Isolants topologiques

Le matière topologique – une introduction
Mark O. Goerbig
LPS, Orsay, 03/03/2011
Introduction historique
Quelle est le point commun entre
• le graphène,
• l’effet Hall quantique
• et les isolants topologiques ?
... et qu’est-ce-que c’est ?
Les années 1920 : la théorie des bandes
• traitement quantique des électrons (sans interaction) sur un
réseau périodique
• bandes = énergie des électrons en fonction d’une
quasi-impulsion
Les électrons dans un cristal et le théorème de Bloch
• translations discrètes T = exp(ip̂ · Rj )
représentent une symétrie dans un réseau
de Bravais (décrit par les vecteurs de
réseau Rj )
• l’opérateur p̂ (générateur des
translations discretes) joue le rôle
d’une impulsion (quasi-impulsion
ou impulsion de réseau)
Rj
Les électrons dans un cristal et le théorème de Bloch
• translations discrètes T = exp(ip̂ · Rj )
représentent une symétrie dans un réseau
de Bravais (décrit par les vecteurs de
réseau Rj )
• les valeurs propres de p̂ sont de
bons nombres quantiques :
bandes d’énergie ǫl (p)
• fonctions de Bloch :
ψ(r) =
X
p
eip·r/~up (r)
Réseaux de Bravais et réseaux quelconques
M. C. Escher (décomposé)
réseau quelconque
=
réseau de Bravais
+
motif (à N “atomes”)
réseau triangulaire + motif compliqué
Il y a autant de bandes électroniques que d’atomes par maille
Structures de bande et propriétés de conduction
énergie
énergie
niveau
de Fermi
métal (2D)
densité
impulsion
métal d’électrons
niveau
de Fermi
d’états
métal de trous
niveau
isolant (2D)
de Fermi
I
semi−métal (2D)
gap
II
niveau
de Fermi
I
II
Les années 1950-70 : théorie à N corps
• système décrit par un paramètre d’ordre
†
†
i (supraconductivité)
ψk,↓
(a) ∆k = hψ−k,↑
µ
(b) M µ (r) = hψσ† (r)τσ,σ
′ ψσ ′ (r)i (ferromagnétisme)
• Théorie de Ginzburg-Landau des transitions de deuxième
ordre (1957)
∆=0
(désordonnée)
↔
∆ 6= 0
(ordonnée)
• brisure de symétrie
(a) symétrie (de jauge) U(1) brisée
(b) symétrie (de rotation) O(3) brisée
• émergence de modes (collectifs) de Goldstone
(a) mode superfluide, avec ω ∝ |k|
(b) ondes de spin, avec ω ∝ |k|2
Les révolutions des années 1980
3 découvertes essentielles :
• l’effet Hall quantique entier (1980, v. Klitzing, Dorda, Pepper)
• l’effet Hall quantique fractionnaire (1982, Tsui, Störmer,
Gossard)
• la supraconductivité à haute température critique (1986,
Bednorz, Müller)
L’effet Hall quantique entier (I)
3.0
2.0
Ix
Vy
2.5
Vx
1.5
ρxx (kΩ)
2
ρxy (h/e )
2.0
6 54 3
1.5
1
2
1.0
2/3
3/ 4
3/ 2
1/ 2
3/5
3/7
5/9
1.0
5/11
6/11
4/3
5/3
8/5
7/5
0.5
2/5
4/9
4/7
6/13
0.5
5/7
0.0
8/15
4/5
0
0
4
8
Magnetic Field B (T)
7/13
7/15
12
16
Magnetic Field B[T]
[mesure par J. Smet et al., MPI-Stuttgart]
EHQ = plateau dans rés. de Hall & annulation de rés. long.
