Ce que je dois savoir sur la dérivation

Ce que je dois savoir sur la dérivation
1 Calculer des dérivées à l’aide de la définition ou des formules
Exercice 1. Soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = x2+x.
En revenant à la définition, montrer que la fonction fest dérivable en 4et calculer sa dérivée.
Exercice 2. Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
a) hdéfinie sur R+par h(x) = (3 x2−x−5) (x5−3x+ 1).
b) gdéfinie sur Rpar g(x) = 5x4−3x
2−2 x+ 2
√x2.
c) jdéfinie sur R∗par j(t) = 2 5
√−1
2 5
√+ 1 −3
x.
d) kdéfinie sur Rpar k(x) = 3x−1
x2+x+ 1 .
e) mdéfinie sur R∗par m(x) = −5
x3.
f) fdéfinie sur Rpar f(x) = x2+ 5 x+ 5
x2+x+ 1
2 Déterminer graphiquement un nombre dérivé, l’équation d’une tangente, le tableau de signe d’une dérivée
Exercice 3. On donne la courbe Cfreprésentant la fonction fdéfinie et dérivable sur [−2; 4].
1. Par lecture graphique, donner la valeur de f(−1) ;f′(−1) ;f(2) ;f′(2).
2. Déterminer l’équation de la tangente Tà la courbe au point d’abscisse 2.
3. Construire le tableau de signe de f′(x).
0
1
1
Cf
T
Exercice 4. On donne la courbe Cf′représentant la fonction la dérivée de la fonction fdéfinie sur [−5; 5].
On sait que la fonction fpasse par les points M(1; −1) et N(5; −1).
1. Dresser le tableau de variations de fsur l’intervalle [−5; 5].
2. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de fau point
d’abscisse 1.
3. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de fau point
d’abscisse 5.
1 2 3 4 5-1-2-3-4-5
1
2
-1
-2
0
Cf′
Exercice 5. La courbe ci-contre représente une fonction fdéfinie et dérivable sur [0; 3].
La droite TAest la tangente à Cfau point Ad’abscisse 0.
La courbe admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point d’abscisse 1.
1. Déterminer f(0),f(1),f′(0) et f′(1).
2. On considère la fonction ginverse de f, c’est-à-dire définie sur [0; 3] par g(x) = 1
f(x).
a) Déterminer g(0),g(1) et g(3).
b) Déterminer g′(0) et g′(1).
c) Construire une allure possible de la courbe représentative de gvérifiant le a) et b).
0
1
1
Cf
A
TA
3 Déterminer algébriquement les variations d’une fonction et l’équation d’une tangente
Exercice 6. On définit sur R\{1}la fonction g:x1
x−1.
Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de gau point d’abscisse 4.
Exercice 7. Soit vla fonction définie sur Rpar : v(x) = x3+ 3 x2−24 x+ 1 et Csa représentation graphique dans un repère (O;i , j ).
1. Déterminer les points de Cpour lesquels la tangente est parallèle à la droite d’équation y=−15 x+50.
2. Déterminer une équation de la tangente ∆àCau point d’abscisse −1.
Étudier la position de Cpar rapport à ∆.
Vous pourrez utiliser l’égalité suivante : (a+b)3=a3+3 a2b+ 3 a b2+b3
Exercice 8. Soit fla fonction définie par : f(x) = 4x2−16
(x−5)2.
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f.
2. Étudier les variations de fsur R\{5}.
3. Déterminer le(s) point(s) de la courbe de fadmettant une tangente horizontale.
En déduire l’équation de la tangente en ce(s) point(s).

Exercice 9. Soit fla fonction définie par : f(x) = 4x2−1
x2+ 2 .
1. Étudier le sens de variation de la fonction f.
2. Montrer que, pour tout xréel, −1
26f(x)64.
3. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe Cfau point d’abscisse 2.
4. Préciser selon les valeurs de a, le nombre de solution(s) de l’équation f(x) = a.
Exercice 10.
Soit fla fonction définie sur R∗par f(x) = x+ 1 + 4
x2.
