I FONCTIONS - FORMULES DE TAYLOR

I FONCTIONS - FORMULES DE TAYLOR
DEVELOPPEMENTS LIMITES - EQUIVALENCE
1. Fonctions dérivables
1.1 Définitions
On dit qu’une application f d’une variable réelle est définie au voisinage d’un point x0 ∈ R
s’il existe un réel r > 0 tel que f est définie sur ]x0 − r, x0 + r[.
On dit qu’une application f d’une variable réelle est définie au voisinage de +∞ s’il existe
a ∈ R tel que f est définie sur ]a, +∞[, de même on dit qu’une application f d’une variable
réelle est définie au voisinage de −∞ s’il existe a ∈ R tel que f est définie sur ] − ∞, a[.
On dit que f est dérivable en un point x0 de R si f est définie au voisinage de x0 et si
f (x) − f (x0 )
le taux d’accroissement T (f, x0 )(x) :=
de f en x0 admet une limite finie
x − x0
quand x −→ x0 dans ]x0 − r, x0 + r[−{x0 }. On note alors f 0 (x0 ) cette limite et on l’appelle
la dérivée de f en x0 .
1.2 Interprétation géométrique
On munit le plan d’un repère orthonormé (O,~i, ~j) et on considère la courbe représentative
C de f dans ce repère ; soit M0 le point de coordonnées (x0 , f (x0 )) et soit M le point de
coordonnées (x, f (x)) pour x 6= x0 voisin de x0 , alors le taux d’accroissement T (f, x0 )(x)
de f en x0 n’est autre que la pente de la droite (M M0 ) et si f est dérivable en x0 , alors
la droite (M M0 ) tend vers une droite appelée tangente à la courbe C au point M0 et qui
a pour pente f 0 (x0 ).
1.3 Remarque
La courbe représentative d’une fonction f peut posséder une tangente en un point M0 (x0 , f (x0 ))
sans que f soit dérivable en x0 : c’est le cas quand le taux d’accroissement T (f, x0 )(x)
tend vers ±∞ quand x −→ x0 dans ]x0 − r, x0 + r[−{x0 }.
1.4 Proposition
Soit I un intervalle de R et soit f : I −→ R une application. Si f est dérivable en un
point x0 de I alors f est continue en x0 .
f (x) − f (x0 )
Preuve : si f est dérivable en x0 , alors le taux d’accroissement T (f, x0 )(x) :=
x − x0
de f en x0 admet une limite finie l quand x −→ x0 dans I − {x0 }, alors si on pose
ε(x) = T (f, x0 )(x) si x 6= x0 et ε(x0 ) = 0
on peut écrire f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )ε(x) donc f (x) −→ f (x0 ) quand x −→ x0 .
Remarque La réciproque de ce résultat est fausse : la fonction f (x) = |x| est continue
en 0 sans être dérivable en 0.
1
1.5 Définitions et notations
Soit I un sous-ensemble de R et soit f : I −→ R une application. On dit que f est
dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I ; l’application
f 0 : I −→
R
x 7−→ f 0 (x)
est appelée la dérivée de f (notation dite de Lagrange). On utilise également la notation
df
(x0 ). Enfin, en Physique, si x : t 7→ x(t) désigne une fonction
dite de Leibniz f 0 (x0 ) =
dx
x de la variable temps, on utilise la notation dite de Newton ẋ(t) pour désigner la dérivée
de x par rapport au temps.
On dit que f est de classe C 1 sur I si f est dérivable sur I et si la fonction dérivée f 0 est
continue sur I.
1.6 Opérations sur les dérivées
a) Si f et g sont dérivables en x0 et si k ∈ R, alors f + g et kf sont dérivables en x0 et
on a
(f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 )
(kf )0 (x0 ) = kf 0 (x0 ).
b) Si f et g sont dérivables en x0 , alors f g est dérivable en x0 et on a
(f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 ).
c) Si f est dérivable en x0 et si g est dérivable en f (x0 ), alors g ◦ f est dérivable en x0 et
on a
(g ◦ f )0 (x0 ) = f 0 (x0 ) × (g 0 ◦ f )(x0 ).
d) Si f et g sont dérivables en x0 et si g(x0 ) 6= 0, alors
‚ Œ0
f
g
(x0 ) =
f
est dérivable en x0 et on a
g
f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 )
.
g 2 (x0 )
Remarque : La notation de Leibniz fournit un moyen mnémotechnique très utile pour
retrouver la formule de dérivation d’une composée de fonctions : considérons z = g(y) et
y = f (x), alors la formule du (c) s’écrit de la manière suivante
(g ◦ f )0 (x) = f 0 (x) × (g 0 ◦ f )(x) = f 0 (x) × g 0 (y) = g 0 (y) × f 0 (x)
ce qui s’écrit avec la notation de Leibniz
dz
dz dy
= .
dx
dy dx
c’est-à-dire que tout se passe comme si il suffisait de simplifier par dy.
