Fonctions réelles

Chapitre 4
Fonctions r´eelles
4.1 Exercices
1. Propri´et´es g´en´erales des fonctions. Soit f:R→Rla fonction d´efinie
par
f(x) = 2x
x2+ 25
Trouver l’image f[R] (Im(f)). La fonction fest-elle injective ?
2. Calcul des fonctions r´eciproques. Montrer que la fonction f:] −
1,0[→]0,1[ d´efinie par f(x) = √1−x2est bijective. Calculer sa fonction
r`eciproque f−1.
3. Calcul des fonctions r´eciproques. Montrer que la fonction f:R→
]0,∞[ d´efinie par
f(x) = exp(x)+2
exp(−x)=ex+ 2 e−x
est bijective. Calculer sa fonction r´eciproque f−1.
4. Calcul des fonctions r´eciproques. Montrer que la fonction f: [0,+∞[→
[1,+∞[ d´efinie par
f(x) = 2 exp(2x)
1 + exp(x)=2e2x 1 + ex
est bijective. Calculer sa fonction r´eciproque f−1.
5. Calcul des fonctions r´eciproques. Soit f, g :R→Rles deux fonctions
d´efinies respectivement par
f(x) = [x]+(x−[x])2et g(x) = [x] + px−[x]
Montrer que g=f−1.
6. Propri´et´es g´en´erales des fonctions. Soit f:R→Rune fonction
bijective et impaire. Montrer que sa fonction r`eciproque f−1:R→Rest
aussi impaire.
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CHAPITRE 4. FONCTIONS R ´ EELLES 40
7. Calcul des fonctions compos´ees. Pour les deux fonctions f, g :R→R
d´efinies respectivement par
f(x) = (x+ 3 si x≥0,
x2si x < 0
et
g(x) = (2x+ 1 si x≥3,
xsi x < 3,
calculer g◦fet f◦g.
8. Fonctions compos´ees. Soient f, g :R→Rdeux fonctions d´ecroissante.
Montrer que la fonction compos´ee g◦f:R→Rest croissante.
9. Fonctions sp´eciales. Montrer que pour tout x∈[−1,1] :
arcsin x+ arccos x=π
2.
10. Fonctions sp´eciales. Montrer que pour tout x∈R:
cosh2x−sinh2x= 1,
11. Fonctions sp´eciales. Montrer que pour tout x, y ∈R:
sinh(x+y) = sinh xcosh y+ cosh xsinh y
tanh(x+y) = tanh x+ tanh y
1 + tanh xtanh y
12. Fonctions sp´eciales. Montrer que pour tout x∈R:
arcsinh x= ln(x+px2+ 1).
13. Fonctions sp´eciales. Montrer que pour tout x∈]−1,1[ :
arctanh x=1
2ln 1 + x 1−x.
14. Fonctions sp´eciales. Montrer que pour tout x∈Rles s´eries
∞
X
k=0
x2k
(2k)! et ∞
X
k=0
x2k+1
(2k+ 1)!
sont absolument convergentes. De plus, montrer que
cosh x=∞
X
k=0
x2k
(2k)! et sinh x=∞
X
k=0
x2k+1
(2k+ 1)!.
15. Fonctions sp´eciales. Pour x∈Rcalculer
sinh x+isin(ix),cosh x−cos(ix),sinh(x+iπ
2),cosh(x+iπ 2)

CHAPITRE 4. FONCTIONS R ´ EELLES 41
16. Fonctions sp´eciales. Soit z=x+iy et x, y ∈R. Montrer que
cosh(z) = cosh xcos y+isinh xsin y
17. Fonctions des ensembles I. Soit A⊂Ret χAsa fonction d’indicatrice
(voir cours). On note Ac=R\Ale complementaire de A. V´erifier que
χAc(x) = 1 −χA(x).
Soient A, B ⊂R. V´erifier que
χA(x)·χB(x) = χA∩B(x)
et
χA(x) + χB(x) = χA∪B(x) + χA∩B(x).
Conclure que
1−χA(x)1−χB(x)= 1 −χA∪B(x).
Interpreter cette identit´e.
18. Fonctions des ensembles II - principe d’exclusion-inclusion. Soient
A1, . . . , An⊂R. Montrer par r´ecurrence que
1−χA1∪...∪An(x) =
n
Y
k=1 1−χAk(x)
19. Limite d’une fonction. Montrer `a l’aide de la d´efinition de la limite que
lim
x→24x+ 5= 13.
20. Limite d’une fonction. Montrer `a l’aide de la d´efinition de la limite que
lim
x→−3|x| − x3= 30.
21. Limite d’une fonction. Calculer
lim
x→0
5x3+ 3x
6x
22. Limite d’une fonction. Soit n∈Z+. Calculer
lim
x→1
xn−1
x−1.
23. Limite d’une fonction. Soient α∈R\ {0}et n∈Z+. Calculer
lim
x→0
(x+α)n−αn
x.
24. Limite d’une fonction. Calculer
lim
x→2+
x−2
√x2−4.

CHAPITRE 4. FONCTIONS R ´ EELLES 42
25. Limite d’une fonction. Montrer que la fonction √xest strictement
croissante pour x≥0. Ensuite montrer `a l’aide de la d´efinition de la
limite `a droite que
lim
x→0+√x= 0.
26. Calcul des limites. Calculer
(a)
lim
x→0
√4 + x−2
x,
(b)
lim
x→−∞
√x2+ 2
2x+ 1 ,
(c)
lim
x→+∞xpx2+ 1 −x,
(d)
lim
x→+∞
√2x+ 1 −√x+ 1
√xarctan x,
(e)
lim
x→1
√1 + x−√2x
√1+2x−√3,
(f)
lim
x→2+
√x−√2 + √x+ 2
√x2−4,
(g)
lim
x→+∞xr1 + 2
x1 + 3 x−1,
(h)
lim
x→+∞qx+px+√x
√x+ 1 ,
(i)
lim
x→1
x3−x2−x+ 1
x3−3x+ 2 ,
(j)
lim
x→1
x4−x3+x2−x
x2−1,
(k)
lim
x→+∞
2x3+x2+ 1
x3+x,
(l)
lim
x→11
1−x−3 1−x3,

CHAPITRE 4. FONCTIONS R ´ EELLES 43
(m)
lim
x→0[x],
(n)
lim
x→+∞
x
1+[x],
(o)
lim
x→0x1
[x],
(p)
lim
x→π
sin x
x−π,
(q)
lim
x→0
tan x
x,
(r)
lim
x→+∞
sin x
x,
(s)
lim
x→+∞xsin 1
x,
(t)
lim
x→0cos 1
x,
(u)
lim
x→0+
sin x
√x,
(v)
lim
x→+∞x5e−x2,
(w)
lim
x→+∞x25−x.
27. Limites des fonctions.
(a) Soit (xn)n∈Nla suite donne´e par xn=√n+ 1 −√n. Soit f(x) =
ex(x+ cos x). Donner
lim
n→+∞f(xn).
(b) Soit (xn)n∈Nla suite donne´e par xn= (1 + 2
n)n. Soit f(x) = ln x).
Donner
lim
n→+∞f(xn).
(c) Soient (ak)k∈Nla suite donne´e par ak=e−ket Sn=Pn
k=0 ak. Pour
f(x) = ln x2−ln(x−1)2donner
lim
n→+∞f(Sn).