Des électrons sans masse dans une feuille de carbone

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Desélectronssansmasse
dansune feuille de carbone
Jean-Noël Fuchs
[e-mail]
MarkOliverGoerbig
[e-mail]
LaboratoiredePhysiquedesSolides,UMR 8502,CNRS/UniversitéParis-Sud11,Orsay
Marek Potemski
[e-mail]
LaboratoiredesChampsMagnétiquesIntenses,UPR 5021,CNRS, Grenoble
Onsaitdepuispeuisolerune feuille de carbone-graphitedel’épaisseur d’unatome. Cecristalbidimensionnel
s’appelle le graphène. Ilprésentedespropriétésde transport électroniqueremarquables,quinesontni celles
d’unmétal,ni cellesd’unsemi-conducteur.Lesélectronssedéplacentdansle graphène comme s’ilsétaientsans
masse,etressemblentdoncaux neutrinosde laphysiquedeshautesénergies,àladifférenceprèsqu’ilsportent
une charge électrique. Cespropriétésétonnantesdesélectronsdugraphène ontétévérifiéesexpérimentalement
en lessoumettantàunfort champ magnétique.
esformescristallinesducarbone sontconnues
depuislongtemps.Ilenexistedeux sortes
courantes:le diamantetle graphite. Lediamantest
uncristaldecarbone oùchaqueatome est trèsfortement
lié àquatreatomesvoisins.Chaqueliaison covalentemobi-
liseunélectron paratome. Lesquatreplus prochesvoisins
de chaqueatome formentuntétraèdrerégulier.Legra-
phiteest luitrèsdifférent.Ilprésenteune structureencou-
chesouplans.Chaqueplanest constituéd’hexagonesde
carbone (similaireàune molécule de benzène) collésles
unsaux autres:chaqueatome de carbone est lié àtroisvoi-
sinsdansle plan. Cecinenécessitequetroisélectronspar
atome,etil restedoncunélectron de valenceparatome de
carbone disponible pour le transport électrique:on parle
d’électron de conduction. La structured’unplandegra-
phite,faitedecelluleshexagonales,ressemble àcelle d’un
nid d’abeille etareçule nom de graphène (voirfigure1).
Dansuncristaldegraphite,lesplansde graphène sont
poséslesunssur lesautresdansunordrerégulier.
Fullerènes,nanotubes,graphène
Aucours desvingt-cinq dernièresannées,de nouveaux
membresde lafamille descristaux de carbone sontapparus.
Ilssonttous apparentésaugraphiteetontune dimensiona-
litéréduite. Cesontd’abordlesfullerènesetlesnanotubes
de carbone. Lesfullerènes,dontle célèbreballon de football
carboné (le C60),peuventêtrevus comme desfeuillesde
graphène quiontétérouléesen boule. Pour cefaire,cer-
tainsdeshexagonesdoiventêtreremplacéspardespentago-
nes(on peut le vérifierfacilementsur unballon de football à
l’ancienne faitde pentagonesde cuirnoiretd’hexagonesde
cuirblanc). Onprésenteparfoislesfullerènescomme des
cristaux de carbone de dimensionaliténulle,carilsne sont
étendus dansaucune direction. Lesnanotubesde carbone,
apparus audébut desannées90,sonteux desfeuillesde gra-
phène enrouléesen tubesetsontlesreprésentants unidi-
mensionnelsdescristaux hexagonaux de carbone. Dans
cettefamille ducarbone hexagonalmanquaittoujours un
membreéminent:le plandegraphène isolé,lafeuille de
graphiteseule. Cecristalbidimensionnel,de l’épaisseur
L
Figure1–Legraphène est uncristalplandecarbone avecune structureennid
d’abeille,c’est-à-direfaitedecelluleshexagonales.Ilsedécomposeenun
réseaude Bravaistriangulaire(de vecteurs de baseττττ 1etττττ 2 )etunmotif àdeux
atomesde carbone inéquivalents AetB .Lenordest indiquésur lafigurede
manièreàdistinguerlesenvironnements différents desatomesAetB .Une
maille élémentaire,contenantune seule foisle motif,est représentée.