2
1.7 Dérivées des fonctions usuelles
*
*
*
*
*
*
*
*
*
d n
x = nxn−1 sur R si n ∈ N
dx
d n
x = nxn−1 sur R∗ si n est un entier < 0
dx
d α
x = αxα−1 sur ]0, +∞[ si α ∈ R non entier.
dx
d x
e = ex sur R
dx
1
d
ln |x − a| =
sur R − {a}
dx
x−a
d
sin x = cos x sur R
dx
d
cos x = − sin x sur R
dx
d
1
π
π
tgx = 1 + tg2 x =
sur ] − + kπ, + kπ[ avec k ∈ Z
2
dx
cos x
2
2
d
1
Arctgx =
sur R
dx
1 + x2
1.8 Théorème
Soit I un intervalle de R non réduit à un point et soit f : I −→ R une application
continue, strictement croissante (resp. décroissante) sur I ; alors f (I) est un intervalle de
R et f est une bijection de I sur f (I).
De plus, la bijection réciproque f −1 : f (I) −→ I est continue et strictement croissante
(resp. décroissante) sur f (I) et les courbes représentatives de f et f −1 dans un repère
orthonormé sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
Si de plus f est dérivable en x0 ∈ I et si f 0 (x0 ) 6= 0, alors f −1 est dérivable en f (x0 ) et
1
.
(f −1 )0 (f (x0 )) = 0
f (x0 )
1.9 Définition
Soit I un intervalle de R et soit f : I −→ R une application.
a) On dit que f est dérivable à gauche en un point x0 de I si et seulement si le taux
f (x) − f (x0 )
d’accroissement T (f, x0 )(x) :=
de f en x0 admet une limite finie quand
x − x0
x −→ x0 dans I∩] − ∞, x0 [. On note alors fg0 (x0 ) cette limite et on l’appelle la dérivée à
gauche de f en x0 .
La courbe représentative C de f admet alors une demi-tangente au point M0 de coordonnées (x0 , f (x0 )) dans le demi-plan x < x0 .
a) On dit que f est dérivable à droite en un point x0 de I si et seulement si le taux
f (x) − f (x0 )
d’accroissement T (f, x0 )(x) :=
de f en x0 admet une limite finie quand
x − x0
3
x −→ x0 dans I∩]x0 , +∞[. On note alors fd0 (x0 ) cette limite et on l’appelle la dérivée à
droite de f en x0 .
La courbe représentative C de f admet alors une demi-tangente au point M0 de coordonnées (x0 , f (x0 )) dans le demi-plan x > x0 .
1.10 Définition
Soit I un intervalle de R et soit f : I −→ R une application.
a) Si f est dérivable sur I et si sa dérivée f 0 est elle-même dérivable sur I, on dit que f
est deux fois dérivable sur I : la dérivée de f 0 est notée f 00 ou f (2) et s’appelle la dérivée
seconde de f . Si f 00 est dérivable sur I, sa dérivée est notée f 000 ou f (3) , etc...
b) Soit n ∈ N∗ : on dit que f est n-fois dérivable sur I si f est dérivable sur I, f 0 est
dérivable sur I, f 00 est dérivable sur I,..., f (n−1) est dérivable sur I et on note f (n) =
(f (n−1) )0 . La fonction f (n) est appelée la dérivée n-ième de f ou dérivée d’ordre n de f .
dn f
On utilise également la notation f (n) = n . On pose par convention f (0) = f .
dx
c) On dit que f est indéfiniment dérivable sur I si f est n-fois dérivable sur I pour tout
entier n ∈ N.
1.11 Exemples
a) La fonction ex est indéfiniment dérivable sur R et (ex )(n) = ex pour tout n ∈ N.
b) La fonction sin x est indéfiniment dérivable sur R et (sin x)(2n) = (−1)n sin x et
(sin x)(2n+1) = (−1)n cos x pour tout n ∈ N.
c) La fonction f (x) = |x|3 est deux fois dérivable sur R mais pas trois-fois dérivable en 0.
2 Etude pratique d’une fonction
Soit f une fonction d’une variable réelle : on notera C(f ) la courbe représentative de f
dans un repère orthonormé (0,~i, ~j).
a) on détermine le domaine de définition de f ;
b) on calcule la dérivée de f là où elle est dérivable et on en déduit les variations de f ;
c) on calcule les limites de f aux bornes du domaine de définition ;
d) on étudie "les branches infinies" :
* s’il existe un réel a tel que lim f (x) = ±∞, alors la droite d’équation x = a est asymptote
x→a
à la courbe C(f ).
