EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE DESS IM Evry, option

EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE
DESS IM Evry, option finance
Monique Jeanblanc
Universit´e d’EVRY
Octobre 2005

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Contents
1 Rappels 7
1.1 Tribu.................................. 7
1.2 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Martingales .............................. 11
1.5 Tempsd’arrˆet............................. 13
1.6 Tempsdiscret............................. 14
1.7 Alg`ebreb´eta-Gamma......................... 15
1.8 Divers................................. 15
2 Mouvement Brownien 17
2.1 Propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 ProcessusGaussiens ......................... 20
2.3 Multidimensionnel .......................... 21
2.4 Tempsd’atteinte ........................... 22
2.5 Scaling................................. 25
2.6 Compl´ements ............................. 26
2.7 Finance ................................ 28
2.8 Probl`eme ............................... 29
2.8.1 Partie I : R´esultats pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . 29
2.8.2 PartieII............................ 30
2.8.3 PartieIII ........................... 30
3 Int´egrale d’Itˆo 33
3.1 Int´egraledeWiener ......................... 33
3.2 Formuled’Itˆo............................. 34
3.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Compl´ements ............................. 40
3.5 Brownien g´eom´etrique et extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6 Lecrochet............................... 43
3.7 Finance ................................ 44
3

4CONTENTS
4 Equations diff´erentielles stochastiques 49
4.1 Equationlin´eaire ........................... 49
4.2 Finance ................................ 54
4.3 Equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5 Exemples 59
5.1 ProcessusdeBessel.......................... 59
5.2 Processus de Bessel carr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Autresprocessus............................ 64
5.4 Descalculs .............................. 64
6 Girsanov 67
6.1 R´esultats ´el´ementaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2 Crochet................................. 69
6.3 Processus. .............................. 69
6.4 Casmultidimensionel......................... 75
6.5 Tempsd’arrˆet. ............................ 76
6.6 Finance ................................ 78
7 Compl´ements 87
7.1 Th´eor`emedeL´evy........................... 87
7.2 Equations r´etrogrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.3 Th´eor`emes de repr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.4 Tempslocal............................... 92
7.5 Lois .................................. 93
7.6 Filtrations............................... 94
7.7 Optionsbarri`eres........................... 95
7.8 M´eandres, ponts, excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.9 Divers ................................. 96
8 Processus `a sauts 99
8.1 ProcessusdePoisson......................... 99
8.2 Poissoncompos´e ...........................101
8.3 Formuled’Itˆo.............................102
8.4 D´efaut.................................103
8.5 March´e complets, incomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1 Rappels, Corrig´es 107
1.1 Tribu..................................107
1.2 Variables gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
1.3 Esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1.4 Martingales ..............................113
1.5 Tempsd’arrˆet.............................114
1.6 Tempsdiscret.............................115
1.7 Alg`ebreb´eta-gamma.........................115
1.8 Divers .................................115

CONTENTS 5
2 Mouvement Brownien, Corrig´es 117
2.1 Propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.2 ProcessusGaussien..........................121
2.3 Multidimensionnel ..........................124
2.4 Tempsd’atteinte ...........................125
2.5 Scaling.................................127
2.6 Compl´ements .............................127
2.7 Finance ................................129
3 Int´egrale d’Itˆo, Corrig´es 131
3.1 Int´egraledeWiener .........................131
3.2 Formuled’Itˆo.............................132
3.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.4 Compl´ements .............................138
3.5 Brownien g´eom´etrique et extensions . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.6 Lecrochet...............................142
3.7 Finance ................................142
4 Equations diff´erentielles stochastiques, Corrig´es 145
4.1 EquationLin´eaire...........................145
4.2 Finance ................................149
4.3 Equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5 Exemples, Corrig´es 153
5.1 ProcessusdeBessel..........................153
5.2 Processus de Bessel carr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.3 Autresprocessus ...........................155
5.4 DesCalculs ..............................156
6 Girsanov, Corrig´es 159
6.1 R´esultats ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.2 Crochet ................................160
6.3 Processus ...............................160
6.4 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.5 Tempsd’arrˆet.............................163
6.6 Finance ................................165
7 Compl´ements, Corrig´es 167
7.1 Th´eor`emedeL´evy...........................167
7.2 Equations r´etrogrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.3 Th´eor`emes de repr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.4 Tempslocal...............................168
7.5 Lois ..................................170
7.6 Filtrations...............................170
7.7 Optionsbarri`eres...........................171
7.8 M´eandres, ponts, excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172