Terminale S

Chapitre 10 – Lois de Kepler Page 1
En astronomie, les trois lois de Kepler décrivent le mouvement des planètes autour du
Soleil, sansl’expliquer. Elles ont été découvertes par Johannes Kepler (en 1608 puis 1619) à
partir des observations et mesures de la position des planètes faites par Tycho Brahe, mesures
extrêmement précises pour l'époque.
I. Référentiels héliocentrique et géocentrique
(Rappels)
Le référentiel héliocentrique apouroriginelecentreduSoleil.Lesaxesd’unrepèresontdirigésverstroisétoiles
lointaines (c'est à dire pratiquement fixes).
Le référentiel géocentrique est animé d'un mouvement de translation curviligne par rapport au référentiel
héliocentrique.Lesaxesd’unrepèresontdirigésverstroisétoileslointaines.
II. Les lois de Kepler
Première loi : la loi des trajectoires (1609)
Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d'une planète est une ellipse dont le Soleil est
l'un des foyers.
Précisions :
- On note « a » le demi-grandaxedel’ellipse,et« b » le demi-petitaxedel’ellipse.
- Lepéricentreestlepointdel’orbiteleplusprochedel’astrecentral.Sil’astrecentralestleSoleilonparle
de périhélie.PourlaTerre,c’estlepérigée.
Chapitre 10 : (Cours) Lois de Kepler
N
S
vers une étoile
lointaine 
vers une étoile lointaine 
vers une étoile
lointaine 
N
S
N
S
référentiel
héliocentrique
référentiel
géocentrique
3

Chapitre 10 – Lois de Kepler Page 2
- L’apocentreestlepointdel’orbitelepluséloignédel’astrecentral.Sil’astrecentralestleSoleilonparle
d’aphélie. PourlaTerre,c’estl’apogée.
Deuxième loi : la loi des aires (1609)
Le segment de droite reliant le Soleil à une planète balaie des aires égales pendant des durées égales.
Précisions :
- Les planètes parcourent des distances plus grandes (pour la même durée) quand elles approchent du Soleil.
Elles se déplacent donc plus rapidement lorsqu'elles sont proches du soleil et plus lentement lorsqu'elles en
sont plus éloignées.
- Cecis’expliquequalitativement : la force de gravitation diminue avec la distance. Le Soleil attire moins la
planète.Elleralentit…Etréciproquementquandelles’approche du Soleil.
Troisième loi : la loi des périodes (1620)
Pour toute planète du système solaire, le rapport entre le carré de la période « T » de révolution et le cube du demi
grand axe « a » est le même :
22
3
4
.S
T
aGM
La valeur «
2
4
.S GM
» est une constante. Elle est appelée constante de la loi des aires. Elle ne dépend pas de la
planète considérée. Elle ne dépend que de la constante de gravitation universelle (G = 6,67.10-11 SI) et de la masse
du Soleil (MS).
L’expressiondelaconstantedelaloidesairesestdémontréeci-après.
Précisions :
- Comme
2
3
Tk
a
(k est une constante), alors T 2 (le carré de la période de révolution) est proportionnel à a 3
(le cube de la distance moyenne de la planète au Soleil).
Ainsi :
2
22
33 3
Halley
Terre Mars
Terre Mars Halley
T
TT k
aaa
Exemple : On connaît la période de révolution de la Terre (TTerre = 1 an), la distance moyenne Terre-Soleil
(aTerre=1 UA), et la période de révolution de la comète de Halley (THalley = 76 ans)quel’on peut obtenir en
observant le ciel.
On peut en déduire la distance moyenne de la comète de Halley par rapport au Soleil.

