UE : MAT6-2-Chapitre I Anneau

UE : MAT6-2
Anneaux
(version du 2 mai 2016 )
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Table des matières
1 Généralités sur les anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Sous-anneaux - Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Anneau quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Homomorphismes d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Noyau et image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Idéaux d’un anneau-quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Anneaux commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Caractéristique d’un anneau commutatif et intègre . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Idéaux premiers, idéaux maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Divisibilité, éléments irréductibles, éléments premiers . . . . . . . . . . 14
2.5 Théorème des restes chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Anneaux de polynômes : partie1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1 Propriété universelle de A[X1,, Xn]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Divisibilité dans A[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Anneaux euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.1 Tout anneau principal est euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2 Idéaux premiers dans un anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.3 Propriété nœtherienne d’un anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.4 PGCD - Identité de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.5 Lemme de Gauss - Lemme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6 Anneaux factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1

6.2 Lemme de Gauss - Lemme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.3 PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7 Anneaux de polynômes : partie2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7.1 Le théorème de transfert de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7.2 Critère d’irréductibilité d’Eisenstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2Section
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1 Généralités sur les anneaux
1.1 Structure d’anneau
Définition 1. On appelle anneau, la donnée d’un triplet (A, +,×)où Aest un
ensemble non vide, l’addition +et la multiplication ×sont des lois de composition
internes sur Avérifiant les conditions suivantes :
i. (A, +) est un groupe abélien;
ii. la multiplication est distributive (à gauche et à droite) par rapport à l’addi-
tion;
iii. la multiplication est associative et admet un élément neutre1.
Remarque 2. Dans la définition de l’anneau que nous avons donnée ici, la multi-
plication doit admettre un élément neutre. Il est à souligner qu’il y’a des ouvrages
dans lesquels ce critère n’est pas exigé.
Remarque 3. Soit (A, +,×)un anneau
−On dira simplement anneau Apour désigner le triplet (A, +,×)lorsque
l’allusion aux lois de A ne souffre d’aucune confusion.
−L’élément neutre du groupe (A, +) est généralement désigné par 0(ou 0A
pour faire référence à A) et appelé zéro de l’anneau A.
−L’élément neutre du monoïde (A, ×)est généralement noté 1(ou 1Apour
faire référence à A); on l’appelle l’élément unité de A.
−Si l’anneau Aest tel que 0 = 1, alors A={0}et on dit que Aest un anneau
nul.
−L’anneau Aest dit commutatif lorsque sa multiplication est commutative.
L’exercice suivant récapitule quelques règles usuelles de calcul dans un anneau.
Exercice 1. Soit Aun anneau et a,b, et cdes éléments de A. Montrer que :
1. a×0 = 0 et 0×a= 0;
2. a(−c) = −ac et (−a)c=−ac;
3. a(b−c) = ab −ac et (a−b)c=ac −bc;
4. pour tout n∈N⋆,(−a)n=ansi nest pair
−ansi nest impair
5. si Aest commutatif et si on pose a0= 1, alors, pour tout n∈N⋆, on a :
(ab)n=anbnet (a+b)n=X
k=0
n
Cn
kakbn−k
1. Il est à souligner que ce troisième critère n’est pas retenu par certains auteurs.
Généralités sur les anneaux 3
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Définition 4. Soit Aun anneau.
−On dit qu’un élément ade Aest une unité de Alorsque aadmet un inverse
pour la multiplication de A.
−Lorsque tout élément non nul de Aest une unité de A, l’anneau Aest appelé
corps.
Remarque 5. Dans toute la suite du cours, sauf indications contraires, on désignera
par U(A)l’ensemble des unités d’un anneau A.
Exemple 6. (Z,+,×)et (C,+,×)sont des anneaux commutatifs.
Exemple 7. Pour tout entier rationnel n > 1, (Z/nZ,+,×) est un anneau
commutatif.
Exemple 8. Si Aest un anneau commutatif, alors (A[X],+,×)est un anneau
commutatif.
