Géométrie "analytique" du plan affin

Géométrie "analytique" du plan affin
par
Xavier Hubaut
Professeur émérite - Université Libre de Bruxelles - Département de Mathématique
1. Système de coordonnées cartésiennes - Repère cartésien
2. Coordonnées d'un point du plan - Coordonnées d'un vecteur.
3. Point partageant un vecteur dans un rapport donné - Rapport de section.
4. Equations d'une droite - Condition d'alignement de 3 points.
5. Birapport de 4 points alignés - Relations d'harmonie.
6. Nombres directeurs - Coefficient directeur d'une droite.
7. Droites parallèles.
8. Droites sécantes.
9. Faisceaux de droites - Equation d'un faisceau.
10. Condition nécessaire et suffisante pour que 3 droites appartiennent à un même faisceau.
11. Régions d'une droite - Signe d'une fonction linéaire.
12. Translation du repère - Translation du plan.
13. Changement de base - Affinité centrée ou application linéaire.
14. Changement de base - Affinité.
Une remarque préliminaire. Nous avons mis le terme analytique entre guillemets car l'analyse
n'est jamais utilisée si ce n'est dans la section 11. Tout le reste ne relève que de l'algèbre ; hélas
l'expression géométrie algébrique est déjà utilisée dans une autre domaine...
1. Système de coordonnées cartésiennes - Repère cartésien
Un système de coordonnées cartésiennes est déterminé par la donnée de deux droites sécantes
en (origine des coordonnées) et des points unités sur chacune de ces deux droites.
Les vecteurs de base et seront désignés respectivement par . Ces deux vecteurs, non
proportionnels, doivent être linéairement indépendants).
Rappelons que la condition nécessaire et suffisante pour que deux vecteurs et soient
linéairement indépendants est : .
Les supports des vecteurs et sont appelés axes coordonnés (axe , axe
).
Remarque : Pour l'étude de propriétés affines (linéaires), les deux vecteurs de base sont
arbitraires. Par contre, pour l'étude de propriétés métriques, nous verrons plus tard qu'il est plus
commode de choisir deux vecteurs perpendiculaires de même module.
O
u
,
v
Ou Ov
ı
,
ȷ
ı
ȷ
λı
+
µȷ
=
0
⟺
λ
=
µ
=
0
Ou
=
ı
Ov
=
ȷ
Ox
x
′
Oy
y
′

2. Coordonnées d'un point du plan - Coordonnées d'un vecteur.
Etant donné un point , soient et ses 2 projections sur les axes coordonnés et
, parallèlement aux axes et . Les deux vecteurs et sont les composantes
du vecteur selon les axes coordonnés et .
Chacune des composantes du vecteur OA peut être mesurée avec les vecteurs unités
correspondants : .
Les deux nombres ( ) sont appelés coordonnées du point dans le repère ( );
Cette décomposition est unique !
En effet, si et , il en résulte que .
Or et sont linéairement indépendants; il en résulte que x - x' = y - y'= 0 et par conséquent x = x'
et y = y'
Etant donné le vecteur , soient ( ) et ( ) les coordonnées de et de .
On a :
Exprimons cette relation en fonction des vecteurs de base:
En posant: , on obtient :
Les deux nombres sont les coordonnées du vecteur dans le repère .Notons
que sur le schéma ci-dessus, est négatif.
Remarque : Les deux nombres ne définissent pas le vecteur lié mais l'ensemble
des vecteurs qui lui sont équipollents (vecteur libre).
Deux vecteurs sont équipollents si et seulement si leurs coordonnées sont égales
Deux vecteurs ( ) et ( ) sont parallèles .
3. Coordonnées d'un point partageant un vecteur dans un rapport donné - Valeur du
rapport de section d'un point sur un vecteur.
Soient les deux points et . Considérons le point dont le rapport
de section sur le vecteur vaut .
On a d'où ; on en déduit : ou
encore
On obtient finalement:
p
p
x
p
y
Ox
x
′
Oy
y
′
Oy
y
′
Ox
x
′
O
p
xO
p
y
Op Op
=
O
+
O
p
x
p
y
x=O/ıety=O/ȷ
p
x
p
y
x
,
y
p
ı
,
ȷ
Op
=
xı
+
yȷ
Op
=
xı
+
yȷOp =ı+ȷ
x
′
y
′
0 = (x− )ı+ (y− )ȷ
x
′
y
′
ı
ȷ
p
1
p
2
,
x
1
y
1
,
x
2
y
2
p
1
p
2
=
O
−
O
p
1
p
2
p
2
p
1
=
(
i
+
j
)
−
(
i
+
j
)
=
(
−
)
i
+
(
−
)
j
p
1
p
2
x
2
y
2
x
1
y
1
x
2
x
1
y
2
y
1
=
Xi
+
Y j
p
1
p
2
X
=
−
et
Y
=
−
x
2
x
1
y
2
y
1
(X,Y)
p
1
p
2
(ı,ȷ)
X
=
−
x
2
x
1
(X,Y)
p
1
p
2
,
X
1
Y
1
,
X
2
Y
2⟺ = 0
∣
∣
∣
X
1
X
2
Y
1
Y
2
∣
∣
∣
(
,
)
p
1
x
1
y
1
(
,
)
p
2
x
2
y
2m
(
,
)
x
0
y
0
p
1
p
2
k
k=m/m
p
1
p
2m
=
km
p
1
p
2O−Om =k(O−Om)
p
1
m
2
(1 − k)Om =O−k.O
p
1
p
2
Om = (O−k.O)/(1 − k)
p
1
p
2

