Terminale S

Chapitre 10 : (Cours) Lois de Kepler
En astronomie, les trois lois de Kepler décrivent le mouvement des planètes autour du
Soleil, sans l’expliquer. Elles ont été découvertes par Johannes Kepler (en 1608 puis 1619) à
partir des observations et mesures de la position des planètes faites par Tycho Brahe, mesures
extrêmement précises pour l'époque.
I.
Référentiels héliocentrique et géocentrique
(Rappels)
vers une étoile lointaine 
N
N
S
référentiel
héliocentrique
S
vers une étoile
lointaine 
N
vers une étoile
lointaine 
S
référentiel
géocentrique
Le référentiel héliocentrique a pour origine le centre du Soleil. Les axes d’un repère sont dirigés vers trois étoiles
lointaines (c'est à dire pratiquement fixes).
Le référentiel géocentrique est animé d'un mouvement de translation curviligne par rapport au référentiel
héliocentrique. Les axes d’un repère sont dirigés vers trois étoiles lointaines.
II.
Les lois de Kepler
Première loi : la loi des trajectoires (1609)
Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d'une planète est une ellipse dont le Soleil est
l'un des foyers.
Précisions :
- On note « a » le demi-grand axe de l’ellipse, et « b » le demi-petit axe de l’ellipse.
- Le péricentre est le point de l’orbite le plus proche de l’astre central. Si l’astre central est le Soleil on parle
de périhélie. Pour la Terre, c’est le périgée.
Chapitre 10 – Lois de Kepler
Page 1
-
L’apocentre est le point de l’orbite le plus éloigné de l’astre central. Si l’astre central est le Soleil on parle
d’aphélie. Pour la Terre, c’est l’apogée.
Deuxième loi : la loi des aires (1609)
Le segment de droite reliant le Soleil à une planète balaie des aires égales pendant des durées égales.
Précisions :
- Les planètes parcourent des distances plus grandes (pour la même durée) quand elles approchent du Soleil.
Elles se déplacent donc plus rapidement lorsqu'elles sont proches du soleil et plus lentement lorsqu'elles en
sont plus éloignées.
- Ceci s’explique qualitativement : la force de gravitation diminue avec la distance. Le Soleil attire moins la
planète. Elle ralentit … Et réciproquement quand elle s’approche du Soleil.
Troisième loi : la loi des périodes (1620)
Pour toute planète du système solaire, le rapport entre le carré de la période « T » de révolution et le cube du demi
grand axe « a » est le même :
T2
4 2

a 3 G.M S
La valeur «
4 2
» est une constante. Elle est appelée constante de la loi des aires. Elle ne dépend pas de la
G.M S
planète considérée. Elle ne dépend que de la constante de gravitation universelle (G = 6,67.10-11 SI) et de la masse
du Soleil (MS).
L’expression de la constante de la loi des aires est démontrée ci-après.
Précisions :
-
T2
Comme 3  k (k est une constante), alors T 2 (le carré de la période de révolution) est proportionnel à a 3
a
(le cube de la distance moyenne de la planète au Soleil).
2
TTerre 2 TMars 2 THalley


k
Ainsi :
aTerre3 aMars 3 aHalley 3
Exemple : On connaît la période de révolution de la Terre (TTerre = 1 an), la distance moyenne Terre-Soleil
(aTerre=1 UA), et la période de révolution de la comète de Halley (THalley = 76 ans) que l’on peut obtenir en
observant le ciel.
On peut en déduire la distance moyenne de la comète de Halley par rapport au Soleil.
Chapitre 10 – Lois de Kepler
Page 2
2
TTerre 2 THalley

On a
aTerre3 aHalley 3
Donc
aHalley 
3
aTerre3  THalley 2
TTerre 2
 aHalley   5,78.103 
1/3
-
1 762

 5,78.103
1
 17,9 UA
Les lois de Kepler, bien qu’écrites pour les planètes de notre système solaire, s’appliquent pour tout corps
en orbite elliptique autour d’un astre.
Ainsi :
TSatellite2
4 2