Exemple 9. Si Aest un anneau commutatif, n∈N⋆et si Mn(A)désigne l’ensemble
des matrices carrées d’ordre n, alors (Mn(A),+,×)est un anneau. Cet anneau est
en général non commutatif si n > 1.
Exemple 10. Soient Aest un anneau et Eest un ensemble non vide. Si on définit
sur l’ensemble AEdes applications de Edans Al’addition et la multiplication par
f+g:E A
x f(x) + g(x)et f×g:E A x f(x)×g(x)
alors (AE,+,×)est un anneau . Cet anneau est commutatif si Al’est.
Exemple 11. Soient A1, , Andes anneaux. Si on définit sur le produit cartésien
B=A1× ×Anl’addition et la multiplication par
(a1, , an) + (a1
′, , an ′) = (a1+a1 ′, , an+an ′)
(a1, , an)×(a1
′, , an ′) = (a1×a1 ′, , an×an ′)
alors (B, +,×)est un anneau. Cet anneau est commutatif si chaque Ail’est.
Exercice 2. Montrer que la restriction de la multiplication de AàU(A)lui
confère une structure de groupe. Le groupe (U(A),×)est appelé groupe des
unités de A.
Exercice 3. Déterminer le groupe des unités de l’anneau Z/12Z.
Définition 12. Soit Aun anneau non nul. On dit qu’un élément ade Aest un
diviseur de zéro lorsque avérifie les conditions suivantes :
i. a 0;
ii. ∃b∈A(b0et ab = 0);
iii. ∃c∈A(c0et ca = 0);
4Section 1
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Exercice 4. Vérifier que dans l’anneau Z/12Z, la classe de 8est un diviseur
de zéro.
Remarque 13.
−On exprime les conditions i. et ii. précédentes en disant que aest un diviseur
de zéro à droite et les conditions i. et iii. en disant que aest un diviseur de
zéro à gauche.
−Un anneau non nul Aqui n’admet pas de diviseur de zéro est dit intègre.
−On dit que Aest un domaine d’intégrité lorsque Aest un anneau commutatif
et intègre.
1.2 Sous-anneaux - Idéaux
Soit Aun anneau.
Définition 14. Etant donné un anneau (A, +,×), on dit qu’une partie Bde Aest
un sous-anneau de Alorsque Bvérifie les conditions suivantes :
i. B∅;
ii. les restrictions à Bdes lois +et ×de Aconfèrent à Bune structure
d’anneau.
Exemple 15. Dans tout anneau A, le singleton {0}est un sous-anneau de A. On
remarquera que dans ce sous-anneau, l’élément neutre pour la multiplication est 0
et donc, distinct de l’élément neutre pour la multiplication de Asi A{0}.
Exemple 16. Soit n>1un entier rationnel et soit α∈Cune racine d’un polynôme
Xn+an−1Xn−1++a1X+a0où ai∈Zpour tout i= 0, , n −1. On note Z[α]
l’ensemble donné par :
Z[α] = {b0+b1α++bn−1αn−1/bi∈Zpour tout i= 0, , n −1}
Alors Z[α]est un sous-anneau de C. L’anneau Z[i]est appelé anneau des entiers
de Gauss.
Remarque 17. Si Best un sous-anneau d’un anneau intègre Aet si B{0}, on
vérifie facilement que l’élément neutre pour la multiplication dans Best l’élément
neutre pour la multiplication dans A.
Proposition 18. Toute intersection non vide de sous-anneaux d’un anneau Aest un
sous-anneau de A. En particulier, si Sest une partie non vide de A, l’intersection
des sous-anneaux de Acontenant Sest un sous-anneau de A; on l’appelle sous-
anneau engendré par S.
Preuve. (en exercice) 
Remarque 19. Un anneau Aest dit de type fini lorsqu’il existe une partie finie de
Aqui engendre A. Par exemple, les anneaux Zet Z[X]sont de type fini; ils sont
engendrés respectivement par {1}et {1, X }.
Généralités sur les anneaux 5
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