1. Montrer pour tout x∈R∗,f′(x) = (x−2) (x2+ 2 x+ 4)
x3.
2. Déterminer l’équation de la tangente Tà la courbe de fau point d’abscisse 1.
3. Étudier les variations de la fonction fsur R∗.
4. Déterminer le maximum de la fonction fsur l’intervalle [1; 3].
5. Étudier la position de la courbe de fpar rapport à la droite Dd’équation y=x+ 1.
6. Existe-t-il une tangente à la courbe de fparallèle à la droite d’équation y=x+ 1 ?
4 Appliquer la dérivée à l’étude d’une fonction, de ses extrema...
Exercice 11. Les mathématiques, c’est comme une boîte de chocolats...
Pour mettre tous les atouts de leur côté, un groupe d’élèves décide d’offrir une boîte de chocolats à leur professeur de mathématiques.
Après s’être un peu renseignés, ils se rendent compte qu’une boîte de 4 dm3est incontournable. Sa base, un carré de côté xet sa
hauteur hn’étant pas encore décidées.
x
x
h
Désireux de faire plaisir à leur professeur autant que de sauver la planète, ils veulent construire une boîte dont les quatre faces latérales
et le fond utilisent le moins de carton possible. Quelles sont les dimensions de la boîte de chocolats que va manger Monsieur C. ?
S’ils le souhaitent, ces élèves éco-responsable pourront montrer que : x3−8 = (x−2) (x2+ 2 x+ 4).
Exercice 12. Espace vital
Monsieur C, un professeur de mathématiques qui a peur de ses élèves, décide d’installer une clôture électrifiée autour du tableau.
Pour des raisons qui ne regardent que lui, il décide que son espace vital devra être un rectangle de 6 m2.
Tableau
Clôture
Quelles doivent être les dimensions du rectangle pour que la longueur de la clôture soit minimale ? Quelle sera alors la longueur de la
clôture ?
Exercice 13. Laide et Gaga
Une entreprise poduit des petites figurines monstrueuses et horriblement chères Laide et GagaTM pour les ados qui écoutent les radios
à la mode. Le bénéfice en dizaines d’euros, en fonction de la quantité xde figurines, est modélisé par :
B(x) = x2+300 x
x+100 pour x∈R+
1. Déterminer le tableau de variations de la fonction Bsur Rpuis sur l’intervalle [0; 100].
2. À l’aide du tableau de variation, déterminer le nombre de solutions de l’équation B(x) = 90 sur [0; 100]puis calculer une valeur
approchée de chacune de ces solutions à 10−2près.
En déduire les quantité de figurines pour lesquelles le bénéfice est supérieur ou égal à 900 €.
3. Retrouver le résultat précédent par le calcul.
1re S2 Ce que je dois savoir sur la dérivation
2

Ce que je dois savoir sur la dérivation - Correction
1 Calculer des dérivées à l’aide de la définition ou des formules
Exercice 1. Soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = x2+x. Soit hun réel non nul,
f(4 + h)−f(4)
h=(4 + h)2+ (4 + h)−(42+ 4)
h=16 + 8 h+h2+ 4 + h−16 −4 h=h2+ 9 h h=h+ 9
Comme lim
h→0h+ 9 = 9 on en déduit que fest dérivable en 4et f′(4) = 9 .
Exercice 2.
a) h(x) = (3 x2−x−5) (x5−3x+ 1).
h′(x) = (6 x−1) ×(x5−3x+ 1) + (3 x2−x−5) ×(5 x4−3)
h′(x) = 21 x6−6x5−25 x4−27 x2+12 x+14
b) g(x) = 5x4−3x
2−2 x+ 2
√x2.
g′(x) = 5
2×4x3−3 2−2×−1 x2+ 2
√×2x=10 x3−3
2+2 x2+ 2 2
√x
c) j(t) = 2 5
√−1
2 5
√+ 1 −3
x.
j′(t) = 3
x2
d) k(x) = 3x−1
x2+x+ 1 .
