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Polynômes de K[X]
Polynômes de K[X]
Dans ce chapitre, K désigne un corps égal à R ou C.
Théorème 1
Soit P , Q deux polynômes de K[X] dont on note (pn )n∈N et (qn )n∈N les coefficients, et λ ∈ K.


!
n
X
X
X
• P + Q = (pn + qn )n∈N =
(pn + qn )X n • P Q =
pk qn−k
=
p i qj 
n∈N
• λP = (λpn )n∈N =
X
λpn X
n
k=0
•P ◦Q=
n∈N
X
n∈N
(i,j)∈N2 /i+j=n
n∈N
n
pn Q
n∈N
Théorème 2
Pour tout (P, Q) ∈ K[X]2 ,
deg(P + Q) 6 sup(deg(P ), deg(Q))
deg(P Q) = deg(P ) + deg(Q)
Théorème 3
(K[X], +, ·) est un K-espace vectoriel et (K[X], +, ×) est un anneau commutatif dont les éléments
inversibles sont les polynômes constants non nuls.
Définition 1
Soit (P, Q) ∈ K[X]2 .
? On dit que P divise Q et on note P |Q ssi il existe R ∈ K[X] tel que Q = P R.
? P et Q sont associés ssi il existe λ ∈ K\{0} tel que P = λQ.
Théorème 4 (Division euclidienne)
Soit (A, B) ∈ K[X] × (K[X]\{0}). Il existe un unique (Q, R) ∈ K[X]2 tel que A = BQ + R et
deg(R) < deg(B).
Définition 2
Soit P ∈ K[X], λ ∈ K, k ∈ N?
On dit que λ est racine d’ordre de multiplicité au moins k ssi (X− λ)k |P .
(X − λ)k |P
On dit que λ est racine d’ordre de multiplicité [exactement] k ssi
(X − λ)k+1 ne divise pas P
Définition 3
Soit P ∈ K[X] dont on note (ai )i∈N la suite presque nulle des coefficients.
On appelle fonction polynôme associée à P et on note Pe la fonction :
Pe : K −→ X
K
x 7−→
an x n
n∈N
Théorème 5
Soit P ∈ K[X], a ∈ K.
Le reste de la division euclidienne de P par X − a est Pe(a).
Corollaire 1
Soit P ∈ K[X], a ∈ K.
a est une racine de P ssi Pe(a) = 0.
1
28 mars 2005
Polynômes de K[X]
Définition 4
Soit P ∈ K[X].
On appelle équation algébrique sur K toute équation de la forme
Pe(x) = 0 d’inconnue x ∈ K.
Remarque 1 (Méthode d’abaissement des degrés)
Soit (P, Q) ∈ K[X]2 . (
Pe(x) = 0
On veut résoudre (S)
d’inconnue x ∈ K.
e
Q(x)
=0
On pose p = deg(P ) et q = deg(Q), et on appelle a (resp. b) le cœfficient dominant de P (resp.
Q).
On suppose p > q. Soit x ∈ K. Alors :
(
e
= 0 L1 ←− L1 − ab xp−q L2
Pe(x) − ab xp−q Q(x)
(S) ⇐⇒
e
Q(x)
=0
L’équation en L1 est alors de degré au plus p − 1.
Définition 5
Soit P ∈ K[X] dont on note (an )n∈N la suite presque nulle des coefficients.
On appelle polynôme dérivé de P , que l’on note P 0 ou P (1) , le polynôme égal à :
X
(n + 1)an+1 X n
n∈N
Théorème 6
Soit (P, Q) ∈ K[X]2 , λ ∈ K, k ∈ N. Et on pose (an )n∈N = P .
(1) (P + Q)0 = P 0 + Q0 .
(2) (λP )0 = λP 0 .
(3) (P Q)0 = P 0 Q + P Q0 .
(4) (P ◦ Q)0 = Q0 (P 0 ◦ Q).
X (n + k)!
an+k X k .
(5) P (k) =
n!
n∈N
Théorème 7
Soit (P, Q) ∈ K[X]2 , λ ∈ K, k ∈ N.
(1) (P + Q)(k) = P (k) + Q(k) .
(2) (λP )(k) = λP (k) .
k X
k
(k)
(3) (P Q) =
P (r) Q(k−r)
r
r=0
Théorème 8 (Formule de Taylor)
Soit P ∈ K[X], a ∈ K.
P =
(k) (a)
X Pg
k∈N
k!
2
(X − a)k
28 mars 2005
Polynômes de K[X]
Théorème 9
Soit P ∈ K[X], λ ∈ K, k ∈ N∗ .
g
(i)
(1) λ est racine d’ordre de multiplicité au moins
( k ssi ∀ i ∈ J0; k − 1K, P (λ) = 0
g
(i) (λ) = 0
∀ i ∈ J0; k − 1K, P
(2) λ est racine d’ordre de multiplicité k ssi
(k) (λ) 6= 0
Pg
Lemme 1
Soit P ∈ K[X], r ∈ N∗ , (a1 , ..., ar ) ∈ Kr deux à deux distincts, (k1 , ..., kr ) ∈ N?r ,
r
Y
Le polynôme P est divisible par
(X − ai )ki
i=1
ssi pour tout i ∈ J1; rK, ai est racine de P d’ordre de multiplicité au moins ki .