* si lim f (x) = b ∈ R, alors la droite d’équation y = b est asymptote à la courbe C(f ).
x→±∞
* si lim f (x) = ±∞, on cherche si la courbe C(f ) possède une asymptote dite "oblique" :
x→±∞
f (x)
possède une limite quand x −→ ±∞ ; si oui, plusieurs cas
pour cela on regarde si
x
cas se présentent selon que cette limite est finie ou pas :
4
f (x)
= a ∈ R∗ ; alors on étudie lim (f (x) − ax). Si cette limite existe et
x→±∞
x→±∞ x
est finie égale à b ∈ R, alors la droite d’équation y = ax+b est asymptote à la courbe C(f ).
Si lim (f (x) − ax) = ±∞, on dit que la courbe C(f ) admet une branche parabolique de
x→±∞
direction la droite d’équation y = ax.
f (x)
2ème cas : lim
= 0 ; alors on dit que la courbe C(f ) admet une branche parabolique
x→±∞ x
de direction 0x.
f (x)
= ±∞, alors on dit la courbe C(f ) admet une branche parabolique
3ème cas : lim
x→±∞ x
de direction 0y.
1er cas : lim
3 Fonctions usuelles
(cf. fin du chapitre)
4 Formules de Taylor
4.1 Théorème de Rolle
Soient a et b deux réels tels que a < b. On considère une application f : [a, b] −→ R
continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ telle que f (a) = f (b) ; alors il existe c ∈]a, b[ tel
que f 0 (c) = 0.
Preuve : admise.
4.2 Théorème des accroissements finis
Soient a et b deux réels tels que a < b. On considère une application f : [a, b] −→ R
continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ ; alors il existe c ∈]a, b[ tel que
f (a) − f (b) = (b − a)f 0 (c).
On peut aussi exprimer le théorème des accroissements finis sous la forme suivante :
soient x0 ∈ R et h > 0 et soit f une application continue sur [x0 , x0 + h] et dérivable sur
]x0 , x0 + h[ alors il existe un réel θ ∈]0, 1[ tel que
f (x0 + h) − f (x0 ) = hf 0 (x0 + θh).
(de même avec h < 0 et f continue sur [x0 + h, x0 ], dérivable sur ]x0 + h, x0 [.)
Preuve : On considère la fonction ϕ définie sur [a, b] par
ϕ(x) = f (x) −
f (b) − f (a)
(x − a) − f (a).
b−a
La fonction ϕ est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ puisque f l’est et on a ϕ(a) = 0
mais aussi ϕ(b) = 0 ; on peut donc appliquer le théorème de Rolle à ϕ : il existe c ∈]a, b[
tel que ϕ0 (c) = 0. Or pour tout x ∈]a, b[, on a
ϕ0 (x) = f 0 (x) −
f (a) − f (b)
b−a
donc ϕ0 (c) = 0, ce qui signifie f (a) − f (b) = (b − a)f 0 (c).
5
4.3 Corollaire Soit f une application dérivable sur un intervalle I de R.
a) pour tous a et b ∈ I il existe c strictement compris entre a et b tel que
f (a) − f (b) = (b − a)f 0 (c).
b) Soit x0 ∈ I et h ∈ R tel que x0 + h ∈ I alors il existe un réel θ ∈]0, 1[ tel que
f (x0 + h) − f (x0 ) = hf 0 (x0 + θh).
4.4 Corollaire
Soit x0 ∈ R et soit f une application continue au voisinage de x0 et dérivable au voisinage
de x0 sauf en x0 ; si f 0 admet une limite l ∈ R ∪ {±∞} quand x → x0 , x 6= x0 , alors la
courbe représentative de f admet une tangente de pente l au point (x0 , f (x0 )).
Preuve : pour h > 0 suffisamment proche de 0, f est continue sur [x0 , x0 + h] et dérivable
sur ]x0 , x0 + h[ donc il existe θ ∈]0, 1[ tel que
T (f, x0 )(h) =
f (x0 + h) − f (x0 )
= f 0 (x0 + θh)
h
donc
lim T (f, x0 )(h) = l.
h→0+
De même avec h < 0 suffisamment proche de 0, on obtient lim− T (f, x0 )(h) = l d’où
h→0
lim T (f, x0 )(h) = l
h→0
et ainsi la courbe représentative de f admet une tangente de pente l au point (x0 , f (x0 )).
4.5 Corollaire
Soit f une application dérivable sur un intervalle I de R dont la dérivée est l’application
nulle ; alors f est une application constante.
Preuve : soit x0 ∈ I fixé et considérons un point quelconque x de I distinct de x0 ; alors
d’après 2.3, il existe c strictement compris entre x et x0 tel que
f (x) − f (x0 ) = (x − x0 )f 0 (c)
or f 0 est l’application nulle donc f (x) = f (x0 ) et ce pour tout x ∈ I : f est donc constante.
