MAT2611 : algèbre 2, hiver 2016

MAT2611 : algèbre 2, hiver 2016
Travaux pratiques #6, 26 février
Exercice 1. Soit un nombre sans-carré D∈Z\ {0,1}. Posons 1
ω=((1 + √D)/2si D≡1 (mod 4),
√Dsi D≡2,3 (mod 4),
et O=Z[ω](c’est-à-dire Oest le plus petit sous-anneau de Ccontenant Zet ω).
(a) Montrez que O={a+bω :a, b ∈Z}.
(b) Montrez que Oest l’ensemble de tous les éléments de Q(ω)qui sont des racines d’un
polynôme quadratique unitaire sur Z. (Pour cette raison, on appel Ol’anneau des
entiers de Q(√D).)
(c) On observe que Q(√D) = {a+b√D:a, b ∈Q}. On définit la norme du corps Q(√D)
comme l’application N:Q(√D)→Zavec N(a+b√D) = a2−Db2. Montrez que
—N(z) = z·z, où a+b√D=a−b√D;
—N(zw) = N(z)N(w)pour tout z, w ∈Q(√D);
—z−1=z/N(z)pour tout z6= 0 ;
— L’élément z∈ O est inversible dans Osi et seulement si N(z) = ±1.
(d) (ex. 8(a), p. 278) Montrez que si D∈ {−1,−2,−3,−7,−11}, alors Oest un anneau
euclidien et un stathme euclidien est donné par la restriction de Nsur O. [Indice :
Quand D≡1 (mod 4), alors montrez que O={a/2 + b√D/2 : a, b ∈Z, a ≡b
(mod 2)}.]
(e) Trouvez α∈Z[i]tel que (3 + 5i, 1+3i) = (α).
Exercice 2.
(a) Vérifiez que les nombres 5 + √2,2−√2,11 −7√2et 2 + √2sont irréductibles dans
Z[√2].
(b) Vérifiez que
(5 + √2)(2 −√2) = (11 −7√2)(2 + √2)
et expliquez pourquoi ce fait ne contredit pas la factorisation unique dans Z[√2].
(c) (ex. 9, p. 278) Montrez que Z[√2] est un anneau euclidien par rapport au stathme
M(a+b√2) = |a2−2b2|(voyez Problème 1 au-dessus).
Exercice 3. Soit A=Z[√−n] := {a+b√−n:a, b ∈Z}, où nest un entier sans carré plus
grand que 3.
(a) Montrez que les éléments 2,√−net 1 + √−nsont irréductibles dans A.
(b) Prouvez que Anest pas un anneau factoriel. Concluez que l’anneau des entiers quadra-
tique O, définit au Problème 1 au-dessus, n’est pas factoriel quand D≡2,3 (mod 4),
D < −3(alors il n’est pas un anneau euclidien ni un anneau principal) [Indication :
Montrez que le nombre 2 n’est pas premier dans A.]
(c) Donnez un exemple d’un idéal de Aqui n’est pas principal. [Indication : Considérez un
idéal maximal qui contient (2).]
1. Si D < 0, on interprète √Dcomme ip|D|, où iest l’unité imaginaire.
1

2
Exercice 4. Soit Aun anneau factoriel dont chaque idéal premier est maximal.
(a) Montrez que Aest un anneau de Bezout.
(b) Montrez que Aest principal. [Indice : Si Iest un idéal propre et non-zéro de A, alors
montrez qu’il est principal par induction sur min{Ω(a) : a∈I\ {0}}, où Ω(a) = nsi
a=p1···pnest une factorisation de aà des éléments irréductibles.]
Remarque. On sait que l’inverse de (b) est aussi vrai : un anneau principal est factoriel et
ses idéaux premiers sont tous maximaux.
Exercice 5 (ex. 4, p. 301).Soit Fun corps fini. Prouvez que F[x]contient un nombre infini
d’éléments premiers et non-associés p1(x), p2(x), . . .