Devoir 3 du 03 decembre 2015 tvi espace repere ts

Terminale S le jeudi 03/12/2015
Devoir surveillé n°3
Durée : 4 heures
Exercice 1 : 5 points
Soit  la fonction définie sur  par  et  sa courbe représentative dans un repère.
A Etude d’une fonction auxiliaire
Soit  la fonction définie sur  par  .
1) On donne ci-dessous le tableau de variation de . Le justifier (limites, variations, extrémums locaux).
∞
∞
2) a) Montrer qu’il existe un unique réel  tel que .
b) Démontrer que  !".
c) Déterminer une valeur approchée de  à  près.
3) Etudier le signe de  sur .
B Etude de la fonction 
1) Déterminer les limites de  aux bornes de son ensemble de définition.
En déduire l’existe d’asymptotes dont on donnera une équation.
2) a) Démontrer que pour tout  , 
′
#$
.
b) En déduire le tableau de variation de 
3) Démontrer que  .
4) Etudier les positions relatives de la courbes  et de la droite d’équation %.
Exercice 2 :
L’espace est rapporté au repère orthonormal
(
)
O, i, j,k
. On considère les points :
A(4 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0),
15
C 3; 2;
4
−
et
2 2 1
E ; ;
3 3 9
−
.
1) a) Montrer que les points A, B et C déterminent bien un plan.
b) Soit
n
le vecteur de coordonnées (3 ; 6 ; 4). Montrer que
n
est un vecteur normal au plan (ABC).
c) Montrer qu’une équation du plan (ABC) est : 3x + 6y + 4z – 12 = 0.
2) a) Montrer que la droite (D) de représentation paramétrique :
x 1 t
y 2t
5 4
z t
9 3
= +
=
= +
où t
∈
ℝ
est perpendiculaire au plan (ABC) et
passe par le point E.
b) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal G du point E sur le plan (ABC).
c) En déduire la valeur de la distance
E
δ
du point E au plan (ABC).
3) a) Démontrer que le triangle &'( est rectangle en & .
b) Calculer l’aire du triangle
&'( .
4) Déterminer le volume du tétraèdre )&'( . On rappelle que le volume d’un tétraèdre est *
+#,
où + est l’aire d’une base
et - la hauteur correspondante.

Exercice 3 : 5 points
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points A(0 ; 1 ; – 1) et B(– 2 ; 2 ; – 1) ainsi que la droite (D) de
représentation paramétrique
( )
x 2 t
y 1 t t
z 1 t
= − +
= + ∈
= − −
ℝ
.
1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
2) a) Montrer que les droites (AB) et (D) ne sont pas parallèles.
b) Montrer que les droites (AB) et (D) ne sont pas sécantes.
Dans la suite, la lettre u désigne un nombre réel.
On considère le point M de la droite (D) de coordonnées (– 2 + u ; 1 + u ; – 1 – u).
3) Vérifier que le plan (P) d’équation x + y – z – 3u = 0 est orthogonal à la droite (D) et passe par M.
4) Montrer que le plan (P) et la droite (AB) sont sécants en un point N de coordonnées (– 4 + 6u ; 3 – 3u ; – 1).
5) a) Montrer que la droite (MN) est perpendiculaire à la droite (D).
b) Existe-t-il une valeur du nombre réel u pour laquelle la droite (MN) est perpendiculaire à la droite (AB) ?
6) a) Exprimer MN² en fonction de u.
b) En déduire la valeur du réel u pour laquelle la distance MN est minimale.
Exercice 4 : 5 points
Soit f la fonction définie par
(
)
3
f x x x 1
= − +
.
1) Faire une étude complète de la fonction g définie sur
ℝ
par
(
)
3
g x x x 1
= − +
.
2) Démontrer que l’équation 3
x x 1 0
− + =
admet une solution unique
α ∈
ℝ
.
3) Justifier que
0
α ≠
.
4) Justifier que la fonction f soit définie sur
[
[
;
α +∞
.
5) Avec la fonction g, montrer que
2
1
1
− −α = −
α
.
6) Montrer que pour tout x de
ℝ
,
( )
3 2
1
x x 1 x x x − + = −α +α −
α
.
7) Etudier la dérivabilité de f en
α
.
8) En déduire l’ensemble de dérivabilité de f et calculer sa fonction dérivée.

