chapitre 10 : la fonction logarithme neperien

La fonction logarithme népérien Cours
© Gérard Hirsch – Maths54 1
CHAPITRE 10 : LA FONCTION LOGARITHME
NEPERIEN
1. Définition de la fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien, notée ln , est définie sur
]
[
0,+∞ , prend la valeur 0 en 1
x
=, est
continue sur
]
[
0,+∞ et admet pour dérivée la fonction 1
x
x
2. Propriétés algébriques
2.1. Relation fonctionnelle
Théorème
]
[
]
[
0, , 0, ln ln lnab abab∀∈ +∞ ∀∈ +∞ = +
Démonstration
Soit a un réel strictement positif.
Soit la fonction a
ϕ définie sur
]
[
0,+∞ par ( ) ln( )
a
x
axϕ= .
La fonction a
ϕ est dérivable sur
]
[
0,+∞ comme composée de deux fonctions .
Donc,
x
∀∈
]
[
0,+∞ : 11
'( ) .
axa
ax x
ϕ= =

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a
ϕest donc une primitive de 1
x
; elle diffère donc de ln d’une constante. Il existe donc un réel C
tel que,
x
∀∈
]
[
0,+∞ :()ln
a
x
xCϕ=+. Or, ln1 0=, donc (1) ln
a
Ca=ϕ = .
En revenant à la définition de a
ϕ :
a∀∈
]
[
0,+∞ et
x
∀∈
]
[
0,+∞ , ln()ln lnax x a=+
D’où le résultat en remplaçant x par b.
2.2. Logarithme d’un quotient
Propriété
][
1
0, ln ln
aa
a
∀∈ +∞ =−
Démonstration
Elle se déduit de la relation précédente : calculons
][
11
0, ln ln ln( . ) ln1 0
aaa
aa
∀∈ +∞ + = = =
Propriété
][ ][
0, , 0, ln ln ln
a
ab ab
b
∀ ∈ +∞ ∀ ∈ +∞ = −
Démonstration
Elle se déduit des deux relations précédentes : calculons
][ ][
11
0, , 0, ln ln( . ) ln ln ln ln
a
ab aaab
bb b
∀ ∈ +∞ ∀ ∈ +∞ = = + = −

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2.3. Logarithme d’un produit de nombres réels strictement
positifs
Propriété
]
[
0, , ln ln
n
anana∀∈ +∞ ∀∈ =
2.4. Logarithme d’une racine carrée
Propriété
][
1
0, ln ln
2
aaa∀∈ +∞ =
3. Résolution d’équations et d’inéquations
Théorème
]
[
]
[
0, , 0, ln lnab abab∀ ∈ +∞ ∀ ∈ +∞ = ⇔ =
]
[
]
[
0, , 0, ln lnab abab∀∈ +∞ ∀∈ +∞ < ⇔ <
Exemple
Résoudre dans R l’équation : ln(3 1) ln( 4)xx+= −
Les valeurs cherchées doivent vérifier
310
40
x
x+>
−>
Les solutions doivent appartenir à
]
[
4,D=+∞
Les logarithmes de deux réels positifs sont égaux, si et seulement si ces réels sont égaux.

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Ainsi : si
]
[
4,x∈+∞ , 5
ln(3 1) ln( 4) 3 1 4 2 xxxxx
+= −⇔ +=−⇔=−
L’équation n’admet pas de solution dans R puisque
][
54,
2
−∉ +∞
Exemple
Résoudre dans R
a. l’équation 2
ln( 5) ln 2ln 2xx−= +
b. l’inéquation :
2
ln( 5) ln 2ln 2xx−≤ +
a. Les valeurs cherchées doivent vérifier
250
0
x
x
−>
>
Les solutions doivent appartenir à 5,D
=+∞
Les logarithmes de deux réels positifs sont égaux, si et seulement si ces réels sont égaux.
Si 5,x
∈+∞
, 222
ln( 5) ln 2ln2 ln( 5) ln(4 ) 4 5 0xx x xxx−= + ⇔ −= ⇔−−=
L’équation du second degré admet 1 5et− pour racines. Seule la racine 5 est solution
puisque 15,
−∉ +∞
L’ensemble des solutions de l’équation 2
ln( 5) ln 2ln 2xx−= + est
{
}
5S=
b. On résout l’inéquation dans 5,D
=+∞
L’inéquation 2
ln( 5) ln 2ln 2xx−≤ + est équivalente à 22 54 4 50xxouxx−< − −<
L’ensemble des solutions est donc formé des réels
]
[
1,5∈− qui sont dans D.
L’ensemble des solutions de l’inéquation 2
ln( 5) ln 2ln 2xx−< + est 5,5S =

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4. Etude de la fonction logarithme
4.1. Sens de variation de la fonction logarithme népérien
sur
]
[
0,+∞
ln
L
afonctionx xest définie sur
]
[
0,+∞
ln
L
afonctionx xest continue sur
]
[
0,+∞
ln
L
afonctionx xest dérivable sur
]
[
0,+∞
Pour tout
]
[
0,x∈+∞
, 1
(ln )'x
x
=
Théorème
ln
L
afonctionx xest strictement croissante sur
]
[
0,+∞
4.2. Limite de la fonction logarithme népérien en 0 et en +∞
lim ln
xx →+∞ =+∞
,ln(2) ln2
n
nR n∀∈ = , et puisqueln 2 0>, alors lim ( ln 2)
nn →+∞ =+∞.
La fonction ln n’est donc pas majorée. Etant croissante, elle admet +∞ pour limite en+∞.
Conséquence
0
0
lim ln
x
x
x
→
>=−∞