Chapitre 10 – Lois de Kepler Page 3
On a
2
2
33
Halley
Terre
Terre Halley
T
T
aa
Donc
32 2
33
2
176
5,78.10
1
Terre Halley
Halley
Terre
aT
aT
1/3
3
5,78.1017,9
Halley
aUA 
- LesloisdeKepler,bienqu’écritespourlesplanètesdenotresystèmesolaire,s’appliquent pour tout corps
enorbiteelliptiqueautourd’unastre.
Ainsi :
22
3
4
Satellite
Satellite Terre
T
RGM
22
3
4
Lune
Lune Terre
T
RGM
III. Mouvement circulaire et uniforme des astres
Dans toute la suite, on fait l’approximation que les orbites des planètes autour du Soleil, et celle des satellites
autour de la Terre sont quasi-circulaires,c’est-à-dire très faiblement elliptiques.
III.1. Nature du mouvement
Considérons le mouvement circulaire de la Terre autour du Soleil :
Système étudié : Terre de masse MT
Référentield’étude : héliocentrique (galiléen)
Inventaire des forces extérieures :
Force de gravitation
F
exercée par le Soleil sur la Terre.
Comme la masse de la Terre est constante, d’après la deuxième loi de
Newton :
.
T
FFMa 
Or la force de gravité exercée par le Soleil de masse MS sur la Terre a pour expression :
2
TS
N
MM
FG u
R
D’où :
Fma
2
..
TS
NTTTNN
GM M uMauau
R
2
..
TS
NTTTTNN
GM M uMauMau
R
Terre
Soleil
F
uN
uT
R
F en N
M en kg
R en m
G = 6,6710 –11 S.I.
Position de 18 000 satellites en orbite autour de la
Terre.
On voit nettementapparaîtrel’orbite
géostationnaire.

Chapitre 10 – Lois de Kepler Page 4
Donc, par identification :
2
..
.
.0
TS
TN
TT
GM M
Ma R
Ma
2
.
0
S
N
T
GM
aR
a
Or si
0
T
a
alors
0
dt
vd
car par définition
dt
vd
aT
Comme
0
dt
vd
alors la norme de la vitesse est constante.
Ainsi, si la trajectoire d’unobjetenorbitegravitationnelleestcirculaire alors son mouvement est uniforme.
Exemples :
- La Terre ayant une orbite quasi-circulaire, sa vitesse reste toujours voisine de 30 km.s-1
- La comète de Halley ayant une orbite très elliptique, sa vitesse varie énormément (de 1 à 55 km.s-1)
III.2. Détermination de la vitesse
D’aprèslapartieprécédenteona :
2
.S
N
GM
aR
Or, par définition :
R
v
aN
2
D’où :
2
2
.S GM
v
RR
.S GM
vR
III.3. Période de révolution
La période de révolution T estletempsnécessaireàl’objet(icilaTerre)pourfaireuntoursursonorbite.
La longueur L d’uneorbiteestégaleaupérimètreducercle,soit :
RL 2
D’où :
T
R
T
L
t
d
v
2
Enutilisantl’expressionduIII.2. :
.2
S
GM R
RT
S
GM
R
T
3
2
Question n°1 :
- A partir de la dernière formule encadrée, retrouver la 3ème loi de Kepler.
Question n°2 :
- Rechercherl’altitudeh à laquelle sont placés les satellites géostationnaires.
v en m.s-1
MS en kg
R en m
G = 6,6710 –11 S.I.

Chapitre 10 – Lois de Kepler Page 5
▪ Réponse n°1 :
Pour la Terre on a :
3
T2
T
R
GM
En mettant au carré les deux membres del’équationprécédente,ona
3
24
T
R
TGM
.
On retrouve la troisième loi de Kepler :
22
3
4
T
T
RGM
▪ Réponse n°2 :
Un satellite est géostationnaire si sa période de révolution autour de la Terre est égale à la période de rotation de la
Terre, soit T = 24h.
Le satellite est à une distance (RT + h) du centre de la Terre.
Soit :
22
3
4
T
T
T
GM
Rh
2
3
2
.
4
T
T
GM T
Rh
1/3
2
2
.
4
T
T
GM T
Rh
1/3
2
2
.
4
T
T
GM T
hR
1/3
11 24 2
3
2
6,67.10 5,98.10 (24 3600)
6370.10
4
h
3
36.10 36000 hkmkm 
******************************************************************
Notions et contenus
Compétences exigibles
Temps, cinématique et dynamique newtoniennes
Mouvementd’unsatellite.
Révolution de la Terre autour du Soleil.
Lois de Kepler.
Démontrerque,dansl’approximationdestrajectoires
circulaires,lemouvementd’unsatellite,d’uneplanète,
est uniforme. Établirl’expressiondesavitesseetdesa
période.
Connaître les trois lois de Kepler ; exploiter la troisième
danslecasd’unmouvementcirculaire.