k′(x) = 3×(x2+x+ 1) −(3 x−1) ×(2 x+ 1)
(x2+x+ 1)2=−3x2+ 2 x+ 4
(x2+x+ 1)2
e) m(x) = −5
x3.
m′(x) = −5×−3x2
(x3)2=15
x4
f) f(x) = x2+ 5 x+ 5
x2+x+ 1
f′(x) = (2 x+ 5) ×(x2+x+ 1) −(x2+ 5 x+ 5) ×(2 x+ 1)
(x2+x+ 1)2=−4x2−8x (x2+x+ 1)2
2 Déterminer graphiquement un nombre dérivé, l’équation d’une tangente, le tableau de signe d’une dérivée
Exercice 3. On donne la courbe Cfreprésentant la fonction fdéfinie et dérivable sur [−2; 4].
1. f(−1) = 2 ;f′(−1) = 0 ;f(2) = 0 ;f′(2) = 1
2.
2. L’équation de la tangente à la courbe représentative de fau point d’abs-
cisse 2 est donc :
y=f′(2) (x−2) + f(2)
y=1
2(x−2) + 0
y=1
2x−1
3. À l’aide du tableau de variations de f, on déduit le tableau de signe de
f′(x):x−2−11,5 4
Variations de fրցր
Signe de f′(x)+ 0 −0 + 0
0
1
1
Cf
T
Exercice 4.
1. À l’aide du tableau de signe de f′(x), on déduit les variations de la fonction g:
x−5−30 2 5
Signe de f′(x)+ 0 −0+0−
Variations de fր ց ր ց
2. Par lecture graphique : f′(1) = 2
•L’équation de la tangente à la courbe représentative de fau point d’abscisse 1 est donc :
y=f′(1) x+b
y= 2 x+b
•Le point Mde coordonnées (1; −1) appartient à la courbe et à cette tangente :
−1 = 2 ×1 + b
−1−2 = b
−3 = b
et on en déduit que l’équation de la tangente est : y= 2 x−3
3. De la même manière, on montre que l’équation de la tangente à la courbe représentative de fau point d’abscisse 1 est : y=−1.

Exercice 5.
1. f(0) = 2,f(1) = 1,f′(0) = −3et f′(1) = 0.
2. On considère la fonction ginverse de f, c’est-à-dire définie sur [0; 3] par g(x) = 1
f(x).
a) g(0) = 1
f(0) =1 2,g(1) = 1 f(1) =1 1= 1 et g(3) = 1 f(3) =1 2.
b) g′(x) = −f′(x)
f(x)2donc g′(0) = −f′(0)
f(0)2=−−3 22=3 4et g′(1) = −f′(1) f(1)2=0 12= 0.
c) Allure de la courbe ci-contre :
0
1
1
Cg
3 Déterminer algébriquement les variations d’une fonction et l’équation d’une tangente
Exercice 6. g(x) = 1
x−1et g′(x) = −1 (x−1)2.
•g(4) = 1
4−1=1
3et g′(4) = −1 (4 −1)2=−1 9
•L’équation de la tangente à la courbe représentative de gau point d’abscisse 4 est donc :
y=g′(4) (x−4) + g(4)
y=−1
9(x−4) + 1
3
y=−1
9x+4 9+1 3
y=−1
9x+7 9
Exercice 7. v(x) = x3+ 3 x2−24 x+ 1 et v′(x) = 3 x2+ 6 x−24.
1. On cherche les valeurs de xtelles que :
v′(x) = −15
⇔3x2+ 6 x−24 =−15
⇔3x2+ 6 x−9 = 0
∆ = 36 −4×3×(−9) = 144 donc cette équation du second degré a pour solutions : x1=−6−12
6=−3et x2=−6 + 12
6= 1
donc la tangente est parallèle à la droite d’équation y=−15 x+50 au points d’abscisses −3et 1.