En exprimant cette relation en fonction des vecteurs de base:
On en déduit les coordonnées du point M :
et la valeur de k :
4. Equations d'une droite (paramétriques et statiques) - Condition d'alignement de 3
points.
4.1. Droite passant par 2 points
Etant donnés les points , si le rapport varie, le point décrit la droite
passant par et . Les coordonnées d'un point quelconque de la droite sont:
Ces relations sont appelées équations paramétriques de la droite.
A chaque valeur de , y compris correspond un point de la droite et réciproquement. En
particulier à , correspond , à correspond et à correspond le point à
l'infini.
En éliminant le paramètre k entre ces deux équations, on obtient la relation:
, qui peut s'écrire:
Cette relation est l'équation statique de la droite passant par et .
On en déduit la condition nécessaire et suffisante d'alignement de 3 points :
sont alignés.
ı+ȷ= [( i+ȷ) − k(ı+ȷ)]/(1 − k) = [( − k)ı+ ( − k)ȷ]/(1 − k)
x
0
y
0
x
1
y
1
x
2
y
2
x
1
x
2
y
1
y
2
{
=
(
−
k
)/(1
−
k
)
x
0
x
1
x
2
= ( − k)/(1 − k)
y
0
y
1
y
2
k==
−
x
1
x
0
−
x
2
x
0
−
y
1
y
0
−
y
2
y
0
,
p
1
p
2k
=
m
/
m
p
1
p
2
m
p
1
p
2
(x,y)
p
1
p
2
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
x=
−
k
x
1
x
2
1−
k
y=
−
k
y
1
y
2
1−
k
k
∞
k
=
0
p
1
k
=
∞
p
2
k
=
1
x
(
−
)
−
y
(
−
)
+
−
=
0
y
1
y
2
x
1
x
2
x
1
y
2
x
2
y
1
= 0
∣
∣
∣
∣
x
x
1
x
2
y
y
1
y
2
1
1
1
∣
∣
∣
∣
p
1
p
2
,
,
p
0
p
1
p
2
= 0 ⟺ , ,
∣
∣
∣
∣
∣
x
0
x
1
x
2
y
0
y
1
y
2
1
1
1
∣
∣
∣
∣
∣
p
0
p
1
p
2

