control 1 alg 1 2012

Université Chouaïb Doukkali
Année universitaire 2011-2012
Ecole Nationale des Sciences Appliquées
Semestre 1, CPI 11.
Algèbre1.
Pr. Amrani
Control 1. Durée 2 h.
Exercice 1 (Questions de cours)
(6 pts)
1. Soit E l’ensemble défini par : E={{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,5}}. Déterminer les éléments
minimaux et les éléments maximaux de E pour la relation d’ordre : ⊂ .
2. Soit f : E → F une application d’un ensemble E vers un ensemble F. Montrer que :
f est surjective si et seulement si ∀B ⊂ F , f ( f −1 ( B)) = B.
3. Soit τ la permutation de I 5 définie par son graphe Γτ = {(1,3), (2,1), (3,2), (4,5), (5,4)}. Déterminer le
nombre les inversions de τ et calculer sa signature.
4. Soit (G, .) un groupe et H et K deux sous groupes de G. Montrer que
a. H ∩ K est un sous groupe de G.
b. H .K est un sous groupe de G si et seulement si H .K = K .H .
Exercice 2
(2,5 pts)
On muni ℝ +* de la loi de composition interne suivante : ∀( x, y ) ∈ ℝ +* : x * y = x 2 + y 2 .
1. Etudier les propriétés de la loi * (commutativité, associativité, élément neutre, le symétrique).
2. ( ℝ +* , *) est il un groupe ?
Exercice 3
(2 pts)
Soient E et F deux ensembles, f : E → F , g : F → E , deux applications telles que fogof soit bijective.
Montrer que f et g sont bijectives.
Exercice 4
(3 pts)
Soit E un ensemble, (G ,.) un groupe et f une bijection de E vers G .
Pour tout couple ( x, y ) de E 2 , on pose x. y = f −1 ( f ( x). f ( y )). Montrer que la loi de composition interne
ainsi définie sur E , muni E d’une structure de groupe.
Exercice 5
(5,5 pts)
Soit G un groupe multiplicatif.
On suppose qu’il existe n ∈ ℕ* tel que l’application f : G → G, par f ( x) = x n soit un homomorphisme
surjectif. Et soit f x l’automorphisme de G défini par f x ( y ) = x. y.x −1 , ∀y ∈ G.
1. Montrer que ∀x, y ∈ G : f x ( y ) = f xn ( y ) .
2. En déduire que ∀x, y ∈ G : x n−1. y = y.x n−1.
3. Montrer que si on suppose de plus que l’application : x → x n−1 est surjectif, alors G est commutatif.
N.B. 1 point pour la présentation.
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