STRUCTURES I)Lois de composition interne: Une loi de

STRUCTURES
I)Lois de composition interne:
Une loi de composition interne dans un ensemble E est une application de E×E dans E
f : (x;y) y f(x;y) généralement noté x*y appelé composé de x et y
Beaucoup d'opérations sont des lois de composition interne:
addition dans N,Z,Q,R, l'ensemble des vecteurs, des fonctions; x*y est noté x+y appelé somme
multiplication dans N,Z,Q,R, dans l'ensemble des fonctions; noté xy ou x$y ou xet x×y appelé produit
 
produit vectoriel pour les vecteurs; noté u  v (défini plus tard)
composée pour les fonctions; noté fog
l'intersection et la réunion pour l'ensemble des sous-ensemble d'un ensemble E
D'autres ne le sont que dans certains ensembles: la soustraction l'est dans R mais pas dans N; la division dans R pas dans Z.
D'autres ne le sont pas: produit scalaire de deux vecteurs car le résultat n'est pas un vecteur.
Si  (x;y) E×E, x*y = y*x ; la loi est commutative ex: addition, multiplication mais pas soustraction, division et composée
Si  (x;y;z) E 3, (x*y)*z =x*(y*z) ; la loi est associative
ex: addition et multiplication, composée de fonctions
Une loi de composition interne peut admettre un élément neutre e défini par :  x E , x*e = e*x = x

ex: 0 ou 0 est l'élément neutre de l'addition; 1 celui de la multiplication; Id E celui de la composée des fonctions;
O celui de la réunion des ensembles
rq:si * commutative, une égalité suffit
Soit un élément x de E pour lequel  x ' E tel que x*x ' = x '*x = e, x est symétrisable
x ' est le symétrique de x pour la loi * aussi noté x – 1
ex: l'opposé pour l'addition; l'inverse pour la multiplication mais 0 n'est pas symétrisable
la réciproque pour la composée des fonctions
rq: si la loi est associative, le symétrique, s'il existe, est unique
0 joue un rôle très particulier pour la multiplication: il annule tous les produits; un tel élément est dit absorbant
a est absorbant pour la loi * si  x E, x*a = a*x = a
ex: O est absorbant pour l'intersection des ensembles.
II) Homomorphisme:
Soit E et F deux ensembles, chacun étant muni d'une loi de composition interne, respectivement * et T
et f une application de E vers F.
f est un homomorphisme de (E, *) vers (F,T) si et seulemnt si  (x;y) E×E, f(x*y) = f(x) T f(y).
ex: ln(xy) = lnx + lny donc ln est un homomorphisme de (R+*,×) sur (R+*,+).
III)Groupes:
Un ensemble G muni d'une loi * noté (G, * )est un groupe lorsque:
* est associative, possède un élément neutre et tout élément de G admet un symétrique
Si de plus, la loi est commutative, le groupe est dit commutatif ou abélien.
ex: (R,×) n'est pas un groupe mais (R*, ×) en est un.
Soit un groupe G admettant e pour élément neutre ; G' un groupe admettant e ' pour élément neutre et f un homomorphisme
de G vers G 'alors f(e) = e ' et l' image du symétrique de x dans G est le symétrique de l'image de x dans G '.
IV) Anneaux:
Un ensemble A muni de deux lois de composition interne notées + et × (pour plus de facilités) est un anneau lorsque:
(A,+) est un groupe commutatif
× est associative et possède un élément neutre
× est distributive sur + c'est-à dire  (x;y;z) A3, x × (y + z) = x×y + x×z.
ex: Z ou R muni de l'addition et de la multiplication sont des anneaux.
Un anneau est un corps si tout élément non nul de A admet un symétrique pour la multiplication.
donc (R , + , ×) est un corps.
a b 
ex: Une matrice carrée réelle (2 ; 2) est un tableau 
 où a, b, c et d sont quatre nombres réels.
c d 
Dans l'ensemble de ces matrices (2 ; 2), on définit:
a b  a' b' a  a' b b' 
l'addition par 

 + 
= 
 c d   c ' d '  c  c ' d  d '
 a b   a ' b '   aa ' bc ' ab ' bd ' 
la multiplication par 
 . On définit ainsi un anneau mais pas un corps.
  
= 
 c d   c ' d '   ca ' dc ' cb ' dd ' 