Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S - Sen

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Fonctions - Dérivabilité
Cours maths Terminale S
Dans ce module, retour sur la notion de nombre dérivé vue en première.
La classe de terminale s’attardant plus longuement sur le problème de la dérivabilité d’une fonction
en un point, les différents cas possibles sont étudiés et à cette étude est couplée celle de la tangente
en un point, aspect graphique de la question.
1/ Nombre dérivé, dérivabilité, tangente
* Soit f fonction réelle définie sur un intervalle I et x0 élément de I.
Et soit xf sa courbe représentative dans une repère orthonormé.
Soit h un réel non nul.

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Pour trouver le coefficient directeur plus rapidement, on peut évidemment utiliser la formule du
rapport.
* Soit f fonction réelle définie sur un intervalle I et x0 élément de I.
Et soit xf sa courbe représentative dans une repère orthonormé.
Soit h un réel non nul.
Dh a pour coefficient directeur :
Quand h tend vers 0 :
tend à devenir la tangente à la courbe en x0
Et Tx0 a donc pour coefficient directeur : à condition que cette limite soit

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finie.
D’où l’étude de différents cas :
Cas n° 1 : cette limite est un nombre fini
On dit alors que la fonction f est dérivable en x0, est appelé nombre dérivé en x0 noté :
= f '(x0). Et Tx0 a donc pour coefficient directeur : f ' (x0)

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Cas n° 2 : la limite n’est pas un nombre fini
On dit alors que la fonction f n’est pas dérivable en x0
Deux cas peuvent se présenter :
Cas n° 2.1 : la limite est infinie
Prenons l’exemple de
:
Plus h se rapproche de 0, et plus le coefficient direc-
teur de devient un grand nombre positif.
tend alors à devenir verticale.
La courbe admet donc une tangente verticale en x0. D’où l’allure de la courbe au voisinage de x0.

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Cas n° 2.2 : la limite n’est ni finie ni infinie
Premier exemple, si :
La limite en 0 de n’existe pas.
On ne peut alors parler ni de nombre dérivé, ni de tangente en.
Deuxième exemple : soit et x0 = 0
Alors :
D'où