control 1 alg 1 2012

Université Chouaïb Doukkali Année universitaire 2011-2012
Ecole Nationale des Sciences Appliquées Semestre 1, CPI 11. Pr. Amrani
1
Algèbre1. Control 1. Durée 2 h.
Exercice 1 (Questions de cours) (6 pts)
1. Soit
E
l’ensemble défini par : E={{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,5}}. Déterminer les éléments
minimaux et les éléments maximaux de E pour la relation d’ordre :
⊂
.
2. Soit
:
f E F
→
une application d’un ensemble E vers un ensemble F. Montrer que :
f
est surjective si et seulement si
1
, ( ( )) .
B F f f B B
−
∀ ⊂ =
3. Soit
τ
la permutation de
5
I
définie par son graphe
τ
Γ =
{(1,3), (2,1), (3,2), (4,5), (5,4)}. Déterminer le
nombre les inversions de
τ
et calculer sa signature.
4. Soit (G, .) un groupe et H et K deux sous groupes de G. Montrer que
a.
H K
∩
est un sous groupe de G.
b.
.
H K
est un sous groupe de G si et seulement si
. . .
H K K H
=
Exercice 2 (2,5 pts)
On muni
*
+
ℝ
de la loi de composition interne suivante :
* 2 2
( , ) : * .
x y x y x y
+
∀ ∈ = +
ℝ
1. Etudier les propriétés de la loi * (commutativité, associativité, élément neutre, le symétrique).
2. (
*
+
ℝ
, *) est il un groupe ?
Exercice 3 (2 pts)
Soient E et F deux ensembles,
: , : ,
f E F g F E
→ →
deux applications telles que
fogof
soit bijective.
Montrer que
f
et
g
sont bijectives.
Exercice 4 (3 pts)
Soit
E
un ensemble,
( ,.)
G
un groupe et
f
une bijection de E vers
G
.
Pour tout couple
( , )
x y
de
2
E
, on pose
1
. ( ( ). ( )).
x y f f x f y
−
= Montrer que la loi de composition interne
ainsi définie sur
E
, muni
E
d’une structure de groupe.
Exercice 5 (5,5 pts)
Soit G un groupe multiplicatif.
On suppose qu’il existe
*
n∈
ℕ
tel que l’application : ,par ( )
n
f G G f x x
→ =
soit un homomorphisme
surjectif. Et soit
x
f
l’automorphisme de G défini par
1
( ) . . , .
x
f y x y x y G
−
= ∀ ∈
1. Montrer que
, : ( )
x
x y G f y
∀ ∈ =
( )
n
x
f y
.
2. En déduire que
1 1
, : . . .
n n
x y G x y y x
− −
∀ ∈ =
3. Montrer que si on suppose de plus que l’application :
1
n
x x
−
→ est surjectif, alors G est commutatif.
N.B. 1 point pour la présentation.