I FONCTIONS - FORMULES DE TAYLOR

I FONCTIONS - FORMULES DE TAYLOR
DEVELOPPEMENTS LIMITES - EQUIVALENCE
1. Fonctions dérivables
1.1 Définitions
On dit qu’une application fd’une variable réelle est définie au voisinage d’un point x0∈R
s’il existe un réel r > 0tel que fest définie sur ]x0−r, x0+r[.
On dit qu’une application fd’une variable réelle est définie au voisinage de +∞s’il existe
a∈Rtel que fest définie sur ]a, +∞[, de même on dit qu’une application fd’une variable
réelle est définie au voisinage de −∞ s’il existe a∈Rtel que fest définie sur ]− ∞, a[.
On dit que fest dérivable en un point x0de Rsi fest définie au voisinage de x0et si
le taux d’accroissement T(f, x0)(x) := f(x)−f(x0)
x−x0
de fen x0admet une limite finie
quand x−→ x0dans ]x0−r, x0+r[−{x0}. On note alors f0(x0)cette limite et on l’appelle
la dérivée de fen x0.
1.2 Interprétation géométrique
On munit le plan d’un repère orthonormé (O,~ i,~ j)et on considère la courbe représentative
Cde fdans ce repère ; soit M0le point de coordonnées (x0, f(x0)) et soit Mle point de
coordonnées (x, f(x)) pour x6=x0voisin de x0, alors le taux d’accroissement T(f, x0)(x)
de fen x0n’est autre que la pente de la droite (MM0)et si fest dérivable en x0, alors
la droite (MM0)tend vers une droite appelée tangente à la courbe Cau point M0et qui
a pour pente f0(x0).
1.3 Remarque
La courbe représentative d’une fonction fpeut posséder une tangente en un point M0(x0, f(x0))
sans que fsoit dérivable en x0: c’est le cas quand le taux d’accroissement T(f, x0)(x)
tend vers ±∞ quand x−→ x0dans ]x0−r, x0+r[−{x0}.
1.4 Proposition
Soit Iun intervalle de Ret soit f:I−→ Rune application. Si fest dérivable en un
point x0de Ialors fest continue en x0.
Preuve : si fest dérivable en x0, alors le taux d’accroissement T(f, x0)(x) := f(x)−f(x0)
x−x0
de fen x0admet une limite finie lquand x−→ x0dans I− {x0}, alors si on pose
ε(x) = T(f, x0)(x)si x6=x0et ε(x0) = 0
on peut écrire f(x) = f(x0)+(x−x0)ε(x)donc f(x)−→ f(x0)quand x−→ x0.
Remarque La réciproque de ce résultat est fausse : la fonction f(x) = |x|est continue
en 0sans être dérivable en 0.
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1.5 Définitions et notations
Soit Iun sous-ensemble de Ret soit f:I−→ Rune application. On dit que fest
dérivable sur Isi fest dérivable en tout point de I; l’application
f0:I−→ R
x7−→ f0(x)
est appelée la dérivée de f(notation dite de Lagrange). On utilise également la notation
dite de Leibniz f0(x0) = df
dx(x0). Enfin, en Physique, si x:t7→ x(t)désigne une fonction
xde la variable temps, on utilise la notation dite de Newton ˙x(t)pour désigner la dérivée
de xpar rapport au temps.
On dit que fest de classe C1sur Isi fest dérivable sur Iet si la fonction dérivée f0est
continue sur I.
1.6 Opérations sur les dérivées
a) Si fet gsont dérivables en x0et si k∈R, alors f+get kf sont dérivables en x0et
on a
(f+g)0(x0) = f0(x0) + g0(x0)
(kf)0(x0) = kf0(x0).
b) Si fet gsont dérivables en x0, alors fg est dérivable en x0et on a
(fg)0(x0) = f0(x0)g(x0) + f(x0)g0(x0).
c) Si fest dérivable en x0et si gest dérivable en f(x0), alors g◦fest dérivable en x0et
on a
(g◦f)0(x0) = f0(x0)×(g0◦f)(x0).
d) Si fet gsont dérivables en x0et si g(x0)6= 0, alors f
gest dérivable en x0et on a
f
g
0
(x0) = f0(x0)g(x0)−f(x0)g0(x0)
g2(x0).
