√n √n √n ] √100 √400

Chapitre 12: Fluctuation d’échantillonnage (1 semaine)
Fluctuation d’échantillonnage
Simulation
FLUCTUATION D'ECHANTILLONNAGE
1 Fluctuation d’échantillonnage
1.1 Intervalle de fluctuation
➢Lorsqu'une expérience aléatoire n'a que deux issues possibles, on parle d'une épreuve de Bernoulli
➢Exemple
Une urne contient des boules rouges et des boules vertes. On a une épreuve de Bernoulli avec :
➔Pour succès : « obtenir une boule rouge » et une probabilité de
P ( S ) =0,7
;
➔Pour échec : « obtenir une boule verte » et une probabilité de
P ( E ) =P ( S ) =0 , 3
➢Les statisticiens savent démontrer que, lorsqu'on fabrique des échantillons de taille
n
relevant d'une
épreuve de Bernoulli de probabilité
p
, alors, pour plus de
95 %
d'entre eux, la fréquence d'apparition
du succès appartient à l'intervalle
[
p−1
√
n;p+1
√
n
]
lorsque
n⩾25
et
0,2⩽p⩽0 ,8
.
➢Cet intervalle est appeler l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%.
1.2 Prise de décision à partir d'un échantillon
➢Pour apprécier si une fréquence
f
sur un échantillon de taille
n
est compatible ou non avec une
épreuve de Bernoulli de probabilité
p
, on teste l'appartenance de
f
à l'intervalle de fluctuation au
seuil de 95% (c'est à dire l'intervalle
[
p−1
√
n;p+1
√
n
]
➔Si
f
n'est pas dans l'intervalle de fluctuation, alors on peut rejeter l'hypothèse que l'échantillon soit
compatible avec le modèle.
➔Si
f
est dans l'intervalle de fluctuation, alors on ne peut pas rejeter l'hypothèse que l'échantillon
soit compatible avec le modèle.
➢Exemple
Dans une usine, on contrôle les défauts de production.
On tolère que 20% des pièces produites comportent un défaut mineur nécessitant une petite correction.
Sur la machine A, on examine un échantillon de 100 pièces. on constate que 28 d'entre elles sont
défectueuses.
Sur la machine B, on examine un échantillon de 400 pièces. On constate que 104 d'entre elles sont
défectueuses.
(a) Justifier que l'on est en présence d'une épreuve de Bernoulli.
On a une expérience aléatoire qui conduit seulement à deux issues : le succès « la pièce est
défectueuse » avec une probabilité
p=0 , 2
et l'échec « la pièce n'est pas défectueuse » avec une
probabilité
p'=0 , 8
, donc on a bien une épreuve de Bernoulli.
(b) Quelles sont les fréquences observées
fA
et
fB
du caractère « défaut » sur chacune des deux
machines ?
fA=28
100 =0 , 28
et
fB=104
400 =0, 26
(c) Déterminer les intervalles de fluctuation propres à chaque échantillon.
A=
[
0, 2−1
√
100 ;0 , 2+1
√
100
]
= [ 0 , 2−0, 1 ; 0 , 2+0, 1 ] = [ 0 ,1 ;0 , 3 ]
B=
[
0 , 2−1
√
400 ;0 , 2+1
√
400
]
= [ 0 , 2−0 , 05; 0, 2+0 , 05 ] = [ 0, 15 ; 0 , 25 ]
(d) La fréquence observé
fA
est-elle dans l'intervalle de fluctuation ? A quelle décision cette
information complémentaire mène-t-elle ?
fA=0 , 28∈ [ 0 ,1 ;0 , 3 ]
, donc on ne demande pas de contrôle sur cette machine A.
(e) La fréquence observé
fB
est-elle dans l'intervalle de fluctuation ? A quelle décision cette information
complémentaire mène-t-elle ?
fB=0 , 26∉ [ 0 ,15 ; 0 , 25 ]
, donc on ne demande pas de contrôle sur cette machine B.