L’effet Hall quantique entier (II)
Résistance de Hall quantifiée à basse température
h1
RH = 2
e n
h/e2 : constante universelle
n : nombre quantique (invariant topologique)
• résultat indépendant des détails géométriques et
microscopiques
• très grande précision de la quantification (> 109 )
⇒ étalon pour la résistance : RK−90 = 25 812, 807 Ω
L’effet Hall quantique fractionnaire
un niveau de Landau partiellement rempli → interactions
coulombiennes pertinentes
1983 : fonction d’onde de Laughlin à N particules
• pas de paramètre d’ordre (local) associé à une brisure de
symétrie
• pas de mode de Goldstone
• quasi-particules avec des charges et une statistique
fractionnaires
années 1990 : description en termes de théorie des champs
topologique (Chern-Simons)
Les années 2000
• simulation des modèles de la matière condensée par des
réseaux optiques (atomes froids)
• 2004 : physique du graphène (graphite 2D)
• 2005-07 : isolants topologiques
Le graphène – premier cristal 2D
• réseau en nid d’abeille =
deux réseaux triangulaires
B
e2
B
A
e1
e3
B
structure de bandes
Structures de bande et propriétés de conduction (bis)
énergie
énergie
niveau
de Fermi
métal (2D)
densité
niveau
de Fermi
impulsion
métal d’électrons
d’états
métal de trous
niveau
isolant (2D)
gap
de Fermi
I
II
niveau
semi−métal (2D)
de Fermi
graphène (non dopé)
niveau
de Fermi
I
II
Isolants topologiques
forme générique d’un hamiltonien à deux bandes :
X
H = ǫ0 (q)1 +
ǫj (q)σ j
j=x,y,z
• Haldane (1988) : effet Hall quantique anomal
• Kane et Mele (2005) : graphène avec couplage spin-orbite
• Bernevig, Hughes, Zhang (2006) : prédiction d’un EHSQ
dans HgTe/CdTe
• König et al. (2007) : vérification expérimental
⇒ isolants topologiques 3D (à base de bismuth) : états de
surface ∼ électrons ultra-relativistes sans masse
Structure du cours
• électrons du graphène
• effets Hall quantiques : entier (non-relativiste et relativiste)
et fractionnaire (?)
• invariants topologiques
• isolants topologiques : l’effet Hall de spin quantique, de 2D
à 3D
Prix Nobel de Physique 2010 : Graphène
Kostya Novoselov
Andre Geim
"for groundbreaking experiments regarding the two-dimensional
material graphene"
Qu’est-ce que le graphène ?
graphène =
cristal de carbone 2D
(nid d’abeille)
Hybridation sp 2
2s
2px
2py
2pz
sp
120o
sp
sp
2p z
Le graphène et sa famille (allotropique)
2D
3D
1D
0D
Du graphite au graphène
liaisons covalentes (fortes)
dans les plans
liaisons de van der Waals
(faibles) entre les plans
Petite histoire des matériaux graphitiques
• 1565 (?) : Découverte d’une mine de graphite, Barrowdale
(Angleterre)
• ∼1750-80 : Découverte que le graphite est composé de
carbone (Scheele); première fabrication de crayons
• 1789 : Première occurrence du nom “graphite” (Werner)
• 1985 : Synthèse de fullerènes 0D (Curl, Kroto, Smalley; prix
Nobel 1996)
• 1991 : Nanotubes de carbones 1D en physique (Iijima)
• 2004 : Isolation du graphène 2D (Geim; de Heer)
• 2005 : Découverte des propriétés relativistes des électrons
dans le graphène (Geim; Kim)
• 2009 : Fabrication du graphène à grande échelle (CVD)
Petite parenthèse
Un carbone bling−bling : le diamant
cristal 3D
hybridation sp 3
Comment faire du graphène : recette de cuisine (1)
mettre une pastille de graphite sur du scotch
Comment faire du graphène : recette de cuisine (2)
: replier le scotch sur la pastille et le défaire :
~10
Comment faire du graphène : recette de cuisine (3)
coller le scotch (sale) sur un substrat (SiO2 )
Comment faire du graphène : recette de cuisine (4)
enlever doucement le scotch du substrat
Comment faire du graphène : recette de cuisine (5)
marques pour
se répérer
graphène ?