6
4.6 Définition
Soit f une application définie sur un intervalle I de R.
a) on dit que f est croissante (resp. décroissante) sur I si et seulement si :
∀x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) (resp. f (x1 ) ≥ f (x2 )).
b) on dit que f est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur I si et
seulement si :
∀x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 )( resp. f (x1 ) > f (x2 )).
4.7 Théorème
Soit f une application dérivable sur un intervalle I de R.
a) si ∀x ∈ I, f 0 x) ≥ 0, alors f est croissante sur I.
b) si ∀x ∈ I, f 0 x) ≤ 0, alors f est décroissante sur I.
c) si ∀x ∈ I, f 0 x) ≥ 0 et si f 0 ne s’annule au plus qu’en un nombre fini de points de I,
alors f est strictement croissante sur I.
d) si ∀x ∈ I, f 0 x) ≤ 0 et si f 0 ne s’annule au plus qu’en un nombre fini de points de I,
alors f est strictement décroissante sur I.
Preuve :
a) on suppose ∀x ∈ I, f 0 x) ≥ 0 ; soient a et b ∈ I tels que a < b alors d’après 2.3, il existe
c ∈]a, b[ tel que f (a) − f (b) = (b − a)f 0 (c) d’où f (a) ≥ f (b) puisque f 0 (c) ≥ 0 et ainsi f
est croissante.
b) : démonstration analogue.
c) : on suppose ∀x ∈ I, f 0 x) ≥ 0 et f 0 ne s’annule qu’en un nombre fini de points.
D’après a) f est croissante sur I : raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe a
et b ∈ I tels que a < b et f (a) = f (b), alors, pour tout x ∈ [a, b], on a a ≤ x ≤ b
donc f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) puisque f est croissante sur I, or f (a) = f (b) donc pour tout
x ∈ [a, b], f (x) = f (a) = f (b) donc f est constante sur [a, b] donc f 0 est l’application nulle
sur [a, b], ce qui est impossible puisque f ne s’annule qu’en un nombre fini de points : on
en déduit que pour tous a et b ∈ I,
a < b =⇒ f (a) < f (b)
et ainsi f est strictement croissante sur I.
d) : démonstration analogue.
7
4.8 Formule de Taylor-Lagrange
Soit a et b deux réels tels que a < b, soit f : [a, b] −→ R une application et soit n ∈ N.
On suppose que f vérifie les trois conditions suivantes :
a) f admet des dérivées jusqu’à l’ordre n sur [a, b] ;
b) f (n) est continue sur [a, b] ;
c) f (n) est dérivable sur ]a, b[.
Alors il existe un réel c ∈]a, b[ tel que
f (b) = f (a) + (b − a)f 0 (a) + (b − a)2
Le terme (b − a)n+1
f (n) (a)
f (n+1) (c)
f 00 (a)
+ · · · + (b − a)n
+ (b − a)n+1
.
2!
n!
(n + 1)!
f (n+1) (c)
est appelé reste de Lagrange.
(n + 1)!
Preuve :
Soit A le nombre réel défini par
0
f (b) = f (a) + (b − a)f (a) + (b − a)
2f
00
(n)
(a)
(a)
A
nf
+ · · · + (b − a)
+ (b − a)n+1
2!
n!
(n + 1)!
et soit ϕ l’application définie sur [a, b] par
"
#
f 00 (x)
f (n) (x)
A
ϕ(x) = f (b)− f (x) + (b − x)f 0 (x) + (b − x)2
+ · · · + (b − x)n
+ (b − x)n+1
.
2!
n!
(n + 1)!
Il est clair que ϕ est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ et vérifie ϕ(a) = ϕ(b) = 0,
donc par le théorème de Rolle, il existe un réel c ∈]a, b[ tel que (ϕ)0 (c) = 0. Or le calcul
de (ϕ)0 donne
Š
(b − x)n € (n+1)
−f
(x) + A
(ϕ)0 (x) =
n!
(n+1)
alors, pour x = c, on obtient A = f
(c).
4.9 Formule de Taylor-Young
Soient x0 ∈ R, , r un réel > 0 et n ∈ N. On considère une application f : ]x0 −r, x0 +r[−→ R
telle que f possède une dérivée n-ième en x0 .
Alors il existe une application ε : ]x0 − r, x0 + r[−→ R telle que ε(x) −→ 0 quand x −→ x0
qui vérifie pour tout x ∈]x0 − r, x0 + r[ :
f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )f 0 (x0 ) + (x − x0 )2
f 00 (x0 )
f (n) (x0 )
+ · · · + (x − x0 )n
+ (x − x0 )n ε(x).
