Calcul intégral

Calcul intégral
Tale ST I GE
2008-2009
Calcul intégral
Table des matières
I
Intégrale d’une fonction
2
II Interprétation graphique : calcul d’aire
II.1 Aire d’un fonction positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2 Aire d’une fonction négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3 Aire d’une fonction quelconque : découpage d’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3
III Propriétés de l’intégrale
III.1 Relation de Chasles . .
III.2 Linéarité . . . . . . . .
III.3 Inégalités . . . . . . .
III.4 Inéglité de la moyenne
4
4
4
5
5
http://nathalie.daval.free.fr
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-1-
Calcul intégral
Tale ST I GE
2008-2009
Dans tout le chapitre, F et G sont des primitives respectivement de f et g sur I.
a et b sont deux points de I, bornes incluses.
I
Intégrale d’une fonction
Définition 1
Le nombre F (b) − F (a), indépendant du choix de F , est appellé intégrale de a à b de f , il est noté
Z
b
f (x) dx = F (b) − F (a).
a
Z
Exemple 1
Calcul de l’intégrale :
3
x dx :
2
x2
➔ Une primitive de f (x) = x est F (x) =
.
2
Z 3
9 4
5
➔ donc,
x dx = F (3) − F (2) = − = .
2
2
2
2
II
Interprétation graphique : calcul d’aire
II.1
Aire d’un fonction positive
Z b
Propriété 1
f (x) dx est égal à l’aire du domaine compris entre la
Si f est une fonction positive sur [ a ; b ], alors
a
courbe de f , l’axe des abcsisses, et les droites d’équation x = a et x = b exprimé en unité d’aire. (U.A.)
Exemple 2
Calcul de l’aire du domaine compris entre la courbe d’équa1
1
tion , l’axe des abcsisses, et les droites d’équation x =
x
2
−
→ −
→
et x = 4 dans un repère orthonormé (O; i ; j ) d’unité graphique 1 cm :
Z
4
1
2
Z
II.2
3
2
1
1
1
dx = [ln(x)]41 = ln 4 − ln = ln 4 + ln 2
2
x
2
4
1
2
1
dx = ln 8 = 3 ln 2 U.A. ≈ 2, 08 cm2
x
1
−1
2
3
4
−1
Aire d’une fonction négative
Si la fonction f est négative, alors la fonction −f est positive et les courbes sont symétriques par rapport à
l’axe des abscisses. Donc, l’aire du domaine compris entre la courbe de f , l’axe des abcsisses, et les droites
d’équation x = a et x = b est égale à l’aire du domaine compris entre la courbe de −f , l’axe des abcsisses,
et les droites d’équation x = a et x = b.
Dans ce cas, A =
Z
b
[−f (x)] dx.
a
http://nathalie.daval.free.fr
-2-
Calcul intégral
Tale ST I GE
2008-2009
Exemple 3
x3
x2
− .
On considère la fonction f définie sur R par f (x) =
27
3
f est négative sur l’intervalle [ 0 ; 9 ]. Pour calculer l’aire du domaine compris entre la courbe de f , l’axe des abcsisses,
et les droites d’équation x = 0 et x = 9, il suffit de calculer l’aire du domaine compris entre la courbe de −f , l’axe des
abcsisses, et les droites d’équation x = 0 et x = 9 :
Graphique de −f :
Graphique de f :
A2
A1
A1 = A2 =
Z
9
[−f (x)] dx =
0
Z
9
0
3
9
x
x2
x4
x3
81
− +
dx = −
+
=
U.A.
27
3
108
9 1
4
.
II.3
Aire d’une fonction quelconque : découpage d’aire
Pour calculer l’aire d’un domaine définie par une fonction changeant de signe, il faut découper l’intervalle
en plusieurs intervalles sur lesquels la fonction est de signe constant.
Exemple 4
On considère la fonction f définie par f (x) = x2 − x − 2. On
note A l’aire du domaine compris entre la courbe de f , l’axe
des abcsisses, et les droites d’équation x = −1 et x = 3.