Remarque : La notation de Leibniz fournit un moyen mnémotechnique très utile pour
retrouver la formule de dérivation d’une composée de fonctions : considérons z=g(y)et
y=f(x), alors la formule du (c) s’écrit de la manière suivante
(g◦f)0(x) = f0(x)×(g0◦f)(x) = f0(x)×g0(y) = g0(y)×f0(x)
ce qui s’écrit avec la notation de Leibniz
dz
dx =dz dy .dy dx
c’est-à-dire que tout se passe comme si il suffisait de simplifier par dy.
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1.7 Dérivées des fonctions usuelles
*d
dxxn=nxn−1sur Rsi n∈N
*d
dxxn=nxn−1sur R∗si nest un entier <0
*d
dxxα=αxα−1sur ]0,+∞[si α∈Rnon entier.
*d
dxex=exsur R
*d
dx ln |x−a|=1 x−asur R− {a}
*d
dx sin x= cos xsur R
*d
dx cos x=−sin xsur R
*d
dxtgx= 1 + tg2x=1 cos2xsur ]−π 2+kπ, π 2+kπ[avec k∈Z
*d
dxArctgx=1 1 + x2sur R
1.8 Théorème
Soit Iun intervalle de Rnon réduit à un point et soit f:I−→ Rune application
continue, strictement croissante (resp. décroissante) sur I; alors f(I)est un intervalle de
Ret fest une bijection de Isur f(I).
De plus, la bijection réciproque f−1:f(I)−→ Iest continue et strictement croissante
(resp. décroissante) sur f(I)et les courbes représentatives de fet f−1dans un repère
orthonormé sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.
Si de plus fest dérivable en x0∈Iet si f0(x0)6= 0, alors f−1est dérivable en f(x0)et
(f−1)0(f(x0)) = 1
f0(x0).
1.9 Définition
Soit Iun intervalle de Ret soit f:I−→ Rune application.
a) On dit que fest dérivable à gauche en un point x0de Isi et seulement si le taux
d’accroissement T(f, x0)(x) := f(x)−f(x0)
x−x0
de fen x0admet une limite finie quand
x−→ x0dans I∩]− ∞, x0[. On note alors f0
g(x0)cette limite et on l’appelle la dérivée à
gauche de fen x0.
La courbe représentative Cde fadmet alors une demi-tangente au point M0de coordon-
nées (x0, f(x0)) dans le demi-plan x<x0.
a) On dit que fest dérivable à droite en un point x0de Isi et seulement si le taux
d’accroissement T(f, x0)(x) := f(x)−f(x0)
x−x0
de fen x0admet une limite finie quand
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x−→ x0dans I∩]x0,+∞[. On note alors f0
d(x0)cette limite et on l’appelle la dérivée à
droite de fen x0.
La courbe représentative Cde fadmet alors une demi-tangente au point M0de coordon-
nées (x0, f(x0)) dans le demi-plan x>x0.
1.10 Définition
Soit Iun intervalle de Ret soit f:I−→ Rune application.
a) Si fest dérivable sur Iet si sa dérivée f0est elle-même dérivable sur I, on dit que f
est deux fois dérivable sur I: la dérivée de f0est notée f00 ou f(2) et s’appelle la dérivée
seconde de f. Si f00 est dérivable sur I, sa dérivée est notée f000 ou f(3), etc...
b) Soit n∈N∗: on dit que fest n-fois dérivable sur Isi fest dérivable sur I,f0est
dérivable sur I,f00 est dérivable sur I,..., f(n−1) est dérivable sur Iet on note f(n)=
(f(n−1))0. La fonction f(n)est appelée la dérivée n-ième de fou dérivée d’ordre nde f.