graphite épais
graphite moins
épais
mettre le substrat sous en microscope optique
Comment faire du graphène : recette de cuisine (6)
agrandir la région où il peut y avoir du graphène
Mesure électronique du graphène
SiO 2
Si dopé
Vg
Novoselov et al., Science 306,
p. 666 (2004)
Modèle de liaisons fortes (I)
– Fonction d’onde de Bloch :
X
(j)
eik·Rl φ(j) (r + δj − Rl )
ψk (r) =
δi
Rl
δj
– Fon d’onde pour n atomes/maille :
ψk (r) =
n
X
(j)
(j)
Rl
ak ψk (r)
j=1
– Matrice hamiltonienne, matrice de recouvrement :
Hkij
=
(j)
(i)∗
ψk Hψk ,
δ ij
Skij
=
(i)∗ (j)
ψk ψk
– Equation séculaire :
ij
λ ij
det Hk − ǫk Sk = 0
Modèle de liaisons fortes (II)
– Matrice de saut (hamiltonienne) :
Z
X
ik·Rl
2
(i)∗
(j)
=
e
tij
d
rφ
(r)∆Hφ
(r+δij −Rl )
k
δi
Rl
∆H : potentiel ionique au-delà de
l’atome
– Matrice de recouvrement :
Z
X
ik·Rl
2
(i)∗
(j)
=
sij
e
d
rφ
(r)φ
(r+δij −Rl )
k
δj
Rl
Rl
ǫ(i) : énergie atomique (énergie sur site du sous-réseau i)
– Equation séculaire : ij ij
λ
(i)
det tk − ǫk − ǫ sk = 0
δ ij
Relation de dispersion du graphène
• Relation de dispersion en fonction de kx et ky
Relation de dispersion du graphène (bis)
(b)
4
4
Energy [in units of t]
(a)
Energy
π∗
K
K’
π
K’
K
K
K
K’
-2
−2
33
π∗
22
11
-1
−1
wave vector
Γ
-1
−1
11
22
M
33
π
−2
-2
ky
kx
• Relation de dispersion avec saut deuxième plus proche
voisin tnnn /t = 0.1
K
Contours d’énergie constante
ky
(a)
(b)
3
2eV
0.4
1.5eV
qy
2
1eV
0.2
1
Γ
K’
-3
-2
-1
K’
K
1
kx
2
3
-0.4
-0.2
0.2
qx
-1
0.4
-0.2
-2
-0.4
-3
• Contours de la relation de dispersion du modèle de liaisons
fortes
• “Plissage triangulaire” (trigonal warping) à plus haute
énergie
Mesures d’ARPES (I)
Mesures d’ARPES (II)
(a) Dispersion d’énergie
(b) Première zone de Brillouin
(c) Contour d’énergie au niveau de Fermi (∼ 0.45 eV)
(d) “Plissage triangulaire” à ǫ ∼ −1.0 eV
Symétries et structure de bandes
• symétrie ponctuelle
→ forme précise de la structure de bandes
(rotations/miroire/... : théorie des groupes discrets)
• brisure de la symétrie d’inversion du réseau (échange des
sous-réseaux)
→ deux bandes séparées (sans points de contact)
• symétrie de renversement du temps
–
–
∗
Hk = H−k
et ǫλ,k = ǫλ,−k
dégénérescence de Kramers si T 2 = −1 (pour un
nombre impair de spin 1/2 par atome)
Séparation des bandes sans brisure de symétrie
B
t
t
A
B
t’
K’
K
B
saut anisotrope :
tγk → γk′
avec
γk′ = t′ + t(eik·a2 + eik·a2 )
t′ = t
Séparation des bandes sans brisure de symétrie
B
t
t
A
B
t’
K’
B
K
M
saut anisotrope :
tγk → γk′
avec
γk′ = t′ + t(eik·a2 + eik·a2 )
t′ = 1.5t
Séparation des bandes sans brisure de symétrie
B
t
t
A
B
t’
K’
B
K
M
saut anisotrope :
tγk → γk′
avec
γk′ = t′ + t(eik·a2 + eik·a2 )
t′ = 2t
Séparation des bandes sans brisure de symétrie
B
t
t
A
B
t’
K’
B
K
M
saut anisotrope :
tγk → γk′
avec
γk′ = t′ + t(eik·a2 + eik·a2 )
t′ = 2.5t
Transport diffusif (incohérent) dans le graphène
relation d’Einstein donne :
e2 τ
σ≃g
max(kB T, |ǫF |)
h~
temps de diffusion (règle d’or de Fermi) :
2π
2π X
1
′ 2
|hk|V |k i| δ(ǫk − ǫk′ ) ∼
=
nimp [ṽ(kF )]2 ρ(ǫF )
τk
~ k′
~
• diffuseurs de courte portée : τ ∝ 1/ǫF
• diffuseurs coulombiens écrantés : τ ∝ ǫF
• diffuseurs résonants (courte portée) : τ ∝ ǫF ln2 (ǫF )
Effet Hall classique (1879)
C2
I
C1
_
B
+ + +
+
+
gaz d’électrons 2D
_ _ _ _ _
résistance de Hall
RH
C3
+
C4
C6
C5
résistance
résistance
longitudinale de Hall
système à effet Hall quantique :
électrons 2D dans un champ B
champ magnétique B
résistance de Hall :
RH = B/enel