4.2. Droite définie par un point et sa direction
Soit un vecteur d . Considérons un point et
recherchons l'équation de la droite D passant par ayant la
direction du vecteur d.
D d d
d
En fonction des vecteurs de base, on a :
, d'où:
Ce sont les équations paramétriques de la droite d passant par parallèle au vecteur
de coordonnées .
En éliminant le paramètre, on trouve pour la droite d l'équation statique :
Ce résultat correspond à associer à toute direction un point à l'infini (voir les coordonnées
homogènes)
4.3. Toute relation linéaire entre et est l'équation d'une droite.
Dans les deux cas précédents, l'équation de la droite est de la forme .
Nous allons montrer que réciproquement est l'équation d'une droite (pour autant
que et ne soient pas simultanément nuls).
Remarque importante: Les coefficients sont donnés à un facteur (non nul) près puisqu'il
s'agit d'une équation.
Soit une relation linéaire entre et où représentent trois
nombres donnés.
Comme et ne sont pas simultanément nuls, il existe une infinité de couples vérifiant
cette relation. Soient trois points distincts dont les coordonnées
satisfont à la relation ; on a donc:
Si nous considérons ces trois relations comme provenant d'un système de 3 équations
homogènes à 3 inconnues: , elles expriment que ce système possède une solution
non nulle. Il en résulte que son déterminant est nul; on a :
(X,Y) ( , )
p
0
x
0
y
0
p
0
p
∈
⟺
p
=
k
p
0
⟺
Op
−
O
=
k
p
0
⟺
Op
=
O
+
k
p
0
xı
+
yȷ
=
ı
+
ȷ
+
k
(
Xı
+
Yȷ
)
x
0
y
0
{x
=
+
kX
x
0
y
=
+
kY
y
0
( , )
p
0
x
0
y
0
(
X
,
Y
)
= 0
∣
∣
∣
∣
x
x
0
X
y
y
0
Y
1
1
0
∣
∣
∣
∣
x
y
ux
+
vy
+
w
=
0
ux
+
vy
+
w
=
0
u
v
u
,
v
,
w
x
+
y
+
=
0
u
0
v
0
w
0
x
y
,
,
u
0
v
0
w
0
u
0
v
0
(x,y)
( , ), ( , ), ( , )
p
1
x
1
y
1
p
2
x
2
y
2
p
3
x
3
y
3
x
+
y
+
=
0
u
0
v
0
w
0
⎧
⎩
⎨
+
+
=
0
u
0
x
1
v
0
y
1
w
0
+
+
=
0
u
0
x
2
v
0
y
2
w
0
+
+
=
0
u
0
x
3
v
0
y
3
w
0
u
,
v
,
w
,
,
u
0
v
0
w
0

Or cette relation exprime que les trois points sont alignés. Trois points
quelconques de l'ensemble correspondant à sont donc alignés; cet ensemble
est donc une droite et toute relation de la forme est l'équation d'une droite.
Autre démonstration :
Considérer un point de l'ensemble défini par ; étant donné un second
point de l'ensemble, calculer les coordonnées du vecteur . Montrer que ce vecteur est
parallèle au vecteur fixe (v,-u).
En conclure que représente une droite et cette droite est parallèle au vecteur
.
4.4. Autre forme de l'équation d'une droite.
Si une droite est définie par ses points d'intersection avec les axes coordonnés et
, elle a pour équation :
Les nombres sont appelés respectivement abscisse et ordonnée à l'origine.
5. Birapport de 4 points alignés - Relations d'harmonie.
Soient , quatre points alignés.
Leur birapport est égal au rapport des rapports de section :
Exprimons les rapports de section en fonction des coordonnées:
On constate que :
Si les 4 points sont sur la droite d'équations paramétriques:
ou sur la droite d'équations paramétriques:
= 0
∣
∣
∣
∣
∣
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
1
1
1
∣
∣
∣
∣
∣
,
,
p
1
p
2
p
3
x
+
y
+
=
0
u
0
v
0
w
0
ux
+
vy
+
w
=
0
( , )
p
0
x
0
y
0ux
+
vy
+
w
=
0
p(x,y)
p
p
0
d
ux
+
vy
+
w
=
0
d(v, −u)
p(a, 0)
q(0, b)
+ = 1
x
a
y
b
a
,
b
(
,
),
(
,
),
(
,
),
(
,
)
p
1
x
1
y
1
p
2
x
2
y
2
p
3
x
3
y
3
p
4
x
4
y
4
(
)
p
1
p
2
p
3
p
4
(
/
)/(
/
)
p
3
p
1
p
3
p
2
p
4
p
1
p
4
p
2
( )
p
1
p
2
p
3
p
4= [( − )/( − )]/[( − )/( − )]
x
1
x
3
x
2
x
3
x
1
x
4
x
2
x
4
= [( − )/( − )]/[( − )/( − )]
y
1
y
3
y
2
y
3
y
1
y
4
y
2
y
4
(
)
=
(
)
=
(
)
p
1
p
2
p
3
p
4
x
1
x
2
x
3
x
4
y
1
y
2
y
3
y
4
{x= ( − k)/(1 − k)
x
1
x
2
y= ( − k)/(1 − k)
y
1
y
2
x
=
y
=
+
kX
x
0
+
kY
y
0