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Desélectronssansmassedansune feuille de carbone
d’unseulatome de carbone,aétéobtenuexpérimentale-
menten 2004parl’équipe d’AndréGeim àl’universitéde
Manchester.La prouessen’apastellementétédeproduire
dugraphène,quiexisteàl’étatnaturel àl’intérieur dugra-
phite,maisplutôtd’isolerune seule feuille etd’en faireun
objetde recherche manipulable etrelativementfacile àobte-
nir.Jusque-là, le graphène étaitsurtout unmodèle théori-
quesimplifié dugraphite. Dugraphène avaitbien été
fabriquédanslesannées90maissanspouvoirmesurerle
comportementde sesélectronsde conduction. Pour résu-
mer,on peut direquelegraphène n’est pasnouveau.Cequi
est nouveau,c’est de pouvoirmesurersespropriétésde
transport électriqueetcesontcespropriétésquienfontun
matériauuniqueetfascinant.
Suiteaux premièresexpériencesmettanten évidence
le transport électriqueinhabituel dugraphène en 2005,ce
domaine de recherche aexplosé. Oncomptedepuisplus
de quatrecents articlesscientifiquespubliéssur le sujet,
etde nombreusesconférencessontmaintenantdédiées
augraphène.
Graphène exfolié,graphène épitaxié
Àl’heureactuelle,il existeessentiellementdeux maniè-
resd’obtenirdugraphène. La première,inventée parGeim
etsescollaborateurs,consisteàextrairemécaniquement
une feuille (on dit«exfolier») d’uncristaldegraphite.
Pour simplifier,on peut direquecelarevientàécrireavec
uncrayon de graphitetrèspur sur unsubstratd’oxyde de
siliciumpour ydéposerparfrottementdesfeuillesde
graphite:tout comme écrireàlacraie sur untableaunoir
peut sedécrirepompeusementcomme le dépôtde traces
de calcairesur unsubstratd’ardoise. Danslapratique,on
utiliseduscotchpour pelerdesfeuillesducristaldegra-
phiteetlesdéposerensuitesur unsubstrat.Parmi tous les
petits morceaux de graphiteéparpilléssur le substrat,la
majoritéest formée de filmsmulticouchesetseuluntrès
petitnombreest duvéritable graphène,c’est-à-direune
feuille monocouche. Ilfaut ensuite–etc’est lapartie la
plus délicate–repérercesquelquesmonocouchesintéres-
santes,d’environ unmicron carré,éparpilléessur unsubs-
tratd’environ uncentimètrecarré. Cecisefaitau
microscope optiqueetnécessiteundoigtécertain etde très
bonsyeux.Une foisle graphène identifié etlocalisésur le
substrat,on peut ydéposerdescontacts métalliquesdans
le but de fairedesmesuresde transport électrique.
La deuxième façon d’obtenirdugraphène aétédéve-
loppée parClaireBerger,Waltde Heeretleurs collabora-
teurs àGeorgiaTechetàGrenoble. Elle consisteàfaire
croîtredugraphène àpartird’uncristaldecarburedesili-
cium(SiC). Ducarburedesiliciumdetrèsgrande qualité
est disponible commercialement.Onl’introduitdansun
four àtrèshautetempérature(environ 1300 °C)letemps
de réalisersadécomposition thermique:lesatomesde
siliciums’évaporentetune (oudes)couche de graphène
est ainsicréée àlasurfaceducarburedesilicium. Onpeut
ensuiteutiliserdestechniquesstandardsde lithographie
pour contacterle système etdessinerdescircuits électro-
niques.Cettetechniquedefabrication dugraphène est
sansdoutelaplus prometteuseindustriellementparlant.