2!
n!
f 00 (x0 )
f (n) (x0 )
+ · · · + (x − x0 )n
est appelé
2!
n!
n
développement de Taylor d’ordre n de f en x0 et le terme (x − x0 ) ε(x) s’appelle le reste
de Young. On note généralement (x − x0 )n ε(x) = o((x − x0 )n ).
Le terme f (x0 ) + (x − x0 )f 0 (x0 ) + (x − x0 )2
Preuve : admise.
8
Remarque : il ne faut pas confondre la formule de Taylor-Young avec celle de TaylorLagrange même si les deux énoncés ont des points communs : les conditions d’application
de la formule de Taylor-Young sont beaucoup plus "légères" mais la formule de TaylorYoung ne renseigne que sur le comportement "local" de f au voisinage de x0 , alors que
celle de Taylor-Lagrange donne un résultat "global" mais avec des hypothèses plus fortes.
5 Développements limités
5.1 Définition
Soient x0 ∈ R, n ∈ N. On considère une application f définie au voisinage de x0 : on dit
que f admet un développement limité (d.l.) d’ordre n au voisinage de x0 si et seulement
si il existe n + 1 réels a0 , a1 , · · · , an tels que
f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + o((x − x0 ))n .
le terme o((x − x0 ))n est appelé reste d’ordre n du d.l.
5.2 Exemples
1
= 1 + x + x2 + · · · + xn + o(xn ).
a)
1−x
x2
xn
b) ex = 1 + x +
+ ··· +
+ o(xn ).
2!
n!
c) Une fonction polynomiale P (x) = a0 + a1 x + · · · + ap xp admet un d.l. à tout ordre n :
si n ≤ p, P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn + o(xn )
si n > p, P (x) = a0 + a1 x + · · · + ap xp + 0.xp+1 + · · · + 0.xn : le reste d’ordre n est nul.
Preuve :
a) On a pour tout réel x 6= 1 et tout n ∈ N,
1 + x + x2 + · · · + xn =
1 − xn+1
1−x
d’où
1
x
= 1 + x + x2 + · · · + xn +
xn
1−x
1−x
x
−→ 0 quand x −→ 0.
1−x
b) Pour tout n ∈ N la fonction f (x) = ex possède une dérivée n-ième en 0 donc vérifie la
formule de Taylor-Young en 0 ; or f (k) (x) = ex pour tout k ∈ N, d’où la formule annoncée.
et ε(x) =
c) si n ≤ p, P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn + xn (an+1 x + · · · + ap xn−p )
et ε(x) = an+1 x + · · · + ap xn−p −→ 0 quand x −→ 0.
9
5.3 Proposition
a) Si f admet un d.l. à l’ordre n au voisinage de x0 , alors ce d.l. est unique.
b) Si f admet un d.l. à l’ordre n au voisinage de x0 :
f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + o((x − x0 )n ).
alors pour tout entier p < n, f admet un d.l. à l’ordre p au voisinage de x0 , à savoir
f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + ap (x − x0 )p + o((x − x0 ))p
c’est-à-dire que l’on peut tronquer tout d.l. à l’ordre n à un ordre < n.
c) Si f admet un d.l. à l’ordre 1 au voisinage de x0 :
f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + o((x − x0 )).
alors f est dérivable en x0 , f (x0 ) = a0 et f 0 (x0 ) = a1 .
Preuve :
a) Supposons que f admet deux d.l. à l’ordre n au voisinage de x0 :
f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + (x − x0 )n ε1 (x)
= b0 + b1 (x − x0 ) + · · · + bn (x − x0 )n + (x − x0 )n ε2 (x)
alors, on obtient
a0 − b0 + (a1 − b1 )(x − x0 ) + · · · + (an − bn )(x − x0 )n = (x − x0 )n (ε2 (x) − ε1 (x))
d’où a0 = b0 quand on fait x −→ x0 dans cette égalité. On divise alors par x − x0 et il
vient
(a1 − b1 ) + · · · + (an − bn )(x − x0 )n−1 = (x − x0 )n−1 (ε2 (x) − ε1 (x))
d’où a1 = b1 quand on fait x −→ x0 , etc...On obtient alors au bout de n étapes
a0 = b0 , a1 = b1 , · · · , an−1 = bn−1 , an = bn .
et ainsi ε1 (x) = ε2 (x) au voisinage de x0 .
b) si f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + (x − x0 )n ε(x), alors
”
—
f (x) = a0 +· · ·+ap (x−x0 )p +(x−x0 )p ap+1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n−p + (x − x0 )n−p ε(x)
et ε1 (x) := ap+1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n−p + (x − x0 )n−p ε(x) −→ 0 quand x −→ x0 .