Terminale S Correction du devoir surveillé n°3 du 03/12/2015
Exercice 1 :
A Etude d’une fonction auxiliaire
1) Limites : Forme indéterminée « +inf + (-inf) » :
( )
3
2 3
3 4
g x x 1
x x
= − −
.
3
x
lim x
→−∞
= −∞
et
2 3
x
3 4
lim 1 1 0
x x
→−∞
− − = >
  donc par produit
(
)
x
lim g x
→−∞
= −∞
.
3
x
lim x
→+∞
= +∞
et
2 3
x
3 4
lim 1 1 0
x x
→+∞
− − = >
  donc par produit
(
)
x
lim g x
→+∞
= +∞
.
Variations : g est dérivable comme polynôme et pour tout x de
ℝ
,
(
)
2
g x 3x 3
′
= −
.
(
)
g x 0
′
=
ssi 2
3x 3 0
− =
ssi
(
)
2 2
3 x 1 0
− =
ssi
(
)
(
)
3 x 1 x 1 0
− + =
.
A B 0
× =
ssi A = 0 ou B = 0 donc x – 1 = 0 ou x + 1 = 0
ssi x = 1 ou x = -1. Le signe de g’(x) sera celui d’un trinôme à deux racines avec a = 3 > 0. Voici le tableau de signe de g’ avec
le tableau de variation de g :
Extrémums locaux :
( ) ( ) ( )
3
g 1 1 3 1 4 1 3 4 2
− = − − × − − = − + − = −
et
(
)
3
g 1 1 3 1 4 1 3 4 6
= − × − = − − = −
.
2) a) La fonction g est continue (car dérivable) et strictement croissante de
]
[
1;
+∞
vers
]
[
6;
− +∞
. Or
]
[
0 6;
∈ − +∞
donc selon le
corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation g(x) = 0 admet une unique solution
]
[
1;
α∈ +∞
.
Sur
]
[
;1
−∞
, le maximum de g est négatif donc la valeur 0 n’est pas atteinte. Il n’y a pas de solution pour g(x) = 0 sur
]
[
;1
−∞
.
b)
(
)
3
g 2 2 3 2 4 8 6 4 2 0
= − × − = − − = − <
et
(
)
3
g 3 3 3 3 4 27 9 4 14 0
= − × − = − − = >
.
Alors
(
)
(
)
0 g 2 ;g 3
∈ donc  !" .
c) Avec la calculatrice,
(
)
g 2,19 0,067 0
= − <
et
(
)
g 2,2 0,048 0
= >
. Cette image est plus proche de 0 donc
2,2
α
≃
à .
3) Selon le tableau de variation, si
]
]
x ;
∈ −∞ α
,
(
)
g x 0
≤
et si
[
[
x ;
∈ α +∞
,
(
)
g x 0
≥
.
B Etude de la fonction
1)
]
[
]
[
]
[
f
D ; 1 1;1 1;
= −∞ − ∪ − ∪ +∞
.
A l’infini : forme indéterminée « inf / inf » donc
( )
3
22 2
2 2
x 1 x 1
x x
f x
1 1
x 1 1
x x
+ +
= =
− −
.
x
lim x
→+∞
= +∞
; x
2
lim 1 1 0
x
→+∞
+ = >
  et 2
x
1
lim 1 1 0
x
→+∞
− = >
  . Par produit et quotient,
(
)
x
lim f x
→+∞
= +∞
.
x
lim x
→−∞
= −∞
; x
2
lim 1 1 0
x
→−∞
+ = >
  et 2
x
1
lim 1 1 0
x
→−∞
− = >
  . Par produit et quotient,
(
)
x
lim f x
→−∞
= −∞
.
Pas d’asymptote à l’infini.
x
f'(x)
x^3
-
3x
-
4
-
-
-
1
-
2
0
1
-
6
0
+
+