Cesdeux manièresd’obtenirdugraphène conduisent
en faitàdeux matériaux similairesmaisnéanmoinsdiffé-
rents.Onparle de graphène exfolié dansle premiercaset
de graphène épitaxié (ouépitaxial) dansle deuxième. Une
différenceimportanteest quedansle casdugraphène
exfolié,lafeuille de graphène reposesur unsubstratisolant
(dudioxyde de silicium). Sous cetisolantsetrouveun
conducteur (dusiliciumdopé) quisert de grille électro-
statique:en appliquantune tension électriqueàcettegrille,
on peut changerle nombred’électronsde conduction dans
lafeuille de graphène. Ceciseproduitparuneffetde
champ électriquesimilaireàcequisepassedansun
condensateur :une desplaquesducondensateur seraitla
feuille de graphène,l’autrelesiliciumdopé,lesdeux pla-
quesétantséparéesparundiélectrique(le dioxyde de sili-
cium). Ilexisted’autresdifférencesimportantesentreles
deux typesde graphène. Parexemple,lastructurecristalline
n’est pasexactementidentique. Nous ne nous étendrons
pasicisur cesdifférencesetnous noteronssimplementque
le graphène épitaxié apparaîtcomme unsystème plus
compliquéquelegraphène exfolié.
Braverle nid d’abeille ?
Pour comprendrelemouvementdesélectronsdansle
graphène,il est importantde décortiquerlastructuredu
cristalennid d’abeille (voirfigure1). Dupointde vued’un
cristallographe,le cristalennid d’abeille n’est pasun
réseaude Bravais,c’est-à-direquetous lesatomesducris-
talnesontpaséquivalents :ilsne voientpasexactementle
même environnement.Ilyaen réalitédeux environne-
ments différents quidistinguentdeux typesd’atomesde
carbone qu’on appelle conventionnellementAetB .Les
atomesde type Aontunplus proche voisin aunord,et
deux ausud(symétriquementausud-est etausud-ouest,
cf. figure1). Enrevanche,lesatomesde type Bontdeux
plus prochesvoisinsaunord-est etaunord-ouest,etunau
sud. Lesplus prochesvoisinsd’unatome Asonttrois
atomesBetréciproquement.Sionneconsidèrequeles
atomesde type A ,ilsformentunréseaude Bravaisappelé
hexagonal. Demême,lesatomesde type Bseulsforment
aussiunréseauhexagonalmaisdécalé. C’est pourquoi on
parle de deux sous-réseaux AetB .Onrésume celapar
l’équation :«cristalennid d’abeille =réseaude Bravais
hexagonal+motif àdeux atomesde carbone ( AetB )».On
pourraitcroirequ’il s’agitlàde pédanterie excessiveetsans
intérêtmaisil n’en est rien. Eneffet,lapropagation des
ondes(quecesoitdesondeslumineuses,acoustiques,
électroniques,neutroniques,etc.) dansunmilieupério-
dique,comme uncristal,est gouvernée parle célèbre
théorème de Bloch(voirencadré1). Orcethéorème s’appli-
queuniquementaux réseaux de Bravais.Ilest doncessen-
tiel de décrirelegraphène comme unréseaude Bravais
hexagonalavecunmotif àdeux atomes.Lethéorème de

Desélectronssansmassedansune feuille de carbone
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Blochpermetde comprendrelemouvementdesondes
électroniquessur chacundesdeux sous-réseaux séparé-
mentmaisn’éclaireenrien sur laphaserelativedel’onde
sur lesdeux atomesdumotif 1.Ainsilafonction d’onde de
BlochΦd’unélectron doitavoirune composantesur cha-
quesous-réseaueton peut doncl’écriresous laforme
Φ=(Φ A ,Φ
B ) .
Mauvaismétaletmauvaisisolant
Nous sommesmaintenantéquipéspour discuterdu
mouvementdesélectronsde conduction dansle graphène.
