sujet 3

Concours SI 2012
Probl` eme 2 : D´ ecomposition polaire des matrices et applications
Soit n≥1 un entier. On munit Rnde la norme euclidienne usuelle. Soit Mn(R) l’espace vectoriel des
matrices car´ees de taille nsur Rmuni de la topologie induite et GLn(R) le groupe des matrices inversibles
dans Mn(R). On ´ecrira Id pour la matrice identit´e de GLn(R) et on notera det(M) le d´eterminant d’une
matrice Met tMsa transpos´ee. On notera aussi On(R) := {M∈GLn(R)\tM.M =Id}le sous-groupe
des matrices orthogonales et SLn(R) := {M∈GLn(R)\det(M)=1}le sous-groupe des matrices de
d´eterminant 1. Enfin SOn(R) := On(R)∩SLn(R) est le sous-groupe des matrices orthogonales directes.
On rapelle qu’une matrice est sym´etrique si M=tMet que toute matrice sym´etrique est diagonalisable
dans une base orthonorm´ee. On notera
Sym+
n:= {M∈Mn(R)\M=tMet ∀X∈Rn− {0},tX.M.X > 0}
l’ensemble des matrices sym´etriques d´efinies positives, c’est `a dire les matrices sym´etriques dont la forme
bilin´eaire associ´ee (X, Y )7→ tX.M.Y est un produit scalaire (ici X,Ysont des vecteurs colonnes dans Rn).
I) D´ecomposition polaire : On veut montrer que toute matrice Mde GLn(R) s’´ecrit de mani`ere unique
sous la forme M=O.H avec O∈On(R) et H∈Sym+
n.
1. Soit Mune matrice dans GLn(R). Montrer que le produit tM.M est sym´etrique d´efinie positive.
2. Montrer qu’il existe O∈On(R) et H∈Sym+
ntelles que M=O.H.
3. Montrer que si U∈On(R) et K∈Sym+
nv´erifient aussi M=U.K, alors les matrices Ket tM.M
commutent.
4. En d´eduire succesivement que Kcommute avec H2, puis que Kcommute avec H.
5. Montrer que la d´ecomposition de la question I.2) est unique et conclure.
6. En d´eduire que GLn(R) est hom´eomorphe au produit On(R)×Sym+
n.
II) Le sous-groupe SOn(R)est maximal dans SLn(R) Le but de cet exercice est de montrer que, pour
n≥2, il n’y a aucun sous-groupe non trivial de SLn(R) contenant SOn(R). Soit donc SOn(R)⊂H⊂
SLn(R) un tel sous-groupe. On suppose que Hcontient SOn(R) strictement.
1. (Pr´eliminaires) Soit f∈H\SOn(R) de d´ecomposition polaire f=gh,g∈On(R), h ∈Sym+
n.
(a) Montrer que les valeurs propres de hne sont pas toutes les mˆemes.
(b) Montrer que si h0est une matrice sym´etrique avec les mˆemes valeurs propres que h, alors
h0∈H.
(c) Montrer que hest diagonalisable en base orthonorm´ee directe, c’est `a dire qu’il existe P∈
SOn(R) telle que P.h.P −1soit diagonale.
2. (Cas n= 2)On suppose n= 2 et on se donne f=gh ∈H\SO2(R).
(a) Montrer qu’il existe λ > 1 tel que la matrice hλ:= λ0
0λ−1soit dans H.
(b) Soit uxla matrice cos(x)−sin(x)
sin(x) cos(x). Montrer que pour tout x∈R,f(x) = uxhλu−1
xhλ
et t f(x)f(x) sont dans H.
(c) Montrer que {||f(x)||, x ∈R}contient l’intervalle [1, λ2] o`u ||M|| = sup(||M(X)||,||X|| ≤ 1).
(d) Montrer que H=SL2(R).
3. (Cas g´en´eral) On suppose n≥3. Soit f=gh ∈H\SOn(R). On note λiles valeurs propres
de h, on choisit une base orthonorm´ee directe (e1, . . . , en) de diagonalisation de het on suppose
λ16=λ2(ceci est rendu possible par les questions II.1. (a) et (c)). On identifie GLn−1(R) avec
les matrices blocs g∈GLn(R) de la forme G0
0 1 o`u G∈GLn−1(R). On identifie de mˆeme
SOn−1(R) et SLn−1(R). On note
Hn−1:= {g∈Htel que g(en) = enet g(Re1⊕ · · · ⊕ Ren−1)⊂Re1⊕ · · · ⊕ Ren−1}.
(a) Montrer que Hn−1est un sous groupe v´erifiant SOn−1(R)⊂Hn−1⊂SLn−1(R).
(b) Montrer que, pour tout o∈SOn−1(R), oho−1h−1∈Hn−1et qu’il existe o∈SOn−1(R) tel
que oho−1h−1/∈SOn−1(R).
(c) Montrer que SLn(R) est engendr´e par les transvections (c’est `a dire par des matrices du type
Id +αEij , i 6=jo`u Eij est la matrice dont le seul coefficient non nul est `a l’intersection de
la colonne jet de la ligne i).
(d) Montrer que, pour tout n≥2, tout sous-groupe Hde SLn(R) qui contient SOn(R) est soit
SOn(R) soit SLn(R).
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