Anneau quotient Exemple : On sait que les sous groupes de (ℤ,+)

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Anneau quotient
S.Remmal
Exemple :
On sait que les sous groupes de (,+) sont de la forme  où   .
               .
.
On a donc une partition de  par les sous ensembles :
c.à.d.si n est un entier fixé, alors tout entier m va se trouver dans un
seul ensemble de la forme  et =
 .
La relation binaire définie dans  par :
ensembles :
.
mble 
à
, 
classe peut avoir plusieurs représentants. On doit donc avoir la
propriété suivante :
.

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 Cette propriété est vérif :
En effet, 
Donc : .
On peut interpréter la propriété précédente, en disant que la relation
binaire  
    )
 par + et on vérifie sans difficulté,
 muni de cette opération est un groupe abélien dont
  .
 est un
homomorphisme de groupes puisque :      
 est naturellement surjective et son noyau
égal à, on a :
.
             .
De même, 
à partir de la multiplication de , cette opération doit tenir
doit donc avoir la propriété suivante :
.
 Cette  :

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En effet, 
Donc : .
La relation binaire  est alors compatible avec la multiplication de 
puisque :
    )
Le groupe 
 muni de la multiplication :
devient alors un anneau commutatif unitaire
 devient un
homomorphisme surjectif entre les anneaux  et 
puisque :
Cas général
.
Soit  un anneau commutatif. Si on veut construire une structure
  compatible
avec les opérations de.
Ainsi si  est une relation et la
 c.à.d.
    ) et  ),
     est alors un sous groupe de   qui
vérifie :        .

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On dit dans ce cas que  .
Inversement, si  , la relation binaire  définie
sur  par :
.
 compatible avec
les opérations de 
           sera noté
ou 
.
Les opérations :
.
est un homomorphisme surjectif
entre les anneaux   telle que :  