Fonctions de la variable réelle

Faculté des Sciences et Techniques de Limoges 2009-10
Préparation concours DEUG des ENSI
S. Vinatier Rappels de cours
Fonctions de la variable réelle
Soit Iun intervalle de R. On rappelle qu’une fonction fde Idans R(resp. C) associe à
tout x∈Iun unique réel (resp. complexe) f(x), appelé l’image de xpar f. Le graphe de fest
Cf={(x, f(x)), x ∈I} ⊆ I×R(resp. I×C).
1 Limites ; branches infinies
On note Il’adhérence de Idans R=R∪ {±∞}. Soient a∈I∩Ret `∈R(resp. `∈C),
on dit que ftend vers `en a, ou que `est la limite de fquand xtend vers a, si
∀ε > 0,∃η > 0,(x∈Iet |x−a|< η)⇒ |f(x)−`|< ε ;
on écrit alors lim
x→af(x) = `. Si fest à valeurs réelles, on dit que ftend vers +∞en asi
∀A∈R,∃η > 0,(x∈Iet |x−a|< η)⇒f(x)> A ;
on écrit alors lim
x→af(x)=+∞.
Exercice 1 Écrire la définition de lim
x→af(x) = −∞.
On obtient la notion de limite à droite (resp. à gauche) en aen remplaçant la condition «x∈I»
par «x∈Iet x>a» (resp. «x∈Iet x<a» ) dans les définitions.
Si l’intervalle Iest non majoré et `∈R(resp. `∈C), on dit que ftend vers `en +∞si
∀ε > 0,∃A∈R,(x∈Iet x > A)⇒ |f(x)−`|< ε ;
on écrit alors lim
x→+∞f(x) = `. De même, si Iest non minoré, on étudiera la limite de fen
−∞. On aura des définitions analogues aux précédentes pour « ftend vers +∞(resp. −∞)
en +∞», ainsi qu’en −∞.
Définition 1 La fonction fest continue en a∈Isi lim
x→af(x) = f(a). Elle est continue sur I
si elle est continue en tout point de I.
Exercice 2 On suppose fcontinue en a∈I, montrer qu’il existe un ouvert U(contenant a)
tel que fsoit bornée sur U∩I. On suppose de plus f(a)>0, montrer qu’il existe un ouvert V
(contenant a) tel que f(x)>0pour tout x∈V∩I.
La propriété suivante peut rappeler son analogue si utile pour les suites.
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Exercice 3 Soit fune fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle I= ]a, b[avec a∈R
et b∈R∪{+∞}. On suppose fcroissante, montrer que f(x)tend vers supIf= sup{f(x), x ∈
I}quand xtend vers b.
On s’intéresse maintenant aux branches infinies de f.
Définition 2 Une fonction fdéfinie sur Iadmet une branche infinie en a∈Isi la distance
à l’origine du point d’abscisse xdu graphe Cftend vers +∞quand xtend vers a.
Si a∈Ret limx→a|f(x)|= +∞, la droite x=aest asymptote verticale àCfen a. Si Iest
non majoré, alors +∞ ∈ Idonc Cfadmet une branche infinie en +∞(de même en −∞ si
l’intervalle est non minoré). On commence par considérer la limite de fen +∞: si elle n’existe
pas, on ne peut rien dire de la nature de la branche infinie en +∞. Si elle existe et est finie,
cette branche infinie est une asymptote horizontale ; si elle est infinie, on considère la limite de
f(x)
x. On est confronté à l’une des éventualités suivantes :
— si elle n’existe pas, on ne peut rien dire ;
— si elle est nulle, Cfadmet une branche parabolique de direction (Ox);
— si elle est infinie, Cfadmet une branche parabolique de direction (Oy);
— si elle est finie de valeur a6= 0, on considère la limite de f(x)−ax : si elle est finie
de valeur b, alors y=ax +best asymptote oblique àCf; sinon Cfadmet une branche
parabolique de direction y=ax.
2 Propriétés locales de la continuité
On fait sur les limites les mêmes opérations que sur les fonctions : multiplication par un
réel (resp. complexe), somme, produit, inverse, avec les règles habituelles (notamment celle des
signes) et quelques formes indéterminées (essentiellement « ∞−∞» et « 0× ∞ »). Les règles
concernant la continuité s’en déduisent (la somme de deux fonctions continues est continue...).
En utilisant ces propriétés, on voit par exemple facilement que les fonctions polynômes sont
continues sur Ret que les fractions rationnelles sont continues en tout point où le dénominateur
ne s’annule pas.