La structuredebande dugraphène –c’est-à-direlarelation
entrel’énergie εetle vecteur d’onde de Blochk=( k x ,k y )
(voirencadré1)–enfaitsaparticularité. Elle aétéobtenue
parWallaceen1947dansunmodèle ditde liaisonsfortes
oùlesélectronspeuventsauterd’unatome àsestroisplus
prochesvoisinsavecune énergie cinétiquetypiquetd’envi-
ron 3électron-volts.La structuredebande calculée parWal-
laceest représentée danslafigure2 .Onvoitqu’il existeune
bande de valenceàénergie négative(–3 t≤ε≤ 0),etune
bande de conduction àénergie positive(0≤ε≤3 t ). Dansle
contextedelathéorie desbandes(voirencadré1),le gra-
phène apparaîtcomme uncaspathologiquepuisqueses
bandesde valenceetde conduction,quidevraientêtresépa-
réesparune bande interditecomme dansunsemiconduc-
teur,setouchenten deux points appelésKetK ′ ,aubordde
lapremièrezone de Brillouin. Autrementdit,le gapentre
bande de valenceetbande de conduction est nul. Deplus,
on avu qu’il yaautantd’électronsqued’atomesde carbone
danslafeuille de graphène. Ceciimpliquequelabande de
valenceest pleine etlabande de conduction est vide :autre-
mentdit,le niveaude Fermi tombejusteaux points de con-
tactentrecesdeux bandes,àénergie nulle. Legraphène est
doncunsemiconducteur maisàgapnul. Onpeut aussi
bien le décrirecomme unmétal–enconsidérant,quepuis-
quelesbandesde valenceetde conduction setouchent,
ellesformentune seule grande bande –maisdontladen-
Théorie desbandes
Encadré 1
Dansle vide,unélectron sedéplaceenligne droiteeten res-
pectantlarelation de dispersion –c’est-à-direlelien entreéner-
gie εetquantitédemouvementp–bien connueε=p 2 / 2m ,qui
traduitlaconservation de l’énergie cinétique. Dansuncristal,
laprésenced’unréseauatomiquemodifie fortementladyna-
miquedel’électron. Blochamontréen1928quelamécanique
quantiqueluipermettaitnéanmoinsde sedéplaceren ligne
droitemême dansunréseaucristallin,maisuniquementpour
certainesbandesd’énergie permisesetavecune relation de
dispersion modifiée. Cesbandesd’énergie permisessont
séparéespardesbandesd’énergie interditesappeléesgaps.
Ausein d’une bande d’énergie permise,larelation de disper-
sion de l’électron est modifiée parrapport àlarelation dansle
vide. Lethéorème de Blochstipule quelesétats stationnaires
de l’électron sontdesondesplanesde vecteur d’onde (de
Bloch) kmultipliéesparune fonction quialapériodicitédu
réseaude Bravais.Pour lamajoritédescristaux,en bordde
bande permise,larelation de dispersion restequadratique
ε∝k 2etlamassedesélectronsmest remplacée parune
masseeffectivem *quidépend despropriétésduréseaucris-
tallin (etn’est plus nécessairementpositive) telle que
.Ondécritalors le mouvementde l’électron
parune équation de Schrödingereffectiveavecle hamiltonien
H=p 2/ 2 m *oùest l’opérateur impulsion .
Dansuncristal,il yaen réalitédenombreux électronsqui
sedéplacentsimultanément.Comme ilssontindiscernables
etquecesontdesfermions,ilssontcontraints de respecterle
principe de Pauli,c’est-à-dired’occuperdesétats quantiques
différents.Pour minimiserl’énergie ducristal,lesélectrons
remplissentlesétats de plus basseénergie en sesoumettantà
l’interdiction de Pauli. Lesderniers états occupéspardesélec-
trons(ceux de plus hauteénergie) correspondentàcequ’on
appelle le niveaude Fermi etl’énergie de cesétats est appelée
énergie de Fermi. Cetteénergie de Fermi n’est rien d’autre
quelepotentiel chimiquedufluide d’électrons,c’est-à-dire
l’énergie quecoûteraitl’ajout d’unélectron supplémentaireau
système. Elle séparelesétats de basseénergie occupéspardes
électrons,desétats videsde hauteénergie. Sileniveaude
Fermi tombedansune bande permise,on ditquelesystème
est unconducteur ouunmétaletcettebande est appelée
bande de conduction (BC)(voirfigure1a ). Lespropriétésdu
métalsontcontrôléesparle nombred’états accessiblesaux
électronsauvoisinage duniveaude Fermi,appelé ladensité
d’états dumétal. Aucontraire,sileniveaude Fermi tombe
dansungapentredeux bandespermises(laplus basseen
énergie prend le nom de bande de valence(BV)etlaplus
hauteceluidebande de conduction (BC)),on ditquelecristal
est soitunisolant–silegapest plus grand quetypiquement
unélectron-volt–soitunsemiconducteur –silegapest plus
petit(voirfigure1b ). Lespropriétésd’unisolant/semiconduc-
teur dépendentde lataille dugap. Demanièregénérale,les
électronsconcernésparle transport dansunmétaloudansun
semi-conducteur sontauvoisinage duniveaude Fermi etc’est
donclàqu’il est importantde connaîtrelastructuredebande.
