Calcul intégral

Tale ST I GE Calcul intégral 2008-2009

Calcul intégral

Table des matières

I Intégrale d’une fonction 2

II Interprétation graphique : calcul d’aire 2

II.1 Aire d’un fonction positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

II.2 Aire d’une fonction négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

II.3 Aire d’une fonction quelconque : découpage d’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

III Propriétés de l’intégrale 4

III.1 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

III.2Linéarité................................................ 4

III.3Inégalités ............................................... 5

III.4 Inéglité de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

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Dans tout le chapitre, Fet Gsont des primitives respectivement de fet gsur I.

aet bsont deux points de I, bornes incluses.

I Intégrale d’une fonction

Déﬁnition 1

Le nombre F(b)−F(a), indépendant du choix de F, est appellé intégrale de aàbde f, il est noté

Zb

a

f(x)dx =F(b)−F(a).

Exemple 1

Calcul de l’intégrale : Z3

2

x dx :

➔Une primitive de f(x) = xest F(x) = .......................................................................

➔donc, Z3

2

x dx =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II Interprétation graphique : calcul d’aire

II.1 Aire d’un fonction positive

Propriété 1

Si fest une fonction positive sur [ a;b], alors Rb

af(x)dx est égal à l’aire du domaine compris entre la

courbe de f, l’axe des abcsisses, et les droites d’équation x=aet x=bexprimé en unité d’aire. (U.A.)

Exemple 2

Calcul de l’aire du domaine compris entre la courbe d’équa-

tion 1

x, l’axe des abcsisses, et les droites d’équation x=1

2

et x= 4 dans un repère orthonormé (O;−→

i;−→

j)d’unité gra-

phique 1cm :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1234−1

1

2

3

−1

II.2 Aire d’une fonction négative

Si la fonction fest négative, alors la fonction −fest positive et les courbes sont symétriques par rapport à

l’axe des abscisses. Donc, l’aire du domaine compris entre la courbe de f, l’axe des abcsisses, et les droites

d’équation x=aet x=best égale à l’aire du domaine compris entre la courbe de −f, l’axe des abcsisses,

et les droites d’équation x=aet x=b.

Dans ce cas, A=

b

R

a

[−f(x)] dx.

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Exemple 3

On considère la fonction fdéﬁnie sur Rpar f(x) = x3

27 −x2

3.

fest négative sur l’intervalle [ 0 ; 9 ]. Pour calculer l’aire du domaine compris entre la courbe de f, l’axe des abcsisses,

et les droites d’équation x= 0 et x= 9, il suﬃt de calculer l’aire du domaine compris entre la courbe de −f, l’axe des

abcsisses, et les droites d’équation x= 0 et x= 9 :

Graphique de f: Graphique de −f:

Calcul de l’aire :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.3 Aire d’une fonction quelconque : découpage d’aire

Pour calculer l’aire d’un domaine déﬁnie par une fonction changeant de signe, il faut découper l’intervalle

en plusieurs intervalles sur lesquels la fonction est de signe constant.

Exemple 4

On considère la fonction fdéﬁnie par f(x) = x2−x−2. On

note Al’aire du domaine compris entre la courbe de f, l’axe

des abcsisses, et les droites d’équation x=−1et x= 3. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 3−1−2

1

2

3

4

−1

−2

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III Propriétés de l’intégrale

III.1 Relation de Chasles

Propriété 2

Soit fune fonction dérivable sur Ret b∈[a;c], alors

Zc

a

f(x)dx =Zb

a

f(x)dx +Zc

b

f(x)dx.

Interprétation graphique :

abc

III.2 Linéarité

Propriété 3

Soient f, g : [ a;b]→Rdeux fonctions dérivables et λun réel, alors :

♦b

R

a

[f(x) + g(x)] dx =

b

R

a

f(x)dx +

b

R

a

g(x)dx.

♦b

R

a

λf(x)dx =λ

b

R

a

f(x)dx.

Ce théorème permet en pratique de ramener le calcul d’une intégrale d’une fonction complexe (de type

polynôme par exemple) à une succession d’intégrations de fonctions plus élémentaires.

Exemple 5

Calcul de l’intégrale : I=

2

Z

1

2x+5

xdx :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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III.3 Inégalités

Propriété 4

Soient f, g : [ a;b]→Rdeux fonctions dérivables.

♦Inégalité : si, pour tout x∈[a;b], on a f(x)≤g(x), alors Zb

a

f(x)dx ≤Zb

a

g(x)dx.

♦Positivité : si, pour tout x∈[a;b], on a f(x)≥0, alors Zb

a

f(x)dx ≥0.

Remarque 1

La réciproque de la positivité n’est pas forcément vraie, on peut avoit Rb

af(x)dx ≥0 sans avoir fpositive

sur [ a;b] :

➔R3

0(2x−1) dx = [x2−x]3

0= 6. Donc, R3

0(2x−1) dx ≥0.

➔Cependant, la fonction x→2x−1 n’est pas positive sur [ 0 ; 3 ].

III.4 Inéglité de la moyenne

Propriété 5

Soit f: [ a;b]→Rune fonction dérivable et met Mdeux réels tels vériﬁants m≤f(x)≤M, alors

m(b−a)≤Zb

a

f(x)dx ≤M(b−a).

Interprétation graphique :

Dans le cas où fest positive sur [ a;b] et où m≥0,

l’aire de la partie égale à Rb

af(x)dx est comprise entre

l’aire du rectangle de base AB de hauteur met l’aire

du rectangle de base AB de hauteur M.

M

A B

Déﬁnition 2

Soit f: [ a;b]→Rune fonction dérivable. Si a6=b, on appelle valeur moyenne de fsur [a;b]le

nombre réel µfdéﬁni par

µf=1

b−aZb

a

f(x)dx.

Interprétation graphique :

La droite d’équation y=µfest la droite horizontale telle l’aire des partie de plan délimitées par l’axe des

abscisses, les droites d’équation x=aet x=bd’une part et les courbes d’équation y=f(x) et y=mf

soient de même valeur.

Exemple 6

La valeur moyenne sur [ 0 ; 1 ] de la fonction carré est :

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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