Pour ce qui est de la composition des fonctions, énonçons un résultat plus précis :
Proposition 1 Soient fune fonction admettant une limite `1∈Rquand xtend vers a∈¯ Iet
gune fonction définie sur un intervalle Jtel que `1∈¯ Jet admettant une limite `2∈Rquand
xtend vers `1. Alors g◦ftend vers `2quand xtend vers a.
Sur le même principe, si (un)nest une suite d’éléments de Iconvergeant vers `∈Iet f
une fonction continue en `, alors (f(un))nest une suite convergeant vers f(`). On a même
l’équivalence suivante :
Proposition 2 La fonction fest continue en a∈Isi et seulement si, pour toute suite (un)n
d’éléments de Iconvergeant vers a, la suite image (f(un))nconverge vers f(a).
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Exercice 4 En déduire que la fonction partie entière n’est pas continue en 1 ; que la fonction
définie sur Rpar f(0) = 0 et f(x) = sin 1
xpour x6= 0 n’est pas continue en 0.
On rappelle pour mémoire qu’on peut définir les notions de continuité à droite (resp. à
gauche), à partir de celle de limite à droite (resp. à gauche). On montrera par exemple que la
partie entière est une fonction continue à droite en tout point.
Enfin, si fest définie sur Iet a∈R∩(I\I), on dira que fest prolongeable par continuité
en as’il existe une fonction e fcontinue sur I∪ {a}telle que e f(x) = f(x)pour tout x∈I.
Exercice 5 Soient fet gdeux fonctions définies sur Iet a∈R∩(I\I). On suppose que
f(x)≤g(x)pour tout x∈Iet que fet gsont prolongeables par continuité en a, par les valeurs
`et `0respectivement. Montrer que `≤`0.
3 Propriétés globales de la continuité
On a les deux résultats fondamentaux suivants pour les fonctions réelles continues sur un
intervalle.
Théorème 1 (des valeurs intermédiaires) L’image d’un intervalle par une fonction conti-
nue est un intervalle.
En d’autres termes, si fest continue sur un intervalle Iet si a, b ∈I, alors toutes les valeurs
comprises entre f(a)et f(b)sont atteintes par fsur ]a, b[. En particulier fs’annule sur ]a, b[
si f(a)f(b)<0.
Exercice 6 Montrer que tout polynôme de degré impair s’annule sur R; que toute fonction
continue sur un intervalle et de valeur absolue constante est constante.
Le corollaire suivant du théorème des valeurs intermédiaires est souvent utile.
Exercice 7 Soit fune fonction continue sur un intervalle I, avec infIf=−∞ et supIf=
+∞. Montrer que f(I) = R.
Lorsqu’on suppose de plus l’intervalle compact, c’est-à-dire fermé et borné (de la forme
I= [a, b]), on obtient :
Théorème 2 (Weierstrass) Soit fune fonction réelle continue sur un intervalle compact I.
Alors fest bornée (−∞ <infIf≤supIf < +∞) et atteint ses bornes (il existe c, d ∈Itels
que f(c) = infIfet f(d) = supIf).
En combinant les deux théorèmes, on obtient que l’image d’un intervalle compact Ipar une
fonction continue fest un intervalle compact ([infIf, supIf]en l’occurence). Enfin, en débor-
dant à peine des notions explicitement au programme du Capes, on peut citer :
Théorème 3 (Heine) Une fonction continue sur un intervalle compact y est uniformément
continue :
∀ε > 0,∃η > 0,∀x, y ∈I, |x−y|< η ⇒ |f(x)−f(y)|< ε .
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La continuité uniforme correspond au fait que le choix du ηne dépend que de celui de ε, et
pas du point xau voisinage duquel on se place.
Exercice 8 Soit k∈R+×. Montrer qu’une fonction f k-lipschitzienne sur I, c’est-à-dire vé-
rifiant
∀x, y ∈I , |f(x)−f(y)| ≤ k|x−y|,
est uniformément continue sur I(quelle que soit la nature de I).
Intéressons-nous maintenant aux fonctions strictement monotones.
Théorème 4 Soit fune fonction continue strictement monotone sur I. Alors fdéfinit une
bijection de Isur f(I), de fonction réciproque continue strictement monotone, de même sens
de monotonie que f.
Ce résultat permet de construire les fonctions réciproques usuelles : exp à partir de ln et toutes
les réciproques des fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques.