ε >(()/*k22 m
pk>(
– i (∇∇
Figure1–a)Métal. b)Isolantousemi-conducteur.
1. Àcausedelasymétrie d’inversion ducristalennid d’abeille –
symétrie quiéchange lesdeux sous-réseaux A↔ B–l’amplitude de la
fonction d’onde est lamême sur lesdeux sous-réseaux.Maislaphase
est différente.

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Desélectronssansmassedansune feuille de carbone
sitéd’états auniveaude Fermi est nulle 2.C’est doncàla
foisuntrèsmauvaisisolant–carde gapnul–etuntrès
mauvaismétal–carde densitéd’états nulle !Maiscen’est
pastout.Auvoisinage dupointK(oudupointK ′ ),au
niveaude Fermi,larelation de dispersion n’est pasquadra-
tiquemaislinéaireε∝ p ,oùlaquantitédemouvementpest
mesurée àpartirdupointK:elle ressemble doncàcelle de
particulesrelativistescomme lesphotonsoulesneutrinos.
C’est pourquoi on parle d’électrons«relativistes»dansle
graphène. Enréalité,larelation de dispersion s’écriteffecti-
vementsous une forme relativiste
maisavecune masse
effectivenulle m *= 0etune vitessereliée au
pasduréseaua=2.46Åetàl’intégrale de saut t≈3eV.
Cettevitessec *n’est paslavitessedelalumière
c≈300 000 km/s maisune «vitessedelalumière
effective» c *ouvitessedeFermi. Lesélectronsne sont
doncpasvraimentrelativistesausensoùleur vitesse
c *≈1000 km/s est 300 foisplus petitequecelle de la
lumière. La présenced’unsigne ±danslarelation de dis-
persion aune signification trèsimportante. Comme les
bandesde valenceetde conduction setouchentàénergie
nulle,lesélectronsauvoisinage appartiennentsimultané-
mentaux deux bandes!Pour décrireleur mouvementil
faut doncconsidérerlesdeux bandessimultanément.C’est
cequiconduitàladescription en termesde fonction d’onde
de Blochàdeux composantesΦ=(Φ A ,Φ
B ) .
Électronsde Dirac sansmasse
Pour résumer,lastructuredebande dugraphène est
trèsparticulièreetc’est cequifaitlamagie de ce
matériau:(i) lesbandesde valenceetde conduction se
touchentàénergie nulle en deux points (vallées)KetK ′
oùaffleureleniveaude Fermi :le graphène est unsemi-
conducteur àgapnuletàdeux vallées;(ii) auvoisinage du
niveaude Fermi,larelation de dispersion est linéaireet
ressemble àundiabolo (voirfigure2 ):c’est cequipermet
de direquelesélectronssont«relativistes»avecune
masseeffectivenulle etune vitessedelalumièreeffective
c *≈c / 300 ;(iii) auvoisinage duniveaude Fermi,il yaune
symétrie entrebande de conduction etbande de valence,
c’est une symétrie électron-trousimilaireàlaconjugaison
de charge de lathéorie quantiquedeschamps.Toutesces
particularitésfontqueladescription effectivedesélec-
tronsde conduction auvoisinage duniveaude Fermi ne
sebasepassur une équation de Schrödinger(comme
c’est généralementle casdanslesmétaux oulessemi-
conducteurs),maissur une équation de Dirac.Plus préci-
sément,il s’agitd’une équation de Dirac pour des
particulessansmasseetsedéplaçantdansunespace
bidimensionnel3.Lehamiltonien de Dirac s’écrit
H=c * p⋅σσσσ +m * c*2 σ zoùσσσσ =( σ x ,σ y )etσ zsontlesmatricesde
Pauli quiagissentdansl’espacedesous-réseau( A ,B )etla
masseeffectivem *est nulle. La structurematricielle 2×2
de cehamiltonien traduitl’existencededeux sous-réseaux
AetB ,ouencorecelle d’une symétrie entrebande de con-
duction etbande de valence. Ainsi,unélectron auvoisinage
duniveaude Fermi appartientsimultanémentaux deux
bandes.Lehamiltonien de Dirac agitdoncsur desfonc-
tionsd’ondesàdeux composantesΦ=(Φ A ,Φ
B ) .