RSatellite3 GM Terre
TLune 2
4 2

RLune3 GM Terre
Position de 18 000 satellites en orbite autour de la
Terre.
On voit nettement apparaître l’orbite
géostationnaire.
III. Mouvement circulaire et uniforme des astres
Dans toute la suite, on fait l’approximation que les orbites des planètes autour du Soleil, et celle des satellites
autour de la Terre sont quasi-circulaires, c’est-à-dire très faiblement elliptiques.
III.1. Nature du mouvement
Terre
Considérons le mouvement circulaire de la Terre autour du Soleil :

uN
R
Système étudié : Terre de masse MT

uT

Référentiel d’étude : héliocentrique (galiléen)
F
Inventaire des forces extérieures :
Force de gravitation F exercée par le Soleil sur la Terre.
Soleil
Comme la masse de la Terre est constante, d’après la deuxième loi de
Newton :
F  F  M T .a
Or la force de gravité exercée par le Soleil de masse MS sur la Terre a pour expression :
F en N
M en kg
R en m
G = 6,6710 –11 S.I.
M M
F  G T 2 S uN
R


G.M T .M S
uN  M T aT uT  aN uN
R2
G.M T .M S
uN  M T aT uT  M T aN uN

R2
D’où : F  ma 
Chapitre 10 – Lois de Kepler
Page 3
G.M T .M S

 M T .aN 
Donc, par identification : 
R2

 M T .aT  0
Or si aT  0 alors
Comme
G.M S

aN 
 
R2
aT  0
dv
dv
 0 car par définition aT 
dt
dt
dv
 0 alors la norme de la vitesse est constante.
dt
Ainsi, si la trajectoire d’un objet en orbite gravitationnelle est circulaire alors son mouvement est uniforme.
Exemples :
-
La Terre ayant une orbite quasi-circulaire, sa vitesse reste toujours voisine de 30 km.s-1
La comète de Halley ayant une orbite très elliptique, sa vitesse varie énormément (de 1 à 55 km.s-1)
III.2. Détermination de la vitesse
D’après la partie précédente on a : aN 
G.M S
R2
v2
Or, par définition : a N 
R
D’où :
v 2 G.M S

R
R2

v
G.M S
R
v en m.s-1
MS en kg
R en m
G = 6,6710 –11 S.I.
III.3. Période de révolution
La période de révolution T est le temps nécessaire à l’objet (ici la Terre) pour faire un tour sur son orbite.
La longueur L d’une orbite est égale au périmètre du cercle, soit : L  2R
D’où : v 
d
L 2R
 
t T
T
En utilisant l’expression du III.2. :
G.M S 2 R

R
T

R3
T  2
GM S
Question n°1 :
-
A partir de la dernière formule encadrée, retrouver la 3ème loi de Kepler.
Question n°2 :
-
Rechercher l’altitude h à laquelle sont placés les satellites géostationnaires.
Chapitre 10 – Lois de Kepler
Page 4
▪ Réponse n°1 :
Pour la Terre on a : T  2
R3
GM T
En mettant au carré les deux membres de l’équation précédente, on a T 2  4
R3
.
GM T
T2
4 2

R 3 GM T
On retrouve la troisième loi de Kepler :
▪ Réponse n°2 :
Un satellite est géostationnaire si sa période de révolution autour de la Terre est égale à la période de rotation de la
Terre, soit T = 24h.
Le satellite est à une distance (RT + h) du centre de la Terre.
T2
4 2

Soit :
3
 RT  h  GM T

 RT  h 
3

GM T .T 2
4 2
1/3
 GM T .T 2 
  RT  h   

2
 4

1/3
 GM T .T 2 
 h 

2
 4

 RT
1/3
 6,67.1011  5,98.1024  (24  3600) 2 
 h 

4 2


3
 h  36.10 km  36000 km
 6370.103
******************************************************************
Notions et contenus
Temps, cinématique et dynamique newtoniennes
Mouvement d’un satellite.
Révolution de la Terre autour du Soleil.
Lois de Kepler.
Chapitre 10 – Lois de Kepler
Compétences exigibles
Démontrer que, dans l’approximation des trajectoires
circulaires, le mouvement d’un satellite, d’une planète,
est uniforme. Établir l’expression de sa vitesse et de sa
période.
Connaître les trois lois de Kepler ; exploiter la troisième
dans le cas d’un mouvement circulaire.
Page 5