On utilise également la notation f(n)=dnf
dxn. On pose par convention f(0) =f.
c) On dit que fest indéfiniment dérivable sur Isi fest n-fois dérivable sur Ipour tout
entier n∈N.
1.11 Exemples
a) La fonction exest indéfiniment dérivable sur Ret (ex)(n)=expour tout n∈N.
b) La fonction sin xest indéfiniment dérivable sur Ret (sin x)(2n)= (−1)nsin xet
(sin x)(2n+1) = (−1)ncos xpour tout n∈N.
c) La fonction f(x) = |x|3est deux fois dérivable sur Rmais pas trois-fois dérivable en 0.
2 Etude pratique d’une fonction
Soit fune fonction d’une variable réelle : on notera C(f)la courbe représentative de f
dans un repère orthonormé (0,~ i,~ j).
a) on détermine le domaine de définition de f;
b) on calcule la dérivée de flà où elle est dérivable et on en déduit les variations de f;
c) on calcule les limites de faux bornes du domaine de définition ;
d) on étudie "les branches infinies" :
* s’il existe un réel atel que lim
x→af(x) = ±∞, alors la droite d’équation x=aest asymptote
à la courbe C(f).
* si lim
x→±∞ f(x) = b∈R, alors la droite d’équation y=best asymptote à la courbe C(f).
* si lim
x→±∞ f(x) = ±∞, on cherche si la courbe C(f)possède une asymptote dite "oblique" :
pour cela on regarde si f(x)
xpossède une limite quand x−→ ±∞; si oui, plusieurs cas
cas se présentent selon que cette limite est finie ou pas :
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1er cas : lim
x→±∞
f(x)
x=a∈R∗; alors on étudie lim
x→±∞(f(x)−ax). Si cette limite existe et
est finie égale à b∈R, alors la droite d’équation y=ax+best asymptote à la courbe C(f).
Si lim
x→±∞(f(x)−ax) = ±∞, on dit que la courbe C(f)admet une branche parabolique de
direction la droite d’équation y=ax.
2ème cas : lim
x→±∞
f(x)
x= 0 ; alors on dit que la courbe C(f)admet une branche parabolique
de direction 0x.
3ème cas : lim
x→±∞
f(x)
x=±∞, alors on dit la courbe C(f)admet une branche parabolique
de direction 0y.
3 Fonctions usuelles
(cf. fin du chapitre)
4 Formules de Taylor
4.1 Théorème de Rolle
Soient aet bdeux réels tels que a<b. On considère une application f: [a, b]−→ R
continue sur [a, b]et dérivable sur ]a, b[telle que f(a) = f(b); alors il existe c∈]a, b[tel
que f0(c) = 0.
Preuve : admise.
4.2 Théorème des accroissements finis
Soient aet bdeux réels tels que a<b. On considère une application f: [a, b]−→ R
continue sur [a, b]et dérivable sur ]a, b[; alors il existe c∈]a, b[tel que
f(a)−f(b)=(b−a)f0(c).
On peut aussi exprimer le théorème des accroissements finis sous la forme suivante :
soient x0∈Ret h > 0et soit fune application continue sur [x0, x0+h]et dérivable sur
]x0, x0+h[alors il existe un réel θ∈]0,1[ tel que
f(x0+h)−f(x0) = hf0(x0+θh).
(de même avec h < 0et fcontinue sur [x0+h, x0], dérivable sur ]x0+h, x0[.)
Preuve : On considère la fonction ϕdéfinie sur [a, b]par
ϕ(x) = f(x)−f(b)−f(a)
b−a(x−a)−f(a).
La fonction ϕest continue sur [a, b]et dérivable sur ]a, b[puisque fl’est et on a ϕ(a) = 0
mais aussi ϕ(b)=0; on peut donc appliquer le théorème de Rolle à ϕ: il existe c∈]a, b[
tel que ϕ0(c) = 0. Or pour tout x∈]a, b[, on a
ϕ0(x) = f0(x)−f(a)−f(b)
b−a
donc ϕ0(c) = 0, ce qui signifie f(a)−f(b)=(b−a)f0(c).
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