Conduction sansporteurs ?
Cecomportementexotiquedesélectronsdugraphène
avaitétépréditdèslesannées50maiscen’est qu’en 2005
quelespremièresmesuresde transport électriqueontété
réaliséesdansl’équipe d’AndréGeim etsimultanémentà
ColumbiaUniversity dansle groupe de Philip Kim. Une des
premièresexpériencesconsistaitàmesurerlaconductivité
d’une feuille de graphène exfolié en fonction de latension
de grille appliquée. Comme nous l’avonsvu,latension de
grille permetde contrôlerle remplissage en électronsdu
graphène,c’est-à-diredefairevarierle nombredeporteurs
de charge mobiles.La théorie classiquedutransport électri-
que,àlaDrude-Boltzmann,stipule quelaconductivitédoit
êtreproportionnelle aunombredeporteurs de charge mobi-
les.Cecisemble êtredepur bon sens:pasde porteurs,pas
de conduction ;plus de porteurs,meilleureconduction. En
appliquantune tension de grille finie –etquel quesoitson
signe –onajoutedesporteurs de charge mobilesàlafeuille
de graphène –quecesoientdesélectronsdanslabande de
conduction oudestrous danslabande de valence–etla
2.Eneffet,la«surface»de Fermi est réduiteaux deux points KetK′
alors quepour unmétalbidimensionnel usuel il s’agitd’une ligne.
Ceciimpliquequ’aulieud’êtrefinie,ladensitéd’états (auniveaude
Fermi) est nulle.
ε =±+ =± pcmccp
22 24
****
cta *=32/(
Figure2–Structuredebande dugraphène obtenuedansle modèle de liaisons
fortesde Wallace. L’énergie εest représentée en fonction desvecteurs d’onde k x
etk y .La bande de conduction (BC, àénergie positive) etlabande de valence
(BV, àénergie négative) setouchentàénergie nulle en deux points inéquivalents
KetK ′auborddelapremièrezone de Brillouin hexagonale. Auvoisinage du
niveaude Fermi,larelation de dispersion aune forme de diabolo :ε=±c * p ,où
pest laquantitédemouvementmesurée depuisle pointK .
3.Àne pasconfondreavecl’équation originale proposée parDirac en 1928.
Cettedernièreest l’équation àlabasedel’électrodynamiquequantique.
Elle décritdesélectronsmassifsdansl’espacetridimensionnel ordinaire
(vide) etnécessitel’utilisation de matrices4×4.

Desélectronssansmassedansune feuille de carbone
54
conductivitédevraitdoncaugmenteraveclavaleur absolue
de latension de grille. C’est bien cequiest observé. Par
contreàtension de grille nulle,le niveaude Fermi (voir
encadré1)est justeaux points de contactentrebandesde
valenceetde conduction,précisémentlàoùladensité
d’états s’annule etoùil n’y adoncpasde porteurs de
charge mobiles:laconductivitédevraitdoncêtrenulle. La
surpriseest qu’expérimentalementlaconductiviténedes-
cend jamaissous une valeur minimale de l’ordreduquan-
tumdeconductancee 2/ h≈1/(26 kΩ ). Malgrédetrès
nombreux travaux théoriques,il n’existetoujours pas
d’explication convaincanteduminimumdeconductivité
dugraphène àl’heureactuelle. Maisil en existeungrand
nombrequinelesontpas!