c) f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + (x − x0 )ε(x) où ε(x) → 0 quand x → x0 donc f (x0 ) = a0 ; de
f (x) − f (x0 )
plus
= a1 + ε(x) donc f est dérivable en x0 et f 0 (x0 ) = a1 .
x − x0
10
5.4 Principaux d.l. au voisinage de 0
1
*
= 1 + x + x2 + · · · + xn + o(xn )
1−x
*
1
= 1 − x + x2 + · · · + (−1)n xn + o(xn )
1+x
* (1 + x)α = 1 + αx +
* ln(1 + x) = x −
α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
α(α − 1) 2
x +···+
x + o(xn ) (α ∈ R − N)
2!
n!
xn
x2
+ · · · + (−1)n+1 + o(xn )
2
n
x2
xn
* e =1+x+
+ ··· +
+ o(xn )
2!
n!
x
* sin x = x −
x2n+1
x3 x5
+
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+2 )
3!
5!
(2n + 1)!
* cos x = 1 −
x2 x4
x2n
+
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+1 )
2!
4!
(2n)!
* shx = x +
x3 x5
x2n+1
+
+ ··· +
+ o(x2n+2 )
3!
5!
(2n + 1)!
x2 x 4
x2n
* chx = 1 +
+
+ ··· +
+ o(x2n+1 )
2!
4!
(2n)!
* tgx = x +
x3
2
+ x5 + o(x6 )
3
15
* thx = x −
2
x3
+ x5 + o(x6 )
3
15
* Arctgx = x −
x3 x5
x2n+1
+
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+2 )
3
5
2n + 1
5.5 Opérations sur les d.l.
a) Combinaison linéaire de d.l.
Considérons
f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + o((x − x0 ))n
g(x) = b0 + b1 (x − x0 ) + · · · + bp (x − x0 )p + o((x − x0 ))p
avec p ≤ n, alors pour tous α et β ∈ R, on a
(αf + βg)(x) = (αa0 + βb0 ) + (αa1 + βb1 )(x − x0 ) + · · · + (αap + βbp )(x − x0 )p + o((x − x0 ))p .
b) Produit de d.l.
11
Traitons un exemple :
si f (x) = x + 3x2 + 7x3 + o(x3 )
et g(x) = 1 + x − x2 + 3x3 + 2x4 + o(x4 )
alors
f (x)g(x) =
+
+
+
=
x + x2 − x3 + 3x4 + 2x5 + o(x5 )
3x2 + 3x3 − 3x4 + 9x5 + 6x6 + o(x6 )
7x3 + 7x4 − 7x5 + 21x6 + 14x7 + o(x7 )
o(x3 ) + o(x4 ) + o(x5 ) + o(x6 ) + o(x7 ) + o(x7 )
x + 4x2 + 9x3 + o(x3 )
car tous les xk et o(xk ) pour k ≥ 4 "rentrent" dans le o(x3 ).
c) Composition de d.l.
On peut composer le d.l. au voisinage de 0 de f avec le d.l. au voisinage de 0 de g à la
condition que g(0) = 0 : traitons un exemple
f (t) = 1 − t + 2t2 − 3t3 + o(t3 )
g(x) = x − 2x2 + x3 + o(x3 )
alors, en remplaçant t par x − 2x2 + x3 + o(x3 ) dans le d.l. de f , on a
f (g(x)) = 1 − (x − 2x2 + x3 + o(x3 )) + 2(x − 2x2 + x3 + o(x3 ))2 − 3(x − 2x2 + x3 )
+o((x − 2x2 + x3 + o(x3 ))3 )
= 1 − x + 2x2 + x3 + 2(x2 − 4x3 ) − 3(x3 ) + o(x3 )
= 1 − x + 4x2 − 10x3 + o(x3 )
puisque tous les xk et o(xk ) pour k ≥ 4 "rentrent" dans le o(x3 ).
5.6 Intégration des d.l.
Si f est dérivable au voisinage d’un point x0 ∈ R et si f 0 possède un d.l. à l’ordre n au
voisinage de x0 donné par f 0 (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + o((x − x0 ))n alors
f admet un d.l. à l’ordre n + 1 au voisinage de x0 , obtenu en intégrant le d.l. de f 0 :
f (x) = f (x0 ) + a0 (x − x0 ) + a1
(x − x0 )n+1
(x − x0 )2
+ · · · + an
+ o((x − x0 ))n+1 .
2
n+1
Preuve :
(x − x0 )2
(x − x0 )n+1
− · · · − an
, alors ϕ est
2
n+1
dérivable au voisinage de x0 et a pour dérivée
Posons ϕ(x) = f (x) − f (x0 ) − a0 (x − x0 ) − a1
ϕ0 (x) = f 0 (x) − a0 − a1 (x − x0 ) − · · · − an (x − x0 )n = o((x − x0 )n ) = (x − x0 )n ε1 (x)
où ε1 (x) −→ 0 quand x −→ x0 .
