C’est pourquoi on
désigne les nombres
irrationnels à l’aide
de symboles comme
ou
10
Voici des symboles couramment utilisés en notation ensembliste.
Symbole
(signification)

(est élément de)
Exemple
Le nombre 3 est élément de (ou appartient à) l’ensemble
.

(n’est pas élément
de)
Le nombre
3
n’est pas élément de (ou n’appartient pas à) l’ensemble
4
+
(positif)
Tous les éléments de
+
qui sont positifs.
(négatif)
Tous les éléments de
qui sont négatifs.
.
(le symbole se lit « étoilé »)
Tous les nombres naturels sauf 0.
*
(non nul)
= {1,2,3,4, …}
Opérations sur les ensembles
(le symbole se lit « prime »)
´
Tous les éléments qui n’appartiennent pas à l’ensemble .
est complément
(est complément de) de , car il représente tous les nombres qui ne sont pas rationnels.

(union)
Union des éléments des ensembles
.

(intersection)
et
pour n’en former qu’un seul, soit
L’intersection de
et de
correspond à l’ensemble des éléments communs
aux deux ensembles. Or, aucun élément n’appartient à la fois à
et à
. Le
résultat de l’opération est donc l’ensemble vide : { }.
Remarque : On dit que deux ensembles sont égaux lorsqu’ils sont composés
de tous les mêmes éléments. On utilise le symbole d’égalité (=) pour les
associer.
11
12
13
14
15