Niveaux de Landaurelativistes
Unmoyen pratiquedesondercespropriétésde trans-
port étrangesest d’appliquerunchamp magnétiqueBper-
pendiculaireauplandelafeuille de graphène. Comme un
électron auvoisinage duniveaude Fermi vérifie une rela-
tion de dispersion inhabituelle ε=±c * p ,le mouvement
cyclotron de l’électron dansle champ magnétiquen’est pas
standard(voirencadré2 ). Eneffet,lesorbitescyclotron sont
parcouruesàlapulsation4ω c= eBc* 2/εetontunrayon
r c= |ε|/ eBc*.Sionimposemaintenantlaquantification du
flux magnétique,on trouvequel’énergie est
quantifiée selon oùnest unentierrela-
tif dontle signe est ±.Onvoitquelesniveaux de Landauont
une dépendanceenchamp magnétiqueeten indiceninha-
bituelle (voirencadré2 ). Enparticulier,ilsne sontplus équi-
distants.La dépendancedesniveaux de Landauen fonction
duchamp magnétiqueest représentée
danslafigure3 .Quand on comparecettedépendanceàcelle
desniveaux de Landauusuels(voirencadré
2 ),on remarque,maissansl’expliquerici,l’absencedu1 / 2à
côtédel’indicen .Ceciaune conséquencetrèsimportante:
il existedansle graphène unniveaude Landauàénergie
nulle ε n=0=0.Entermesclassiques,il s’agitd’une orbite
cyclotron de rayon nul!
Spectroscopie desniveaux de Landau
Lecomportementinhabituel desniveaux de Landaudu
graphène aétémisen évidenceen2006 dansune expé-
riencedespectroscopie menée parSadowski etsescollabo-
rateurs àGrenoble. Ilsontétudié deséchantillonsde
graphène épitaxié préparésàGeorgiaTech,Atlanta.Leur
expérienceaconsistéàmesurerdesspectresde transmis-
sion de lumièreinfrarouge,c’est-à-direàmesurer
«l’efficacité» de latransmission de lalumièreàtravers
l’échantillon de graphène,en fonction de safréquence
(c’est-à-diredel’énergie d’unphoton). Detelsspectresont
étémesuréssur deséchantillonsmaintenus àbassetem-
pérature(4 , 2Kelvins)etplacésàl’intérieur d’unaimant,
de manièreàappliquerunchamp magnétiqueBd’inten-
sitéréglable. Àcausedelastructurequelesniveaux
d’énergie électroniquesacquièrentlorsquelegraphène est
soumisàunchamp magnétique(voirfigure3ainsique
l’encart danslafigure4),on s’attend àcequedesphotons
d’une énergie de l’ordredelaséparation entrelesniveaux
de Landaupuissentêtreefficacementabsor-
bés.Onparle de transitionsoptiquesentreniveaux de Lan-
dau,ouencored’excitationsoptiquesdesélectronsdu
niveaude LandauL nauniveauL n ′ .Touteslestransitions
de L nvers L n ′ne sontpaspossibles.Pour êtrepermise,une
transition doitvérifiercertainesrègles.Premièrement,la
transition n’est possible ques’il yadesélectronssur le
«niveaude départ »L netquesimultanément(àcausedu
principe de Pauli),desétats électroniquesvidesexistentau
«niveaud’arrivée »L n ′ .Deuxièmement,seuleslestransi-
tionsquivérifientlacondition | n ′ |=| n |±1(appelée règle
de sélection),sontautorisées.Cedeuxième critère,moins
intuitif quelepremier,provientde laconservation de
l’impulsion totale lorsqu’unphoton est absorbé.
Quelquestransitionsoptiquespermisesentreniveaux
de Landaudugraphène sontreprésentéespardesflèches
dansl’encart de lafigure4.Silesétats àénergie positiveetà
énergie négativesontparfaitementsymétriques,c’est-à-dire
siilyaune symétrie électron-trouparfaite,lestransitions
L 0→ L 1etL–1 →L 0ontlamême énergie. Eneffet,on avu
quel’énergie desniveaux de Landauest
.La transition optiqueL 0→ L 1sefait
4. Lorsqu’on comparecetteexpression àcelle de lapulsation cyclotron
usuelle ωc= eB/m(voirencadré2),on voitqueε /c*2jouelerôle d’une
masseeffectivecyclotron aufort parfumderelativitérestreinte!On
voitaussiquecettemasseeffectivecyclotron est nulle quand le niveau
de Fermi est àénergie nulle ε=0,cequicorrespond aucasoùon n’a
pasapppliquédetension de grille.
Brnh e
c
×= π
2/
ε
nceBn=±*2(
ε
ncnB∝± *
ε
nnB∝+(/)12
Figure3–Niveaux de Landauε ndugraphène en fonction duchamp magnéti-
queBetde l’indicen .
∼( ceB *
ε
nceBn=±*2(