Feuille de TD 2 - Université Blaise Pascal

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Univers des Nombres
Feuille d’exercice 2
Université Blaise Pascal - Département de Mathématiques
Année 2010 - 2011
On rappelle le petit théorème de Fermat :
Théorème 0.1. Soit p un nombre premier, et a ∈ Z un entier premier avec p. Alors
ap−1 ≡ 1
1
mod p
Puissances et congruences
Soient a ∈ Z un entier et d ∈ N∗ un entier strictement positif.
1. Montrer que la suite (an mod d)n≥0 est périodique à partir d’un certain rang n0 ≤ d − 1 (c’est-à-dire
que la suite (an mod d)n≥n0 est périodique), de période T ≤ min(d − n0 , d − 1) (on pourra utiliser le
principe des tiroirs, et distinguer selon que la suite prend ou pas la valeur 0).
2. Montrer que la suite (an mod d)n≥0 est périodique si et seulement si a et d sont premiers entre eux.
3. On suppose que a et d sont premiers entre eux. On note T la période de la suite (an mod d)n≥0 (on
dit aussi que T est l’ordre de a). Soit k ∈ N un entier positif ou nul. Montrer que ak ≡ 1 mod d si et
seulement si T divise k.
2
Nombres de Fermat
Soit k ∈ N∗ un entier strictement positif, on pose Nk = 2k + 1. On suppose que Nk est premier. On
cherche à montrer que k est une puissance de deux.
1. Vérifier que k ne peut pas être égal à 3, 5, 7, 9 ou 10.
2. Soient a, b ∈ N des entiers positifs, avec a non nul et b impair. Montrer que 2a + 1 divise 2ab + 1.
Conclure que k est une puissance de 2.
Nous avons montré que 2k + 1 ne pouvait être premier que si k était une puissance de 2. On est donc
conduit à s’intéresser aux 2k + 1 pour k une puissance de 2. On les appelle nombres de Fermat. On se
demande naturellement si ces nombres sont premiers. Fermat avait conjecturé qu’ils l’étaient tous. Mais
nous montrons le contraire à l’exercice 4 en donnant un contre-exemple.
1
Univers des nombres - Feuille d’exercice 2
3
Université Blaise Pascal - 2
Nombres de Fermat (2)
n
Pour n ∈ N entier positif, on pose Fn = 22 + 1. On dit que Fn est le nème nombre de Fermat.
1. Montrer que pour tout n ∈ N, on a
Fn+1 − 1 = (Fn − 1)2
2. Montrer que pour tout n ∈ N , on a
Fn+1 − 2 =
n
Y
Fk
k=0
3. Soient m, n ∈ N avec n < m. Montrer que Fm ≡ 2 mod Fn .
4. Déduire que Fn et Fm sont premier entre eux.
4
Nombres de Fermat (3)
n
Pour n ∈ N entier positif, on pose encore Fn = 22 + 1.
1. Calculer F0 , F1 , F2 , F3 et F4 . Et vérifier que ces 5 nombres sont premiers.
2. Soit n ∈ N entier positif. On se donne p un nombre premier divisant Fn .
n+1
(a) Montrer que 22
≡ 1 mod p
∗
(b) Soit k ∈ N , le plus entier non nul tel que 2k ≡ 1 mod p. Montrer que k divise 2n+1 . En déduire
que k = 2n+1 .
(c) Montrer que 2n+1 divise p − 1 (on pourra utiliser le petit théorème de Fermat).
(d) Conclure que Fn est premier, ou admet un diviseur premier de la forme p = 2n+1 k + 1 avec k un
entier qui admet un facteur premier impair (on utilisera la dernière question de l’exercice 3 pour
cette dernière partie).
En particulier 641 = 26 .10 + 1 est un candidat de diviseur à F5 .
3. Montrer que 5 × 27 ≡ −1 mod 641, puis que 54 ≡ −24 mod 641, et enfin que 641 divise F5 .
Sur un ordinateur actuel, on peut calculer F5 = 4294967297 et vérifier qu’il n’est pas premier en moins
d’une seconde. La décomposition en facteurs premiers est F5 = 641 × 6700417.
Joël Cohen
Université Blaise Pascal - 2
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