Séquence 13 : Intervalle de fluctuation

Séquence 13 : Intervalle de fluctuation - Utilisation
I. Définition
Activité d'approche : Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture de type "grains
ponctuels sur le capot". Lorsque le processus est sous contrôle, on a 20% de ce type de défauts. Lors du
contrôle aléatoire de 500 véhicules, on observe 26% de défauts (130 sur 500). Faut-il s'inquiéter?
Pour modéliser cela, nous allons simuler un échantillon de 500 fois un nombre aléatoire compris entre 1
et 10. Si la valeur est égale à 1 ou à 2, cela représente une voiture avec défaut (nous avons bien la même
probabilité de tomber sur 1 ou 2 que de tomber sur une voiture avec défauts, c'est à dire 
 20%).
Après avoir répété un certains nombres de fois cette simulation et représenter chaque fréquence
obtenue à l'aide d'un nuage de points, on s'aperçoit qu'il faut en effet s'inquiéter. Nous allons expliquer
pourquoi :
Théorème de l'intervalle de fluctuation :
Conditions d'applications:
- La taille  de l'échantillon doit être supérieure ou égale à 25.
- La proportion de la population vérifiant le caractère étudié noté  doit appartenir à l'intervalle[.
Dans ces conditions, dans plus de 95% des cas, la proportion de l'échantillon notée  appartient à
l'intervalle   
.
Exercice : Calculer l'intervalle de fluctuation de la situation précédente et répondre à la question.
Ici l'intervalle de fluctuation est de   
 c'est à dire un peu près 
Or  n'appartient pas à l'intervalle  donc on doit s'inquiéter.
II. Prendre une décision à partir d'un échantillon
Activité d'approche : Réussite à un concours
Cette année, 55% des candidats qui ont passé un certain concours l'ont réussi.
Voici les résultats obtenus par deux centres qui préparaient ce concours.
Centre A : sur 100 personnes qui ont présenté ce concours, 46 ont réussi.
Centre B : sur 2500 personnes qui ont présenté ce concours, 1275 ont réussi.
a) Quel est le pourcentage  de réussite du centre A ? Quel est le pourcentage  de réussite du centre B?
Lequel de ces centres a le mieux réussi à ce concours ?
donc le pourcentage de réussite du centre A est de
donc le pourcentage de réussite du centre B est de
Le centre qui a le mieux réussi est donc le centre B.
b) On assimile le centre A à un échantillon de taille n=100 relevant du modèle de Bernoulli de probabilité
  .
Donner l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%. Est-ce que  appartient à cet intervalle ?
L'intervalle de fluctuation sera :  
En effet  appartient à cet intervalle.
c) On assimile le centre B à un échantillon de taille n=2500 relevant du modèle de Bernoulli de
probabilité   .
Donner l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%. Est-ce que  appartient à cet intervalle ?
L'intervalle de fluctuation sera :  
 n'appartient à cet intervalle.
d) Conclure sur le centre qui est le plus représentatif du résultat national à ce concours.
Le centre A est donc plus représentatif du résultat national à ce concours.

Synthèse: Prendre une décision à partir d'un échantillon
Pour apprécier si une fréquence observée f sur un échantillon de taille est compatible ou non avec un
modèle de Bernoulli de probabilité p, on teste l'appartenance de f à l'intervalle de fluctuation au seuil de
95% (c'est à dire l'intervalle ).
n'est pas dans l'intervalle de fluctuation, alors on peut rejeter l'hypothèse que l'échantillon soit
compatible avec le modèle.
 est dans l'intervalle de fluctuation, alors on ne peut pas rejeter l'hypothèse que l'échantillon soit
compatible avec le modèle.
Remarque: quelle que soit la décision prise, il y a toujours le risque que ce ne soit pas la bonne décision
dans 5% des cas.