MAT2611 : algèbre 2, hiver 2016

MAT2611 : algèbre 2, hiver 2016
Travaux pratiques #6, 26 février
Exercice 1. Soit un nombre sans-carré D ∈ Z \ {0, 1}. Posons 1
(
√
(1 + D)/2 si D ≡ 1 (mod 4),
ω= √
D
si D ≡ 2, 3 (mod 4),
et O = Z[ω] (c’est-à-dire O est le plus petit sous-anneau de C contenant Z et ω).
(a) Montrez que O = {a + bω : a, b ∈ Z}.
(b) Montrez que O est l’ensemble de tous les éléments de Q(ω) qui sont des racines d’un
polynôme quadratique
unitaire sur Z. (Pour cette raison, on appel O l’anneau des
√
entiers de Q( D).)
√
√
√
(c) On observe que Q( D) = {a
+
b
D
:
a,
b
∈
Q}.
On
définit
la
norme
du
corps
Q(
D)
√
√
comme l’application N : Q( D) → Z avec N (a + b D) = a2 − Db2 . Montrez que
√
√
— N (z) = z · z, où a + b D = a − b D ; √
— N (zw) = N (z)N (w) pour tout z, w ∈ Q( D) ;
— z −1 = z/N (z) pour tout z 6= 0 ;
— L’élément z ∈ O est inversible dans O si et seulement si N (z) = ±1.
(d) (ex. 8(a), p. 278) Montrez que si D ∈ {−1, −2, −3, −7, −11}, alors O est un anneau
euclidien et un stathme euclidien est donné par la restriction
√ de N sur O. [Indice :
Quand D ≡ 1 (mod 4), alors montrez que O = {a/2 + b D/2 : a, b ∈ Z, a ≡ b
(mod 2)}.]
(e) Trouvez α ∈ Z[i] tel que (3 + 5i, 1 + 3i) = (α).
Exercice 2.
(a) Vérifiez
que les nombres 5 +
√
Z[ 2].
√
2, 2 −
√
√
√
2, 11 − 7 2 et 2 + 2 sont irréductibles dans
(b) Vérifiez que
√
√
√
√
(5 + 2)(2 − 2) = (11 − 7 2)(2 + 2)
√
et expliquez pourquoi ce fait ne contredit pas la factorisation unique dans Z[ 2].
√
(c) (ex. 9, p.√ 278) Montrez que Z[ 2] est un anneau euclidien par rapport au stathme
M (a + b 2) = |a2 − 2b2 | (voyez Problème 1 au-dessus).
√
√
Exercice 3. Soit A = Z[ −n] := {a + b −n : a, b ∈ Z}, où n est un entier sans carré plus
grand que 3.
√
√
(a) Montrez que les éléments 2, −n et 1 + −n sont irréductibles dans A.
(b) Prouvez que A nest pas un anneau factoriel. Concluez que l’anneau des entiers quadratique O, définit au Problème 1 au-dessus, n’est pas factoriel quand D ≡ 2, 3 (mod 4),
D < −3 (alors il n’est pas un anneau euclidien ni un anneau principal) [Indication :
Montrez que le nombre 2 n’est pas premier dans A.]
(c) Donnez un exemple d’un idéal de A qui n’est pas principal. [Indication : Considérez un
idéal maximal qui contient (2).]
1. Si D < 0, on interprète
√
p
D comme i |D|, où i est l’unité imaginaire.
1
2
Exercice 4. Soit A un anneau factoriel dont chaque idéal premier est maximal.
(a) Montrez que A est un anneau de Bezout.
(b) Montrez que A est principal. [Indice : Si I est un idéal propre et non-zéro de A, alors
montrez qu’il est principal par induction sur min{Ω(a) : a ∈ I \ {0}}, où Ω(a) = n si
a = p1 · · · pn est une factorisation de a à des éléments irréductibles.]
Remarque. On sait que l’inverse de (b) est aussi vrai : un anneau principal est factoriel et
ses idéaux premiers sont tous maximaux.
Exercice 5 (ex. 4, p. 301). Soit F un corps fini. Prouvez que F [x] contient un nombre infini
d’éléments premiers et non-associés p1 (x), p2 (x), . . .