En – 1 :
3 2
x 1
lim x 2x 1 2 1
→−
+ = − + =
et
2
x 1
lim x 1 0
→−
− =
. On « inverse » un zéro donc la limite sera infinie. Etudions le signe.
3 2
x 1
lim x 2x 1 0
→−
+ = >
et
2
x 1
x 1
lim x 1 0
+
→−
<−
− =
donc par quotient
(
)
x 1
x 1
lim f x
→−
<−
= +∞
.
3 2
x 1
lim x 2x 1 0
→−
+ = >
et
2
x 1
x 1
lim x 1 0
−
→−
>−
− =
donc par quotient
(
)
x 1
x 1
lim f x
→−
>−
= −∞
.
La droite d’équation x = - 1 est asymptote verticale à la courbe de f.
En 1 :
3 2
x 1
limx 2x 1 2 3
→
+ = + =
et
2
x 1
limx 1 0
→
− =
. On « inverse » un zéro donc la limite sera infinie. Il faut une étude de signe et
nous réutilisons le tableau précédent :
3 2
x 1
limx 2x 3 0
→
+ = >
et
2
x 1
x 1
limx 1 0
−
→
<
− =
donc par quotient
(
)
x 1
x 1
limf x
→
<
= −∞
.
3 2
x 1
limx 2x 3 0
→
+ = >
et
2
x 1
x 1
limx 1 0
+
→
>
− =
donc par quotient
(
)
x 1
x 1
limf x
→
>
= +∞
.
La droite d’équation x = 1 est asymptote verticale à la courbe de f.
2) a) f est dérivable sur comme quotient de fonctions dérivables sur . Pour tout x de ,
( )
(
)
(
)
( )
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
2 2 3 2 3
4 2 3 4 3 4 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3x 4x x 1 2x x 2x x x 3x 4
xg x
3x 3x 4x 4x 2x 4x x 3x 4x
f x
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
+ − − + − −
− + − − − − −
′= = = = =
− − − − −
b)
(
)
f x 0
′
=
ssi
(
)
( )
2
2
xg x
0
x 1
=
−
ssi
f
x D
∈ et x = 0 ou g(x) = 0 ssi
f
x D
∈ et x = 0 ou
x
= α
.
Voici le tableau de signe de f’ puis que le tableau de variation de f :
3) On a
(
)
g 0
α =
donc 3
3 4 0
α − α − =
. On en déduit que 3
3 4
α = α+
et
2
3 4
α+
α =
α
(car
0
α ≠
. Remplaçons dans f(x) :
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
3 2
2
2
3 4 3 4 1
3 4 2 3 4 2 3 4
2 2 3
f 3 4 2
3 4 3 4 2 4 2 2 2 2
11
α+ α+ +
α+ +   α+ α+ α+
α + α α+ α
α 
α
α = = = = α+ × = = = α +
α+ α+ −α α α+ α+
α −  
−
α α
4)
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3 2 3 2
2 2 2
x 2x x 2x x x 2x 2 x 2
f x y f x x 2 x 2
x 1 x 1 x 1
+ + − + − + +
− = − + = − + = =
− − −
. Voici le tableau de signe de ce calcul :
Sur
]
[
]
[
; 2 1;1
−∞ − ∪ − , la courbe de f est en dessous de la droite et sur
]
[
]
[
2; 1 1;
− − ∪ +∞
, la courbe de f est au dessus de la
droite.
x - -2 -1 1 +
x+2 0
x^2-1 0 0
(x+2)/(x^2-1) 0
x
(
)
f x
-
-
-
1
+
-
0
0
1
-
+
α
(
)
f
α
+
+
x - -1 0 1
α
+
x 0
(
)
g x
(x^2-1)^2 0 0
(
)
f x
′
0
x - -1 1 +
x^2-1 0 0

Exercice 2 :
1) a) &'
/
/
/
/
/
0
1
2 et &(
/
/
/
/
/
0
3
4
5
6 ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles car
5
7 ) donc les
points &, ', ( ne sont pas alignés, ce qui montre qu’ils définissent un plan.
b) 8/
0
9&'
/
/
/
/
/
0
### et 8/
0
9&(
/
/
/
/
/
0
##
4
5
#.
Puisque 8/
0
est orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan &'( alors 8/
0
est normal au plan &'(.
c) Méthode 1 : une équation du plan de vecteur normal
(
)
n 3;6;4
est donnée par : 3x + 6y + 4z + d = 0.
Le plan passe par A donc
3 4 6 0 4 0 d 0
× + × + × + =
alors d = – 12. Une équation de (ABC) est : 3x + 6y + 4z – 12 = 0.
Méthode 2 : :%; &'(<&:
/
/
/
/
/
/
0
98/
0
<1
%
;291 2<%;.
2) a) La droite
=
est dirigée par le vecteur >/
0
1
?2
. Puisque 8/
0
>/
0
alors les vecteurs 8/
0
et >/
0
sont colinéaires, ce qui
montre que
=
est perpendiculaire à
&'(
, puisque 8/
0
est normal à
&'(
. Appliquons les coordonnées de E aux équations
de (D) :
@
A
B
A
C
D
D
4
E
5
D
E
F
donc
@
A
B
A
C
D
D #
D
5
G
E
4
E
H
F
Donc ) est le point de
=
de paramètre .
b) Puisque
=
est perpendiculaire à
&'(
et que ) = alors le projeté orthogonal I de ) sur
&'(
est le point
d’intersection de
=
et
&'(
.
I = donc les coordonnées de I sont de la forme GDD
4
E
5
DH où D  .
Puisque I &'( alors ses coordonnées vérifient l’équation %; .
Par suite D#DG
4
E
5
DH<
J
D
J
E
<D . En remplaçant des les équations de (D) :
@
A
B
A
C
K
5
%
K
#
;
K
4
E
5
#  F
. Donc I a pour coordonnées G
5
H .
c)
E
δ
)IL
K M
%
K
%
M
;
K
;
M
N
55
O
PJ
E
.
3) a) &'
/
/
/
/
/
0
9&(
/
/
/
/
/
0
###
4
5
. Alors
AB AC
⊥ et le triangle est rectangle en A.
b) Avec la formule de l’aire d’une triangle,
( )
1
Aire ABC AB AC
2
= × . Or
( )
22 2
AB AB 4 2 0 20 2 5
= = − + + = = et
( ) ( )
2
2 2
15 305 305
AC AC 1 2
4 16 4
= = − + − + = =
 . Donc
( )
1 305 5 61
Aire ABC 2 5
2 4 4
= × × = unités d’aire.
4) prenons comme base le triangle ABC. Alors selon les questions précédentes, la hauteur est EG. Donc
( )
1 1 5 61 2 61 5 61 305
V Aire ABC EG
3 3 4 9 3 2 9 54
×
= × × = × × = =
× ×
unités de volume.