Calcul intégral

Tale ST I GE Calcul intégral 2008-2009
Calcul intégral
Table des matières
I Intégrale d’une fonction 2
II Interprétation graphique : calcul d’aire 2
II.1 Aire d’un fonction positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II.2 Aire d’une fonction négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II.3 Aire d’une fonction quelconque : découpage d’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
III Propriétés de l’intégrale 4
III.1 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III.2Linéarité................................................ 4
III.3Inégalités ............................................... 5
III.4 Inéglité de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
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Dans tout le chapitre, Fet Gsont des primitives respectivement de fet gsur I.
aet bsont deux points de I, bornes incluses.
I Intégrale d’une fonction
Définition 1
Le nombre F(b)−F(a), indépendant du choix de F, est appellé intégrale de aàbde f, il est noté
Zb
a
f(x)dx =F(b)−F(a).
Exemple 1
Calcul de l’intégrale : Z3
2
x dx :
➔Une primitive de f(x) = xest F(x) = x2
2.
➔donc, Z3
2
x dx =F(3) −F(2) = 9
2−4 2=5 2.
II Interprétation graphique : calcul d’aire
II.1 Aire d’un fonction positive
Propriété 1
Si fest une fonction positive sur [ a;b], alors Zb
a
f(x)dx est égal à l’aire du domaine compris entre la
courbe de f, l’axe des abcsisses, et les droites d’équation x=aet x=bexprimé en unité d’aire. (U.A.)
Exemple 2
Calcul de l’aire du domaine compris entre la courbe d’équa-
tion 1
x, l’axe des abcsisses, et les droites d’équation x=1 2
et x= 4 dans un repère orthonormé (O;−→ i;−→ j)d’unité gra-
phique 1cm :
Z4
1
2
1
xdx = [ln(x)]4
1
2= ln 4 −ln 1
2= ln 4 + ln 2
Z4
1
2
1
xdx = ln 8 = 3 ln 2 U.A. ≈2,08 cm21234−1
1
2
3
−1
II.2 Aire d’une fonction négative
Si la fonction fest négative, alors la fonction −fest positive et les courbes sont symétriques par rapport à
l’axe des abscisses. Donc, l’aire du domaine compris entre la courbe de f, l’axe des abcsisses, et les droites
d’équation x=aet x=best égale à l’aire du domaine compris entre la courbe de −f, l’axe des abcsisses,
et les droites d’équation x=aet x=b.
Dans ce cas, A=Zb
a
[−f(x)] dx.
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Exemple 3
On considère la fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = x3
27 −x2 3.
fest négative sur l’intervalle [ 0 ; 9 ]. Pour calculer l’aire du domaine compris entre la courbe de f, l’axe des abcsisses,
et les droites d’équation x= 0 et x= 9, il suffit de calculer l’aire du domaine compris entre la courbe de −f, l’axe des
abcsisses, et les droites d’équation x= 0 et x= 9 :
Graphique de f:
A1
Graphique de −f:
A2
A1=A2=Z9
0
[−f(x)] dx =Z9
0−x3
27 +x2 3dx =−x4 108 +x3 99
1
=81
4U.A.
.
II.3 Aire d’une fonction quelconque : découpage d’aire
Pour calculer l’aire d’un domaine définie par une fonction changeant de signe, il faut découper l’intervalle
en plusieurs intervalles sur lesquels la fonction est de signe constant.
Exemple 4
On considère la fonction fdéfinie par f(x) = x2−x−2. On
note Al’aire du domaine compris entre la courbe de f, l’axe
des abcsisses, et les droites d’équation x=−1et x= 3.
A=A1+A2
A=Z2
−1
[−f(x)] dx +Z3
2
[f(x)] dx
A=Z2
−1
(−x2+x+ 2) dx +Z3
2
(x2−x−2) dx
A=−x3
3+x2 2−2x2
−1
+x3
3−x2 2+ 2x3
2
A=9
2+11 6
A=19
3≈6,33 U.A.
1 2 3−1−2
1
2
3
4
−1
−2
A1
A2
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III Propriétés de l’intégrale
III.1 Relation de Chasles
Propriété 2
Soit fune fonction dérivable sur Ret b∈[a;c], alors
Zc
a
f(x)dx =Zb
a
f(x)dx +Zc
b
f(x)dx.
Interprétation graphique :
A1A2
abc
III.2 Linéarité
Propriété 3
Soient f, g : [ a;b]→Rdeux fonctions dérivables et λun réel, alors :
♦Zb
a
[f(x) + g(x)] dx =Zb
a
f(x)dx +Zb
a
g(x)dx.
♦Zb
a
λf(x)dx =λZb
a
f(x)dx.
Ce théorème permet en pratique de ramener le calcul d’une intégrale d’une fonction complexe (de type
polynôme par exemple) à une succession d’intégrations de fonctions plus élémentaires.
Exemple 5
Calcul de l’intégrale : I=Z2
12x+5
xdx :
➔I= 3 Z2
1
2x dx + 5 Z2
1
1
xdx
➔I= 3 [x2]2
1+ 5 [ln x]2 1
➔I= 3(4 −1) + 5(ln 2 −ln 1)
➔I= 9 + 5 ln 2.
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III.3 Inégalités
Propriété 4
Soient f, g : [ a;b]→Rdeux fonctions dérivables.
♦Inégalité : si, pour tout x∈[a;b], on a f(x)≤g(x), alors Zb
a
f(x)dx ≤
b
Z
a
g(x)dx.
♦Positivité : si, pour tout x∈[a;b], on a f(x)≥0, alors
b
Z
a
f(x)dx ≥0.
Remarque 1
La réciproque de la positivité n’est pas forcément vraie, on peut avoit Zb
a
f(x)dx ≥0 sans avoir fpositive
sur [ a;b] :
➔Z3
0
(2x−1) dx = [x2−x]3
0= 6. Donc, Z3
0
(2x−1) dx ≥0.
➔Cependant, la fonction x→2x−1 n’est pas positive sur [ 0 ; 3 ].
III.4 Inéglité de la moyenne
Propriété 5
Soit f: [ a;b]→Rune fonction dérivable et met Mdeux réels tels vérifiants m≤f(x)≤M, alors
m(b−a)≤Zb
a
f(x)dx ≤M(b−a).
Interprétation graphique :
Dans le cas où fest positive sur [ a;b] et où m≥0,
l’aire de la partie égale à Zb
a
f(x)dx est comprise
entre l’aire du rectangle de base AB de hauteur met
l’aire du rectangle de base AB de hauteur M.m
M
A B
Définition 2
Soit f: [ a;b]→Rune fonction dérivable. Si a6=b, on appelle valeur moyenne de fsur [a;b]le
nombre réel µfdéfini par
µf=1
b−aZb
a
f(x)dx.
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