grand format

Introduction ` a la Cryptologie
Chapitre 6 : Le cryptosyst` eme RSA
Michael Eisermann (Institut Fourier, UJF Grenoble)
Ann´ ee 2008-2009
IF / IMAG, Master 1, S1-S2
document mis ` a jour le 7 juillet 2009
FOURIER
INSTITUT
f
i
www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm/cours # crypto
1/24

Objectifs de ce chapitre
D´ eveloppement math´ ematique : le cryptosyst` eme RSA.
Le petit th´ eor` eme de Fermat.
Le test de primalit ´ e selon Miller–Rabin.
D´ eveloppement algorithmique : impl´ ementation de RSA.
Assembler tous les algorithmes pr´ ec´ edents.
Production des grands nombres premiers.
2/24

Sommaire
1Le cryptosyst` eme RSA
Le petit th´ eor` eme de Fermat
Le cryptosyst` eme RSA
Signature et authentification
2Grands nombres premiers
Le th´ eor` eme des nombres premiers
Crit ` eres de primalit ´ e : de Fermat ` a Miller–Rabin
Production de grands nombres premiers al´ eatoires
3/24

Le petit th´ eor` eme de Fermat
Th´ eor` eme (petit Fermat, formulation dans Z)
Si p∈Nest premier alors tout a∈Zv´ erifie ap≡amod p.
D´ emonstration. Pour a, b ∈Zon a
(a+b)p=
p
X
k=0 p
k!akbp−k≡ap+bpmod p.
Rappel : si p∈Nest premier et 0< k < p, alors pdivise `p
k´.
On a 0p= 0 et 1p= 1, puis on proc` ede par r´ ecurrence sur a∈N:
(a+ 1)p≡ap+ 1p≡a+ 1 mod p.
Si a < 0on conclut par ap≡ −(−a)p≡ −(−a)≡amod p.
Corollaire (petit Fermat, formulation dans Z/
p)
Soit ppremier. Tout x∈Z/
pv´
erifie xp=xet tout x∈Z/∗
pv´
erifie xp−1=¯ 1.
D´ emonstration. Tout x∈Z/
ps’´
ecrit comme x= ¯ao` ua∈Z.
Dans Zon a ap≡amod p. Dans Z/
pon a donc xp= ¯ap=ap=a=x.
Pour x∈Z/∗
p=Z/× pl’´
egalit´ exp=ximplique xp−1=¯ 1.
§1.1 4/24

Le petit th´ eor` eme de Fermat : cons´ equences
L’observation suivante est un r´ esultat d’Euler :
Corollaire
Soient p, q ∈Ndeux nombres premiers distincts et n=pq.
Alors ϕ(n) = (p−1)(q−1), et tout x∈Z/×
nv´
erifie xϕ(n)=¯ 1.
D´ emonstration. On a Φ: Z/
n∼
−→ Z/
p×Z/ qpar le th´
eor` eme chinois.
Si Φ(x) = (y, z), alors x∈Z/×
nsi et seulement si y∈Z/× pet z∈Z/× q.
Dans ce cas on trouve
Φ`xϕ(n)´= Φ(x)ϕ(n)= (y, z)ϕ(n)=`yϕ(n), zϕ(n)´
=`(yp−1)q−1,(zq−1)p−1´= (¯ 1,¯ 1) = Φ(¯ 1).
Comme Φest bijective on conclut que xϕ(n)=¯ 1.
§1.1 5/24