Appliquons le théorème des accroissements finis à ϕ au voisinage de x0 : pour x suffisamment proche de x0 , il existe θ ∈]0, 1[ tel que
ϕ(x) = ϕ(x0 ) + (x − x0 )ϕ0 (x0 + θ(x − x0 )) = θn (x − x0 )n+1 ε1 (x0 + θ(x − x0 ))
posons ε2 (x) = θn ε1 (x0 + θ(x − x0 )) : on a alors |ε2 (x)| ≤ |ε1 (x0 + θ(x − x0 ))| donc
ε2 (x) −→ 0 quand x −→ x0 , d’où (x − x0 )n+1 ε2 (x) = o((x − x0 ))n+1 .
12
5.7 Remarque
1 On
n’a pas le droit de dériver un d.l. : la fonction définie par
f (x) = x3 sin 2 si x 6= 0 et f (0) = 0 possède un d.l. à l’ordre 2 au voisinage de 0
x
1
2
donné par f (x) = o(x ) car la fonction ε(x) = x sin 2 tend vers 0 quand x → 0. Mais
x
∗
0
2
∀x ∈ R , f x) = 3x sin
1
x2
− 2 cos
1
x2
donc f 0 ne possède pas de limite quand x → 0, par conséquent ne possède pas de d.l. au
voisinage de 0, même à l’ordre 0.
5.8 Exemple Calcul du d.l. de Arcsinx à l’ordre 5 au voisinage de 0 :
1
sur ] − 1, 1[ et Arcsin(0) = 0, or
On a (Arcsin)’(x) = √
1 − x2
√
donc
1
1 2 3 4
2 − 12
=
1
+
=
(1
−
x
)
x + x + o(x4 )
2
2
8
1−x
3
1
Arcsinx = x + x3 + x5 + o(x5 ).
6
40
5.9 d.l. au voisinage de ±∞
1
−→ 0 :
x 1
on dit que f admet un d.l. au voisinage de l’infini à l’ordre n si l’application f˜(X) = f
X
admet un d.l. au voisinage de 0 à l’ordre n, i.e, il existe des réels a0 , a1 , · · · , an tels que
Soit A ∈ R et soit f une application définie sur [A, +∞[. Quand x −→ +∞, X =
1
1
1
f (x) = a0 + a1 + · · · + an n + o n .
x
x
x
6 Equivalence de fonctions
6.1 Définition
Soient f et g deux applications définies au voisinage d’un point x0 ∈ R ∪ {−∞, +∞} : on
dit que f et g sont équivalentes au voisinage de x0 s’il existe une application ϕ définie au
voisinage de x0 qui vérifie :
a) f (x) = g(x)ϕ(x) au voisinage de x0 ;
b) x→x
lim ϕ(x) = 1.
0
Si x0 ∈ R et si g ne s’annule au plus qu’en x0 sur un voisinage ]x0 − r, x0 + r[ de x0 , alors
la définition ci-dessus peut s’exprimer comme suit : f et g sont équivalentes au voisinage
de x0 si et seulement si
f (x)
lim
= 1.
x→x0 ,x6=x0 g(x)
13
On note alors f ∼ g au voisinage de x0 ou plus simplement f
∼
x0
g.
Exemple
Soit f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 avec an 6= 0, alors f (x)
∼
+∞
an x n .
6.2 Proposition
La relation ∼ au voisinage d’un point x0 est une relation d’équivalence, i.e elle vérifie les
propriétés suivantes :
a) elle est réflexive, i.e pour toute application f définie au voisinage de x0 , on a f ∼ f ;
b) elle est symétrique, i.e pour toutes applications f et g définies au voisinage de x0 ,
f ∼ g ⇐⇒ g ∼ f ;
c) elle est transitive, i.e pour toutes applications f ,g et h définies au voisinage de x0 ,
f ∼ g et g ∼ h =⇒ f ∼ h.
Preuve : Effectuons la démonstration avec la définition "simplifiée" :
a) On a de toute évidence
b) Si f ∼ g alors
lim
x→x0 ,x6=x0
lim
x→x0 ,x6=x0
f (x)
= 1, donc
g(x)
c) Si f ∼ g et g ∼ h, alors
f
g
f
= × , on obtient
h
g
h
f (x)
= 1, donc f ∼ f .
f (x)
lim
x→x0 ,x6=x0
lim
x→x0 ,x6=x0
lim
x→x0 ,x6=x0
f (x)
= 1 et
g(x)
g(x)
= 1 i.e g ∼ f .
f (x)
lim
x→x0 ,x6=x0
g(x)
= 1 donc , en écrivant
h(x)
f (x)
= 1, i.e f ∼ h.
h(x)
6.3 Proposition et définition
Si f admet un d.l. à l’ordre n au point x0 ∈ R de la forme
f (x) = ap (x − x0 )p + ap+1 (x − x0 )p+1 + · · · + an (x − x0 )n + o((x − x0 ))n
avec ap 6= 0, alors f (x) ∼ ap (x − x0 )p au voisinage de x0 : le monôme ap (x − x0 )p (premier
terme non nul du d.l) est appelé partie principale du d.l. de f au voisinage de x0 .