4 Dérivabilité
Définition 3 La fonction fest dérivable en a∈Isi le taux d’acroissement
f(x)−f(a)
x−a
a une limite réelle (resp. complexe) quand xtend vers a. Dans ce cas, on note f0(a)cette limite
et on l’appelle la dérivée de fen a. La fonction est dérivable sur Isi elle est dérivable en tout
point de I.
Le taux d’accroissement étant la pente de la corde joignant les points d’abscisses aet xsur le
graphe de f, on voit que, lorsqu’elle existe, la dérivée en adonne la pente de la tangente au
graphe de fau point d’abscisse a.
Exercice 9 Déduire de la définition que si fest dérivable en aet y atteint un extremum, alors
f0(a) = 0.
Comme pour la continuité, on pourra aussi parler de dérivée à droite et de dérivée à gauche ;
faire des opérations algébriques sur des fonctions dérivables en un point ; composer des fonctions
dérivables en des points adéquats ; et enfin obtenir la dérivabilité en f(a)de l’application
réciproque d’une fonction fcontinue strictement monotone, dérivable en a, à condition que
f0(a)soit non nulle.
Lorsque fest dérivable sur un intervalle I, sa dérivée f0est une fonction sur I, éventuel-
lement elle-même dérivable sur I, auquel cas fest dite 2 fois dérivable, de dérivée seconde la
dérivée de f0. En itérant ce processus, on peut parler le cas échéant de fonction nfois dérivable,
pour n∈N.
Définition 4 Soit n∈N. Une fonction nfois dérivable sur I, de dérivée n-ième continue sur
I, est dite de classe Cnsur I. Une fonction de classe Cnsur Ipour tout entier nest dite de
classe C∞.
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On parle aussi de fonction Cnpar morceaux sur [a, b]s’il existe une suite a=a0, a1, . . . , am=b
telle que frestreinte à ]ai, ai+1[soit prolongeable en une fonction de classe Cnsur [ai, ai+1]
pour tout i= 0,1, . . . , m −1. Enfin on parle de fonction Cnpar morceaux sur Iintervalle
quelconque si sa restriction à tout segment inclus dans Il’est.
Exercice 10 Déterminer la classe de la fonction fdéfinie par f(0) = 0 et f(x) = xsin 1
xpour
x∈R×.
Passons aux résultat essentiels de cette section.
Théorème 5 (Rolle) Soit fune fonction réelle continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[et telle
que f(a) = f(b). Alors il existe c∈]a, b[tel que f0(c) = 0.
Un bon choix de fonction (exercice : retrouvez-le !) permet alors de montrer :
Théorème 6 (des accroissements finis) Soit fune fonction réelle continue sur [a, b], dé-
rivable sur ]a, b[. Alors il existe c∈]a, b[tel que
f(b)−f(a) = f0(c)(b−a).
On en déduit notamment, pour une fonction dérivable sur Iintervalle ouvert :
fconstante sur I⇐⇒ f0= 0 sur I;
fcroissante sur I⇐⇒ f0≥0sur I;
f0>0sur I=⇒fstrictement croissante sur I .
Exercice 11 Donner un contre-exemple à la réciproque de la dernière implication.
On obtient aussi à partir du théorème précédent la fameuse inégalité des accroissements
finis : sous les mêmes hypothèses, en supposant de plus que |f0(x)| ≤ Mpour tout x∈]a, b[,
on voit que
|f(b)−f(a)| ≤ M(b−a).
Enfin, on a comme corollaire le résultat de prolongement de la dérivée suivant :
Proposition 3 Soit fune fonction continue sur I, dérivable sur I\ {a}. Si f0(x)a une limite
finie `quand xtend vers a, alors fest dérivable en aet f0(a) = `; si f0(x)tend vers ±∞
quand xtend vers a, alors le taux d’accroissement de fen atend vers ±∞.
Rappelons qu’une fonction fdéfinie sur Iest convexe si
∀x, y ∈I, ∀λ∈[0,1], f(λx + (1 −λ)y)≤λf(x) + (1 −λ)f(y),
ce qui revient à dire que la corde joignant les points d’abscisses xet ydu graphe Cfde fest
au-dessus de Cf. Pour les fonctions dérivables, on a les critères suivants :
Proposition 4 Soit fune fonction de Idans R.
— Si fest dérivable sur I, alors (fconvexe sur I⇐⇒ f0croissante sur I).
— Si fest 2 fois dérivable sur I, alors (fconvexe sur I⇐⇒ f00 ≥0sur I).
Exercice 12 En déduire que la tangente au graphe d’une fonction convexe dérivable est tou-
jours sous la courbe de cette fonction.
Noter qu’une fonction est concave si et seulement si son opposée est convexe.
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