2. v(−1) = (−1)3+ 3 ×(−1)2−24 ×(−1) + 1 = 27 et v′(−1) = 3 ×(−1)2+ 6 ×(−1) −24 =−27
•L’équation de la tangente à la courbe représentative de vau point d’abscisse −1est donc :
y=v′(−1) (x−(−1)) + v(−1)
y=−27 (x+ 1) + 27
y=−27 x
•On étudie le signe de v(x)−(−27 x) = x3+ 3 x2−24 x+ 1 + 27 x=x3+ 3 x2+ 3 x+ 1 = (x+ 1)3= (x+ 1)2×(x+ 1)
x−∞ −1+∞
Signe de
(x+1)3−0+
on en déduit que v(x)>−27 xpour x∈[−1; +∞[
puis que Cest au-dessus de la droite ∆pour x∈[−1; +∞[et Cest au-dessous de la droite ∆pour x∈]−∞;−1].
Exercice 8. Soit fla fonction définie sur R\{5}par : f(x) = 4x2−16
(x−5)2
1. f′(x) = −40 x2+232 x−160
(x−5)4=−40 x−4
5(x−5)
(x−5)4...
x−∞ 4
55+∞
Signe de
f′(x)−0+−
Variations de
f
4
−16
21
+∞ +∞
4
2. La courbe de fadmet une tangente horizontale au point d’abscisse 4
5(car sa dérivée y est nulle). Ce point a pour ordonnée −16 21 .
L’équation de cette tangente est donc y=−16
21 .
1re S2 Ce que je dois savoir sur la dérivation - Correction
4

Exercice 9. Soit fla fonction définie par f(x) = 4x2−1
x2+ 2 .
1. Pour tout x∈R,f′(x) = 18 x
(x2+ 2)2
x−∞ 0+∞
Signe de
f′(x)−0+
Variations de
f
4
−1
2
4
2. En utilisant les variations de la fonction sur R, on voit que pour tout xréel, −1
26f(x).
Pour montrer que f(x)64pour tout x∈R, on cherche les valeurs de xtelles que :
f(x)−460
4x2−1
x2+ 2 −460
−9
x2+ 2 60
Cette inégalité est vérifiée pour tout x∈Rdonc pour tout x∈R,f(x)64
3. L’équation de la tangente à la courbe Cfau point d’abscisse 2 :
y=f′(2) (x−2) + f(2)
y= (x−2) + 15
6
y=x+1
2
4. Graphiquement :
•Si a∈]−∞;−1
2[∪[4; +∞[:f(x) = an’a pas de solution.
•Si a=−1
2:f(x) = aa une solution et une seule.
•Si a∈]−1
2; 4[ :f(x) = aa deux solutions.
Algébriquement :
Les équations suivantes sont équivalentes :
f(x) = a
4x2−1
x2+ 2 =a
4x2−1 = a x2+ 2 a
(4 −a)x2= 2 a+ 1
Si a= 4,f(x) = an’a pas de solution.
sinon, f(x) = aest équivalente à x2=2a+ 1
4−a
il y a alors trois cas possibles (faire le tableau de signes de 2a+ 1
4−a) :
•Si a∈]−∞;−1
2[∪]4; +∞[:2a+ 1
4−a<0donc f(x) = an’a pas de solution.
•Si a=−1
2:2a+ 1
4−a= 0 donc f(x) = aa une solution et une seule.
•Si a∈]−1
2; 4[ :2a+ 1
4−a>0donc f(x) = aa deux solutions.
Exercice 10. Soit fla fonction définie sur R∗par f(x) = x+ 1 + 4
x2.
1. Pour tout x∈R∗,
•f′(x) = 1 −4×2x
(x2)2= 1 −8
x3=x3−8 x3
•(x−2) (x2+ 2 x+ 4)
x3=x3+ 2 x2+ 4 x−2x2−4x−8 x3=x3−8 x3
On en déduit donc que, pour tout x∈R∗,f′(x) = (x−2) (x2+ 2 x+ 4)
x3
2. f(1) = 1 + 1 + 4
12= 6 et f′(1) = 13−8 13=−7
La tangente Tà la courbe de fau point d’abscisse 1 a pour équation :
y=f′(1) (x−1) + f(1)
y=−7 (x−1) + 6
y=−7x+13
1re S2 Ce que je dois savoir sur la dérivation - Correction
5