Th´eor`eme 2.4 Pour tout a > 1, notons fala fonction
fa: [0,1] −→ Rfa(x) = 1
x−ax∈[0,1].
Soit (an)n∈Nune suite de r´eels strictement sup´erieurs `a 1 et de limite +∞. Alors le sous-espace
vectoriel Vengendr´e par les fonctions fan,n≥0, est dense dans C([0,1],R). [2], Sect. 2.1
Preuve. Notons tout d’abord qu’un sous-espace Fest dense dans C([0,1],R) si et seulement
si toute forme lin´eaire µd´efinie sur C([0,1],R) nulle sur Fest l’application nulle. La condition
n´ecessaire est triviale, la condition suffisante ´etant une cons´equence de la version g´eom´etrique du
th´eor`eme de Hahn-Banach. L’id´ee est de montrer que si µest nulle sur Valors µest nulle sur le
sous-espace dense des polynˆomes. Consid´erons pour cela la fonction
φ(z) = X
k≥0
hµ, θkizkavec θk(x) = xk, x ∈[0,1].
Puisque (hµ, θki)k∈Nest born´e par la norme de µ, la fonction φest holomorphe sur le disque unit´e
ouvert. Par ailleurs, en utilisant la continuit´e de µet le fait que an>1, on obtient
X
k≥0
hµ, θkia−k
n=Dµ, X
k≥0
a−k
nθkE=−1
an
hµ, fani= 0,
de sorte que φ(1/an) = 0. En particulier, 0 est un point d’accumulation de l’ensemble des z´eros
de φ. D’apr`es le principe des z´eros isol´es, φ≡0 donc hµ, θki= 0 pour tout k≥0. Il est facile d’en
d´eduire que µest nulle sur le sous-espace des fonctions polynˆomiales.
D´efinition 2.5 Soient (X, dX) et (Y, dY) deux espaces m´etriques. Une partie F ⊂ C(X, Y ) est
dite ´equicontinue si pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que
∀f∈ F,∀x, y ∈X, dX(x, y)< η =⇒dY(f(x), f(y)) < ε.
Th´eor`eme 2.6 (Ascoli) Soient Xet Ydeux espaces m´etriques compacts. Une partie Fde l’es-
pace vectoriel C(X, Y ) est ´equicontinue si et seulement si Fest relativement compacte pour la
topologie de la convergence uniforme. [5], Sect. 5.3
Th´eor`eme 2.7 Soit Vun sous-espace ferm´e de C([0,1],R), espace vectoriel des fonctions conti-
nues de [0,1] dans R.
1. Si toute application f∈Vest de classe C1alors Vest de dimension finie.
2. Si tout f∈Vest h¨old´erienne, i.e. il existe α > 0 et C > 0 tels que
|f(x)−f(y)| ≤ C|x−y|α∀x, y ∈[0,1],
alors Vest de dimension finie. [2], Sect. 2.4
Preuve. Il s’agit, dans les deux cas, d’une application du th´eor`eme de Riesz. En particulier, il
suffit de montrer que la boule unit´e de V, que l’on notera B, est compacte.
1. L’id´ee est de d´emontrer que l’op´erateur de d´erivation D:V−→ C([0,1],R) est continu.
Tout d’abord, ´etant donn´ee une suite (fn)n∈N⊂Vconvergeant (uniform´ement) vers 0 et telle
que D(fn) converge, une simple application du th´eor`eme de d´erivation des suites de fonctions
implique que la suite D(fn) = f′
nconverge vers la fonction nulle. Ceci prouve que le graphe de D
est ferm´e. Comme par ailleurs Dest une application lin´eaire et que, munis de la norme uniforme,
les espaces vectoriels Vet C([0,1],R) sont des espaces de Banach, il r´esulte du th´eor`eme du graphe
ferm´e que Dest continu. En particulier, il existe une constante C > 0 telle que
||D(f)||∞≤C||f||∞pour tout f∈V.