Concours SI 2012 Problème 2 : Décomposition polaire des matrices et applications Soit n ≥ 1 un entier. On munit Rn de la norme euclidienne usuelle. Soit Mn (R) l’espace vectoriel des matrices carées de taille n sur R muni de la topologie induite et GLn (R) le groupe des matrices inversibles dans Mn (R). On écrira Id pour la matrice identité de GLn (R) et on notera det(M ) le déterminant d’une matrice M et t M sa transposée. On notera aussi On (R) := {M ∈ GLn (R) \ t M.M = Id} le sous-groupe des matrices orthogonales et SLn (R) := {M ∈ GLn (R) \ det(M ) = 1} le sous-groupe des matrices de déterminant 1. Enfin SOn (R) := On (R) ∩ SLn (R) est le sous-groupe des matrices orthogonales directes. On rapelle qu’une matrice est symétrique si M = t M et que toute matrice symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée. On notera t n t Sym+ n := {M ∈ Mn (R) \ M = M et ∀X ∈ R − {0}, X.M.X > 0} l’ensemble des matrices symétriques définies positives, c’est à dire les matrices symétriques dont la forme bilinéaire associée (X, Y ) 7→ t X.M.Y est un produit scalaire (ici X, Y sont des vecteurs colonnes dans Rn ). I) Décomposition polaire : On veut montrer que toute matrice M de GLn (R) s’écrit de manière unique sous la forme M = O.H avec O ∈ On (R) et H ∈ Sym+ n. 1. Soit M une matrice dans GLn (R). Montrer que le produit t M.M est symétrique définie positive. 2. Montrer qu’il existe O ∈ On (R) et H ∈ Sym+ n telles que M = O.H. 3. Montrer que si U ∈ On (R) et K ∈ Sym+ vérifient aussi M = U.K, alors les matrices K et t M.M n commutent. 4. En déduire succesivement que K commute avec H 2 , puis que K commute avec H. 5. Montrer que la décomposition de la question I.2) est unique et conclure. 6. En déduire que GLn (R) est homéomorphe au produit On (R) × Sym+ n. II) Le sous-groupe SOn (R) est maximal dans SLn (R) Le but de cet exercice est de montrer que, pour n ≥ 2, il n’y a aucun sous-groupe non trivial de SLn (R) contenant SOn (R). Soit donc SOn (R) ⊂ H ⊂ SLn (R) un tel sous-groupe. On suppose que H contient SOn (R) strictement. 1. (Préliminaires) Soit f ∈ H \ SOn (R) de décomposition polaire f = gh, g ∈ On (R), h ∈ Sym+ n. (a) Montrer que les valeurs propres de h ne sont pas toutes les mêmes. (b) Montrer que si h0 est une matrice symétrique avec les mêmes valeurs propres que h, alors h0 ∈ H. (c) Montrer que h est diagonalisable en base orthonormée directe, c’est à dire qu’il existe P ∈ SOn (R) telle que P.h.P −1 soit diagonale. 2. (Cas n = 2) On suppose n = 2 et on se donne f = gh ∈ H \ SO2 (R). λ 0 (a) Montrer qu’il existe λ > 1 tel que la matrice hλ := soit dans H. 0 λ−1 cos(x) − sin(x) (b) Soit ux la matrice . Montrer que pour tout x ∈ R, f (x) = ux hλ u−1 x hλ sin(x) cos(x) t et f (x)f (x) sont dans H. (c) Montrer que {||f (x)||, x ∈ R} contient l’intervalle [1, λ2 ] où ||M || = sup(||M (X)||, ||X|| ≤ 1). (d) Montrer que H = SL2 (R). 3. (Cas général) On suppose n ≥ 3. Soit f = gh ∈ H \ SOn (R). On note λi les valeurs propres de h, on choisit une base orthonormée directe (e1 , . . . , en ) de diagonalisation de h et on suppose λ1 6= λ2 (ceci est rendu possible par les questions II.1. (a) et (c)). On identifie GLn−1 (R) avec G 0 les matrices blocs g ∈ GLn (R) de la forme où G ∈ GLn−1 (R). On identifie de même 0 1 SOn−1 (R) et SLn−1 (R). On note Hn−1 := {g ∈ H tel que g(en ) = en et g(Re1 ⊕ · · · ⊕ Ren−1 ) ⊂ Re1 ⊕ · · · ⊕ Ren−1 }. (a) Montrer que Hn−1 est un sous groupe vérifiant SOn−1 (R) ⊂ Hn−1 ⊂ SLn−1 (R). (b) Montrer que, pour tout o ∈ SOn−1 (R), oho−1 h−1 ∈ Hn−1 et qu’il existe o ∈ SOn−1 (R) tel / SOn−1 (R). que oho−1 h−1 ∈ (c) Montrer que SLn (R) est engendré par les transvections (c’est à dire par des matrices du type Id + αEij , i 6= j où Eij est la matrice dont le seul coefficient non nul est à l’intersection de la colonne j et de la ligne i). (d) Montrer que, pour tout n ≥ 2, tout sous-groupe H de SLn (R) qui contient SOn (R) est soit SOn (R) soit SLn (R). 1