4
A = A1 + A2
A=
A=
Z
Z
2
[−f (x)] dx +
3
Z
3
3
[f (x)] dx
2
−1
2
−1
Z
(−x2 + x + 2) dx +
2
(x2 − x − 2) dx
1
2
3
2
3
3
x
x2
x
x2
− 2x
+
−
+ 2x
A= − +
3
2
3
2
−1
2
9 11
A= +
2
6
−2
A2
1
−1
−1
2
3
A1
−2
19
A=
≈ 6, 33 U.A.
3
http://nathalie.daval.free.fr
-3-
Calcul intégral
Tale ST I GE
III
2008-2009
Propriétés de l’intégrale
III.1
Relation de Chasles
Propriété 2
Soit f une fonction dérivable sur R et b ∈ [ a ; c ], alors
Z
c
f (x) dx =
a
b
Z
f (x) dx +
a
Z
c
f (x) dx.
b
Interprétation graphique :
A1
A2
a
III.2
b
c
Linéarité
Propriété 3
Soient f, g : [ a ; b ] → R deux fonctions dérivables et λ un réel, alors :
♦
♦
Z
b
a
Z b
[f (x) + g(x)] dx =
Z
b
f (x) dx +
a
λf (x) dx = λ
a
Z
Z
b
g(x) dx.
a
b
f (x) dx.
a
Ce théorème permet en pratique de ramener le calcul d’une intégrale d’une fonction complexe (de type
polynôme par exemple) à une succession d’intégrations de fonctions plus élémentaires.
Z
Exemple 5
Calcul de l’intégrale : I =
2
5
2x +
dx :
x
1
Z 2
Z 2
1
➔ I=3
2x dx + 5
dx
x
1
1
➔ I = 3 [x2 ]21 + 5 [ln x]21
➔ I = 3(4 − 1) + 5(ln 2 − ln 1)
➔ I = 9 + 5 ln 2.
http://nathalie.daval.free.fr
-4-
Calcul intégral
Tale ST I GE
III.3
2008-2009
Inégalités
Propriété 4
Soient f, g : [ a ; b ] → R deux fonctions dérivables.
♦ Inégalité : si, pour tout x ∈ [ a ; b ], on a f (x) ≤ g(x), alors
Z
b
f (x) dx ≤
a
♦ Positivité : si, pour tout x ∈ [ a ; b ], on a f (x) ≥ 0, alors
Zb
Zb
g(x) dx.
a
f (x) dx ≥ 0.
a
Z b
Remarque 1
La réciproque de la positivité n’est pas forcément vraie, on peut avoit
f (x)dx ≥ 0 sans avoir f positive
a
sur [ a ; b ] :
➔
Z
3
2
(2x − 1) dx = [x −
x]30
= 6. Donc,
0
Z
3
(2x − 1) dx ≥ 0.
0
➔ Cependant, la fonction x → 2x − 1 n’est pas positive sur [ 0 ; 3 ].
III.4
Inéglité de la moyenne
Propriété 5
Soit f : [ a ; b ] → R une fonction dérivable et m et M deux réels tels vérifiants m ≤ f (x) ≤ M , alors
m(b − a) ≤
Z
b
f (x) dx ≤ M (b − a).
a
Interprétation graphique :
Dans le cas où f est positive sur [ a ; b ] et où m ≥ 0,
l’aire de la partie égale à
Z
b
M
f (x) dx est comprise
a
entre l’aire du rectangle de base AB de hauteur m et
l’aire du rectangle de base AB de hauteur M .
m
A
B
Définition 2
Soit f : [ a ; b ] → R une fonction dérivable. Si a 6= b, on appelle valeur moyenne de f sur [ a ; b ] le
nombre réel µf défini par
Z b
1
µf =
f (x) dx.
b−a a
http://nathalie.daval.free.fr
-5-
Tale ST I GE
Calcul intégral
2008-2009
Interprétation graphique :
La droite d’équation y = µf est la droite horizontale telle l’aire des partie de plan délimitées par l’axe des
abscisses, les droites d’équation x = a et x = b d’une part et les courbes d’équation y = f (x) et y = mf
soient de même valeur.
Z
Exemple 6
La valeur moyenne sur [ 0 ; 1 ] de la fonction carré est : µ =
0
http://nathalie.daval.free.fr
1
x3
x dx =
3
2
3
1
=
1
.
3
-6-