Avec P 6= 0, si, pour tout i ∈ J1; rK, ai est racine de P d’ordre de multiplicité au moins ki ,
r
X
alors deg(P ) >
ki .
i=1
Remarque 2
Trouver l’ordre de multiplicité d’une racine α connue de P est facile. Il suffit de trouver k ∈ N tel
^
(k) (α) = 0 et P
(k+1) (α) 6= 0. On sait trouver les racines multiples d’un polynôme P de K[X].
que Pg
Soit λ ∈ K :
(
λ est racine d’ordre au moins 2 de P ssi
Pe(λ) = 0
f0 (λ) = 0
P
Remarque 3 (Montrer qu’un polynôme est nul)
Un polynôme P 6= 0 admet au plus deg(P ) racines :
? Si on montre que P admet une infinité de racines, alors P = 0.
? Si on montre que P admet au moins deg(P ) + 1 racines, alors P = 0.
Théorème 10
Pour tout (λ, P, Q) ∈ K × K[X]2 , on a :
e
(1) P^
+ Q = Pe + Q.
f = λPe.
(2) λP
g
e
(3) P
Q = PeQ.
e
^
(4) P
◦ Q = Pe ◦ Q.
f0 = (Pe)0 .
Pour tout P ∈ R[X], P
Définition 6
Un polynôme est dit scindé
il est constant
ssi
ou la somme des ordres de multiplité de toutes ses racines est égale à son degré.
Théorème 11 (Théorème de d’Alembert)
Tout polynôme complexe est scindé.
Théorème 12 (Théorème de d’Alembert-Gauss)
On note I l’ensemble des polynômes réels unitaires du second degré sans racine (réelle). Pour tout
P ∈ R[X] non nul, il existe un unique ν ∈ NR tel que {a ∈ R, ν (a) 6= 0} soit fini, un unique
µ ∈ NI tel que {Q ∈ I, µ (Q) 6= 0} soit fini, et un unique λ ∈ R∗ tels que :
Y
Y
P =λ·
(X − a)ν(a) ·
Qµ(Q)
a∈R
Q∈I
3
28 mars 2005
Polynômes de K[X]
Remarque 4 (Forme de d’Alembert-Gauss)
? Connaissant la forme de d’Alembert d’un polynôme, on trouve sa forme de d’Alembert-Gauss
en isolant les racines réelles, puis regroupant les racines complexes conjuguées.
? Soit P ∈ R[X] et α ∈ C. Si α est une racine de P alors α est racine de P avec même ordre
de multiplicité.
Définition 7 (Fonctions symétriques élémentaires)
Soit (n, p) ∈ N∗2 tel que n > p.
Soit (a1 , ..., an ) ∈ Kn . On appelle pième fonction symétrique élémentaire de la famille (a1 , ..., an )
le scalaire
!
p
X
Y
σp =
aij
(i1 ,...,ip )∈J1;nKp
i1 <i2 <...<ip
En particulier, σ1 =
n
X
k=1
ak et σn =
n
Y
j=1
ak .
k=1
n
Théorème 13
X
Soit n ∈ N∗ , P un polynôme scindé de degré n. Il existe (λ0 , ..., λn ) ∈ Kn × K∗ tq P =
λi X i .
i=0
Soit (a1 , ..., an ) ∈ Kn . Pour tout p ∈ J1; nK, on note σp la pième fonction symétrique élémentaire de
(a1 , ..., an ).
(−1)p λn−p
.
Le n-uplet (a1 , ..., an ) est un système de racines de P ssi pour tout p ∈ J1; nK, σp =
λn
Remarque 5
On admet que toute fonction symétrique algébrique peut s’écrire comme le produit ou la somme
de fonctions symétriques élémentaires. Ex : Si σ1 = a + b + c, σ2 = ab + ac + bc, σ3 = abc alors on
peut écrire a3 + b3 + c3 à l’aide de σ1 , σ2 et σ3 .
Remarque 6
Soit (A, B) ∈ K[X]2 tel que A soit scindé.
? A|B ssi toute racine de A est racine de B avec un ordre de multiplicité dans B plus grand
que dans A.
? Avec B scindé, les racines de A sont racines de B avec même ordre de multiplicité
ssi A|B et B|A
ssi A et B sont associés.
Remarque 7 (Méthodes pour montrer que A|B)
Soit (A, B) ∈ K[X]2 .
? On pose la division de B par A.
? Vérifier que A est scindé (facile dans C) et que toutes ses racines sont racines de B avec un
ordre de multiplicité plus grand dans B que dans A.
? On travaille modulo A.
Remarque 8
Soit (P, Q) ∈ K[X]2 scindés et non constants.
On note n = deg(P ), et (a1 , ..., an ) un système de racines de P .
P et Q ont une racine commune
e i) = 0
ssi il existe i ∈ J1; nK tel que Q(a
n
Y
e i ) = 0.
ssi
Q(a
i=1
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28 mars 2005