Feuille de TD 2 - Université Blaise Pascal

Univers des Nombres
Feuille d’exercice 2
Universit´e Blaise Pascal - D´epartement de Math´ematiques
Ann´ee 2010 - 2011
On rappelle le petit th´eor`eme de Fermat :
Th´eor`eme 0.1. Soit pun nombre premier, et a∈Zun entier premier avec p. Alors
ap−1≡1 mod p
1 Puissances et congruences
Soient a∈Zun entier et d∈N∗un entier strictement positif.
1. Montrer que la suite (anmod d)n≥0est p´eriodique `a partir d’un certain rang n0≤d−1 (c’est-`a-dire
que la suite (anmod d)n≥n0est p´eriodique), de p´eriode T≤min(d−n0, d −1) (on pourra utiliser le
principe des tiroirs, et distinguer selon que la suite prend ou pas la valeur 0).
2. Montrer que la suite (anmod d)n≥0est p´eriodique si et seulement si aet dsont premiers entre eux.
3. On suppose que aet dsont premiers entre eux. On note Tla p´eriode de la suite (anmod d)n≥0(on
dit aussi que Test l’ordre de a). Soit k∈Nun entier positif ou nul. Montrer que ak≡1 mod dsi et
seulement si Tdivise k.
2 Nombres de Fermat
Soit k∈N∗un entier strictement positif, on pose Nk= 2k+ 1. On suppose que Nkest premier. On
cherche `a montrer que kest une puissance de deux.
1. V´erifier que kne peut pas ˆetre ´egal `a 3, 5, 7, 9 ou 10.
2. Soient a, b ∈Ndes entiers positifs, avec anon nul et bimpair. Montrer que 2a+ 1 divise 2ab + 1.
Conclure que kest une puissance de 2.
Nous avons montr´e que 2k+ 1 ne pouvait ˆetre premier que si k´etait une puissance de 2. On est donc
conduit `a s’int´eresser aux 2k+ 1 pour kune puissance de 2. On les appelle nombres de Fermat. On se
demande naturellement si ces nombres sont premiers. Fermat avait conjectur´e qu’ils l’´etaient tous. Mais
nous montrons le contraire `a l’exercice 4 en donnant un contre-exemple.
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Univers des nombres - Feuille d’exercice 2 Universit´e Blaise Pascal - 2
3 Nombres de Fermat (2)
Pour n∈Nentier positif, on pose Fn= 22n+ 1. On dit que Fnest le n`eme nombre de Fermat.
1. Montrer que pour tout n∈N, on a
Fn+1 −1=(Fn−1)2
2. Montrer que pour tout n∈N, on a
Fn+1 −2 =
n
Y
k=0
Fk
3. Soient m, n ∈Navec n<m. Montrer que Fm≡2 mod Fn.
4. D´eduire que Fnet Fmsont premier entre eux.
4 Nombres de Fermat (3)
Pour n∈Nentier positif, on pose encore Fn= 22n+ 1.
1. Calculer F0,F1,F2,F3et F4. Et v´erifier que ces 5 nombres sont premiers.
2. Soit n∈Nentier positif. On se donne pun nombre premier divisant Fn.
(a) Montrer que 22n+1 ≡1 mod p
(b) Soit k∈N∗, le plus entier non nul tel que 2k≡1 mod p. Montrer que kdivise 2n+1. En d´eduire
que k= 2n+1.
(c) Montrer que 2n+1 divise p−1 (on pourra utiliser le petit th´eor`eme de Fermat).
(d) Conclure que Fnest premier, ou admet un diviseur premier de la forme p= 2n+1k+ 1 avec kun
entier qui admet un facteur premier impair (on utilisera la derni`ere question de l’exercice 3 pour
cette derni`ere partie).
En particulier 641 = 26.10 + 1 est un candidat de diviseur `a F5.
3. Montrer que 5 ×27≡ −1 mod 641, puis que 54≡ −24mod 641, et enfin que 641 divise F5.
Sur un ordinateur actuel, on peut calculer F5= 4294967297 et v´erifier qu’il n’est pas premier en moins
d’une seconde. La d´ecomposition en facteurs premiers est F5= 641 ×6700417.
Jo¨el Cohen Universit´e Blaise Pascal - 2