Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Espaces de fonctions. Exemples et applications.
Par Nicolas Lanchier 1
1. L’espace L(E, F ) des applications lin´eaires.
Proposition 1.1 Soit f∈L(E, F ). Alors les conditions suivantes sont ´equivalentes :
1. fest continue sur E.
2. fest continue en 0.
3. Il existe une constante M > 0 telle que ||f(x)||F≤M|| x||Epour tout x∈E.
4. fest lipschitzienne. [3], Sect. 1.5
Preuve. Supposons 2. Il existe η > 0 tel que
||f(x)||F=||f(x)−f(0)||F≤1∀x∈BE(0, η).
Comme η x/ 2|| x||E∈BE(0, η) pour tout x6= 0, le point 3 est v´erifi´e pour M= 2/η. Le point 4
r´esulte alors de la lin´earit´e de f. Les implications 4 ⇒1 et 1 ⇒2 sont triviales. 
Proposition 1.2 Si Fest un espace de Banach alors l’espace L(E, F ) des applications lin´eaires
continues de Edans Fest un espace de Banach. [3], Sect. 1.5
Th´eor`eme 1.3 (Banach-Steinha¨us) Soient Eun espace de Banach, Fun espace vectoriel
norm´e et (Ti)i∈Iune famille d’applications lin´eaires continues de Edans F. Alors on a l’alternative
suivante :
1. Soit supi∈I|| Ti|| <+∞.
2. Soit supi∈I|| Ti(x)|| = +∞pour tout xdans un Gδdense dans E. [4], Sect. 5.2
Th´eor`eme 1.4 (th´eor`eme de l’application ouverte) Soient Eet Fdeux espaces de Banach,
et soit T∈ L(E, F ) surjective. Alors il existe C > 0 tel que BF(0, C)⊂T(BE(0,1)). En particulier,
l’application lin´eaire Test une application ouverte. [1], Sect. 2.3
Th´eor`eme 1.5 (Banach) Soient Eet Fdeux espaces de Banach et T:E−→ Fune application
lin´eaire continue et bijective. Alors Test un hom´eomorphisme. [1], Sect. 2.3
Th´eor`eme 1.6 (th´eor`eme du graphe ferm´e) Soient Eet Fdeux espaces de Banach. Une
application T∈L(E, F ) est continue si et seulement si son graphe est ferm´e dans E×F.
2. L’espace C(X, Y ) des fonctions continues.
Proposition 2.1 Si Xest un espace compact alors l’espace vectoriel C(X, R) des fonctions conti-
nues sur X`a valeurs r´eelles est un espace de Banach.
Proposition 2.2 L’ensemble des fonctions continues sur [0,1] nulle part d´erivables est dense dans
l’espace des fonctions continues. [3], annexe A
Th´eor`eme 2.3 (Weierstrass) L’espace des polynˆomes est dense dans l’espace des fonctions
continues d´efinies sur [0,1] `a valeurs dans C. [3], Sect. 4.6
1Tout usage commercial, en partie ou en totalit´e, de ce document est soumis `a l’autorisation explicite de l’auteur.

Th´eor`eme 2.4 Pour tout a > 1, notons fala fonction
fa: [0,1] −→ Rfa(x) = 1
x−ax∈[0,1].
Soit (an)n∈Nune suite de r´eels strictement sup´erieurs `a 1 et de limite +∞. Alors le sous-espace
vectoriel Vengendr´e par les fonctions fan,n≥0, est dense dans C([0,1],R). [2], Sect. 2.1
Preuve. Notons tout d’abord qu’un sous-espace Fest dense dans C([0,1],R) si et seulement
si toute forme lin´eaire µd´efinie sur C([0,1],R) nulle sur Fest l’application nulle. La condition
n´ecessaire est triviale, la condition suffisante ´etant une cons´equence de la version g´eom´etrique du
th´eor`eme de Hahn-Banach. L’id´ee est de montrer que si µest nulle sur Valors µest nulle sur le
sous-espace dense des polynˆomes. Consid´erons pour cela la fonction
φ(z) = X
k≥0
hµ, θkizkavec θk(x) = xk, x ∈[0,1].
Puisque (hµ, θki)k∈Nest born´e par la norme de µ, la fonction φest holomorphe sur le disque unit´e
ouvert. Par ailleurs, en utilisant la continuit´e de µet le fait que an>1, on obtient
X
k≥0
hµ, θkia−k
n=Dµ, X
k≥0
a−k
nθkE=−1
an
hµ, fani= 0,
de sorte que φ(1/an) = 0. En particulier, 0 est un point d’accumulation de l’ensemble des z´eros
de φ. D’apr`es le principe des z´eros isol´es, φ≡0 donc hµ, θki= 0 pour tout k≥0. Il est facile d’en
d´eduire que µest nulle sur le sous-espace des fonctions polynˆomiales. 
D´efinition 2.5 Soient (X, dX) et (Y, dY) deux espaces m´etriques. Une partie F ⊂ C(X, Y ) est
dite ´equicontinue si pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que
∀f∈ F,∀x, y ∈X, dX(x, y)< η =⇒dY(f(x), f(y)) < ε.
Th´eor`eme 2.6 (Ascoli) Soient Xet Ydeux espaces m´etriques compacts. Une partie Fde l’es-
pace vectoriel C(X, Y ) est ´equicontinue si et seulement si Fest relativement compacte pour la
topologie de la convergence uniforme. [5], Sect. 5.3
Th´eor`eme 2.7 Soit Vun sous-espace ferm´e de C([0,1],R), espace vectoriel des fonctions conti-
nues de [0,1] dans R.
