pgcd, ppcm 1 Plus grand commun diviseur (pgcd) Remarque Soit a

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0702 ©pa2007
pgcd, ppcm
1 Plus grand commun diviseur (pgcd)
Remarque
Soit a et b deux entiers naturels non nuls. L’ensemble des diviseurs communs à a et b est un
sous-ensemble non vide de  (1 appartient à cet ensemble et il est majoré par a ou b par
exemple), il admet donc un plus grand élément.
Notation
L’ensemble des diviseurs communs à a et b est noté D(a, b).
Définition
Soit a et b deux entiers naturels non nuls, le plus grand commun diviseur de a et de b est le
plus grand élément de l’ensemble des diviseurs communs à a et à b.
Notation : pgcd (a, b) = δ.
Remarques
pgcd(a, b) = pgcd(b, a), pgcd(a, a) = a, pgcd(a, 1) = 1.
pgcd(a, ka) = a (k ∈ *) : en effet, d est un diviseur commun à a et à ka si et seulement si d
est un diviseur de a. Donc l’ensemble des diviseurs communs à a et à ka est l’ensemble des
diviseurs de a, et le plus grand d’entre eux est a.
Définition
Deux entiers non nuls sont premiers entre eux si et seulement si leur pgcd vaut 1.
Trois méthodes de recherche du pgcd
1) Les ensembles de diviseurs
Déterminer le pgcd de 204 et 255.
D(204) = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 17, 34, 51, 68, 102, 204}
D(255) = {1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255}
D(204) ∩ D(255) = {1, 3, 17, 51}, donc pgcd(204, 255) = 51.
Remarque : D(204) ∩ D(255) = D(51) : l’ensemble des diviseurs communs est l’ensemble des
diviseurs du pgcd.
2) Les soustractions successives d’Euclide
Théorème
Si a > b, alors pgcd(a, b) = pgcd(a − b, b).
Démonstration
d | a et d | b ⇔ d | a − b et d | b, d’où D(a, b) = D(a − b, b), d’où l’égalité des pgcd.
La méthode des soustractions successives d’Euclide est fondée sur la propriété précédente,
dont l’intérêt est de ramener le calcul du pgcd de deux nombres au calcul du pgcd de deux
nombres dont l’un des deux est strictement plus petit.
Exemple
Cherchons pgcd (357, 105).
357 – 105 = 252
252 – 105 = 147
147 – 105 = 42
105 – 42 = 63
63 – 42 = 21
42 – 21 = 21
21 – 21 = 0 pgcd(357, 105) = pgcd(21, 21) = 21.
La méthode n’a qu’un nombre fini d’étapes car la suite des premiers termes est strictement
décroissante, donc la différence est nulle à partir d’un certain rang.

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3) Les divisions successives d’Euclide
Théorème
Soit a et b deux entiers naturels non nuls tels que a > b > 1
Dans la division euclidienne de a par b :
1) Lorsque le reste est nul, l’ensemble des diviseurs communs à a et b est l’ensemble des
diviseurs de b.
2) Lorsque le reste est non nul, l’ensemble des diviseurs communs à a et b est l’ensemble des
diviseurs communs à b et r.
Démonstration
1) r = 0 : a = bq
si da et db alors db ;
si db alors dbq donc da ;
finalement : 
bd
ad ⇔ db donc D(a, b) = D(b).
2) r ≠ 0 : a = bq + r et 0 ≤ r < b
si da et db alors d divise toute combinaison linéaire de a et b en particulier a – bq donc dr
et db ;
si dr et db alors db et dr + bq, donc db et da
finalement : 
bd
ad ⇔ 
rd
bd donc D(a, b) = D(b, r).
Exemple
Soit a = 963 et b = 153
963 = 153 × 6 + 45 D(953, 153) = D(153, 45)
153 = 45 × 3 + 18 D(153, 45) = D(45, 18)
45 = 18 × 2 + 9 D(45, 18) = D(18, 9)
et 9 | 18 donc finalement D(953, 153) = D(9).
Définition (Algorithme d’Euclide)
L’algorithme d’Euclide est le principe des divisions successives d’Euclide jusqu’à obtention
du dernier reste non nul rn .
Théorème
a et b étant deux entiers naturels non nuls tels que a > b > 1.
Dans la division euclidienne de a par b si le reste est nul alors pgcd(a, b) = b.
Sinon pgcd(a, b) est le dernier reste non nul rn obtenu en appliquant l’algorithme d’Euclide au
couple (a, b) : pgcd(a, b) = rn .
Conséquence immédiate
L'ensemble des diviseurs communs à deux entiers est l'ensemble des diviseurs de leur pgcd.
bd
ad ⇔ dpgcd(a, b).

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Théorème [Propriétés du plus grand diviseur commun à deux entiers]
a, b et k étant trois entiers naturels non nuls :
1) pgcd(ka, kb) = k × pgcd(a, b)
2) si ka et kb alors pgcd(
k
a,
k
b) =
k
1pgcd(a, b)
3) pgcd(a, b) = pgcd(a + kb, b)
Démonstration
1) Soit la suite des divisions euclidiennes permettant d’obtenir pgcd(a, b) :
a = bq1 + r1 0 ≤ r1 < b
b = r1q2 + r2 0 ≤ r2 < r1 < b
r1 = r2q3 + r3 0 ≤ r3 < r2 < r1 < b
…
rn − 1 = rnqn + 1 + 0 0 ≤ rn ≤ rn − 1 < … < r3 < r2 < r1 < b, pgcd(a, b) = rn.
Alors, celles qui permettent d’obtenir pgcd(ka, kb) sont :
ka = kbq1 + kr1 0 ≤ kr1 < kb
kb = kr1q2 + kr2 0 ≤ kr2 < kr1 < kb
kr1 = kr2q3 + kr3 0 ≤ kr3 < kr2 < kr1 < kb
…
krn − 1 = krnqn + 1 + k0 0 ≤ krn ≤ krn − 1 < … < kr3 < kr2 < kr1 < kb, pgcd(ka, kb) = krn.
D’où pgcd(ka, kb) = k × pgcd(a, b).
Autre démonstration :
Soit δ = pgcd(a, b). 
b
a
δ
δ
⇒ 
kbk
kak
δ
δ
⇒ kδpgcd(ka, kb).
Soit q tel que q(kδ) = pgcd(ka,kb).
kbqk
kaqk
δ
δ
⇒ 
bq
aq
δ
δ
⇒ qδpgcd(a, b) ⇒ qδδ ⇒ q1 ⇒ q = 1.
Finalement pgcd(ka, kb) = k × pgcd(a, b)
2) si ka et kb, posons a = ka’ et b = kb’. D’après la propriété précédente,
pgcd(ka’, kb’) = k × pgcd(a’, b’), d’où le résultat.
3) 
bd
ad ⇔ 
+
bd
kbad donc pgcd(a, b) = pgcd(a + kb, b).
Exemple
pgcd(525, 315) = pgcd(15 × 35, 15 × 21)
= 15 pgcd( 35, 21)
= 15 × 7 pgcd(5, 3) et pgcd(5, 3) = 1.
donc pgcd(525, 315) = 105.
Conséquence
Si δ = pgcd(a, b), alors pgcd(
δ
a,
δ
b) = 1.
Note
Certaines calculatrices sont munies des fonctions pgcd et ppcm. Afin de les trouver dans les
menus, voici les correspondances entre français, anglais et espagnol :
Français Anglais Espagnol
pgcd hcd mcd
ppcm lcd mcm

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2 Plus petit multiple commun (ppcm)
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