modèle de Drude (équation classique stationnaire) :
p
p
dp
= −e E +
×B − = 0
dt
m
τ
Effet Shubnikov-de Haas (1930)
(b)
En+1 −En
densité d’états
résistance longitudinale
résistance de Hall
(a)
Bc
EF
champ magnétique B
oscillations dans la résistance longitudinale
→ relations d’Einstein
→ quantification de Landau (en niveaux ǫn )
X
σ0 ∝ ρ(ǫF ) ∝
f (ǫF − ǫn )
n
énergie
Effet Hall quantique (EHQ)
3.0
2.0
Ix
Vy
2.5
Vx
1.5
ρxx (kΩ)
2
ρxy (h/e )
2.0
6 54 3
1.5
1
2
1.0
2/3
3/ 2
3/ 4
1/ 2
3/5
3/7
5/9
4/3
5/3
8/5
7/5
0.5
2/5
4/9
4/7
1.0
5/11
6/11
6/13
0.5
5/7
0.0
8/15
4/5
0
0
4
8
Magnetic Field B (T)
7/13
7/15
12
16
Magnetic Field B[T]
EHQ = plateau dans RH & RL = 0
1980 : Effet Hall quantique entier (EHQE)
1982 : Effet Hall quantique fractionnaire (EHQF)
Transistor à effet de champ (MOSFET)
(a)
métal
oxyde
(isolant)
semiconducteur
I
bande de
conduction
niveaux
d’accepteurs
EF
z
métal
oxyde
semiconducteur
V
G
bande de
valence
II
z
(b)
E1
E0
(c)
métal
oxyde
(isolant)
E
semiconducteur
métal
oxyde
(isolant)
bande de
conduction
EF
VG
niveaux
d’accepteurs
z
électrons 2D
bande de
conduction
niveaux
d’accepteurs
EF
VG
bande de
valence
bande de
valence
z
z
matériaux à base de silicium (interfaces Si/SiO2 )
Heterostructure GaAs/AlGaAs
(a)
AlGaAs
(b)
GaAs
AlGaAs
GaAs
EF
EF
dopants
(récepteurs)
dopants
(récepteurs)
électrons 2D
z
rugosité de surface réduite (comparée à Si/SiO2 )
⇒ meilleure mobilité (EHQF)
µ ∼ 107 cm2 /Vs
z
Graphène
graphène (métal 2D)
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000000000000000000000000000000
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000000000000000000000000000000
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000000000000000000000000000000
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000000000000000000000000000000
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000000000000000000000000000000
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000000000000000000000000000000
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000000000000000000000000000000
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000000000000000000000000000000
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000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
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000000000000000000000000000000
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111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
300 nm
SiO2
(isolant)
Vg
silicium dopé (métal)
Changement de la densité des porteurs par l’application d’une
tension de grille Vg
Spectroscopie par transmission infra-rouge
10
20
30
40
50
60
70
80
90
(C)
(D)
(B)
E
L3
L2
L1
0.98
A
E1 c~ 2e B
B
L0
(A)
0.96
0.4 T
1.9 K
10
20
30
40
L
1
L
2
L
3
50
B
E1
E1
D
60
C
70
Relative transmission
relative
transmission
Relative transmission
relative transmission
1.00
1.00
0.2T
transition C
0.3T
0.99
règles
de
sélection :
0.5T
80
0.7T
Energy [meV]
Transition energy (meV)
Transmission energy [meV]
Energy (meV)
80
70
L
L
3
2
L
L
2
3
D)
( D)
1.00
(
L
L
1
2
L
L
0.98
C)
C)
2
(
1
(
60
L
0
L
50
1
L
B)
1
(
0
(
L
B)
λ, n → λ′ , n±1
0.96
0.94
40
0.92
30
0.90
0.4T
1 T
L
1
20
L
2
(
A)
transition B
0.88
2T
4T
10
0.86
10
0
0.0
0.5
1.0
Sqrt[B]
sqrt(B)
1.5
2.0
20
30
40
50
60
70
80
90
Energy [meV]
Energy (meV)
Grenoble high−field group: Sadowski et al., PRL 97, 266405 (2007)
États de bord
NL courbés vers le haut
aux bords (potentiel de
confinement)
(a)
µ
n+1
n
n−1
(b)
x
ν = n+1
ν =n
y
ν = n−1
