Polynômes de K[X] - Page de Helkanen

Polynˆ omes de K[X]
Polynˆomes de K[X]
Dans ce chapitre, Kd´esigne un corps ´egal `a Rou C.
Th´eor`eme 1
Soit P,Qdeux polynˆomes de K[X] dont on note (pn)n∈Net (qn)n∈Nles coefficients, et λ∈K.
•P+Q= (pn+qn)n∈N=X
n∈N
(pn+qn)Xn•P Q = n
X
k=0
pkqn−k!n∈N =
X
(i,j)∈N2/i+j=n
piqj
n∈N
•λP = (λpn)n∈N=X
n∈N
λpnXn•P◦Q=X
n∈N
pnQn
Th´eor`eme 2
Pour tout (P, Q)∈K[X]2,
deg(P+Q)6sup(deg(P),deg(Q))
deg(P Q) = deg(P) + deg(Q)
Th´eor`eme 3
(K[X],+,·) est un K-espace vectoriel et (K[X],+,×) est un anneau commutatif dont les ´el´ements
inversibles sont les polynˆomes constants non nuls.
D´efinition 1
Soit (P, Q)∈K[X]2.
?On dit que Pdivise Qet on note P|Qssi il existe R∈K[X] tel que Q=P R.
? P et Qsont associ´es ssi il existe λ∈K\{0}tel que P=λQ.
Th´eor`eme 4 (Division euclidienne)
Soit (A, B)∈K[X]×(K[X]\{0}). Il existe un unique (Q, R)∈K[X]2tel que A=BQ +Ret
deg(R)<deg(B).
D´efinition 2
Soit P∈K[X], λ ∈K, k ∈N?
On dit que λest racine d’ordre de multiplicit´e au moins kssi (X−λ)k|P.
On dit que λest racine d’ordre de multiplicit´e [exactement] kssi (X−λ)k|P
(X−λ)k+1 ne divise pas P
D´efinition 3
Soit P∈K[X] dont on note (ai)i∈Nla suite presque nulle des coefficients.
On appelle fonction polynˆome associ´ee `a Pet on note e Pla fonction :
e
P:K−→ K
x7−→ X
n∈N
anxn
Th´eor`eme 5
Soit P∈K[X], a ∈K.
Le reste de la division euclidienne de Ppar X−aest e P(a).
Corollaire 1
Soit P∈K[X], a ∈K.
aest une racine de Pssi e P(a) = 0.
128 mars 2005

Polynˆ omes de K[X]
D´efinition 4
Soit P∈K[X].
On appelle ´equation alg´ebrique sur Ktoute ´equation de la forme
e
P(x) = 0 d’inconnue x∈K.
Remarque 1 (M´ethode d’abaissement des degr´es)
Soit (P, Q)∈K[X]2.
On veut r´esoudre (S)(e
P(x) = 0
e
Q(x) = 0 d’inconnue x∈K.
On pose p= deg(P) et q= deg(Q), et on appelle a(resp. b) le cœfficient dominant de P(resp.
Q).
On suppose p>q. Soit x∈K. Alors :
(S)⇐⇒ (e
P(x)−a
bxp−qe
Q(x) = 0 L1←− L1−a
bxp−qL2
e
Q(x) = 0
L’´equation en L1est alors de degr´e au plus p−1.
D´efinition 5
Soit P∈K[X] dont on note (an)n∈Nla suite presque nulle des coefficients.
On appelle polynˆome d´eriv´e de P, que l’on note P0ou P(1), le polynˆome ´egal `a :
X
n∈N
(n+ 1)an+1Xn
Th´eor`eme 6
Soit (P, Q)∈K[X]2, λ ∈K, k ∈N. Et on pose (an)n∈N=P.
(1) (P+Q)0=P0+Q0.
(2) (λP )0=λP 0.
(3) (P Q)0=P0Q+P Q0.
(4) (P◦Q)0=Q0(P0◦Q).
(5) P(k)=X
n∈N
(n+k)!
n!an+kXk.
Th´eor`eme 7
Soit (P, Q)∈K[X]2, λ ∈K, k ∈N.
(1) (P+Q)(k)=P(k)+Q(k).
(2) (λP )(k)=λP (k).
(3) (P Q)(k)=
k
X
r=0 k
rP(r)Q(k−r)
Th´eor`eme 8 (Formule de Taylor)
Soit P∈K[X], a ∈K.
P=X
k∈Ng
P(k)(a)
k!(X−a)k
228 mars 2005

