Calcul intégral

Calcul intégral
Tale ST I GE
2008-2009
Calcul intégral
Table des matières
I
Intégrale d’une fonction
2
II Interprétation graphique : calcul d’aire
II.1 Aire d’un fonction positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2 Aire d’une fonction négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3 Aire d’une fonction quelconque : découpage d’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3
III Propriétés de l’intégrale
III.1 Relation de Chasles . .
III.2 Linéarité . . . . . . . .
III.3 Inégalités . . . . . . .
III.4 Inéglité de la moyenne
4
4
4
5
5
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Dans tout le chapitre, F et G sont des primitives respectivement de f et g sur I.
a et b sont deux points de I, bornes incluses.
I
Intégrale d’une fonction
Définition 1
Le nombre F (b) − F (a), indépendant du choix de F , est appellé intégrale de a à b de f , il est noté
Z
b
f (x) dx = F (b) − F (a).
a
Z
Exemple 1
Calcul de l’intégrale :
3
x dx :
2
➔ Une primitive de f (x) = x est F (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z 3
➔ donc,
x dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
II
II.1
Interprétation graphique : calcul d’aire
Aire d’un fonction positive
Propriété 1
R
Si f est une fonction positive sur [ a ; b ], alors ab f (x) dx est égal à l’aire du domaine compris entre la
courbe de f , l’axe des abcsisses, et les droites d’équation x = a et x = b exprimé en unité d’aire. (U.A.)
Exemple 2
Calcul de l’aire du domaine compris entre la courbe d’équa1
1
tion , l’axe des abcsisses, et les droites d’équation x =
x
2
−
→ −
→
et x = 4 dans un repère orthonormé (O; i ; j ) d’unité graphique 1 cm :
.........................................................
.........................................................
.........................................................
.........................................................
.........................................................
.........................................................
II.2
3
2
1
1
−1
2
3
4
−1
Aire d’une fonction négative
Si la fonction f est négative, alors la fonction −f est positive et les courbes sont symétriques par rapport à
l’axe des abscisses. Donc, l’aire du domaine compris entre la courbe de f , l’axe des abcsisses, et les droites
d’équation x = a et x = b est égale à l’aire du domaine compris entre la courbe de −f , l’axe des abcsisses,
et les droites d’équation x = a et x = b.
Dans ce cas, A =
Rb
[−f (x)] dx.
a
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Exemple 3
x3
x2
− .
On considère la fonction f définie sur R par f (x) =
27
3
f est négative sur l’intervalle [ 0 ; 9 ]. Pour calculer l’aire du domaine compris entre la courbe de f , l’axe des abcsisses,
et les droites d’équation x = 0 et x = 9, il suffit de calculer l’aire du domaine compris entre la courbe de −f , l’axe des
abcsisses, et les droites d’équation x = 0 et x = 9 :
Graphique de −f :
Graphique de f :
Calcul de l’aire :
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. ...................................................................................................................
. ...................................................................................................................
II.3
Aire d’une fonction quelconque : découpage d’aire
Pour calculer l’aire d’un domaine définie par une fonction changeant de signe, il faut découper l’intervalle
en plusieurs intervalles sur lesquels la fonction est de signe constant.
Exemple 4
On considère la fonction f définie par f (x) = x2 − x − 2. On
note A l’aire du domaine compris entre la courbe de f , l’axe
des abcsisses, et les droites d’équation x = −1 et x = 3. . .
4
.........................................................
3
.........................................................
.........................................................
2
.........................................................
1
.........................................................
−2
1
−1
.........................................................
−1
.........................................................
−2
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2
3
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III
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Propriétés de l’intégrale
III.1
Relation de Chasles
Propriété 2
Soit f une fonction dérivable sur R et b ∈ [ a ; c ], alors
Z
c
f (x) dx =
a
Z
b
f (x) dx +
a
Z
c
f (x) dx.
b
Interprétation graphique :
a
III.2
b
c
Linéarité
Propriété 3
Soient f, g : [ a ; b ] → R deux fonctions dérivables et λ un réel, alors :
♦
Rb
[f (x) + g(x)] dx =
Rb
λf (x) dx = λ
a
♦
Rb
f (x) dx +
a
a
Rb
Rb
g(x) dx.
a
f (x) dx.
a
Ce théorème permet en pratique de ramener le calcul d’une intégrale d’une fonction complexe (de type
polynôme par exemple) à une succession d’intégrations de fonctions plus élémentaires.
Z2 Exemple 5
5
Calcul de l’intégrale : I =
2x +
dx :
x
1
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III.3
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Inégalités
Propriété 4
Soient f, g : [ a ; b ] → R deux fonctions dérivables.
Z
♦ Inégalité : si, pour tout x ∈ [ a ; b ], on a f (x) ≤ g(x), alors
b
f (x) dx ≤
a
♦ Positivité : si, pour tout x ∈ [ a ; b ], on a f (x) ≥ 0, alors
Z
Z
b
g(x) dx.
a
b
f (x) dx ≥ 0.
a
Remarque 1
R
La réciproque de la positivité n’est pas forcément vraie, on peut avoit ab f (x)dx ≥ 0 sans avoir f positive
sur [ a ;R b ] :
R
➔ 03 (2x − 1) dx = [x2 − x]30 = 6. Donc, 03 (2x − 1) dx ≥ 0.
➔ Cependant, la fonction x → 2x − 1 n’est pas positive sur [ 0 ; 3 ].
III.4
Inéglité de la moyenne
Propriété 5
Soit f : [ a ; b ] → R une fonction dérivable et m et M deux réels tels vérifiants m ≤ f (x) ≤ M , alors
m(b − a) ≤
Z
b
f (x) dx ≤ M (b − a).
a
Interprétation graphique :
Dans le cas où f est positive
sur [ a ; b ] et où m ≥ 0,
R
l’aire de la partie égale à ab f (x) dx est comprise entre
l’aire du rectangle de base AB de hauteur m et l’aire
du rectangle de base AB de hauteur M .
M
A
B
Définition 2
Soit f : [ a ; b ] → R une fonction dérivable. Si a 6= b, on appelle valeur moyenne de f sur [ a ; b ] le
nombre réel µf défini par
Z b
1
µf =
f (x) dx.
b−a a
Interprétation graphique :
La droite d’équation y = µf est la droite horizontale telle l’aire des partie de plan délimitées par l’axe des
abscisses, les droites d’équation x = a et x = b d’une part et les courbes d’équation y = f (x) et y = mf
soient de même valeur.
Exemple 6
La valeur moyenne sur [ 0 ; 1 ] de la fonction carré est :
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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