Université Chouaïb Doukkali Année universitaire 2011-2012 Ecole Nationale des Sciences Appliquées Semestre 1, CPI 11. Algèbre1. Pr. Amrani Control 1. Durée 2 h. Exercice 1 (Questions de cours) (6 pts) 1. Soit E l’ensemble défini par : E={{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,5}}. Déterminer les éléments minimaux et les éléments maximaux de E pour la relation d’ordre : ⊂ . 2. Soit f : E → F une application d’un ensemble E vers un ensemble F. Montrer que : f est surjective si et seulement si ∀B ⊂ F , f ( f −1 ( B)) = B. 3. Soit τ la permutation de I 5 définie par son graphe Γτ = {(1,3), (2,1), (3,2), (4,5), (5,4)}. Déterminer le nombre les inversions de τ et calculer sa signature. 4. Soit (G, .) un groupe et H et K deux sous groupes de G. Montrer que a. H ∩ K est un sous groupe de G. b. H .K est un sous groupe de G si et seulement si H .K = K .H . Exercice 2 (2,5 pts) On muni ℝ +* de la loi de composition interne suivante : ∀( x, y ) ∈ ℝ +* : x * y = x 2 + y 2 . 1. Etudier les propriétés de la loi * (commutativité, associativité, élément neutre, le symétrique). 2. ( ℝ +* , *) est il un groupe ? Exercice 3 (2 pts) Soient E et F deux ensembles, f : E → F , g : F → E , deux applications telles que fogof soit bijective. Montrer que f et g sont bijectives. Exercice 4 (3 pts) Soit E un ensemble, (G ,.) un groupe et f une bijection de E vers G . Pour tout couple ( x, y ) de E 2 , on pose x. y = f −1 ( f ( x). f ( y )). Montrer que la loi de composition interne ainsi définie sur E , muni E d’une structure de groupe. Exercice 5 (5,5 pts) Soit G un groupe multiplicatif. On suppose qu’il existe n ∈ ℕ* tel que l’application f : G → G, par f ( x) = x n soit un homomorphisme surjectif. Et soit f x l’automorphisme de G défini par f x ( y ) = x. y.x −1 , ∀y ∈ G. 1. Montrer que ∀x, y ∈ G : f x ( y ) = f xn ( y ) . 2. En déduire que ∀x, y ∈ G : x n−1. y = y.x n−1. 3. Montrer que si on suppose de plus que l’application : x → x n−1 est surjectif, alors G est commutatif. N.B. 1 point pour la présentation. 1