1. Si toute application f∈Vest de classe C1alors Vest de dimension finie.
2. Si tout f∈Vest h¨old´erienne, i.e. il existe α > 0 et C > 0 tels que
|f(x)−f(y)| ≤ C|x−y|α∀x, y ∈[0,1],
alors Vest de dimension finie. [2], Sect. 2.4
Preuve. Il s’agit, dans les deux cas, d’une application du th´eor`eme de Riesz. En particulier, il
suffit de montrer que la boule unit´e de V, que l’on notera B, est compacte.
1. L’id´ee est de d´emontrer que l’op´erateur de d´erivation D:V−→ C([0,1],R) est continu.
Tout d’abord, ´etant donn´ee une suite (fn)n∈N⊂Vconvergeant (uniform´ement) vers 0 et telle
que D(fn) converge, une simple application du th´eor`eme de d´erivation des suites de fonctions
implique que la suite D(fn) = f′
nconverge vers la fonction nulle. Ceci prouve que le graphe de D
est ferm´e. Comme par ailleurs Dest une application lin´eaire et que, munis de la norme uniforme,
les espaces vectoriels Vet C([0,1],R) sont des espaces de Banach, il r´esulte du th´eor`eme du graphe
ferm´e que Dest continu. En particulier, il existe une constante C > 0 telle que
||D(f)||∞≤C||f||∞pour tout f∈V.

D’apr`es le th´eor`eme des accroissements finis, pour tout f∈Bet tous x, y ∈[0,1],
|f(x)−f(y)| ≤ sup
z∈[0,1]
|f′(z)| · |x−y| ≤ C|x−y|
donc les ´el´ements de Bforment une famille ´equicontinue. Enfin, le th´eor`eme d’Ascoli permet d’en
d´eduire que Best compacte.
2. Pour ´etendre le r´esultat au cas des fonctions h¨old´eriennes, l’astuce est maintenant d’appliquer
le th´eor`eme de Baire `a la suite
Fn=nf∈V:∀x, y ∈[0,1],|f(x)−f(y)| ≤ n|x−y|1/no,
le but ´etant de montrer que, pour nassez grand, Fnest d’int´erieur non vide. Soit f∈Vv´erifiant
la condition de H¨older de l’´enonc´e. Pour n≥max(α−1, C), on a f∈Fnde sorte que
V=
∞
[
n=1
Fn.
Par ailleurs, Fnest ferm´e dans Vpour tout n≥1. En particulier, le th´eor`eme de Baire implique
que Fn0est d’int´erieur non vide pour un n0suffisamment grand. Il existe donc un r´eel ε > 0 et
une fonction f0∈Vtels que ¯ B(f0, ε)⊂Fn0. Soit f∈B. En utilisant le fait que f0+εf ∈Fn0, il
est facile de montrer que
|f(x)−f(y)| ≤ n0|x−y|1/n0+ε−1|f0(x)−f0(y)| ≤ (1 + 1/ε)n0|x−y|1/n0.
L’in´egalit´e ´etant valable pour tout f∈B, il en r´esulte que Best ´equicontinue donc compacte
d’apr`es le th´eor`eme d’Ascoli. 
3. L’espace Lp(Ω), 1 ≤p≤ ∞.
Th´eor`eme 3.1 (Riesz-Fischer) Pour tout espace mesur´e (Ω,F, µ) et tout 1 ≤p≤ ∞,Lp(Ω)
est un espace de Banach. [1], Sect. 4.2
Th´eor`eme 3.2 (th´eor`eme de repr´esentation de Riesz) Soit Hun espace de Hilbert. Pour
tout a∈H, notons fala forme lin´eaire fa(x) = ha, xi,x∈H. Alors l’application
ϕ:H−→ H′ϕ(a) = fa
est un isomorphisme. [3], Sect. B.1
Th´eor`eme 3.3 Soit Ω un ouvert de RN. Alors l’espace C∞
c(Ω) des fonctions C∞`a support
compact est dense dans Lp(Ω) pour 1 ≤p < ∞. [1], Sect. 4.4
Th´eor`eme 3.4 (Riesz-Frechet-Kolmogorov) Soit Ω un ouvert de Rn,ω⊂Ω une partie com-
pacte de Ω et Fun sous-ensemble born´e de Lp(Ω), 1 ≤p < ∞. Si
∀ε > 0,∃η > 0 : ||τhf−f||Lp(Ω) < ε ∀ |h|< η et f∈ F
alors Fest relativement compact dans Lp(ω). [1], Sect. 4.5
R´ef´erences
[1] Ha¨ım Br´ezis. Analyse fonctionnelle. Th´eorie et applications. Dunod, 1999.
[2] St´ephane Gonnord, Nicolas Tosel. Th`emes d’analyse pour l’agr´egation. Topologie et analyse
fonctionnelle. Ellipses, 1996.
[3] Xavier Gourdon. Les maths en tˆete. Analyse. Ellipses, 1994.
[4] Walter Rudin. Analyse r´eelle et complexe. Masson, 1995.
[5] Claude Zuily, Herv´e Queff´elec. El´ements d’analyse pour l’agr´egation. Masson, 1995.