Preuve : Au voisinage de x0 , on a
f (x)
= 1 + ap+1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n−p + o((x − x0 ))n−p
ap (x − x0 )p
d’où
f (x)
−→ 1 quand x −→ x0 et x 6= x0
ap (x − x0 )p
et ainsi f (x) ∼ ap (x − x0 )p au voisinage de x0 .
14
6.4 Opérations sur les équivalents
Soient f1 , f2 , g1 , g2 des fonctions définies au voisinage de x0 ∈ R ∪ {−∞, +∞} et ne
s’annulant au plus qu’en x0 sur un voisinage ]x0 − r, x0 + r[ de x0 , si x0 ∈ R, alors on a
a) si f1 ∼ g1 et f2 ∼ g2 au voisinage de x0 , alors f1 f2 ∼ g1 g2 ;
b) si f1 ∼ g1 et f2 ∼ g2 au voisinage de x0 alors
f1
g1
∼
;
f2
g2
c) ef1 ∼ eg1 au voisinage de x0 si et seulement si lim (f1 − g1 ) = 0.
x→x0
d) si f et g prennent des valeurs > 0 au voisinage de x0 et si g possède une limite (finie
ou pas) distincte de 1 quand x −→ x0 , alors f ∼ g au voisinage de x0 entraîne ln f ∼ ln g.
Preuve :
a) si f1 ∼ g1 et f2 ∼ g2 au voisinage de x0 , alors
d’où
f1 f2
−→ 1, i.e f1 f2 ∼ g1 g2 .
g1 g2
f1
f2
−→ 1 et
−→ 1 quand x −→ x0 ,
g1
g2
b) démonstration analogue.
ef1
= ef1 −g1 d’où le résultat.
g
1
e
ln(f /g)
ln f
−1 =
, or ln(f /g) −→ 0 et 1/ ln g −→ l ∈ R quand x −→ x0 donc
d)
ln g
ln g
ln f
−→ 1, i.e ln f ∼ ln g.
ln g
c) on a
6.5 Remarques
a) si f1 ∼ g1 et f2 ∼ g2 au voisinage de x0 , on n’a pas en général f1 + g1 ∼ f2 + g2 :
en effet prenons f1 (x) = x + x2 , g1 (x) = x, f2 (x) = −x + x3 et g2 (x) = −x, alors
f1 ∼ g1 et f2 ∼ g2 au voisinage de 0 mais (f1 + f2 )(x) = x2 + x3 n’est pas équivalente à
(g1 + g2 )(x) = 0.
b) si f ∼ g au voisinage de x0 , on n’a pas en général ef ∼ eg :
en effet prenons f (x) = x + x2 , g(x) = x2 , alors on a bien f ∼ g au voisinage de +∞
ef
mais g = ef −g = ex −→ +∞ quand x −→ +∞ donc ef n’est pas équivalente à eg au
e
voisinage de +∞.
c) si f et g prennent des valeurs > 0 au voisinage de x0 et si f ∼ g au voisinage de x0 ,
on n’a pas en général ln f ∼ ln g :
en effet prenons f (x) = 1 + x, g(x) = 1, alors on a bien f ∼ g au voisinage de 0 mais
ln f ∼ x alors que ln g = 0 au voisinage de 0, donc ln f n’est pas équivalente à ln g au
voisinage de 0.
15
6.6 Proposition
Soit x0 ∈ R ∪ {−∞, +∞}. Si f ∼ g au voisinage de x0 et si g possède une limite
l ∈ R ∪ {−∞, +∞} quand x −→ x0 , alors f (x) −→ l quand x −→ x0 .
Preuve :
On a f (x) = f (x).
g(x)
−→ l.1 = l quand x −→ x0 .
f (x)
6.7 Exemple
Calculons la limite en 0 de f (x) =
1 − cos x
:
sin2 x
On a le d.l. de cos x au voisinage de 0 : cos x = 1 −
x2
x2
+ o(x2 ), d’où 1 − cos x =
+ o(x2 )
2
2
x2
d’après 4.3. De même, sin x = x + o(x), donc sin x ∼ x, et ainsi
2
sin2 x ∼ x2 d’après 4.4, d’où
x2
1
f (x) ∼ 22 =
x
2
1
donc lim f (x) = .
x→0
2
et ainsi 1 − cos x ∼
16