n+1 y n y n−1
ymax
max max
états de bord chiraux
⇒ seule diffusion vers
l’avant
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
00000
11111
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1111111111111111111111111
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11111
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00000
11111
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1111111111111111111111111
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11111
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00000
11111
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00000
11111
ν= n+1 ν= n
y
ν= n−1
Mesure à quatre terminaux
RL ~ µ3− µ2 = 0
µ 2= µ L 2
3 µ3 = µ
L
I
I
4
1
6 µ 6= µ5 = µR 5
RH ~ µ5− µ3= µR− µL
: points chauds
[Klass et al, Z. Phys. B:Cond. Matt. 82, 351 (1991)]
EHQE – localisation à une particule
(a)
ε
EF
n
densité d’états
NL
(n+1)
Rxx R xy
h/e2 n
ν =n
B
EHQE – localisation à une particule
(a)
ε
(b)
ε
EF
n
EF
n
densité d’états
densité d’états
NL
(n+1)
Rxx R xy
Rxx R xy
h/e2 n
ν =n
B
B
EHQE – localisation à une particule
(a)
ε
(b)
ε
EF
n
EF
n
(c)
ε
EF
états localisés
n
états étendus
densité d’états
densité d’états
densité d’états
NL
(n+1)
Rxx R xy
Rxx R xy
R xx R xy
h/e2 n
h/e2 n
h/e2 (n+1)
ν =n
B
B
B
EHQE dans le graphène
Novoselov et al., Nature 438, 197 (2005)
Zhang et al., Nature 438, 201 (2005)
Density of states
Graphene IQHE:
R H = h/e2ν
at ν = 2(2n+1)
Vg =15V
T=30mK
∼ 1/ν
Usual IQHE:
B=9T
T=1.6K
at ν = 2n
(no Zeeman)
∼ν
Modèle de percolation – mesure
gaz 2D sur surface de n-InSb Hashimoto et al., PRL 101, 256802 (2008)
(a)-(g) dI/dV pour différentes valeurs du potential (branche de
spin inf. du NL n = 0)
(i) densité d’états locale (calculée) pour un potentiel de désordre
donné dans n = 0
(j) dI/dV dans branche de spin sup. du NL n = 0
Modèle de percolation – lois d’échelle
100.0
dxy
max
dB
dxy
N=0
N=1
N=1
max
largueur de plateau ∆B
Wei et al., Phys. Rev. Lett. 61, 1294 (1988)
10.0
(∆B)
−1
dB
(∆B)
⇒ transition de second ordre (transition de phase
quantique)
−1
N=1
N=1
1.0
0.10
1.00
T(K)
exposants critiques : 1/zν = 0.42 ± 0.04 et z ≃ 1
⇒ ν ≃ 2.3
percolation classique : ν = 4/3
modèle quantique particulier (numérique): ν = 2.5 ± 0.5
Transport non local dans l’EHQS (I)
puits quantique de CdTe/HgTe [Roth et al., Science 2009]
R14,14=3/2 h/e2
40
35
2
V
4
3
6
25
I
1
3
I
1
30
R (kΩ)
V
2
5
(1 x 0.5) µm2
4
20
15
6
(2 x 1) µm2
5
R14,23=1/2 h/e2
10
5
0
-0.5
0.0
0.5
1.0
V* (V)
1.5
2.0
Transport non local dans l’EHQS (II)
puits quantique de CdTe/HgTe [Roth et al., Science 2009]
25
R14,14=3/4 h/e2
20
R (kΩ)
1
2
15
I: 1-4
V: 2-3
10
4
3
R14,23=1/4 h/e2
5
0
0.0
0.5
1.0
V* (V)
Fig. 4
1.5
2.0
Isolants topologiques 3D (I)
Première génération à base de Bi1−x Sbx
[Hasan et Kane, RMP 2010]
→ inversion de bande au-delà d’un dopage critique xc ≃ 0.04
Isolants topologiques 3D (II)
• fermeture du gap (∼ masse) lors de l’inversion de bande
⇒ fermions de Dirac à la surface d’un isolant topologique 3D
(∼ états de bord en 2D) :
Hsurface = vp · σ
p : impulsion dans la surface
σ : caractérise vrai spin
⇒ un seul point de Dirac (contrairement au graphène avec 4)
Isolants topologiques 3D (III)
2e génération à base de Bi2 Se3 , Bi2 Te2 , Sb2 Te3
(calculs ab initio)
[Zhang et al., 2009]
Isolants topologiques 3D (IV)
mesures d’ARPES de fermions de Dirac à une surface de
Bi2 Se3 [Hsieh et al., 2009]
→ changement du niveau de Fermi par dopage chimique
(absorption de NO2 )