Polynˆ omes de K[X]
Th´eor`eme 9
Soit P∈K[X], λ ∈K, k ∈N∗.
(1) λest racine d’ordre de multiplicit´e au moins kssi ∀i∈J0; k−1K,g P(i)(λ) = 0
(2) λest racine d’ordre de multiplicit´e kssi (∀i∈J0; k−1K,g
P(i)(λ) = 0
g
P(k)(λ)6= 0
Lemme 1
Soit P∈K[X], r ∈N∗,(a1, ..., ar)∈Krdeux `a deux distincts, (k1, ..., kr)∈N?r,
Le polynˆome Pest divisible par
r
Y
i=1
(X−ai)ki
ssi pour tout i∈J1; rK,aiest racine de Pd’ordre de multiplicit´e au moins ki.
Avec P6= 0, si, pour tout i∈J1; rK,aiest racine de Pd’ordre de multiplicit´e au moins ki,
alors deg(P)>
r
X
i=1
ki.
Remarque 2
Trouver l’ordre de multiplicit´e d’une racine αconnue de Pest facile. Il suffit de trouver k∈Ntel
que g P(k)(α) = 0 et ^ P(k+1)(α)6= 0. On sait trouver les racines multiples d’un polynˆome Pde K[X].
Soit λ∈K:
λest racine d’ordre au moins 2 de Pssi (e
P(λ) = 0
f
P0(λ) = 0
Remarque 3 (Montrer qu’un polynˆome est nul)
Un polynˆome P6= 0 admet au plus deg(P) racines :
?Si on montre que Padmet une infinit´e de racines, alors P= 0.
?Si on montre que Padmet au moins deg(P) + 1 racines, alors P= 0.
Th´eor`eme 10
Pour tout (λ, P, Q)∈K×K[X]2,ona:
(1) ^ P+Q=e P+e Q.
(2) f λP =λe P.
(3) g P Q =e Pe Q.
(4) ^ P◦Q=e P◦e Q.
Pour tout P∈R[X], f P0= ( e P)0.
D´efinition 6
Un polynˆome est dit scind´e
ssi il est constant
ou la somme des ordres de multiplit´e de toutes ses racines est ´egale `a son degr´e.
Th´eor`eme 11 (Th´eor`eme de d’Alembert)
Tout polynˆome complexe est scind´e.
Th´eor`eme 12 (Th´eor`eme de d’Alembert-Gauss)
On note Il’ensemble des polynˆomes r´eels unitaires du second degr´e sans racine (r´eelle). Pour tout
P∈R[X] non nul, il existe un unique ν∈NRtel que {a∈R, ν (a)6= 0}soit fini, un unique
µ∈NItel que {Q∈I, µ (Q)6= 0}soit fini, et un unique λ∈R∗tels que :
P=λ·Y
a∈R
(X−a)ν(a)·Y
Q∈I
Qµ(Q)
328 mars 2005

Polynˆ omes de K[X]
Remarque 4 (Forme de d’Alembert-Gauss)
?Connaissant la forme de d’Alembert d’un polynˆome, on trouve sa forme de d’Alembert-Gauss
en isolant les racines r´eelles, puis regroupant les racines complexes conjugu´ees.
?Soit P∈R[X] et α∈C. Si αest une racine de Palors αest racine de Pavec mˆeme ordre
de multiplicit´e.
D´efinition 7 (Fonctions sym´etriques ´el´ementaires)
Soit (n, p)∈N∗2tel que n>p.
Soit (a1, ..., an)∈Kn. On appelle pi`eme fonction sym´etrique ´el´ementaire de la famille (a1, ..., an)
le scalaire
σp=X
(i1,...,ip)∈J1;nKp
i1<i2<...<ip
p
Y
j=1
aij!
En particulier, σ1=
n
X
k=1
aket σn=
n
Y
k=1
ak.
Th´eor`eme 13
Soit n∈N∗,Pun polynˆome scind´e de degr´e n. Il existe (λ0, ..., λn)∈Kn×K∗tq P=
n
X
i=0
λiXi.
Soit (a1, ..., an)∈Kn. Pour tout p∈J1; nK, on note σpla pi`eme fonction sym´etrique ´el´ementaire de
(a1, ..., an).
Le n-uplet (a1, ..., an) est un syst`eme de racines de Pssi pour tout p∈J1; nK,σp=(−1)pλn−p
λn
.
Remarque 5
On admet que toute fonction sym´etrique alg´ebrique peut s’´ecrire comme le produit ou la somme
de fonctions sym´etriques ´el´ementaires. Ex : Si σ1=a+b+c,σ2=ab +ac +bc,σ3=abc alors on
peut ´ecrire a3+b3+c3`a l’aide de σ1,σ2et σ3.
Remarque 6
Soit (A, B)∈K[X]2tel que Asoit scind´e.
? A|Bssi toute racine de Aest racine de Bavec un ordre de multiplicit´e dans Bplus grand
que dans A.
?Avec Bscind´e, les racines de Asont racines de Bavec mˆeme ordre de multiplicit´e
ssi A|Bet B|A
ssi Aet Bsont associ´es.
Remarque 7 (M´ethodes pour montrer que A|B)
Soit (A, B)∈K[X]2.
?On pose la division de Bpar A.
?V´erifier que Aest scind´e (facile dans C) et que toutes ses racines sont racines de Bavec un
ordre de multiplicit´e plus grand dans Bque dans A.
?On travaille modulo A.
Remarque 8
Soit (P, Q)∈K[X]2scind´es et non constants.
On note n= deg(P), et (a1, ..., an) un syst`eme de racines de P.
Pet Qont une racine commune
ssi il existe i∈J1; nKtel que e Q(ai) = 0
ssi
n
Y
i=1 e
Q(ai) = 0.
428 mars 2005