5e Utiliser, développer, factoriser, réduire des expressions littérales

5e
Utiliser, développer, factoriser, réduire des expressions
littérales
Objectifs 35, 36 et 37
Livre 9.1, 9.2 et 9.3
Mots clefs.
 Expression littérale
 Distributivité (simple)
 Développer
 Réduire
 Factoriser
 Calcul mental.
I. Expressions littérales.
1. Définition.
Une expression littérale est un enchaînement d’opérations dans lequel certains nombres sont
remplacés par des lettres. Chaque lettre représente un nombre dont la valeur peut varier. Ces
lettres sont donc appelées des variables.
Exemple.
L’aire d’un rectangle est donnée par l’expression :
𝐴=𝐿×𝑙
Les grandeurs 𝐿 et 𝑙 sont les deux variables de cette expression et désignent respectivement la
longueur et la largeur d’un rectangle.
Si on choisit 𝐿 = 4 et 𝑙 = 2,5, alors 𝐴 = 4 × 2,5 = 10.
2. Conventions d’écriture.
 On peut omettre le signe  lorsque son absence n’entraîne pas de confusion, c’est-à-dire
devant une lettre ou une parenthèse.
 En écriture fractionnaire, la barre de fraction tient lieu de parenthèses.
 On écrit les nombres devant les lettres et les parenthèses.
 Le nombre 1 × 𝑥 peut aussi s’écrire 𝑥.
 Le produit 𝑎 × 𝑎 s’écrit aussi 𝑎² et se lit « 𝑎 au carré ».
 Le produit 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 s’écrit aussi 𝑎3 et se lit « 𝑎 au cube ».
(𝑥 − 1) × (𝑥 + 2)
𝑦 × 5 = 5 × 𝑦 = 5𝑦
3 × (2 − 𝑥 ) = 3(2 − 𝑥 )
= (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
II. Distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction.
1. Observation.
a
b
L’aire du rectangle I est 𝑘 × 𝑎.
k
L’aire du rectangle II est 𝑘 × 𝑏.
L’aire du grand rectangle est donc : 𝑘 × 𝑎 + 𝑘 × 𝑏,
mais aussi 𝑘 × (𝑎 + 𝑏).
I
II
a+b
2. Propriété. Distributivité.
Si 𝑘, 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 désignent trois nombres quelconques alors on a les égalités :
𝑘 × (𝑎 + 𝑏 ) = 𝑘 × 𝑎 + 𝑘 × 𝑏
et
𝑘 × (𝑎 − 𝑏 ) = 𝑘 × 𝑎 − 𝑘 × 𝑏
On peut aussi supprimer le signe  entre deux lettres, ce qui donne :
𝑘(𝑎 + 𝑏) = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏
et
𝑘(𝑎 − 𝑏) = 𝑘𝑎 − 𝑘𝑏
Autrement dit, multiplier une somme (une différence) par un nombre, revient à multiplier chaque
terme de cette somme (de cette différence) par ce nombre.
3. Vocabulaire.
Expression factorisée
𝑘 × (𝑎 + 𝑏) =
𝑘 × (𝑎 − 𝑏) =
Développement
Expression développée
𝑘 ×𝑎+𝑘×𝑏
𝑘 ×𝑎−𝑘×𝑏
Factorisation
4. Définition. Développer.
Développer une expression c’est transformer un produit en une somme ou une différence.
Exemples.
 Développer l’expression : 4 × (2𝑎 + 3)
4 × (2𝑎 + 3) = 4 × 2𝑎 + 4 × 3 = 8𝑎 + 12

Utiliser la multiplication posée, ou un tableau multiplicatif pour développer une expression.
5 (2𝑥 + 3)
𝑘 (𝑎 + 𝑏)
2𝑥
+3
×
5
×
𝑎
+𝑏
10𝑥
+15
𝑘
𝑘𝑎
+ 𝑘𝑏
5 (2𝑥 + 3) = 10𝑥 + 15
𝑘(𝑎 + 𝑏) = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏
5. Définition. Factoriser.
Factoriser une expression, c’est transformer une somme ou une différence en un produit. Pour cela,
on peut, par exemple, rechercher un facteur commun à tous les termes.
Exemple.
Factoriser l’expression : 6𝑏 − 15
Le facteur commun est 3 car 6𝑏 = 3 × 2𝑏 et 15 = 3 × 5
6𝑏 − 15 = 3 × 2𝑏 − 3 × 5 = 3 × (2𝑏 − 5)
6. Remarque.
Ces techniques de développement et de factorisation doivent aussi aider au calcul mental.
Exemple.
Calculer 21 × 17.
21 × 17 = (20 + 1) × 17 = 20 × 17 + 1 × 17 = 340 + 17 = 357
7. Définition. Réduire.
Réduire une expression littérale, c’est l’écrire avec le moins de symboles possible. Pour cela, on
regroupe les termes de même nature les 𝑥 avec les 𝑥, les 𝑦 avec les 𝑦, les 𝑥² avec les 𝑥², les
constantes avec les constantes…
Une réduction fait généralement suite à un développement.
Exemple.
Développer et réduire l’expression 2(𝑥 − 3) + 5𝑥
2(𝑥 − 3) + 5𝑥 − 2
= 2 × 𝑥 − 2 × 3 + 5𝑥 − 2
= 2𝑥 − 6 + 5𝑥 − 2
= 7𝑥 − 8